2021广州一模数学试卷+答案
2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷(学生版+解析版)
2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1．（3分）下列算式中，计算结果是负数的是( ) A ．3(2)⨯-B ．|1|-C ．(2)7-+D ．2(1)-2．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）要使13x -有意义，则x 的取值范围为( ) A ．0xB ．1xC ．0xD ．1x4．（3分）若关于x 的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是()A ．2xB ．1x >C ．12x <D ．12x <5．（3分）计算11x x x+-的结果为( ) A ．1B ．xC ．1xD ．2x x+ 6．（3分）如图，点P 是AOB ∠的边OA 上一点，PC OB ⊥于点C ，//PD OB ，35OPC ∠=︒，则APD ∠的度数是( )A ．60︒B ．55︒C ．45︒D ．35︒7．（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( ) A ．②→④→③→① B ．③→④→①→② C ．①→②→④→③D ．②→③→①→④8．（3分）已知圆锥的高为3，高所在的直线与母线的夹角为30︒，则圆锥的侧面积为() A ．πB ．1.5πC ．2πD ．3π9．（3分）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是()A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个10．（3分）已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a 的值等于( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：04(1)π+-= ． 12．（3分）分解因式：324x xy -= ．13．（3分）如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形CDE ，则AED ∠的度数为 ．14．（3分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在坐标轴上，(8,7)B ，(5,0)D ，点P 是边AB 上的一点，连接OP ，DP ，当ODP ∆为等腰三角形时，点BP 的长度为 ．15．（3分）如图，PA 、PB 分别是O 的切线，A 、B 为切点，AC 是O 的直径，若36BAC ∠=︒，则P ∠的度数为 ．16．（3分）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34⋯在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第n 个数记为n a ，则357920211..a a a a a ++++++与斐波那契数列中的第 个数相同．三、简答题（本大题9小题，共72分） 17．（4分）解不等式：2(1)4x x -<-．18．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，BE DF =．求证：CE AF =．19．（6分）已知：3(1)(1)(1)P a a a a =+-+- （1）化简P ；（2）若a 为方程1033xx x +-=的解，求P 的值．20．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，解答下列问题： （1）本次共调查 名学生，条形统计图中m = ．（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 名学生不了解“概率发展的历史背景“； （3）调查结果中，该校初三（2）班学生中了解程度为“很了解“的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景“知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．21．（8分）某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5天．（1）将60万只用科学记数法表示为 只； （2）求甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？22．（10分）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知10OA =，1tan 3AOC ∠=，点B 的坐标为(,2)m -． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；（3）已知点P 的坐标为9(0,)4，求证CDP ODC ∆∆∽．23．（10分）如图，在O 中，B 是O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦23AC = （1）作ABC ∠的角平分线BM 交O 于点M ，连接MA ，MC ，并求O 半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：AB BC BM +=．24．（12分）在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a =++<经过点A ，B ． （1）求a ，b 满足的关系式及c 的值．（2）当0x <时，若2(0)y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求实数a 的取值范围． （3）当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与点C 和点A 重合），连接PB ，过点P 作PF PB ⊥交射线DA 于点F ，连接BF ，已知33AD =，3CD =，设CP 的长为x ．（1）线段PB 的最小值为 ．（2）如图，当动点P 运动到AC 的中点时，AP 与BF 的交点为G ，FP 的中点为H ，求线段GH 的长度；（3）当点P 在运动的过程中：①试探究FBP ∠是否会发生变化？若不改变，请求出FBP ∠大小；若改变，请说明理由；②当x 为何值时，AFP ∆是等腰三角形？2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1．（3分）下列算式中，计算结果是负数的是( ) A ．3(2)⨯-B ．|1|-C ．(2)7-+D ．2(1)-【解答】解：3(2)6⨯-=-，|1|1-=，(2)75-+=，2(1)1-=， 故选：A ．2．（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、左图与右图的形状不同，所以A 选项错误；B 、左图与右图的大小不同，所以B 选项错误；C 、左图通过翻折得到右图，所以C 选项错误；D 、左图通过平移可得到右图，所以D 选项正确．故选：D ． 3．（3分）要使1x -有意义，则x 的取值范围为( ) A ．0x B ．1x C ．0x D ．1x【解答】解：要使1x -有意义， 则10x -， 解得：1x ． 故选：B ．4．（3分）若关于x 的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是()A ．2xB ．1x >C ．12x <D ．12x <【解答】解：根据题意得：不等式组的解集为12x <． 故选：D ． 5．（3分）计算11x x x+-的结果为( ) A ．1 B ．x C ．1xD ．2x x+ 【解答】解：11x x x+- 11x x+-= 1=．故选：A ．6．（3分）如图，点P 是AOB ∠的边OA 上一点，PC OB ⊥于点C ，//PD OB ，35OPC ∠=︒，则APD ∠的度数是( )A ．60︒B ．55︒C ．45︒D ．35︒【解答】解：PC OB ⊥，//PD OB ， 90CPD ∴∠=︒，又35OPC ∠=︒， 55APD ∴∠=︒，故选：B ．7．（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是( ) A ．②→④→③→① B ．③→④→①→② C ．①→②→④→③D ．②→③→①→④【解答】解：将本校图书馆最受学生欢迎的图书种类情况制作扇形统计图的步骤如下：②去图书馆收集学生借阅图书的记录； ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表； ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比； ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类； 故选：A ．8．（3分）已知圆锥的高为3，高所在的直线与母线的夹角为30︒，则圆锥的侧面积为() A ．πB ．1.5πC ．2πD ．3π【解答】解：高所在的直线与母线的夹角为30︒，∴圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，所以圆锥的侧面积121222ππ==． 故选：C ．9．（3分）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是()A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【解答】解：直线y x a =+不经过第二象限，0a ∴，当0a =时，关于x 的方程2210ax x ++=是一次方程，解为12x =-，当0a <时，关于x 的方程2210ax x ++=是二次方程， △2240a =->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D ．10．（3分）已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a 的值等于( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【解答】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y 轴，所以02bx a=-=， 解得0b =， 与0b <相矛盾；第3个图，抛物线开口向上，0a >， 经过坐标原点，210a -=， 解得11a =，21a =-（舍去）， 对称轴0221b bx a =-=->⨯， 所以0b <，符合题意， 故1a =，第4个图，抛物线开口向下，0a <， 经过坐标原点，210a -=， 解得11a =（舍去），21a =-， 对称轴022(1)b b x a =-=->⨯-， 所以0b >，不符合题意， 综上所述，a 的值等于1． 故选：C ．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（30(1)π-= 3 ． 【解答】解：原式213=+=． 故答案为：3．12．（3分）分解因式：324x xy -= (2)(2)x x y x y +- ． 【解答】解：原式22(4)(2)(2)x x y x x y x y =-=+-， 故答案为：(2)(2)x x y x y +-13．（3分）如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形CDE ，则AED ∠的度数为 15︒ ．【解答】解：四边形ABCD 是正方形， 90ADC ∴∠=︒，AD DC =， CDE ∆是等边三角形， DE DC ∴=，60EDC ∠=︒，9060150ADE ∴∠=︒+︒=︒，AD ED =，11(180)(180150)1522DAE AED ADE ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．14．（3分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在坐标轴上，(8,7)B ，(5,0)D ，点P 是边AB 上的一点，连接OP ，DP ，当ODP ∆为等腰三角形时，点BP 的长度为 3 ．【解答】解：四边形OABC 是矩形，(8,7)B ， 8OA BC ∴==，7OC AB ==，(5,0)D ， 5OD ∴=，点P 是边AB 的一点， 5OD DP ∴==， 3AD =，22534PA ∴=-， 3PB ∴=故答案为：3．15．（3分）如图，PA 、PB 分别是O 的切线，A 、B 为切点，AC 是O 的直径，若36BAC ∠=︒，则P ∠的度数为 72︒ ．【解答】解：PA 、PB 分别是O 的切线，A 、B 为切点，AC 是O 的直径， 90CAP ∴∠=︒，PA PB =，又36BAC ∠=︒， 54PAB ∴∠=︒， 54PBA PAB ∴∠=∠=︒， 180545472P ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案是：72︒．16．（3分）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1，1，2，3，5，8，13，21，34⋯在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第n 个数记为n a ，则357920211..a a a a a ++++++与斐波那契数列中的第 2022 个数相同．【解答】解：斐波那契数列中121a a ==， 21a ∴=．357920211a a a a a ∴+++++⋅⋅⋅+ 235792021a a a a a a =+++++⋅⋅⋅+ 45792021a a a a a =++++⋅⋅⋅+ 6792021a a a a =+++⋅⋅⋅+ 892021a a a =++⋅⋅⋅⋅+ 102021a a =+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅20202021a a =+ 2022a =．故答案为：2022．三、简答题（本大题9小题，共72分） 17．（4分）解不等式：2(1)4x x -<-． 【解答】解：2(1)4x x -<-， 去括号，得 224x x -<-，移项及合并同类项，得 36x <，系数化为1，得 2x <．18．（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，BE DF =．求证：CE AF =．【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AD BC ，BE DF =，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，CE AF ∴=．19．（6分）已知：3(1)(1)(1)P a a a a =+-+- （1）化简P ；（2）若a 为方程1033xx x +-=的解，求P 的值．【解答】解：（1）22331P a a a =+-+ 2231a a =++；（2）a为方程133xx x+-=的解，∴10 33aa a+-=，解得0a=，22311P a a∴=++=．20．（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，解答下列问题：（1）本次共调查60名学生，条形统计图中m=．（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有名学生不了解“概率发展的历史背景“；（3）调查结果中，该校初三（2）班学生中了解程度为“很了解“的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景“知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）本次调查的总人数为2440%60÷=（人)，条形统计图中60(12246)18m=-++=，故答案为：60、18；（2）该校不了解“概率发展的历史背景”的人数约为12150030060⨯=（名)，故答案为：300；（3）画树形图得：共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4种情况，∴恰好抽中一男生一女生的概率为4263=． 21．（8分）某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5天．（1）将60万只用科学记数法表示为 5610⨯ 只； （2）求甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？ 【解答】解：（1）60万5600000610==⨯， 故答案是：5610⨯；（2）设乙厂每天能生产口罩x 万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x 万只， 依题意，得：606051.5x x-=， 解得：4x =，经检验，4x =是原方程的解，且符合题意， 1.56x ∴=．答：甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天能生产口罩4万只． 22．（10分）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知10OA =，1tan 3AOC ∠=，点B 的坐标为(,2)m -． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；（3）已知点P 的坐标为9(0,)4，求证CDP ODC ∆∆∽．【解答】解：（1）过A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ， 1tan 3AOC ∠=，3OE AE ∴=．10OA =，2210OE AE +=，1AE ∴=，3OE =．∴点A 的坐标为(3,1)．A 点在双曲线上，∴13k=， 3k ∴=．∴双曲线的解析式为3y x=；（2）点(,2)B m -在双曲线3y x=上， 32m∴-=， 32m ∴=-．∴点B 的坐标为3(2-，2)-．∴31322a b a b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴231a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴一次函数的解析式为213y x =-．（3）证明：由（2）知，一次函数的解析式为213y x =-，且点D 是一次函数图象与y 轴的交点， (0,1)D ∴-．点P 的坐标为9(0,)4，913|1|44PD ∴=--=，94OP =．C ，D 两点在直线213y x =-上， C ∴，D 的坐标分别是：3(2C ，0)，(0,1)D -．即：32OC=，1OD=，132DC∴=．∴131342132PDDC==，1313212DCOD==，∴PD DCDC OD=．又PDC ODC∠=∠，CDP ODC∴∆∆∽．23．（10分）如图，在O中，B是O上的一点，120ABC∠=︒，弦23AC=．（1）作ABC∠的角平分线BM交O于点M，连接MA，MC，并求O半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：AB BC BM+=．【解答】解：（1）如图，图形如图所示：连接OA 、OC ，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1， 120ABC ∠=︒，18060AMC ABC ∴∠=︒-∠=︒， 2120AOC AMC ∴∠=∠=︒，1602AOH AOC ∴∠=∠=︒，132AH AC ==， 2sin 60AHOA ∴==︒， 故O 的半径为2．（2）证明：在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠， 60ABM CBM ∴∠=∠=︒， BE BC =，EBC ∴∆是等边三角形， CE CB BE ∴==，60BCE ∠=︒， 60BCD DCE ∴∠+∠=︒， 60ACM ∠=︒， 60ECM DCE ∴∠+∠=︒， ECM BCD ∴∠=∠，60CAM CBM ∠=∠=︒，60ACM ABM ∠=∠=︒， ACM ∴∆是等边三角形， AC CM ∴=，在ACB ∆和MCE ∆中，CA CM ACB MCE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACB MCE SAS ∴∆≅∆，AB ME ∴=，ME EB BM +=，AB BC BM ∴+=．24．（12分）在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a =++<经过点A ，B ． （1）求a ，b 满足的关系式及c 的值．（2）当0x <时，若2(0)y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求实数a 的取值范围． （3）当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-， 故点A 、B 的坐标分别为(2,0)-、(0,2)，则2c =， 则函数表达式为：22y ax bx =++， 将点A 坐标代入上式并整理得：21b a =+；（2）当0x <时，若2(0)y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大， 则函数对称轴02bx a=-，而21b a =+， 即2102a a +-，解得：12a -， 故a 的取值范围为：102a -<； （3）当1a =-时，二次函数表达式为：22y x x =--+，过点P 作直线//l AB ，作//PQ y 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，OA OB =，45BAO PQH ∴∠=∠=︒，11222122PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯=，则1P Q PQ y y =-=，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，则直线m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1， 故：||1P Q y y -=，设点2(,2)P x x x --+，则点(,2)Q x x +， 即：2221x x x --+--=±， 解得：1x =-或12-±故点(1,2)P -或(12-+2)或(12-，2)．