矩阵乘法ABBA成立的两个充要条件与一个充分条件
[最新]人教版数学高中选修2.3.2矩阵乘法的简单性质
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精品精品资料精品精品资料选修4－2矩阵与变换 2.3.2 矩阵乘法的简单性质学习目标1、通过几何变换，使学生理解一般情况下，矩阵乘法不满足交换律。
2、会验证矩阵的乘法满足结合律。
3、从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律。
学习过程：一、预习：阅读教材，体会下列知识：1、两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)C=A(BC),AB BA,由AB=AC不一定能推出B=C.2、理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系（1）两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换.（2）一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置（3）矩阵AB对应的复合变换顺序是先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵A对应的变换.如果连续对一个向量实施n次矩阵A对应的变换可以记为nA的形式.（4）在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵.练习1、对任意的二阶非零矩阵A、B、C，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB≠0; （3）若AB=AC，则B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A2≠0; （6）当E为单位矩阵时恒有：AE=EA=A.，其中真命题的序号为2、已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T1对应矩阵为M＝01-1，变换T2对应矩阵为N＝10.5对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释。
二、课堂训练：例1．已知梯形ABCD ，A （0，0），B （3，0），C （2，2），D （1，2），变换T 1对应的矩阵P ＝2001，变换T 2对应的矩阵Q ＝1002，计算PQ ，QP ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释。
例2、利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：（1）构造两个矩阵M ，N ，它们不满足MN=NM ；（2）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式01010101AB成立；（3）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式00000101AB 成立．练习：1. 已知：A=1000，B ＝1001，C ＝1002，计算AB ，AC 。
《矩阵乘法的性质》 知识清单
《矩阵乘法的性质》知识清单一、矩阵乘法的定义在数学中，矩阵乘法是一种重要的运算。
假设有两个矩阵 A 和 B，A 是 m×n 的矩阵，B 是 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C ＝ AB 是一个m×p 的矩阵。
具体的计算方法是，C 矩阵中第 i 行第 j 列的元素等于 A 矩阵的第 i 行元素与 B 矩阵的第 j 列元素对应相乘后相加。
例如，有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，那么 AB ＝ 1×5 ＋ 2×7 1×6 ＋ 2×8; 3×5 ＋ 4×7 3×6 ＋ 4×8 ＝ 19 22; 43 50二、矩阵乘法的结合律矩阵乘法满足结合律，即如果有三个矩阵 A、B、C，那么（AB)C ＝ A(BC)这意味着在进行多个矩阵相乘时，无论先计算哪两个矩阵的乘积，最终的结果都是相同的。
结合律的存在为我们在处理复杂的矩阵运算时提供了很大的便利，可以根据具体情况灵活选择计算顺序，以简化计算。
三、矩阵乘法的分配律矩阵乘法对加法满足分配律，包括左分配律和右分配律。