25．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与点C 和点A 重合），连接PB ，过点P 作PF PB ⊥交射线DA 于点F ，连接BF ，已知33AD =，3CD =，设CP 的长为x ． （1）线段PB 的最小值为33． （2）如图，当动点P 运动到AC 的中点时，AP 与BF 的交点为G ，FP 的中点为H ，求线段GH 的长度；（3）当点P 在运动的过程中：①试探究FBP ∠是否会发生变化？若不改变，请求出FBP ∠大小；若改变，请说明理由；②当x 为何值时，AFP ∆是等腰三角形？【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形，33AD =，3CD =， 3AB CD ∴==，33BC AD ==，90ABC D ∠=∠=︒，226AC AB BC ∴=+=，当BP AC ⊥时，BP 最小，此时BP 为Rt ABC ∆斜边AC 上的高， 1122ABC S AB BC AC BP ∆∴=⋅=⋅，即3336BP ⨯=⨯， 33BP ∴=， 故答案为：33； （2）如图：P 运动到AC 的中点，6AC =，3AP AB ∴==， Rt ABC ∆中，tan 3BCBAC AB∠==， 60BAC ∴∠=︒，ABP ∴∆是等边三角形，3AB BP ∴==，又90BAF BPF ∠=∠=︒，BF BF =， ()BAF BPF HL ∴∆≅∆，AF PF ∴=，BF ∴是AP 的垂直平分线，G ∴是AP 中点， H 是PF 中点， 12GH AF ∴=， ABP ∆是等边三角形，G 是AP 中点，1302PBF PBA ∴∠=∠=︒， 在Rt PBF ∆中，tan PF PBF BP ∠=， tan303PF ∴︒=得3PF =， 3AF ∴=，3GH ∴=； （3）①FBP ∠不会发生变化，30FBP ∠=︒，理由如下： 过P 作MN AD ⊥于M ，交BC 于N ，如图：MN AD ⊥，四边形ABCD 是矩形， MN BC ∴⊥，3MN AB ==， Rt ABC ∆中，3tan AB ACB BC ∠==， 30ACB ∴∠=︒，Rt CPN ∆中，CP x =， 1sin302PN CP x ∴=⋅︒=，3cos30CN CP =⋅︒=， 333BN BC CN x ∴=-=，132PM MN PN x =-=-， 90BPF ∠=︒，90FPM BPN PBN ∴∠=︒-∠=∠， 而90PMF BNP ∠=∠=︒， PMF BNP ∴∆∆∽，∴133 23332xPF PMBP BNx-===-，在Rt BPF∆中，tanPFFBPBP∠=，3tan FBP∴∠=，30FBP∴∠=︒；②当F在A右侧时，过P作MN AD⊥于M，交BC于N，如图：由①知：PMF BNP∆∆∽，3PFBP=12PN x=，333BN=，132PM x=-，∴3FMPN3FM∴=，23333AF AM FM BN FM x∴=-=-=，Rt PFM∆中，22222311()(3)39623PF FM PM x x x x=+=+-=-+而6AP AC CP x=-=-，AFP∆是等腰三角形，分三种情况：（一)AP AF=，则263333x x-==，解得33x=-，（二)AP PF=，则216393x x x-=-+，解得9x=（大于6，舍去）或92x=（此时0AF=，舍去），（三)AF PF=，则2213333933x x x=-+，解得3x=或6(x P=与A重合，舍去），当F在A左侧时，如图：此时2333AF FM AM =-=- 同理可得33x = 综上所述，AFP ∆是等腰三角形，3x =或33x =。
2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷(一模)(含解析)
2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷(一模)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 复数z =a+i3−4i ∈R ，则实数a 的值是( )A. −34B. 34C. 43D. −432. 已知集合U =R ，函数y =√1−x 的定义域为M ，集合N ={x|x 2−x ≤0}，则下列结论正确的是( )A. M ∩N =NB. M ∩(∁∪N)=⌀C. M ∪N =UD. M ⊆(∁∪N)3. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( )A. x =60tB. x =60t +50tC. x ={60t,(0≤t ≤2.5)150−50t,(t >3.5)D. x ={60t,(0≤t ≤2.5)150,(2.5≤t ≤3.5)150−50(t −3.5),(3.5<t ≤6.5)4. 已知m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为两个非零向量，则“m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ <0”是“m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为钝角”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图所示为某二次函数f(x)的图象，若函数g(x)=f′(x)f(x)，(f′(x)是f(x)的导函数)，则g(x)的图象是( )A.B.C.D.6. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中选出三个数，排成一个三位数．在这个三位数是偶数的条件下，该三位数的三个数字之和为偶数的概率是( )A. 1126B. 1150C. 113D. 9267. 已知直线l 的倾斜角α=30°，则直线l 的斜率k =( )A. √3B. √33C. 12D. √328. 函数y =(1a )x −b 与函数y =log a (x −b)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的顶点为O ，焦点为F ，准线为l.P(x,y)是抛物线C 上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于点Q ，则( )A. |PF|=x +p2B. 线段FQ 的垂直平分线经过点PC. 以为PF 直径的圆与y 轴相切D. 以为PF 直径的圆与准线相切10. 对于函数f(x)={sinx,sinx ≥cosxcosx,sinx <cosx，下列说法中正确的是( )A. f(x)是以2π为最小正周期的周期函数B. 当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，f(x)取得最大值1C. 当且仅当x=2kπ+5π4(k∈Z)时，f(x)取得最小值−√22D. 当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<011.已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则()A. △AEF是正三角形B. 平面AEF⊥平面CGHC. 直线CG与平面AEF所成角的正切值为√2D. 当AB=2时，多面体ABCD−EFGH的体积为8312.已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a4−a2=4.数列{a n}的前n项和为S n，数列{1S n}的前n项和为T n，若T n>99100，则n的可能取值为()A. 98B. 99C. 100D. 101三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.己知a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,1).若2a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角是锐角，则x的取值范围______．14.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元) 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ŷ=b̂x+â，其中b̂=0.76，â=y−−b̂x−，据此估计，该社区一户居民年收入为15万元家庭的年支出为______万元．15.双曲线=1的渐近线方程为________．16.半径为13的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为25π、144π，则两个平行平面间的距离为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角、、所对的边分别为、、，满足．(1)求角；(2)求的取值范围．18.设数列a1，a2，…，a2015满足性质P：a1+a2+a3+⋯+a2015=0，|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a2015|=1．(Ⅰ)(ⅰ)若a1，a2，…，a2015是等差数列，求a n；(ⅰ)是否存在具有性质P的等比数列a1，a2，…，a2015？(Ⅱ)求证：a1+12a2+13a3+⋯+12015a2015≤10072015．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4√5．(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角A−PB−D的余弦值．20.电动车企业生产每台车的利润与车首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种型号电动车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种型号电动车中各随机抽取50台，统计数据如下：型号甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤11<x≤2x>2数量(台)23451445每台利润(元)100200300150180290将频率视为概率．(Ⅰ)从该厂生产的甲、乙两种型号电动车中随机各抽取一台，求至少有一台首次出现故障发生在保修期内的概率；(Ⅱ)若该厂生产的电动车均能售出，记生产一台甲型号的车利润为X1，生产一台乙型号的车利润为X2，若该厂预计今后这两种型号电动车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种型号的电动车？并说明理由．21. 已知圆F ：x 2+(y −1)2=1，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切，与定圆F 相外切．(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点M(0,2)的直线交曲线C 于A ，B ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的方程． 22. 设函数，其中．(1)当时，求在曲线上一点处的切线方程；(2)求函数的极值点。
2021年广东省广州市增城区中考一模数学试题(含答案解析)
侧面积．
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆柱的侧面积计算公式，关键是得到该几何体的形状．
15．
【分析】
以点 为圆心， 长度为半径作圆，连接 ，当点 在线段 上时， 的长取最小值，根据折叠的性质可知 ，在 中利用勾股定理可求出 的长度，用 即可求出结论．
【详解】
解：如图，以点 为圆心， 长度为半径作圆，连接 ，当点 在线段 上时， 的长取最小值，
一、单选题
1．下列四个实数中，是无理数的为（）
A．0B． C．﹣1D．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
4．判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）
A．8，10，7B．2，3，4C．2，1，5D． ，1，
5．如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC等于（ ）
【详解】
解：y=mx2+（1-4m）x+1-5m=（x2-4x-5）m+x+1，
令x2-4x-5=0，解得x=-1或x=5，
当x=-1时，y=0；
当x=5时，y=6；
∴非坐标轴上的点P的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【点睛】
本题主要考查二次函数过定点问题，把解析式进行合适的变形是解题关键．
【详解】
解：∵直线y=x+2m经过第一，三、四象限，
∴2m＜0，
又由抛物线y=x2+2x+1-m的解析式可知，△=22-4（1-m）=4m＜0，
∴抛物线与x轴无交点．
故选：A．
【点睛】
2021年广东省广州市天河区中考数学一模试卷含答案
2021年广东省广州市天河区中考数学一模试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1．（3分）2021的相反数是（）A．﹣2021B．2021C．D．﹣2．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线3．（3分）人民网北京2021年1月7日电，截至1月3日6时，我国首次火星探测任务天问一号火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．数据830万公里用科学记数法表示为（）A．8.3×106公里B．8.3×105公里C．8.3×104公里D．0.83×106公里4．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法判断点P与⊙O的位置关系5．（3分）下列运算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．5a﹣a＝5C．+＝1D．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b36．（3分）若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（）A．c＝10B．c＝5C．c＝﹣5D．c＝47．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣5B．5C．﹣5和5D．无法确定8．（3分）已知a＝﹣1，b＝+1，则a2+b2的值为（）A．8B．1C．6D．49．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．10．（3分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连接OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A．r B．（1+）r C．（1+）r D．r二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分。
2021届广州一模数学试题(含答案解析)
秘密★启用前试卷类型：A2021年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学2021.03.16本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i z i−=−在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{(1)(2)0}A x x x =−+<∣，则R A = （）A ．{21}x x −<<∣B ．{12}x x −<<∣C ．{2x x −∣ 或1}xD ．{1x x −∣ 或2}x3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m ，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m /s ，若从发出至回收到声波所用时间为6s ，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A ．2900mB ．4350mC ．5800mD ．8700m4．1a b >+是22a b>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数3()sin f x x x =−在[1,1]−上的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A ．30B ．40C ．44D ．707．已知(1,0),(0,2)A B −，直线:2230l x ay a −++=上存在点P ，满足||||PA PB +，则l 的倾斜角的取值范围是（）A ．2,33ππB ．20,,33πππ ∪C ．3,44ππD ．30,,44πππ ∪8．已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设132,,ln 2e e a b c −=−，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知点O 为坐标原点，直线1y x =−与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，则（）A ．||8AB =B ．OA OB ⊥C ．AOB V 的面积为D ．线段AB 的中点到直线0x =的距离为210．已知函数2()sin 22cos f x x x =+，则（）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的图像关于直线8x π=对称C ．()f x 的图像关于点,18π − 对称D ．()f x 在,44ππ −上单调递增 1l ．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且1EF =，点Q 是棱11A D 的中点，点P 是棱11C D 上的动点，则下面结论中正确的是（）A ．PQ 与EF 一定不垂直B ．二面角P EF Q −−的正弦值是C ．PEF V 的面积是D ．点P 到平面QEF 的距离是常量12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N 次得到数列1，123,,,,k x x x x L ，2；…记1212n k a x x x =+++++L ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A ．12n k +=B ．133n n a a +=−C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+− 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(1,),(2,1)a m b =r r ，且(2)7b a b ⋅+=r r r ，则m =__________． 14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如下表： 零件数x （个）10 20 30 40 50 加工时间(min)y 62 a75 81 89 若用最小二乘法求得回归直线方程为$0.6754.9y x +，则a 的值为___________．15．已知圆22(1)4x y −+=与双曲线2222:1x y C a b −=的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为,,,M N P Q ，且||2||MN PQ =，则C 的离心率为_______．16．已知三棱锥P ABC −的底面ABC 是边长为6的等边三角形，PA PB PC ===，先在三棱锥P ABC −内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥P ABC −的三个侧面都相切，则球1O 的体积为________，球2O 的表面积为__________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,cos 2cos()b B A C =+，sin sin 6sin a A c C B +=．（1）求B ；（2）求ABC V 的周长．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差20,d a ≠是15,a a 的等比中项，525S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n n b b S ++=，求220b b −．19．（12分） 在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=°，点E 是边AB 的中点（如图1），将ADE V 沿DE 折起到1A DE V 的位置，连接11,A B A C ，得到四棱锥1A BCDE −（如图2）．（1）证明：平面1A BE ⊥平面BCDE ；（2）若1A E BE ⊥，连接CE ，求直线CE 与平面1A CD 所成角的正弦值．20．（12分）某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A 区投篮也可以选择在B 区投篮，在A 区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B 区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为23和12，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A 区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A 区投3个球且在B 区投2个球，求甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．21．（12分）已知点(1,0)A ，点B 是圆221:(1)16O x y ++=上的动点，线段AB 的垂直平分线与1BO 相交于点C ，点C的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程（2）过点1O 作倾斜角互补的两条直线12,l l ，若直线1l 与曲线E 交于,M N 两点，直线2l 与圆1O 交于,P Q两点，当,,,M N P Q 四点构成四边形，且四边形 MPNQ 的面积为1l 的方程．22．（12分）已知函数2()ln ()f x x x ax x a =−+∈R ．（1）证明：曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 恒过定点；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >4e>．。
2021年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷(学生版+解析版)
2021年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）1．（3分）数轴上点A 表示的数是2-，将点A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点B ，则点B 表示的数是( ) A ．7-B ．7C ．3-D ．32．（3分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：C)︒如下：20、21、22、22、24、25、27．则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是( ) A ．22，24B ．24，24C ．22，22D ．25，223．（3分）下列运算正确的是( ) A ．3412x x x ⋅=B ．326(2)4x x -=C ．222()a b a b -=-D ．2122x y xy x÷= 4．（3分）在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比为() A ．16B ．14 C ．13D ．125．（3分）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x 万支疫苗，则可列方程为( ) A ．32032031.25x x =- B ．3205320531.25x xx x --=-C ．32032031.25x x=+ D ．3205320531.25x xx x--=+ 6．（3分）清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程y （千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图象．汽车行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了()千米．A ．120B ．130C ．140D ．1507．（3分）正n 边形的边长为a ，那么它的半径为( )A ．360sinan︒B ．180sinan︒ C ．1802sinan︒ D ．3602sinan︒ 8．（3分）已知二次函数2y x bx c =-++的顶点为(1,5)，那么关于x 的一元二次方程240x bx c -++-=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定9．（3分）P 与x 轴相交于(1,0)A 、(4,0)B ，与y 轴相切于点(0,2)C ，则P 的半径是() A ．2.5B ．3C ．3.5D ．510．（3分）如图，函数2y ax bx c =++经过点(3,0)，对称轴为直线1x =，下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；③930a b c -+=；④50a b c ++=；⑤若点1(1,)A a y +、2(2,)B a y +在抛物线上，则120y y -<．其中结论的正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）已知x 4x-有意义时，x 可取 （只需填满足条件的一个自然数）．12．（3分）点C 在AOB ∠的平分线上，CM OB ⊥，13OC =，5OM =，则点C 到射线OA 的距离为 ．13．（3分）分解因式：324x xy -= ．14．（3分）如图，已知坐标原点O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，顶点A 的横坐标为4，AD 平行x 轴，且AD 长为5．若平行四边形面积为10，则顶点B 的坐标为 ．15．（3分）将长为20cm 的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为2()y cm ，扇形半径为()x cm ，且010x <<，则y 与x 的函数关系式为 ．16．（3分）如图，90A ∠=︒，5AB =，12AC =，点D 为动点，连接BD 、CD ，BDC ∠始终保持为90︒，线段AC 、BD 相交于点E ，则DEBE的最大值为 ．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（4分）解方程组：33311x y x y -=-⎧⎨+=⎩．18．（4分）如图，已知菱形ABCD ，点E 和点F 分别在BC 、CD 上，且BE DF =，连接AE ，AF ．求证：BAE DAF ∠=∠．19．（6分）已知22244()a a a T a a a--=÷-． （1）化简T ；（22444a a ++，求T 的值．20．（6分）广州市各校学生都积极参加志愿者活动，某校为了解九年级学生一学期参加志愿者活动时间（单位：)h 的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分布表．组别志愿时间（小时）频数频率A 组 05t < 20.05 B 组510t < m0.125 C 组1015t < 10 0.25 D 组 1520t < 11 0.275E 组2025t < 8 nF 组25t40.1解答下列问题：（1）频数分布表中m = ；n = ；（2）若该校九年级共有学生400人，试估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于20h 的人数为 ；（3）在F 组的学生中，只有1名是女同学，其余都是男同学，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生志愿者积极分子”分享活动，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．21．（8分）如图，花城广场对岸有广州塔AB ，小明同学站在花城广场的C 处看塔顶点A 的仰角为32︒，向塔前进360米到达点D ，在D 处看塔顶A 的仰角为45︒． （1）求广州塔AB 的高度(sin320.530︒≈，cos320.848︒≈，tan320.625)︒≈；（2）一架无人机从广州塔顶点A 出发，沿水平方向AF 飞行300米到A '处，求此时从A '处看点D 的俯角的正切值．22．（10分）如图，在ABC ∆中，AC BC =，18AB =，1tan 3A ∠=，点E 在AB 上且8BE =，直线l 垂直于AB ，垂足为点D ．（1）尺规作图：以AC 为直径作O ，与AB 交于点F （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：CE 是O 的切线；（3）若O 与直线l 相交于点M 、(N M 在N 的上方），若2NA =，求MF 的长．23．（10分）在平面直角坐标系中，直线1:l y x b =-+与y 轴交于点(0,2)，且与双曲线(0)ky kx=≠有交点．（1）求b 的值和k 的取值范围；（2）直线1l 绕点(1,1)顺时针旋转90︒得到直线2l ，请直接写出直线2l 的解析式；（3）在（2）的条件下，直线2l 与双曲线的交点为点P ，且点P 的横坐标为1．点A 、B 在直线2l 上，点A 的纵坐标为2，B 的纵坐标为14()25m m ，过A 、B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线于点C 、D ，连接CO 、DO ，记BOD ∆、AOC ∆的面积分别为1S 、2S ，若12St S =，求t 的取值范围．24．（12分）如图，等边三角形ABE ∆和矩形ABCD 有共同的外接圆O ，且30AB =． （1）求证：120CED ∠=︒；（2）在劣弧AB 上有动点F ，连接DF 、CF 、BF ，DF 分别交AE 、AB 于点M 、P ，CF 交BE 于点N ．①设MNF ∆与CDF ∆的周长分别为1C 和2C ，试判断21C C -的值是否发生变化，若不变则求出该值；若变化请说明理由； ②若53PN =，求BF 的长．25．（12分）如图，已知抛物线2y x bx c =++过点(1,0)A 、点(5,0)B -，点P 是抛物线上x 轴下方的一个动点，连接PA ，过点A 作AQ PA ⊥交抛物线于点Q ，作直线PQ ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P的坐标为(3,8)--，求点Q的坐标；（3）判断在点P运动过程中，直线PQ是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标；若不存在，请说明理由．2021年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）1．（3分）数轴上点A 表示的数是2-，将点A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点B ，则点B 表示的数是( ) A ．7- B ．7 C ．3- D ．3【考点】数轴【解答】解：A 表示的数是2-，将点A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点B ，∴点B 表示的数是253-+=，故选：D ．【点评】本题考查数轴上点表示的数，掌握向右平移后表示的数变大时解题的关键． 2．（3分）我市四月份某一周每天的最高气温（单位：C)︒如下：20、21、22、22、24、25、27．则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是( ) A ．22，24 B ．24，24 C ．22，22 D ．25，22【考点】中位数；众数【解答】解：22出现了2次，出现的次数最多， 则众数是22；把这组数据从小到大排列20、21、22、22、24、25、27，最中间的数是22， 则中位数是22； 故选：C ．【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．3．（3分）下列运算正确的是( ) A ．3412x x x ⋅=B ．326(2)4x x -=C ．222()a b a b -=-D ．2122x y xy x÷= 【考点】分式的乘除法；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法 【解答】解：A ．347x x x ⋅=，不符合题意；B ．322326(2)(2)()4x x x -=-=，符合题意；C ．222()2a b a ab b -=-+，不符合题意；D ．2231222x y x y x x y x÷=⋅=，不符合题意． 故选：B ．【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，分式的除法，考核学生的计算能力，关键是牢记公式．4．（3分）在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比为() A ．16B ．14 C ．13D ．12【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质【解答】解：由题意得DE 为ABC ∆的中位线，那么//DE BC ，:1:2DE BC =． ADE ABC ∴∆∆∽ADE ∴∆与ABC ∆的周长之比为1:2， ADE ∴∆与ABC ∆的面积之比为1:4，即14． 故选：B ．【点评】此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．是解决此题关键．5．（3分）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x 万支疫苗，则可列方程为( ) A ．32032031.25x x =- B ．3205320531.25x xx x --=-C ．32032031.25x x=+ D ．3205320531.25x xx x--=+ 【考点】由实际问题抽象出分式方程【解答】解：原计划每天生产x 万支疫苗，五天后以原来速度的1.25倍生产，∴五天后每天生产1.25x 万支疫苗，依题意，得：3205320531.25x xx x--=+． 故选：D ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．（3分）清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程y （千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图象．汽车行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了()千米．A ．120B ．130C ．140D ．150【考点】函数的图象 【解答】解：如图所示：设AB 段的函数解析式是y kx b =+， y kx b =+的图象过(0.5,20)A ，(1.5,100)B ，∴0.5201.5100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得8020k b =⎧⎨=-⎩，AB ∴段函数的解析式是8020y x =-，汽车行驶2小时到达目的地， 80220140y ∴=⨯-=（千米）， 即这时汽车行驶了140千米． 故选：C ．【点评】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，求函数的值． 7．（3分）正n 边形的边长为a ，那么它的半径为( ) A ．360sinan︒ B ．180sinan︒ C ．1802sinan︒ D ．3602sinan︒ 【考点】解直角三角形；正多边形和圆【解答】解：设AB 是正多边形的一条边，过点O 作OC AB ⊥于点C ．则180 AOCn︒∠=，在直角AOC∆中，sinACAOCOA∠=，180sin sinAC OA AOC Rn︒∴=⋅∠=⋅，1802sinaRn∴=︒，故选：C．【点评】此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．（3分）已知二次函数2y x bx c=-++的顶点为(1,5)，那么关于x的一元二次方程240x bx c-++-=的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】根的判别式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点【解答】解：设抛物线的表达式为2()y a x h k=-+，则22(1)524y x x x=--+=-++，则240x bx c-++-=化为220x x-+=，解得0x=或2，故选：A．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到一元二次方程的求解，确定抛物线的表达式是解题的关键．9．（3分）P与x轴相交于(1,0)A、(4,0)B，与y轴相切于点(0,2)C，则P的半径是( )A．2.5B．3C．3.5D．5【考点】切线的性质；垂径定理；坐标与图形性质【解答】解：过点P 作PD AB ⊥于D ，连接PA 、PC ，P 与y 轴相切于点C ，PC y ∴⊥轴，∴四边形CODP 为矩形，2PD OC ∴==，(1,0)A 、(4,0)B ， 3AB ∴=，PD AB ⊥，1322AD AB ∴==， P ∴的半径222.5PD AD =+=，故选：A ．【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10．（3分）如图，函数2y ax bx c =++经过点(3,0)，对称轴为直线1x =，下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；③930a b c -+=；④50a b c ++=；⑤若点1(1,)A a y +、2(2,)B a y +在抛物线上，则120y y -<．其中结论的正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点 【解答】解：①抛物线与x 轴有两个交点，∴△0>，240b ac ∴->，∴①正确；②抛物线开口向上， 0a ∴>，抛物线对称轴在y 轴右侧， b ∴与a 异号，即0b <，抛物线与y 轴交点在x 轴下方， 0c ∴<， 0abc ∴>，∴②正确；③抛物线对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)-，抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 增大而减小，∴当3x =-时，0y >，930a b c ∴-+>，∴③错误；④抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)， 930a b c ∴++=，抛物线对称轴为1x =， 12ba∴-=， 2b a ∴=-， 50a b c ∴++=，∴④正确；⑤0a >， 112a a ∴<+<+，抛物线对称轴为1x =，抛物线开口向上，在对称轴右侧y 随x 增大而增大， 12y y ∴<， 120y y ∴-<，∴⑤正确；综上所述，①②④⑤正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）有意义时，x可取2（答案不唯一）．（只11．（3分）已知x为自然数，代数式-4x需填满足条件的一个自然数）．【考点】二次根式有意义的条件【解答】解：由题意得：40x->，解得：4x<，∴可取2（答案不唯一）．x故答案为：2（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．12．（3分）点C在AOBOC=，5OM=，则点C到射线OA⊥，13∠的平分线上，CM OB的距离为12．【考点】角平分线的性质【解答】解：过C作CF AO⊥于F，⊥，OC为AOB∠的平分线，CM OB∴=，CM CFOM=，13OC=，52212∴=-=，CM OC OM∴=，12CF故答案为：12．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．13．（3分）分解因式：324x xy -= (2)(2)x x y x y +- ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解答】解：原式22(4)(2)(2)x x y x x y x y =-=+-， 故答案为：(2)(2)x x y x y +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）如图，已知坐标原点O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，顶点A 的横坐标为4，AD 平行x 轴，且AD 长为5．若平行四边形面积为10，则顶点B 的坐标为 (1,1)- ．【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质【解答】解：如图，连接BD ，设AD 与y 轴交于点M ，点A 的横坐标为4，AD 平行x 轴，且AD 长为5．∴点D 的横坐标为1-，平行四边形ABCD 的面积为10，∴111024AD OM ⨯⨯=⨯， 1OM ∴=，∴点(1,1)D -，四边形ABCD 是平行四边形， BO DO ∴=，∴点(1,1)B -，故答案为：(1,1)-．【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，求出点D 坐标是本题的关键． 15．（3分）将长为20cm 的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为2()y cm ，扇形半径为()x cm ，且010x <<，则y 与x 的函数关系式为 210y x x =-+ ． 【考点】扇形面积的计算；函数关系式【解答】解：由题意扇形的面积21(202)102y x x x x =⋅⋅-=-+．故答案为：210y x x =-+．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．（3分）如图，90A ∠=︒，5AB =，12AC =，点D 为动点，连接BD 、CD ，BDC ∠始终保持为90︒，线段AC 、BD 相交于点E ，则DE BE 的最大值为 45．【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质 【解答】解：90A ∠=︒，5AB =，12AC =，222251213BC AB AC ∴=+=+=， 设AE x =，则12CE x =-，22222525BE AB AE x x ∴=+=++ 90BDC A ∠=∠=︒，CED BEA ∠=∠， CED BEA ∴∆∆∽，∴AE DEBE CE =21225DE x x =-+， 225DE x ∴+， ∴2(12)25DE x x BE x -=+，令DEk BE=，2(25)(12)k x x x ∴+=-，整理，得：2(1)12250k x x k +-+=，△2(12)4(1)250k k =--⨯+⨯， 22525360k k ∴+-，令22525360k k +-=， 解得：145k =，295k =-， 根据二次函数2252536z k k =+-的性质可知：当0z 时，9455k-， ∴DE BE 的最大值为45． 另解：如图：BDC ∠始终保持为90︒，线段AC 、BD 相交于点E ，∴点D 在以BC 为直径的圆的劣弧AC 上运动，过点D 作DF AC ⊥于F ， 90DFE BAC ∴∠=∠=︒，DEF BEA ∠=∠， DEF BEA ∴∆∆∽，∴5DE DF DFBE AB ==， ∴当DF 最大时，DEBE的值最大， 当D 运动到劣弧AC 的中点D '处时，DF 最大，连接OD '交AC 于F '，则OD AC '⊥，且F '为AC 的中点， 1522OF AB ∴'==， 135422D F OD OF ∴''='-'=-=， ∴45DE D F BE AB ''==， ∴DE BE 的最大值为45． 