左分配律：A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC右分配律：（B ＋ C)A ＝ BA ＋ CA例如，有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，C ＝ 9 10; 11 12那么 A(B ＋ C) ＝ A(B) ＋ A(C)先计算 B ＋ C ＝ 14 16; 18 20A(B ＋ C) ＝ 1×14 ＋ 2×18 1×16 ＋ 2×20; 3×14 ＋ 4×18 3×16 ＋4×20 ＝ 50 56; 106 128AB ＝ 19 22; 43 50，AC ＝ 37 42; 79 94AB ＋ AC ＝ 50 56; 106 128，与 A(B ＋ C) 的结果相同。
充分条件,必要条件,充要条件的概念和符号
充分条件,必要条件,充要条件的概念和符号嘿，朋友！咱们今天来聊聊充分条件、必要条件还有充要条件，这可都是数学里的重要概念呢。
先来说说充分条件。
打个比方，就像你有一把能打开宝箱的神奇钥匙，只要你把这钥匙插进锁孔一转，宝箱就能打开。
这把钥匙就是打开宝箱的充分条件。
也就是说，如果某个条件 A 成立，那么结论 B 就一定成立，A 就是 B 的充分条件。
比如说，“如果今天下雨，那么地面就会湿”，这里“今天下雨”就是“地面会湿”的充分条件。
你想想，一下雨地面能不湿吗？再讲讲必要条件。
这就好比你要去参加一场超级重要的比赛，没有入场券你就进不去。
这入场券就是你能参加比赛的必要条件。
如果没有条件 A 成立，结论 B 就一定不成立，那么 A 就是 B 的必要条件。
比如说“只有努力学习，才能取得好成绩”，“努力学习”就是“取得好成绩”的必要条件。
不努力学习，能有好成绩吗？那啥是充要条件呢？这就像是一把钥匙和一个锁，这把钥匙只能开这一个锁，而且这个锁也只能被这把钥匙打开。
如果条件 A 成立，结论 B 就成立，反过来，结论 B 成立，条件 A 也成立，那 A 就是 B 的充要条件。
比如说“一个三角形是等边三角形，当且仅当它的三个内角都相等”，等边三角形和三个内角相等，就是相互的充要条件。
咱们在生活中也经常会碰到这些条件的例子。
比如说你想成为一名优秀的厨师，精湛的厨艺是不是就是必要条件？但只有精湛的厨艺就能成为优秀厨师吗？显然不是，还得有好的食材、卫生的环境等等，这些加起来可能才是成为优秀厨师的充分条件。
那在数学解题的时候，分清这些条件可重要啦！要是弄混了，解题就容易出错。
就像在黑暗中走路，方向错了，能走到目的地吗？所以啊，充分条件、必要条件、充要条件，一定要分得清清楚楚，这样咱们在数学的世界里才能游刃有余，你说是不是？总之，掌握好这些概念，能让咱们的思维更清晰，解题更准确！。
矩阵乘法条件(一)
矩阵乘法条件(一)矩阵乘法条件什么是矩阵乘法矩阵是数学中一种重要的数据结构，也是线性代数中的基础概念。
我们可以将矩阵想象成一个由数值构成的矩形表格，其中每一个数值都称为矩阵的元素。
矩阵乘法是指将两个矩阵相乘的操作。
它不同于矩阵的加法和减法，因为在乘法中，两个矩阵的对应元素之间不是简单相加或相减，而是经过一定的计算规则得到新的矩阵。
矩阵乘法条件要进行矩阵乘法，必须满足以下条件：•第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
否则，无法进行乘法运算，结果将是一个无意义的矩阵。
•两个矩阵的行数和列数并不需要相同。
在矩阵乘法中，并没有要求参与运算的两个矩阵的维度相同。
简而言之，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才能进行矩阵乘法运算。
矩阵乘法运算规则矩阵乘法运算规则如下：1.假设有一个m行n列的矩阵A，和一个n行p列的矩阵B，那么它们的乘积C是一个m行p列的矩阵。
2.乘积矩阵C的元素C[i][j]是通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素相乘后再求和得到的。
3.矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素相乘的结果，可以表示为A[i][k] * B[k][j]，其中k为矩阵A的列数或矩阵B的行数。
矩阵乘法示例为了更好地理解矩阵乘法的条件和运算规则，以下是一个示例：给定两个矩阵A和B：A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]根据矩阵乘法的条件，我们可以得知矩阵A的列数为3，矩阵B 的行数为3，满足相等条件，可以进行矩阵乘法运算。
根据矩阵乘法的运算规则，我们可以得到乘积矩阵C的维度为2行2列。
那么C的元素C[i][j]可以通过以下计算得到：C[0][0] = 17 + 29 + 311 C[0][1] = 18 + 210 + 312 C[1][0] = 47 + 59 + 611 C[1][1] = 48 + 510 + 612计算得到的乘积矩阵C为：C = [[58, 64], [139, 154]]这就是矩阵乘法的运算结果。
矩阵 乘法
矩阵乘法矩阵乘法是一种数学运算，它将两个矩阵相乘来求解特定的问题。