故答案为：45．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质、根的判别式及二次函数的性质．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解方程组：33 311x yx y-=-⎧⎨+=⎩．【考点】解二元一次方程组【解答】解：33311x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②，给②式两边同时乘以3，得9333x y+=③，②+③得，1030x=，解得3x=，把3x=代入②式中，得911y+=，解得2y=，所以方程组得解为32xy=⎧⎨=⎩．【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练应用二元一次方程组的解法进行求解是解决本题的关键．18．（4分）如图，已知菱形ABCD，点E和点F分别在BC、CD上，且BE DF=，连接AE，AF．求证：BAE DAF∠=∠．【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质 【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，B D ∠=∠，在ABE ∆和ADF ∆中， AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE ADF SAS ∴∆≅∆，BAE DAF ∴∠=∠．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．19．（6分）已知22244()a a a T a a a--=÷-．（1）化简T ；（22444a a ++，求T 的值．【考点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简【解答】解：（1）22(2)44()a a a a T a a a--=÷-2244a a a a a --+=÷22(2)a aa a -=⋅- 12a =-； （2）2444a a ++=，24416a a ∴++=， 24120a a ∴+-=，解得2a =或6a =-， 0a ≠且2a ≠，6a ∴=-，则原式18=-．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20．（6分）广州市各校学生都积极参加志愿者活动，某校为了解九年级学生一学期参加志愿者活动时间（单位：)h 的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分布表．10t < 1015t < 1520t < 2025t < 25t解答下列问题：（1）频数分布表中m = 5 ；n = ；（2）若该校九年级共有学生400人，试估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于20h 的人数为 ；（3）在F 组的学生中，只有1名是女同学，其余都是男同学，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生志愿者积极分子”分享活动，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率)分布表 【解答】解：（1）被调查的总人数为20.0540÷=（人)， 400.1255m ∴=⨯=，8400.2n =÷=，故答案为：5、0.2；（2）估计该校九年级学生一学期课外志愿时间不少于20h 的人数为400(0.20.1)120⨯+=（人)，故答案为：120人； （3）列表如下：男男男女男（男，男）（男，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）男（男，男）（男，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（男，女）由表知，共有12种等可能结果，其中所选学生为1男1女的有6种结果，所以所选学生为1男1女的概率为61 122=．【点评】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数（率)分布表，解决本题的关键是掌握概率公式．21．（8分）如图，花城广场对岸有广州塔AB，小明同学站在花城广场的C处看塔顶点A的仰角为32︒，向塔前进360米到达点D，在D处看塔顶A的仰角为45︒．（1）求广州塔AB的高度(sin320.530︒≈，cos320.848︒≈，tan320.625)︒≈；（2）一架无人机从广州塔顶点A出发，沿水平方向AF飞行300米到A'处，求此时从A'处看点D的俯角的正切值．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解答】解：（1）设广州塔AB的高度为x米，45ADB∠=︒，45DAB∴∠=︒，ADB DAB∴∠=∠，BD AB x∴==，360BC x∴=+，32ACB∠=︒，tanAB ACBBC∠=，∴0.625360xx≈+，解得，600x ≈（米)，答：广州塔AB 的高度约为600米； （2）过D 作DH AF ⊥于H ， 则四边形ABDH 是正方形，600AH HD AB ∴===米，90AHD ∠=︒， 300AA '=，300A H AH AA ∴'=-'=，600tan 2300HD DA H A H ∴∠'==='， 答：此时从A '处看点D 的俯角的正切值为2．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，解题的关键是熟练掌握仰角俯角的概念以及三角函数的定义．22．（10分）如图，在ABC ∆中，AC BC =，18AB =，1tan 3A ∠=，点E 在AB 上且8BE =，直线l 垂直于AB ，垂足为点D ．（1）尺规作图：以AC 为直径作O ，与AB 交于点F （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：CE 是O 的切线；（3）若O 与直线l 相交于点M 、(N M 在N 的上方），若2NA =，求MF 的长．【考点】圆的综合题【解答】解：（1）如图1所示，O 即为所作的圆；（2）如图2，连接CF ， AC 是O 的直径， 90AFC ∴∠=︒， AC BC =，18AB =， 9AF BF ∴==，1tan 3A ∠=， ∴13CF AF =， 119333CF AF ∴==⨯=，AC ∴=，∴AC AF ==8BE =，18810AE AB BE ∴=-=-=，∴AE AC == ∴AC AEAF AC =， CAF EAC ∠=∠，CAF EAC ∴∆∆∽， 90ACE AFC ∴∠=∠=︒， CE ∴是O 的切线；（3）如图3，连接CF ，CN ，由（2）知：90AFC ∠=︒，AC = AC 是O 的直径， 90ANC ∴∠=︒，2NA =，CN ∴ MN AB ⊥，90ADM AFC ∴∠=︒=∠， //MN CF ∴，FMN CFM ∴∠=∠，∴FN CM =，∴FN CF CM CF +=+，即CFN FCM =，86MFCN ∴==．【点评】本题考查了线段中点和圆的作图，圆的性质，解直角三角形，等腰三角形性质，勾股定理，切线的判定等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． 23．（10分）在平面直角坐标系中，直线1:l y x b =-+与y 轴交于点(0,2)，且与双曲线(0)ky k x=≠有交点．（1）求b 的值和k 的取值范围；（2）直线1l 绕点(1,1)顺时针旋转90︒得到直线2l ，请直接写出直线2l 的解析式；（3）在（2）的条件下，直线2l 与双曲线的交点为点P ，且点P 的横坐标为1．点A 、B 在直线2l 上，点A 的纵坐标为2，B 的纵坐标为14()25m m ，过A 、B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线于点C 、D ，连接CO 、DO ，记BOD ∆、AOC ∆的面积分别为1S 、2S ，若12St S =，求t 的取值范围．【考点】反比例函数综合题【解答】解：（1）将点(0,2)的坐标代入y x b =-+得：20b =+， 解得2b =，故直线1l 的表达式为2y x =-+，当0k <时，反比例函数在二、四象限，则两个函数必然相交； 当0k >时，如下图，联立两个函数表达式并整理得：220x x k --=，∴△440k =+，解得1k-，故01k <-，综上，k 的取值范围为0k <或01k <-；（2）由直线1l 的表达式知，点(1,1)在改直线上，并且该点为1l 在第一象限内线段的中点， 而直线1l 和x 轴负半轴的夹角为45︒，直线1l 绕点(1,1)顺时针旋转90︒得到直线2l ，则直线2l 为一、三象限角平分线， 故2l 的表达式为y x =；（3）当1x =时，1y x ==，故点P 的坐标为(1,1)， 将点P 的坐标代入反比例函数表达式得：1k =， 故反比例函数表达式为1y x=， 点A 的纵坐标为2，B 的纵坐标为m ，这两点都在直线2l 上，故点(,)B m m ，点(2,2)A ， 则点C 、D 的坐标分别为1(2,)2、1(m ，)m ，1425m，则点B 在点P 的下方， 则211111()(1)222B S BD y m m m m =⨯⨯=⨯-⨯=-，同理可得23 2S=，∴2121(1)3St mS==-，1425m，∴31254t．【点评】本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、二次函数最值问题、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．24．（12分）如图，等边三角形ABE∆和矩形ABCD有共同的外接圆O，且30AB=．（1）求证：120CED∠=︒；（2）在劣弧AB上有动点F，连接DF、CF、BF，DF分别交AE、AB于点M、P，CF 交BE于点N．①设MNF∆与CDF∆的周长分别为1C和2C，试判断21C C-的值是否发生变化，若不变则求出该值；若变化请说明理由；②若53PN=，求BF的长．【考点】圆的综合题【解答】解：（1）证明：连接OD、OE、OC，如图：等边三角形ABE∆和矩形ABCD，90DAB CBA ∴∠=∠=︒，60EAB EBA ∠=∠=︒，30DAE DAB EAB ∴∠=∠-∠=︒，30CBE CBA EBA ∠=∠-∠=︒， 60DOE EOC ∴∠=∠=︒， OD OE OC ==，DOE ∴∆和EOC ∆都是等边三角形， 60DEO CEO ∴∠=∠=︒，120CED DEO CEO ∴∠=∠+∠=︒；（2）①21C C -的值为30，不变，理由如下： 连接AC 、BD ，OM 、ON ，如图：90DAB CBA ∠=∠=︒，BD ∴和AC 是直径，120DEC ∠=︒，60AEB ∠=︒， 60DEA CEB ∴∠+∠=︒， AD BC =，30DEA CEB ∴∠=∠=︒，而60DEO CEO ∠=∠=︒，30CBE ∠=︒，30DEA OEA CEB OEB ∴∠=∠=∠=∠=︒，180120ECB CEB CBE ∠=︒-∠-∠=︒， 60ACB ECB ECO ∴∠=∠-∠=︒， DOE ∆和EOC ∆都是等边三角形， CE OE DE ∴==，在CEN ∆和OEN ∆中， CE OE CEB OEB EN EN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CEN OEN SAS ∴∆≅∆， CN ON ∴=， CON OCN ∴∠=∠，同理DM OM =，ODM DOM ∠=∠， ODM BCF ∠=∠，60CON DOM OCN ODM OCN BCF ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，而60DOE EOC ∠=∠=︒，180DOE EOC CON DOM ∴∠+∠+∠+∠=︒，M ∴、O 、N 共线，CN DM MN ∴+=，21()()C C FC CD DF FN MN MF ∴-=++-++()()FN CN CD DM MF FN MN MF =++++-++ CD =，矩形ABCD ，30AB =， 30CD AB ∴==， 2130C C ∴-=；②如图：120DEC ∠=︒， 60DFC ABE ∴∠=︒=∠， N ∴、P 、F 、B 共圆， 90DFB DAB ∠=∠=︒， 90PNB ∴∠=︒，60PBN ∠=︒，53PN =， 10BP ∴=， 30AB =， 20AP ∴=，30DAE DEA ∠=∠=︒， AD DE OD OA ∴===， 60ADO ∴∠=︒，在Rt ABD ∆中，30AB =， 103tan 60ABAD ∴==︒22107DP AP AD ∴=+， 21sin AD APD DP ∴∠=， 21sin 7BPF ∴∠=， BD 为直径，90BFP ∴∠=︒， Rt BPF ∆中，sin BFBPF BP∠=， ∴2110BF=， 1021BF ∴=． 【点评】本题考查圆、矩形、等边三角形等综合知识，题目难度较大，解题的关键是熟练运用圆、矩形、等边三角形的性质．25．（12分）如图，已知抛物线2y x bx c =++过点(1,0)A 、点(5,0)B -，点P 是抛物线上x 轴下方的一个动点，连接PA ，过点A 作AQ PA ⊥交抛物线于点Q ，作直线PQ ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的坐标为(3,8)--，求点Q 的坐标；（3）判断在点P 运动过程中，直线PQ 是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++过点(1,0)A 、点(5,0)B -， ∴102550b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得：45b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：245y x x =+-；（2）如图，设2(,45)Q m m m +-，过点P 作PE AB ⊥于点E ，过点Q 作QF AB ⊥于点F ，90AEP AFQ ∴∠=∠=︒，245QF m m =+-，1AF m =-，点P 的坐标为(3,8)--， 8PE ∴=，4AE =，AQ PA ⊥， 90PAQ ∴∠=︒， 90PAE QAF ∴∠+∠=︒， 90QAF AQF ∠+∠=︒， PAE AQF ∴∠=∠， PAE AQF ∴∆∆∽，∴QF AEAF PE=，即：245418m m m +-=-， 解得：11m =（舍去），2112m =-，当112m =-时，11131()22AF =--=， 11313224QF ∴=⨯=，11(2Q ∴-，13)4； （3）点P 运动过程中，直线PQ 恒过定点(5,1)-．设直线PQ 解析式为y px q =+，(P P x ，)P y ，(Q Q x ，)Q y ，(P P x ，)P y ，(Q Q x ，)Q y 是直线PQ 与抛物线245y x x =+-的交点，245x x px q ∴+-=+，即2(4)50x p x q +---=， 4P Q x x p ∴+=-，5P Q x x q =--，如图，过点P 作PE AB ⊥于点E ，过点Q 作QF AB ⊥于点F ， 则1P AE x =-，P PE y =-，1Q AF x =-，Q QF y =， P P y px q =+，Q Q y px q =+，PAE AQF ∆∆∽，∴QF AEAF PE=，即：11Q P Q P y x x y -=--，第31页（共31页）(1)(1)P Q P Q x x y y ∴--=-，()()P Q px q px q =-++，221()[()]P Q P Q P Q P Q x x x x p x x pq x x q ∴-++=-+++，221(1)()(1)()0P Q P Q pq x x p x x q ∴+-++++=，221(1)(4)(1)(5)0pq p p q q ∴+--++--+=，()(51)0p q q p ∴+--=，0p q +≠，510q p ∴--=，51q p ∴=+，∴直线PQ 的解析式为51y px p =++，当5x =-时，5511y p p =-++=，∴直线PQ 恒过点(5,1)-，故点P 运动过程中，直线PQ 恒过定点(5,1)-．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，解题关键是熟练掌握相关知识，合理添加辅助线构造相似三角形，并灵活运用方程思想解决问题．。
2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷(有答案)
2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．2 C．﹣0.5 D．﹣22．（3分）下列各种图形中，可以比较大小的是（）A．两条射线B．两条直线C．直线与射线 D．两条线段3．（3分）下列代数式中，是4次单项式的为（）A．4abc B．﹣2πx2y C．xyz2D．x4+y4+z44．（3分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（）A．7，8 B．7，6 C．6，7 D．7，45．（3分）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+4=0 D．﹣x2+3=06．（3分）平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交D．以上都不对7．（3分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是93分，其中数学97分，化学89分，那么物理成绩是（）A．91分B．92分C．93分D．94分8．（3分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（）A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对9．（3分）在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y 1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞D．m＜10．（3分）如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（）A．B．C．tanαD．1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED= °．12．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形．13．（3分）若a3•a m=a9，则m= ．14．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，AD=DB，CD=4，则AB= ．15．（3分）化简： = ．16．（3分）如图，点C、D在线段AB上，且CD是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP时（P与A、B与P分别为对应顶点），∠APB= °．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）解方程组：．18．（9分）AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=DF．求证：△ACE≌△ACF．19．（10分）在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为1，2，3，4．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为x，再从剩下的三张中随机取出一张，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；（2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率．20．（10分）如图，一条直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（m≠0）位于第二象限的一支于C点，OA=OB=2．（1）m= ；（2）求直线所对应的一次函数的解析式；（3）根据（1）所填m的值，直接写出分解因式a2+ma+7的结果．21．（12分）如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD=∠CDA，E为AB边的中点．（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？（3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．22．（12分）我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约11025千米．同样的货物，若用轮船运输，水路路程是铁路路程的1.6倍，水路所用天数是铁路所用天数的3倍，列车平均日速（平均每日行驶的千米数）是轮船平均日速的2倍少49千米．分别求出列车及轮船的平均日速．23．（12分）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且=2，OA=4．（1）∠COD= °；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）24．（14分）二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=﹣和直线y=x+m的交点．（1）若直线y=x+m过点D（0，﹣3），求M点的坐标及二次函数y=x2+px+q的解析式；（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x2+px+q的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=﹣上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．25．（14分）已知，如图，△ABC的三条边BC=a，CA=b，AB=c，D为△ABC内一点，且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w．（1）若∠CBD=18°，则∠BCD= °；（2）将△ACD绕点A顺时针方向旋转90°到△AC'D'，画出△AC'D'，若∠CAD=20°，求∠CAD'度数；（3）试画出符合下列条件的正三角形：M为正三角形内的一点，M到正三角形三个顶点的距离分别为a、b、c，且正三角形的边长为u+v+w，并给予证明．2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．2 C．﹣0.5 D．﹣2【解答】解：﹣的相反数是，故选：A．2．（3分）下列各种图形中，可以比较大小的是（）A．两条射线B．两条直线C．直线与射线 D．两条线段【解答】解：A、射线没有长度，无法比较，故此选项错误；B、直线没有长度，无法比较，故此选项错误；C、直线与射线没有长度，无法比较，故此选项错误；D、两条线段可以比较大小．故选：D．3．（3分）下列代数式中，是4次单项式的为（）A．4abc B．﹣2πx2y C．xyz2D．x4+y4+z4【解答】解：xyz2是4次单项式，故选C．4．（3分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（）A．7，8 B．7，6 C．6，7 D．7，4【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2、4、5、6、7、7、8，则众数为：7，中位数为：6．故选：B．5．（3分）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A．x2﹣1=0 B．x2=0 C．x2+4=0 D．﹣x2+3=0【解答】解：A、方程x2﹣1=0的解为x=±1；B、方程x2=0的解为x=0；C、由方程x2+4=0可得x2=﹣4，方程无解；D、方程﹣x2+3=0的解为x=±，故选：C．6．（3分）平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交D．以上都不对【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥b，故选B．7．（3分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是93分，其中数学97分，化学89分，那么物理成绩是（）A．91分B．92分C．93分D．94分【解答】解：物理成绩是：93×3﹣97﹣89=93（分）．故选：C．8．（3分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（）A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对【解答】解：∵∠1=26°，∠DOF与∠1是对顶角，∴∠DOF=∠1=26°，又∵∠DOF与∠2互余，∴∠2=90°﹣∠DOF =90°﹣26°=64°．故选B．9．（3分）在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y 1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞D．m＜【解答】解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，∴反比例函数图象在第一，三象限，∴1﹣3m＞0，解得：m＜．故选D．10．（3分）如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（）A．B．C．tanαD．1【解答】解：如图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵AD∥C B，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵纸条宽度都为1，∴AE=AF=1，∵平行四边形的面积=BC•AE=CD•AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．∴BC=AB，∵=sinα，∴BC=AB==，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积=BC×AE=×1=．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED= 80 °．【解答】解：在△ABD与△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=80°．故答案为80．12．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是直角三角形．【解答】解：由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，得∠A+∠B=90°，故答案为：直角．13．（3分）若a3•a m=a9，则m= 6 ．【解答】解：由题意可知：3+m=9，∴m=6，故答案为：614．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，AD=DB，CD=4，则AB= 8 ．【解答】解：∵如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°．∵AD=DB，∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，∴AB=2CD=8．故答案是：8．15．（3分）化简： = x+y+2 ．【解答】解：原式==，=x+y+2．故答案为：x+y+2．16．（3分）如图，点C、D在线段AB上，且CD是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP时（P与A、B与P分别为对应顶点），∠APB= 135 °．【解答】解：∵△PDB∽△ACP，∴∠A=∠BPD，∵CD是等腰直角△PCD的底边，∴∠PCD=45°，∠CPD=90°，由三角形的外角的性质得∠A+∠APC=∠PCD=45°，∴∠APB=∠APC+∠PCD+∠BPD=∠APC+∠PCD+∠A=45°+90°=135°．故答案为：135．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）解方程组：．【解答】解：①﹣②，得（x+2y）﹣（x﹣4y）=﹣5﹣7，即6y=﹣12，解得y=﹣2，把y=﹣2代入②，可得：x﹣4×（﹣2）=7，得x=﹣1，∴原方程组的解为．18．（9分）AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=DF．求证：△ACE≌△ACF．【解答】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠FAC=∠EAC，在△ACE和△ACF中，，∴△ACE≌△ACF（SAS）．19．（10分）在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为1，2，3，4．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为x，再从剩下的三张中随机取出一张，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；（2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率．【解答】解：（1）树状图如下：点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；（2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+4图象上的点有2个，即（1，3），（3，1），==．∴点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率为：P（点在图象上）20．（10分）如图，一条直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（m≠0）位于第二象限的一支于C点，OA=OB=2．（1）m= ﹣8 ；（2）求直线所对应的一次函数的解析式；（3）根据（1）所填m的值，直接写出分解因式a2+ma+7的结果．【解答】解：（1）m=﹣2×4=﹣8；（2）∵OA=OB=2，∴A、B点的坐标分别为A（2，0）、B（0，2），设直线所对应的一次函数的解析为y=kx+b，分别把A、B的坐标代入其中，得，解得．∴一次函数的解析为y=﹣x+2；（3）由（1）m=﹣8，则a2+ma+7=a2﹣8m+7=（a﹣1）（a﹣7）．故答案为：﹣8．21．（12分）如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD=∠CDA，E为AB边的中点．（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？（3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．【解答】解：（1）如图，射线CF即为所求；（2）EF∥BC．∵∠CAD=∠CDA，∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形；又CF是顶角∠ACD的平分线，∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，∵E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BD，从而EF∥BC；（3）由（2）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，∴，又∵AE=AB，∴得=，把S四边形BDFE =9代入其中，解得S△AEF=3，∴S△ABD =S△AEF+S四边形BDFE=3+9=12，即△ABD的面积为12．22．（12分）我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约11025千米．同样的货物，若用轮船运输，水路路程是铁路路程的1.6倍，水路所用天数是铁路所用天数的3倍，列车平均日速（平均每日行驶的千米数）是轮船平均日速的2倍少49千米．分别求出列车及轮船的平均日速．【解答】解：设轮船的日速为x千米/日，由题意，得×3=，解此分式方程，得x=392，经检验，x=392是原分式方程的解，2x﹣49=735．答：列车的速度为735千米/日；轮船的速度为392千米/日．23．（12分）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且=2，OA=4．（1）∠COD= 30 °；（2）求弦AD的长；（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）【解答】解：（1）∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵=2，∴∠AOD=2∠COD，∴∠COD=∠AOC=30°，故答案为：30；（2）连结OD、AD，如图1所示：由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°，∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形，∴AD=OA=4；（3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连结AE，交OC于点P，则此时，AP+PD的值最小，延长AO交⊙O于点B，连结BE，如图2所示：∵根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点，OC是DE的垂直平分线，即PD=PE，∴AP+PD最小值=AP+PE=AE，∵∠AED=∠AOD=30°，又∵OA⊥OC，DE⊥OC，∴OA∥DE，∴∠OAE=∠AED=30°，∵AB为直径，∴△ABE为直角三角形，由=cos∠BAE，AE=AB•cos30°=2×4×=，即AP+PD=，24．（14分）二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=﹣和直线y=x+m的交点．（1）若直线y=x+m过点D（0，﹣3），求M点的坐标及二次函数y=x2+px+q的解析式；（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x2+px+q的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=﹣上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．【解答】解：（1）把D（0，﹣3）坐标代入直线y=x+m中，得m=﹣3，从而得直线y=x﹣3，由M为直线y=﹣与直线y=x﹣3的交点，得，解得，，∴得M点坐标为M（2，﹣1），∵M为二次函数y=x2+px+q的顶点，∴其对称轴为x=2，由对称轴公式：x=﹣，得﹣=2，∴p=﹣4；由=﹣1，=﹣1，解得，q=3．∴二次函数y=x2+px+q的解析式为：y=x2﹣4x+3；（2）∵M是直线y=﹣和y=x+m的交点，∴，解得，，∴M点坐标为M（﹣，），∴﹣=﹣、=，解得，p=，q=+，由，得x2+（p﹣1）x+q﹣m=0，△=（p﹣1）2﹣4（q﹣m）=（﹣1）2﹣4（+﹣m）=1＞0，∴二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；（3）由（1）知，二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3，当x=0时，y=3．∴点C的坐标为C（0，3），令y=0，即x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴点A的坐标为A（3，0），由勾股定理，得AC=3．∵M点的坐标为M（2，﹣1），过M点作x轴的垂线，垂足的坐标应为（2，0），由勾股定理得，AM=，过M点作y轴的垂线，垂足的坐标应为（0，﹣1），由勾股定理，得CM===2．∵AC2+AM2=20=CM2，∴△CMA是直角三角形，CM为斜边，∠CAM=90°．直线y=﹣与△CMA的外接圆的一个交点为M，另一个交点为P，则∠CPM=90°．即△CPM为Rt△，设P点的横坐标为x，则P（x，﹣）．过点P作x轴垂线，过点M作y轴垂线，两条垂线交于点E，则E（x，﹣1）．过P作PF⊥y轴于点F，则F（0，﹣）．在Rt△PEM中，PM2=PE2+EM2=（﹣+1）2+（2﹣x）2=﹣5x+5．在Rt△PCF中，PC2=PF2+CF2=x2+（3+）2 =+3x+9．在Rt△PCM中，PC2+PM2=CM2，得+3x+9+﹣5x+5=20，化简整理得5x2﹣4x﹣12=0，解得x1=2，x2=﹣．当x=2时，y=﹣1，即为M点的横、纵坐标．∴P点的横坐标为﹣，纵坐标为，∴P（﹣，）．25．（14分）已知，如图，△ABC的三条边BC=a，CA=b，AB=c，D为△ABC内一点，且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w．（1）若∠CBD=18°，则∠BCD= 42 °；（2）将△ACD绕点A顺时针方向旋转90°到△AC'D'，画出△AC'D'，若∠CAD=20°，求∠CAD'度数；（3）试画出符合下列条件的正三角形：M为正三角形内的一点，M到正三角形三个顶点的距离分别为a、b、c，且正三角形的边长为u+v+w，并给予证明．【解答】解：（1）在△BCD中，∠BDC=120°，∠CBD=18°，根据三角形的内角和得，∠BCD=180°﹣∠BDC﹣∠CBD=42°，故答案为42，（2）画图如图1所示，由旋转知∠DAD'=90°，∵∠CAD=20°，∴∠CAD'=∠DAD'﹣∠CAD=90°﹣20°=70°；（3）画图如图2，将△BDC绕点B按逆时针方向旋转60°，到△BEF的位置．连结DE，CF，由旋转可知，△BDE和△BCF均为等边三角形，∴DE=v，CF=a．∵∠ADB=120°，∠BDE=60°，即∠ADE=180°，则A、D、E三点共线（即该三点在同一条直线上）．同理，∵∠BEF=∠BDC=120°，∠BED=60°，即∠DEF=180°，则D、E、F三点共线，∴A、D、E、F四点均在一条直线上．∵EF=DC=w，∴线段AF=u+v+w．以线段AF为边在点B一侧作等边△AFG，则△AFG即为符合条件的等边三角形，其中的点B即为点M．正三角形的边长为u+v+w已证，BA=c，BF=BC=a，下面再证BG=b．∵∠CFB=∠AFG=60°，即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°，∴∠1=∠2．在△AFC和△GFB中，∵FA=FG，∠1=∠2，FC=FB，∴△AFC≌△GFB（SAS），∴AC=GB，即BG=CA=b．从而点B（M）到等边△AFG三个顶点的距离分别为a、b、c，且其边长为u+v+w．。
2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷(解析版)
2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．﹣3的相反数是（）A．B．﹣3C．D．32．在平面直角坐标系中，把点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣3）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）3．下列运算正确的是（）A．x8÷x2＝x4（x≠0）B．（m+n）2＝m2+n2C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y64．如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC上一点，AD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则AE＝（）A．2B．3C．4D．56．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（）A．160B．165C．170D．1757．如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形10．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0），当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝（）A．4B．6C．8D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．＝．12．分解因式：ax2﹣a＝．13．方程组的解是．14．如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出OA＝1，OB＝2，然后沿AB剪下一个△AOB，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为．15．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90°的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．16．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）17．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．18．如图，已知BD平分∠ABC，∠A＝∠C．求证：△ABD≌△CBD．19．已知M＝（x+3）（x﹣2）+（x+1）2+5．（1）化简M；（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．20．某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A 票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？21．为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：（1）本次随机抽查的学生人数为人，补全图（Ⅰ）；（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为度；（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．22．一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1）．（1）求b的值；（2）点（2a，y1），（a，y2），（3a，y3），a≠0，都在反比例函数图象上，根据图象比较y1，y2，y3的大小．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线．（2）若＝2，CE＝1，求点B到AD的距离．24．抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣a+3（a为常数）的顶点为A．（1）用a表示点A的坐标；（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t（t＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；②若y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线AC与x轴交点的横坐标的最小值．25．不在射线DA上的点P是边长为2的正方形ABCD外一点，且满足∠APB＝45°，以AP，AD为邻边作▱APQD．（1）如图，若点P在射线CB上，请用尺规补全图形；（2）若点P不在射线CB上，求∠PAQ的度数；（3）设AQ与PD交点为O，当△APO的面积最大时，求tan∠ADO的值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣3的相反数是（）A．B．﹣3C．D．3【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．解：﹣3的相反数是3，故选：D．2．在平面直角坐标系中，把点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（）A．（0，1）B．（0，﹣3）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【分析】根据向左平移横坐标减，可得结论．解：∵将点A（0，﹣1）向左平移2个单位长度，得到点B，∴点B的横坐标为0，纵坐标为﹣1﹣2＝﹣3，∴B的坐标为（0，﹣3）．故选：B．3．下列运算正确的是（）A．x8÷x2＝x4（x≠0）B．（m+n）2＝m2+n2C．3a+2b＝5ab D．（y3）2＝y6【分析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据幂的乘方对D进行判断．解：A、原式＝x6，所以A选项不符合题意；B、原式＝m2+2mn+n2，所以B选项不符合题意；C、3a与2b不能合并，所以C选项不符合题意；D、原式＝x6，所以D选项符合题意．故选：D．4．如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：从正三棱柱的上面看：可以得到一个正三角形，故其俯视图的内角和为180°．故选：A．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC上一点，AD＝5，DE⊥AB，垂足为E，则AE＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得结论．解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝4，故选：C．6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（）A．160B．165C．170D．175【分析】根据中位数的定义直接解答即可．解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数，则这些运动员成绩的中位数为165cm．故选：B．7．如图摆放一副三角尺，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°解：如图，∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，∴∠DEF＝45°，∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠CEF﹣∠DEF＝15°．故选：A．8．关于x的方程x2﹣2x+a＝0（a为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝a，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a＜0，解得：a＞1，∴点（a，a+1）在第一象限，故选：A．9．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥DB，则四边形OCED是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形解：∵DE∥AC，CE∥DB，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形，故选：B．10．设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0），当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝（）A．4B．6C．8D．10解：∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1取最大值，最大值为＝a①；当x＝2时，y2取最小值，最小值为﹣＝a﹣4②；由①②得a＝2，k＝4，∴ak＝8，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．＝2．解：＝＝×＝2．12．分解因式：ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）．解：ax2﹣a，＝a（x2﹣1），＝a（x+1）（x﹣1）．13．方程组的解是．解：，①+②得：2x＝4，即x＝2，①﹣②得：2y＝2，即y＝1，则方程组的解为．故答案为：．14．如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出OA＝1，OB＝2，然后沿AB剪下一个△AOB，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为4．解：由题意，四边形是菱形，∵∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，∴AB＝＝＝，∴四边形的周长为4，故答案为：4．15．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为90°的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．【分析】连接BC，根据圆周角定理得到BC为圆的直径，求出AC，根据弧长公式求出的长，根据圆锥的侧面展开图计算．解：连接BC，∵∠CAB＝90°，∴BC为圆的直径，∴AC＝AB＝3，∴的长＝＝，设圆锥的底面圆的半径为r，由题意得，2πr＝π，解得，r＝，即圆锥的底面圆的半径为，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为3×22019．【分析】根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OB n，根据题意找出规律，根据规律解答即可．解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，∴OB＝OA•cos∠AOB＝，由题意得，OB1＝2OB＝×2，OB2＝2OB1＝×22，……OB n＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，∵2021÷12＝168……5，∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos60°＝×22020×＝3×22019，故答案为：3×22019．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）17．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，解不等式3x+2＞﹣1，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：18．如图，已知BD平分∠ABC，∠A＝∠C．求证：△ABD≌△CBD．【分析】根据AAS证明△ABD与△CBD全等．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（AAS）．19．已知M＝（x+3）（x﹣2）+（x+1）2+5．（1）化简M；（2）x是面积为5的正方形边长，求M的值．【分析】（1）先利用乘法公式展开，然后合并即可；（2）根据正方形的面积公式得到x＝，然后把x的值代入（1）中化简的式子里计算即可．解：（1）M＝x2+x﹣6+x2+2x+1+5＝2x2+3x；（2）∵x是面积为5的正方形边长，∴x＝，∴M＝2×（）2+3×＝10+3．20．某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A 票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？【分析】设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x+9）元，根据“用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等”列出方程并解答．解：设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x+9）元，根据题意，得＝．解得x＝26．经检验x＝26是所列方程的解，且符合题意，所以x+9＝35．答：每张A票的票价是26元，则每张B票的票价为35元．21．为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：（1）本次随机抽查的学生人数为60人，补全图（Ⅰ）；（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为200人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为，90度；（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；（2）由该校人数乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数，再1由369°乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例即可；（3）画树状图，再由概率公式求解即可．解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%＝60（人），则喜爱⑤数独游戏的人数为：60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），故答案为：60，补全图（Ⅰ）如下：（2）估计该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为：800×＝200（人），图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×＝90°，故答案为：200，90；（3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为＝．22．一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1）．（1）求b的值；（2）点（2a，y1），（a，y2），（3a，y3），a≠0，都在反比例函数图象上，根据图象比较y1，y2，y3的大小．【分析】（1）将点（2，﹣1）代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，由反比例函数的性质可求解．解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象都经过点（2，﹣1），∴k＝2×（﹣1）＝﹣2，﹣1＝2k+b，∴b＝3；（2）∵k＝﹣2，∴y＝的图象在第二、四象限，y随x的增大而增大，当a＞0时，∴3a＞2a＞a，∴y3＞y1＞y2，当a＜0时，∴3a＜2a＜a，∴y3＜y1＜y2．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线．（2）若＝2，CE＝1，求点B到AD的距离．【分析】（1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；（2）证明△OBC是等边三角形，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OB，∵CB平分∠ACE．∴∠ACB＝∠ECB，∵∠BCA＝∠BDA，∴∠BCA＝∠BAD，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO，∴∠BCE＝∠CBO，∴OB∥ED．∵BE⊥ED，∴EB⊥BO．∴BE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠OBE＝∠E＝90°，∴点B到AD的距离即为DE的长，∵＝2，∴∠AOB＝2∠COB，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∵BE是切线，∴OB⊥EB，∴∠EBO＝90°，∴∠EBC＝30°，∠BCE＝60°，∴BC＝2EC＝2，AC＝2BC＝4，∴∠ACD＝60°，∵AC是直径，∴∠ADE＝90°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝2，∴DE＝3．答：点B到AD的距离为3．24．抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣a+3（a为常数）的顶点为A．（1）用a表示点A的坐标；（2）经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移t（t＞0）个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；②若y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线AC与x轴交点的横坐标的最小值．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）①根据抛物线的平移可得出平移后的抛物线，并求出抛物线的顶点B，由抛物线的对称性可得出a和t之间的函数关系；②有题意可得抛物线G的对称轴x＝a≤﹣4，并求出抛物线H的顶点C，联立，求出直线解析式，表达出直线AC与x轴的交点的横坐标，再求出它的最小值．解：（1）y＝x2﹣2ax﹣a+3＝（x﹣a）2﹣a2﹣a+3，∴顶点A（a，﹣a2﹣a+3）；（2）由点A的坐标可知，抛物线H：y＝﹣x2﹣x+3，抛物线G向右平移t个单位后，抛物线为：y＝（x﹣a﹣t）2﹣a2﹣a+3，此时的定点B（a+t，﹣a2﹣a+3），①∵抛物线顶点B仍在抛物线H上，∴y＝﹣（a+t）2﹣（a+t）+3＝﹣a2﹣a+3，整理得t＝﹣2a﹣1，∵t＞0，∴﹣2a﹣1＞0，即a＜﹣，∴t是a的函数，t＝﹣2a﹣1（a＜﹣）；②∵y＝x2﹣2ax﹣a+3在x≥﹣4时，都有y随x的增大而增大，∴对称轴，x＝a≤﹣4，∵抛物线H：y＝﹣（x+）2+，∴C（﹣，），设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A，点C的坐标得，，解得，，∴y＝（﹣a﹣）x﹣a+3，当y＝0时，x＝＝﹣+•，又a≤﹣4，∴当a＝﹣4时，x有最小值﹣，∴直线AC与x轴交点的横坐标的最小值﹣．25．不在射线DA上的点P是边长为2的正方形ABCD外一点，且满足∠APB＝45°，以AP，AD为邻边作▱APQD．（1）如图，若点P在射线CB上，请用尺规补全图形；（2）若点P不在射线CB上，求∠PAQ的度数；（3）设AQ与PD交点为O，当△APO的面积最大时，求tan∠ADO的值．解：（1）如图1，以B为圆心，AB长为半径作弧，交射线CB于点P；（2）如图2，连接QA，QC，QB，BD，∵四边形APQD是平行四边形，∴AP＝DQ，PQ∥AD，AP∥QD，∴∠PAD+∠ADQ＝180°，∴∠PAB＝90°﹣∠ADQ，∴∠PAB＝90°﹣∠ADQ＝∠QDC，又∵AP＝QD，AB＝CD，∴△PAB≌△QDC（SAS），∴∠APB＝∠DQC＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠CQD＝∠CBD＝45°，∴点B，点C，点D，点Q四点共圆，∴∠BCD＝∠BQD＝90°，∴∠BQD＝∠BAD＝90°，∴点B，点D，点A，点Q四点共圆，∴∠AQD＝∠ABD＝45°，∵AP∥QD，∴∠PAQ＝∠AQD＝45°；（3）∵四边形APQD是平行四边形，∴S△APO＝S▱APQD，∴当▱APQD的面积最大时，△APO的面积取最大值，∵S▱APQD＝AD×点P到AD的距离，∴当点P到AD的距离最大时，▱APQD的面积最大，如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形ABE，以E为圆心，AE为半径作△ABP的外接圆，延长CB交⊙E于H，过点E作FE⊥BH，交⊙E于P，交DA的延长线于F，此时点P到AD的距离最大，∵EA＝EB，∠AEB＝90°，AB＝2，∴∠EAB＝45°，AE＝，∴∠EAF＝45°，∵EF⊥AF，∴∠EAF＝∠FEA＝45°，∴AF＝EF＝1，∴PF＝1+，∴S▱APQD最大＝AD•PF＝2×（1+），∴S△APO最大＝S▱APQD＝，∴tan∠ADO＝＝．。
2021年广东省广州市花都区中考数学一模试卷祥细答案与解析
2021年广东省广州市花都区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. “广州电视课堂”上线以来备受欢迎，截至2021年3月29日，累计约有7183900人次观看，7183900用科学记数法表示为（）A.7.1839×107B.7.1839×106C.71.839×105D.71.839×1062. “千年一遇的对称日”2021年2月2日，用数字书写为“20200202”，如图下列说法正确的是（）A.中心对称图形B.既是轴对称图形，又是中心对称图形C.轴对称图形D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3. 下列运算正确的是（）A.a3+a3＝a6B.a2⋅a3＝a6C.(ab2)2＝ab4D.5a4b÷ab＝5a34. 如图是一个4×4的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是（）A.1 4B.512C.516D.135. 若关于x的方程x2−4x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A.m≤4B.m>4C.m<4且m≠0D.m<46. 若点A(2, y1)，B(−1, y2)在抛物线y＝(x−2)2+1的图象上，则y1、y2的大小关系是（）A.y1<y2B.y1＝y2C.y1>y2D.无法确定7. 扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径是（）A.12cmB.24cmC.28cmD.30cm8. 如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，若AD＝1，BD＝AC＝3，则AE的长是（）A.1B.32C.43D.29. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A.4B.4.8C.5D.5.510. 如图，直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于B0，B1两点，将B1B0绕B1逆时针旋转135∘得B1B0′，过点B0′作y轴平行线，交直线y＝x+1于点B2，记△B1B0B2的面积为S1；再将B2B1绕B2逆时针旋转135∘得B2B1′，过点B1′作y轴平行线，交直线y＝x+l于点B3，记△B2B1′B3的面积为S2…以此类推，则△B n B n−1′B n+1的面积为S n＝（）A.(√2)nB.(√2)n−1C.2nD.2n−1二、填空题（体大题共6小题，每小题3分，满分18分.）点P(2, −3)关于原点的对称点P′的坐标为________．计算：xx+1+1x+1=________．如图，在热气球上的点C测得地面A，B两点的俯角分别为30∘，45∘，点C到地面的高度CD为100米，点A，B，D在同一直线上，则AB两点的距离是________米（结果保留根号）．已知a，b是Rt△ABC的两条直角边，且S△ABC＝6，若点(a, b)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k＝________．已知关于x、y的二元一次方程组{2x+y=ax+2y=2a(a≠0)，则x+y2x−2y=________．如图，已知点E，H在矩形ABCD的AD边上，点F，G在BC边上，将矩形ABCD沿EF，GH折叠，使点B和点C落在AD边上同一点P处．折叠后，点A的对应点为点A′，点D的对应点为点D′，若∠FPG＝90∘，A′E＝3，D′H＝1，则矩形ABCD的周长等于________．三、解答题（本大题共9小题，满分102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）解不等式组{2x−3≤112x+1>0．如图，在▱ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=DF．已知A＝(x+2)2+(x+1)(x−1)−3．（1）化简A；)−1，求A的值．（2）若x2＝(14广州融创乐园是国内首个以南越文化、岭南风格为主题的游乐园，自2019年6月开园以来受到了国内外游客的热捧．某旅游团组织一批游客游玩了乐园内的四个网红项目，“A．双龙飞舞”、“B．飞跃广东”、“C．云霄塔”、“D．怒海狂涛”，并进行了“我最喜欢的一个项目”的投票评选活动，投票结果绘制成以下两幅尚未完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）参与投票的游客总人数为________人；（2）扇形统计图中B所对的圆心角度数为________度，并补全条形统计图；（3）从投票给“双龙飞舞“的3名男生和1名女生中随机抽取2名了解情况，请你用列举法求恰好抽到1男1女的概率．新冠肺炎疫情爆发之后，全国许多省市对湖北各地进行了援助，广州市某医疗队备好医疗防护物资迅速援助武汉．第一批医疗队员乘坐高铁从广州出发，2.5小时后，第二批医疗队员乘坐飞机从广州出发，两批队员刚好同时到达武汉．已知广州到武汉的飞行距离为800千米，高铁路程为倍．飞行距离的54（1）求广州到武汉的高铁路程；（2）若飞机速度与高铁速度之比为5:2，求飞机和高铁的速度．(m≠0)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx的图象相交于A(2, 4)，B(n, −2)两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是第一象限内反比例函数图象上的一点，且点C在A的右侧，过点C作CD平行于y轴交直线AB于点D，若以C为圆心，CD长为半径的⊙C恰好与y轴相切，求点C的坐标．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2，AB＝6，∠DAB＝60∘，E为边CD上一点．（1）尺规作图：延长AE，过点C作射线AE的垂线，垂足为F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）当点E在线段CD上（不与C，D重合）运动时，求EF⋅AE的最大值．如图，抛物线y＝−x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(−3, 0)，与y轴交于点C(0, 3)．（1）求抛物线的函数解析式；S△ABC，求点M （2）点M为抛物线y＝−x2+bx+c上异于点C的一个点，且S△OMC=12的坐标；（3）若点P为x轴上方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AP、BP分别交抛物线的对称轴于点E、F．请问DE+DF是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．如图1，已知A、B、C是⊙O上的三点，AB＝AC，∠BAC＝120∘．（1）求证：⊙O的半径R＝AB；（2）如图2，若点D是∠BAC所对弧上的一动点，连接DA，DB，DC．①探究DA，DB，DC三者之间的数量关系，并说明理由；②若AB＝3，点C′与C关于AD对称，连接C′D，点E是C′D的中点，当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长．参考答案与试题解析2021年广东省广州市花都区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】7183900＝7.1839×106．2.【答案】A【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】用数字书写为“20200202”，不是轴对称图形，是中心对称图形，3.【答案】D【考点】整式的除法同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方整式的加减【解析】直接利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；B、a2⋅a3＝a5，故此选项错误；C、(ab2)2＝a2b4，故此选项错误；D、5a4b÷ab＝5a3，故此选项正确；4.【答案】C【考点】几何概率【解析】确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．【解答】如图：正方形的面积为4×4＝16，阴影部分占5份，飞镖落在阴影区域的概率是516；5.【答案】D【考点】根的判别式【解析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac>0，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．【解答】∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝−4，c＝m，∴△＝b2−4ac＝(−4)2−4×1×m>0，解得m<4．6.【答案】A【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】分别计算自变量为2、−1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】当x＝2时，y1＝(x−2)2+1＝1；当x＝−1时，y2＝(x−2)2+1＝10；∵10>1，∴y1<y2．7.【答案】B【考点】弧长的计算扇形面积的计算【解析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形=12lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长．【解答】∵S扇形=12lr，∴120π=12⋅10π⋅r，∴r＝24(cm)；8.【答案】C【考点】相似三角形的性质与判定【解析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴AEAB =ADAC，∵AD＝1，BD＝AC＝3，∴AB＝1+3＝4，∴AE4=13，∴AE=43，9.【答案】B【考点】菱形的性质【解析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【解答】设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO=12AC＝3，BO＝DO=12BD＝4，∴BC=√BO2+CO2=√9+16=5，∵S菱形ABCD =12×AC×BD＝BC×AP，∴AP=245=4.8，10.【答案】D【考点】规律型：点的坐标规律型：图形的变化类规律型：数字的变化类一次函数图象与几何变换一次函数的性质【解析】根据直线与x轴的成角和已知，可以判断∴△B1B0B2；…；△B n B n−1′B n+1都是直角三角形，再由旋转的性质得到B1B0′=√2OB0，B2B1′=√2B1B0′，…，B n+1B′n=√2B n B n−1′，可以B1B0′=√2，B2B1′＝2，…，B n B n−1′=√2n，根据三角形面积公式即可求解．【解答】直线l1:y＝x+1与x轴正半轴夹角45∘，由题意可知B′0B1 // x轴，B1′B2 // x轴，…，B n′B n+1 // x轴，B′0B2 // y轴，B′1B3 // y轴，…，B′n−1B n+1 // y轴，∴△B1B0B2；…；△B n B n−1′B n+1都是直角三角形，∴B1B0′=√2OB0，B2B1′=√2B1B0′，…，B n+1B′n=√2B n B n−1′由直线l1:y＝x+1可知，B0(−1, 0)，B1(0, 1)，∴OB0＝1，∴B1B0′=√2，B2B1′＝2，…，B n B n−1′=√2n，∴△B n B n−1′B n+1的面积为S n=12×(√2n)2＝2n−1二、填空题（体大题共6小题，每小题3分，满分18分.）【答案】(−2, 3)【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．【解答】因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点(2, −3)关于原点的对称点的坐标为(−2, 3)．【答案】1【考点】分式的加减运算【解析】因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可．【解答】x x+1+1x+1=x+1x+1=1．【答案】100(√3+1)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意可得CD⊥AB，再根据特殊角三角函数即可求出AB两点的距离．【解答】根据题意可知：CD⊥AB，∴在Rt△BCD中，∠B＝45∘，∴BD＝CD＝100，在Rt△ADC中，∠A＝30∘，∴tan30∘=CDAD，即√33=100AB−100，解得AB＝100(√3+1)（米）．答：AB两点的距离是100(√3+1)米．故答案为：100(√3+1)【答案】12【考点】反比例函数系数k的几何意义反比例函数图象上点的坐标特征【解析】根据三角形的面积公式求得ab的积，根据点(a, b)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k＝ab，便可得到答案．【解答】∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，且S△ABC＝6，∴12ab＝6，∴ab＝12，∵点(a, b)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴k＝ab＝12，【答案】−1 2【考点】二元一次方程组的解代入消元法解二元一次方程组【解析】方程组利用加减法表示出x+y与x−y，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】{2x+y=ax+2y=2a，①+②得：3x+3y＝3a，即x+y＝a，①-②得：x−y＝−a，则原式=x+y2(x−y)=a−2a=−12．【答案】12+6√5【考点】矩形的性质翻折变换（折叠问题）【解析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，由锐角三角函数可求x＝2，由勾股定理可求PE，PH的长，即可求解．【解答】∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∠C＝∠D′PG＝90∘，∠B＝∠A′PF＝90∘，∵∠FPG＝90∘，∴∠FPG+∠A′PF＝180∘，∠FPG+∠D′PG＝180∘，∴点A′，点P，点G共线，点D′，点P，点F共线，∵A′E // PF，∴∠A′EP＝∠D′PH，∴tan∠A′EP＝tan∠D′PH，∴A′PA′E =D′HD′P，∴x4=1x，∴x＝2，∴PA′＝AB＝2＝PD′＝CD，∴EP=√A′P2+A′E2=√16+4=2√5，PH=√D′H2+D′P2=√1+4=√5，∴AD＝3√5+4，∴矩形ABCD的周长等于＝2×(2+3√5+4)＝12+6√5，三、解答题（本大题共9小题，满分102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】{2x−3≤112x+1>0，由①得：x≤2，由②得：x>−2，则不等式组的解集为−2<x≤2．【考点】解一元一次不等式组【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】{2x−3≤112x+1>0，由①得：x≤2，由②得：x>−2，则不等式组的解集为−2<x≤2．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD // BC，∴∠DAF=∠BCE．又∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AFD=∠CEB=90∘，在△AFD和△CEB中，{∠AFD=∠CEB,∠DAF=∠BCE, AD=CB,∴△AFD≅△CEB(AAS)，∴BE=DF．【考点】全等三角形的性质与判定平行四边形的性质【解析】利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD // BC，再利用平行线的性质可得∠DAF＝∠BCE，结合AAS判定△AFD≅△CEB，进而可得BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD // BC，∴∠DAF=∠BCE．又∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AFD=∠CEB=90∘，在△AFD和△CEB中，{∠AFD=∠CEB,∠DAF=∠BCE, AD=CB,∴△AFD≅△CEB(AAS)，∴BE=DF．【答案】A＝(x+2)2+(x+1)(x−1)−3＝x2+4x+4+x2−1−3＝2x2+4x；∵x2＝(14)−1＝4，∴x＝±2，∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×(−2)＝8−8＝0，即A的值是0或16．【考点】零指数幂、负整数指数幂平方差公式【解析】（1）先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项得到最简结果；（2）先化简求得x的值，再代入求出A即可．【解答】A＝(x+2)2+(x+1)(x−1)−3＝x2+4x+4+x2−1−3＝2x2+4x；∵x2＝(14)−1＝4，∴x＝±2，∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×(−2)＝8−8＝0，即A的值是0或16．【答案】50144画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1男1女的结果数为6，所以恰好抽到1男1女的概率=612=12．【考点】列表法与树状图法扇形统计图条形统计图【解析】（1）用A项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先用360∘乘以B项目的人数所占的百分比得到得到扇形统计图中B所对的圆心角度数，然后计算出C项目的人数后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】4÷8%＝50，所以参与投票的游客总人数为50人；扇形统计图中B所对的圆心角度数＝360∘×2050=144∘；C项目的人数为50×30%＝15（人），补全条形统计图为：故答案为50；144；画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1男1女的结果数为6，所以恰好抽到1男1女的概率=612=12．【答案】广州到武汉的高铁路程为1000千米飞机的速度为680千米/小时，高铁的速度为272千米/小时【考点】分式方程的应用【解析】（1）利用广州到武汉的高铁路程＝广州到武汉的飞行距离×54，即可求出结论；（2）设飞机的速度为5x千米/小时，则高铁的速度为2x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合乘坐高铁比乘坐飞机多用2.5小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】800×54=1000（千米）．答：广州到武汉的高铁路程为1000千米．设飞机的速度为5x千米/小时，则高铁的速度为2x千米/小时，依题意，得：10002x −8005x=2.5，解得：x＝136，经检验，x＝136是原方程的解，且符合题意，∴2x＝272，5x＝680．答：飞机的速度为680千米/小时，高铁的速度为272千米/小时．【答案】∵A(2, 4)，B(n, −2)在反比例函数y=mx(m≠0)的图象上，∴m＝2×4＝8，−2=mn，∴n＝−4，∴反比例函数的解析式为：y=8；x∵一次函数y＝kx+b过A(2, 4)，B(n, −2)，∴{4=2k+b，−2=−4k+b∴{k=1，b=2∴一次函数解析式为：y＝x+2；)，则点D(a, a+2)，设点C(a, 8a∴CD＝a+2−8，a∵以C为圆心，CD长为半径的⊙C恰好与y轴相切，∴a＝a+2−8a∴a＝4，∴点C(4, 2)．【考点】反比例函数综合题【解析】（1）利用待定系数法可求解析式；)，则点D(a, a+2)，可求CD的长，由以C为圆心，CD长为半径的⊙（2）设点C(a, 8aC恰好与y轴相切，可得a＝a+2−8，即可求解．a【解答】∵A(2, 4)，B(n, −2)在反比例函数y=m(m≠0)的图象上，x∴m＝2×4＝8，−2=m，n∴n＝−4，∴反比例函数的解析式为：y=8；x∵一次函数y＝kx+b过A(2, 4)，B(n, −2)，∴{4=2k+b，−2=−4k+b∴{k=1，b=2∴一次函数解析式为：y＝x+2；)，则点D(a, a+2)，设点C(a, 8a∴CD＝a+2−8，a∵以C为圆心，CD长为半径的⊙C恰好与y轴相切，∴a＝a+2−8a∴a＝4，∴ 点C(4, 2)．【答案】如图，射线CF 即为所求．作AH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．设EC ＝x ． ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB // CD ，AB ＝CD ＝6， ∴ ∠BAD ＝∠ADH ＝60∘， ∵ ∠H ＝90∘， ∴ ∠DAH ＝30∘， ∴ DH =12AD ＝1，∴ CH ＝CD +DH ＝6+1＝7，∵ ∠CFE ＝∠H ＝90∘，∠CEF ＝∠AEH ， ∴ △CFE ∽△AHE ， ∴ EFEH =CE AE ，∴ EF ⋅AE ＝CE ⋅EH ＝x(7−x)＝−x 2+7x ＝−(x −72)2+494，∵ −1<0，∴ EF ⋅AE 的最大值为494．【考点】平行四边形的性质 作图—基本作图【解析】（1）利用尺规作CF ⊥AE 交AE 的延长线于F 即可．（2）作AH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．设EC ＝x ．解直角三角形求出DH ，证明△CFE ∽△AHE ，推出EFEH =CEAE ，推出EF ⋅AE ＝CE ⋅EH ＝x(7−x)＝−x 2+7x ＝−(x −72)2+494，再利用二次函数的性质求解即可． 【解答】如图，射线CF 即为所求．作AH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．设EC ＝x ． ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB // CD ，AB ＝CD ＝6， ∴ ∠BAD ＝∠ADH ＝60∘， ∵ ∠H ＝90∘， ∴ ∠DAH ＝30∘， ∴ DH =12AD ＝1，∴ CH ＝CD +DH ＝6+1＝7，∵ ∠CFE ＝∠H ＝90∘，∠CEF ＝∠AEH ， ∴ △CFE ∽△AHE ， ∴EF EH=CE AE，∴ EF ⋅AE ＝CE ⋅EH ＝x(7−x)＝−x 2+7x ＝−(x −72)2+494，∵ −1<0，∴ EF ⋅AE 的最大值为494．【答案】将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得{−9−3b +c =0c =3 ，解得{b =−2c =3 ，故抛物线的表达式为：y ＝−x 2−2x +3；对于抛物线y ＝−x 2−2x +3，令y ＝0，则x ＝−3或1， 故点B(1, 0)，∴ 12S △ABC =12×12×AB ×OC =14×4×3＝3，∵ S △OMC =12×OC ×|x M |=32|x M |＝3，解得：x M ＝±2， 故点M 的坐标为(2, −5)或(−2, 3)； 是定值，理由：设点P 的坐标为(m, −m 2−2m +3)，设直线AP 的表达式为：y ＝kx +t ，则{0=−3k +t −m 2−2m +3=mk +t ，解得{k =1−mt =3−3m ，故直线AP 的表达式为：y ＝−(m −1)(x +3)，当x =−b2a =−1时，y ＝2−2m ，即点E(−1, 2−2m)，即DE ＝2−2m ， 同理可得，直线BP 的表达式为：y ＝−(m +3)(x −1)，当x ＝−1时，y ＝2m +6，故点F(−1, 2m +6)，即DF ＝2m +6， ∴ DE +DF ＝2−2m +2m +6＝8，为定值．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)12S △ABC =12×12×AB ×OC =14×4×3＝3，而S △OMC =12×OC ×|x M |=32|x M |＝3，即可求解；（3）求出直线AP 、BP 的函数表达式，即可求解． 【解答】将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得{−9−3b +c =0c =3 ，解得{b =−2c =3 ，故抛物线的表达式为：y ＝−x 2−2x +3；对于抛物线y ＝−x 2−2x +3，令y ＝0，则x ＝−3或1， 故点B(1, 0)，∴ 12S △ABC =12×12×AB ×OC =14×4×3＝3，∵ S △OMC =12×OC ×|x M |=32|x M |＝3，解得：x M ＝±2，故点M 的坐标为(2, −5)或(−2, 3)； 是定值，理由：设点P 的坐标为(m, −m 2−2m +3)，设直线AP 的表达式为：y ＝kx +t ，则{0=−3k +t −m 2−2m +3=mk +t ，解得{k =1−mt =3−3m ， 故直线AP 的表达式为：y ＝−(m −1)(x +3)，当x =−b2a =−1时，y ＝2−2m ，即点E(−1, 2−2m)，即DE ＝2−2m ， 同理可得，直线BP 的表达式为：y ＝−(m +3)(x −1)，当x ＝−1时，y ＝2m +6，故点F(−1, 2m +6)，即DF ＝2m +6， ∴ DE +DF ＝2−2m +2m +6＝8，为定值． 【答案】CD +BD =√3AD ，理由如下：如图2，将△ABD 绕点A 逆时针旋转120∘得到△ACH ，过点A 作AN ⊥CH 于N ，∴ BD ＝CH ，AD ＝AH ，∠DAH ＝120∘，∠ABD ＝∠ACH ， ∵ 四边形ABDC 是圆内接四边形， ∴ ∠ABD +∠ACD ＝180∘， ∴ ∠ACD +∠ACH ＝180∘， ∴ 点D ，点C ，点H 三点共线，∵ AD ＝AH ，∠DAH ＝120∘，AN ⊥CH ， ∴ ∠AHD ＝∠ADH ＝30∘，HN ＝DN =12DH ，∴ AD ＝2AN ，DN =√3AN ， ∴ HD ＝2√3AN =√3AD ，∴ CD +CH ＝CD +BD =√3AD ；如图3，连接BC ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，连接CC ′，CE ，∵ AB ＝AC ，∠BAC ＝120∘，AM ⊥BC ，AB ＝3， ∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝30∘， ∴ AM =32，BM =√3AM =3√32，∵ ∠ADB ＝∠ACB ＝30∘，∠ADC ＝∠ABC ＝30∘， ∴ ∠ADB ＝∠ADC ，∴ 点C 关于AD 对称点C ′在BD 上， ∴ CD ＝C ′D ，又∵ ∠CDC ′＝60∘，∴ △CDC ′是等边三角形， ∵ 点E 是C ′D 的中点， ∴ CE ⊥BD ，∴点E在以BC为直径的圆上，当点B与点D重合时，∵E′M＝BM＝CM，∴∠MCE′＝∠ME′C＝30∘，∴∠BME′＝60∘，当点D与点C重合时，点E也与点C重合，∴点E的运动路径长=240×π×3√32=2√3π．180【考点】圆与圆的综合与创新圆与相似的综合圆与函数的综合【解析】（1）连接OA，OB，OC，由“SSS”可证△OAB≅△OCA，可得∠BAO＝∠CAO＝60∘，可证△ABO是等边三角形，可得结论；（2）将△ABD绕点A逆时针旋转120∘得到△ACH，过点A作AN⊥CH于N，由旋转的性质可得BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120∘，∠ABD＝∠ACH，可证点D，点C，点H三点共线，由直角三角形的性质可求解；（3）先确定点E的运动轨迹，利用弧长公式可求解．【解答】CD+BD=√3AD，理由如下：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转120∘得到△ACH，过点A作AN⊥CH于N，∴BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120∘，∠ABD＝∠ACH，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ABD+∠ACD＝180∘，∴∠ACD+∠ACH＝180∘，∴点D，点C，点H三点共线，∵AD＝AH，∠DAH＝120∘，AN⊥CH，∴∠AHD＝∠ADH＝30∘，HN＝DN=1DH，2∴AD＝2AN，DN=√3AN，∴HD＝2√3AN=√3AD，∴CD+CH＝CD+BD=√3AD；如图3，连接BC，过点A作AM⊥BC于M，连接CC′，CE，∵ AB ＝AC ，∠BAC ＝120∘，AM ⊥BC ，AB ＝3， ∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝30∘，∴ AM =32，BM =√3AM =3√32，∵ ∠ADB ＝∠ACB ＝30∘，∠ADC ＝∠ABC ＝30∘， ∴ ∠ADB ＝∠ADC ，∴ 点C 关于AD 对称点C ′在BD 上， ∴ CD ＝C ′D ，又∵ ∠CDC ′＝60∘，∴ △CDC ′是等边三角形，∵ 点E 是C ′D 的中点，∴ CE ⊥BD ，∴ 点E 在以BC 为直径的圆上， 当点B 与点D 重合时，∵ E ′M ＝BM ＝CM ，∴ ∠MCE ′＝∠ME ′C ＝30∘，∴ ∠BME ′＝60∘，当点D 与点C 重合时，点E 也与点C 重合， ∴ 点E 的运动路径长=240×π×3√32180=2√3π．。
2021年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷(含解析)
2021年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．下列运算正确的是（）A．3a2+2a2＝5a2B．＝±3C．x2•x2＝2x4D．x6+x2＝x32．实数﹣5的绝对值是（）A．B．5C．0D．±53．直线y＝3x+2与y轴的交点坐标为（）A．（0，3）B．（﹣，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）4．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A．B．C．D．5．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．7B．9C．12D．9或126．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．7．如图，点（3，k）在双曲线y＝上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，线段OA的垂平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是（）A．3B．2+C．4D．3+8．一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x 满足方程（）A．25（1﹣2x2）＝16B．25（1﹣x）2＝16C．16（1+2x2）＝25D．16（1+x）2＝259．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°10．如是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A 在点（2，0）（3，0）之间，对称轴是线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②b＞a+c；③3a+c＞0；④当﹣1＜x＜时，y＞0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中正确的是（）A．①②③B．①②⑤C．②③④D．③④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．函数y＝自变量x的取值范围是．12．分解因式：m2n﹣4n＝．13．如图，直线a、b被c所截，且a∥b，∠1＝132°，则∠2＝．14．某红外线的波长为0.000 000 94米，用科学记数法表示这个数是米．15．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP正确的是（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答写出文说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．18．解分式方程：．19．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF．20．已知H＝（a≠b≠0）．（1）化简H；（2）若点P（a，b）在直线y＝x﹣2上，求H的值．21．中华文化源远流长，文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长编小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数．并将条形统计图补充完整；（2）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一部名著的概率．22．已知反比函y＝（k为常数）．（1）点P1（﹣1，y1）、P2（﹣2，y2）为此反比例函数图象上的两点，比较y1和y2的大小；（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点．过点P作PM⊥x轴于点M．O为坐标原点，若tan∠POM＝2，PO＝．求k的值．并直接写出不等式kx﹣＞0的解集．23．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线．（1）尺规作图：画出以CD为直径的⊙O，与AB交于点E，与AC交于点F；（2）若BC＝2，AC＝4，求DE的长；（3）连接EF，交CD于点P，若DP：PO＝3：2，求的值．24．如图，△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，过点A作AO⊥AC交BC于点O．（1）求证：BO＝BC；（2）设AB＝k．①以OB为半径的⊙O交BC边于另一点P，点D为CA边上一点，且CD＝2DA．连接DP，求S△CPD．②点Q是线段AB上一动点（不与A、B合），连接OQ在点Q运动过程中，求AQ+2OQ的最小值．25．已知抛物线y＝﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为（﹣2，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点Q（h，k）为抛物线上一动点，且h≥0，k＞0．①过点Q作平行于BC的直线l1交线段AC于点D，记线段QD的长为d．当d取最大值时，求点Q的坐标；②点Q1为点Q关于y轴的对称点，又过点Q1作直线l1的平行线l2交直线AC于点D1．记线段Q1D1的长为d1，求当d＜d1时，h的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）.1．下列运算正确的是（）A．3a2+2a2＝5a2B．＝±3C．x2•x2＝2x4D．x6+x2＝x3解：A、3a2+2a2＝5a2，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、xx2•x2＝x4，故此选项不符合题意；D、x6+x2不能合并同类项，故此选项不符合题意；故选：A．2．实数﹣5的绝对值是（）A．B．5C．0D．±5解：实数﹣5的绝对值是：5．故选：B．3．直线y＝3x+2与y轴的交点坐标为（）A．（0，3）B．（﹣，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）解：∵令x＝0，则y＝2，∴直线y＝3x+2与y轴交点的坐标是（0，2）．故选：D．4．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A．B．C．D．解：几何体的俯视图是：故选：C．5．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．7B．9C．12D．9或12解：当腰为5时，周长＝5+5+2＝12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．故选：C．6．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率是；故选：C．7．如图，点（3，k）在双曲线y＝上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，线段OA的垂平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是（）A．3B．2+C．4D．3+解：∵点（3，k）在双曲线y＝上，∴k＝1，∴A（3，1），∴OC＝3，AC＝1．∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB＝OB，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝OB+BC+AC＝OC+AC＝3+1＝4．故选：C．8．一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x 满足方程（）A．25（1﹣2x2）＝16B．25（1﹣x）2＝16C．16（1+2x2）＝25D．16（1+x）2＝25解：第一次降价后的价格为25（1﹣x），第二次降价后的价格为25（1﹣x）×（1﹣x）＝25×（1﹣x）2，∴列的方程为25（1﹣x）2＝16，故选：B．9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°解：∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC＝40°，∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；故选：C．10．如是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A 在点（2，0）（3，0）之间，对称轴是线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②b＞a+c；③3a+c＞0；④当﹣1＜x＜时，y＞0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中正确的是（）A．①②③B．①②⑤C．②③④D．③④⑤解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴为x＝1，∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，即②正确，④错误；抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，∴9a+3b+c＜0，又b＝﹣2a，∴9a﹣6a+c＝3a+c＜0，故③错误；由图可知，当x＝1时，函数有最大值，∴对于任意实数m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b），故⑤正确．综上，正确的有①②⑤．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．函数y＝自变量x的取值范围是x≥5．解：根据题意得，x﹣5≥0，解得x≥5．故答案为：x≥512．分解因式：m2n﹣4n＝n（m+2）（m﹣2）．解：原式＝n（m2﹣4）＝n（m+2）（m﹣2），故答案为：n（m+2）（m﹣2）13．如图，直线a、b被c所截，且a∥b，∠1＝132°，则∠2＝48°．解：∵a∥b，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝132°，∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣132°＝48°．故答案为：48°．14．某红外线的波长为0.000 000 94米，用科学记数法表示这个数是9.4×10﹣7米．解：0.000 00094＝9.4×10﹣7；故答案为9.4×10﹣7．15．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k．解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3k，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3k＝4﹣12k＞0，解得：k＜．故答案为：k＜．16．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP正确的是①②③（填写所有正确结论的序号）解：①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠ABD＝45°，∴BF＝EF，在△BFG和△EFP中，∵，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，∵∠ABD＝∠FPG＝45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP＝BG，∴AP＝PE；解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，∴A、B、E、P四点共圆，∴∠EAP＝∠PBC＝45°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP＝PE，故①正确；②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，∵AB＝CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG＝CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG＝PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，∵∠CEG＝45°，∴CE＝CG＝PD；故②正确；③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COF＝90°，∴四边形OCGF是矩形，∴CG＝OF＝PD，∴BD＝OB＝BF﹣OF＝BF﹣PD，故③正确；④如图4中，在△AOP和△PFE中，∵，∴△AOP≌△PFE（AAS），∴S△AOP＝S△PEF，∴S△ADP＜S△AOP＝S△PEF，故④不正确；本题结论正确的有：①②③，故答案为：①②③．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答写出文说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2．将解集表示在数轴上如下：．18．解分式方程：．解：去分母，得x（x+2）+6（x﹣2）＝（x﹣2）（x+2）．化简得：8x＝8，解得x＝1．经检验，x＝1是原方程的解．∴原方程的解是x＝1．19．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即ED＝BF，而ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形，∴BE＝DF（平行四边形对边相等）．20．已知H＝（a≠b≠0）．（1）化简H；（2）若点P（a，b）在直线y＝x﹣2上，求H的值．解：（1）H＝＝＝；（2）∵点P（a，b）在直线y＝x﹣2上，∴b＝a﹣2，∴a﹣b＝2，当a﹣b＝2时，原式＝＝1，即H的值是1．21．中华文化源远流长，文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长编小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数．并将条形统计图补充完整；（2）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一部名著的概率．解：（1）∵调查的总人数为：10÷25%＝40（人），∴阅读1部对应的人数为：40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14（人），∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20，∴中位数为2部，将条形统计图补充完整如下：（2）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，画树状图可得：共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故P（两人选中同一名著）＝＝．22．已知反比函y＝（k为常数）．（1）点P1（﹣1，y1）、P2（﹣2，y2）为此反比例函数图象上的两点，比较y1和y2的大小；（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点．过点P作PM⊥x轴于点M．O为坐标原点，若tan∠POM＝2，PO＝．求k的值．并直接写出不等式kx﹣＞0的解集．解：（1）∵k2+1＞0，∴反比例函数y＝（k为常数）在每一个象限内y随x的增大而减小，∵﹣2＜﹣1＜0，∴y1＜y2；（2）点P（m，n）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，m＞0，∴n＞0，∴OM＝m，PM＝﹣n，∵tan∠POM＝2，∴＝＝2，∴n＝2m，∵PO＝，∴m2+n2＝5，∴m＝1，n＝2，∴P（1，2），∴k2+1＝2，解得k＝±1，①当k＝﹣1时，则不等式kx﹣＞0的解集为：x＜0；②当k＝1时，则不等式kx﹣＞0的解集为：x＞或﹣＜x＜0．23．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线．（1）尺规作图：画出以CD为直径的⊙O，与AB交于点E，与AC交于点F；（2）若BC＝2，AC＝4，求DE的长；（3）连接EF，交CD于点P，若DP：PO＝3：2，求的值．解：（1）以C为圆心定长为半径画弧，以D为圆心定长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN交CD于点O，以O为圆心，OC为半径画圆；（2）连接CE，∴∠CEB＝ACB，∠ABC＝∠CBE，∴△ABC～△CBE，同理，△ACE～△ABC，∴＝＝2，AB＝，CE＝，∵S△ABC＝＝，∴BE＝，AE＝，∵，∴，（3）∵CD为△ABC中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF＝∠DCA＝∠DAC，∴FO∥AD，∴，∴，令DE＝3x，则CD＝4x＝AD＝BD，BE＝x，∴CE＝x，∴．24．如图，△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，过点A作AO⊥AC交BC于点O．（1）求证：BO＝BC；（2）设AB＝k．①以OB为半径的⊙O交BC边于另一点P，点D为CA边上一点，且CD＝2DA．连接DP，求S△CPD．②点Q是线段AB上一动点（不与A、B合），连接OQ在点Q运动过程中，求AQ+2OQ的最小值．解：（1）证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AO⊥AC，∴∠OAC＝90°，∠BAO＝30°，∴BO＝AO，AO＝CO，∴BO＝CO，∴BO＝BC；（2）①如图：∵AB＝k，∴AC＝k，Rt△AOC中，tan C＝，∴OA＝k＝OB，∵∠C＝30°，∴OC＝2OA＝k，∴CP＝OC﹣OP＝OC﹣OA＝k，∵CD＝2DA，∴DA＝，DC＝，Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝＝，∴∠AOD＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠C＝60°，∴∠AOD＝∠DOP＝30°，又OA＝OP，OD＝OD，∴△AOD≌△POD（SAS），∴∠DPO＝∠AOD＝90°，DA＝DP，∴DP＝，∴S△CPD＝CP•DP＝k2；②以A为顶点，AB为一边，在△ABC外部作∠BAN＝30°，过Q作QN⊥AN于N，过O作OM⊥AN于M，连接OQ，如图：在Rt△AQN中，∠BAN＝30°，∴NQ＝AQ，∵AQ+2OQ＝2（AQ+OQ），∴AQ+2OQ最小，即是AQ+OQ最小，故NQ+OQ最小，此时ON⊥AN，Q与Q'重合，N与M重合，OM长度即是AQ+OQ的最小值，而由①知：OA＝k，∠OAM＝∠OAB+∠BAM＝60°，Rt△AOM中，sin∠OAM＝，∴sin60°＝，∴OM＝，∴AQ+OQ的最小值为，∴AQ+2OQ的最小值是k．25．已知抛物线y＝﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为（﹣2，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点Q（h，k）为抛物线上一动点，且h≥0，k＞0．①过点Q作平行于BC的直线l1交线段AC于点D，记线段QD的长为d．当d取最大值时，求点Q的坐标；②点Q1为点Q关于y轴的对称点，又过点Q1作直线l1的平行线l2交直线AC于点D1．记线段Q1D1的长为d1，求当d＜d1时，h的取值范围．解：（1）把B（﹣2，0）代入y＝﹣x2+x+c，得过且﹣2﹣2+c＝0，解得c＝4，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝mx+4，则﹣2m+4＝0，解得m＝2，∴直线BC的解析式为y＝2x+4．（2）①如图1，作QE⊥x轴于点E，交线段AC于点F，作DG⊥QF于点G，设直线l1交x轴于点H．当y＝0时，由x2+x+4＝0，得x1＝﹣2，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝ax+4，则4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x+4，设Q（h，h2+h+4），则F（h，﹣h+4），∴QF＝h2+h+4+h﹣4＝h2+2h；∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵DG∥AB，FG∥OC，∴∠GDF＝∠OAC＝45°，∠GFD＝∠OCA＝45°，∴DG＝FG；∵OB＝2，OC＝4，∠BOC＝90°，∴BC＝＝2，∵∠QDG＝∠QHA＝∠CBO，∠DGQ＝∠BOC＝90°，∴△DGQ∽△BOC，∴DG：GQ：QD＝BO：OC：CB＝1：2：．∴GQ＝2DG＝2FG，DG＝FG＝QF，QD＝DG＝QF，∴d＝（h2+2h）＝h2+h＝（h﹣2）2+，∵＜0，∴当h＝2时，d的值最大，此时Q（2，4）．②如图2，作Q1R⊥x轴，交直线AC于点R，作D1P⊥Q1R于点P.∵∠Q1D1R＝∠CDH＝∠QDF，∠Q1RD1＝∠QFD，∴△D1Q1R∽△DQF，∴Q1D1＝Q1R，∵点Q1与点Q（h，h2+h+4）关于轴对称，∴Q1（﹣h，h2+h+4），R（﹣h，h+4），∴Q1R＝h+4+h2﹣h﹣4）＝h2，∴Q1D1＝×h2＝h2，由题意，得，解得2＜h＜4，∴h的取值范围是2＜h＜4．。