在线性代数中，矩阵乘法是一种重要的运算方法，用于解决复杂的线性方程组。
它的基本原理是将两个矩阵相乘，可以得到一个新的矩阵，即结果矩阵。
矩阵乘法定义为：如果A和B是m×n和n×p矩阵，则AB是m×p矩阵。
其中，AB = C，C矩阵的每个元素cij 等于A矩阵的第i行和 B矩阵的第j列所对应的元素之积之和，即：cij=∑k=1nAikBkj 。
因此，矩阵乘法最重要的特征是，它可以根据两个输入矩阵的大小而改变结果矩阵的大小。
如果A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则AB是m×p矩阵。
矩阵的乘法有几个特定的条件，这些条件必须满足，才能执行矩阵乘法。
这些条件是：1.矩阵A和B的行数应该相等，否则无法执行矩阵乘法。
2.矩阵A和B的列数应该相等，否则无法执行矩阵乘法。
3.矩阵A和B的列数应该等于矩阵C的行数，否则无法执行矩阵乘法。
4.矩阵A的行数也应该等于矩阵C的列数，否则无法执行矩阵乘法。
矩阵乘法的一些重要的性质包括：1.矩阵乘法的结果在整个空间中是不变的。
2.矩阵乘法是可交换的，即AB=BA。
3.矩阵乘法是可结合的，即(AB)C=A(BC)。
4.矩阵乘法的可加性，即A(B+C)=AB+AC。
矩阵乘法可以用来解决复杂的线性方程组，并可以用来解决许多矩阵运算问题。
它也可以用来计算矩阵的逆、行列式和特征值等。
矩阵乘法是矩阵运算的基础，因此它对于理解线性代数和解决线性方程组非常重要。
它是解决多个高级矩阵问题的基础，也是解决复杂的线性方程组的重要工具。
矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件
矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件大家好，我今天给大家讲解一下关于矩阵乘法的一个知识点，就是AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件。
首先我们来了解一下什么是矩阵乘法，矩阵乘法是指两个矩阵相乘的过程，我们用A*B表示这个过程，其中A和B是两个矩阵。
那么AB=BA 成立的两个充要条件是什么呢？这里我们先来说说充要条件。
1. 充要条件一：A是一个方阵，B是一个可逆矩阵。
什么叫方阵呢？就是一个矩阵的行数和列数相等。
什么叫可逆矩阵呢？就是一个矩阵的行列式不等于0的矩阵。
那么有了这两个条件，AB=BA就成立了吗？我们来看一个例子，假设A是一个2x2的方阵，B是一个3x3的可逆矩阵，那么AB*B的结果是不是还是一个2x2的方阵呢？答案是不一定，因为B*B的结果可能是一个不可逆矩阵，这时候AB*B就不等于BA了。
所以充要条件一是不成立的。
2. 充要条件二：A是一个可逆矩阵，B是一个方阵。
这个条件跟上面的第一个条件是一样的，只是把A和B的位置互换了一下。
所以充要条件二是成立的。
那么既然充要条件一和充要条件二是不成立的，我们再来看一下它们的逆否命题，也就是必要条件。
必要条件一：A不是一个方阵，或者B不是一个可逆矩阵。
这个条件告诉我们，如果AB≠BA成立，那么A一定不是一个方阵，或者B一定不是一个可逆矩阵。
我们来看一个例子，假设A是一个3x3的非方阵，B是一个2x2的可逆矩阵，那么AB≠BA就成立了，但是A不是一个方阵的条件就不成立了。
所以必要条件一是成立的。
接下来我们看必要条件二：A不是一个可逆矩阵，或者B不是一个方阵。
这个条件跟上面的第一个必要条件是一样的，只是把A和B的位置互换了一下。
所以必要条件二是成立的。
最后我们来看充分条件。
充分条件就是指在AB≠BA成立的情况下，还有其他的条件也成立。
那么我们来看一下，如果AB≠BA成立，那么一定是A和B的行列式不相等。
因为根据行列式的定义，行列式的值是A的每一行元素分别乘以B的每一列元素再求和得到的值。
矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件
矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件哎呀，你们这些学数学的家伙，总是搞些奇奇怪怪的东西。
今天我就来给大家讲讲一个有趣的话题：矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件。
别看这个话题有点儿枯燥，我保证讲完了以后你们会觉得这事儿还挺有意思的！我们来说说矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件。
啥叫充要条件呢？就是说这两个条件是等价的，不管你用哪个条件都能得到正确的结果。
那么，矩阵乘法AB=BA成立的充要条件有哪两个呢？第一个充要条件是：A是一个可逆矩阵。
啥叫可逆矩阵呢？就是说这个矩阵的行列式不等于0。
如果A是一个可逆矩阵，那么根据矩阵乘法的规则，AB=BA肯定是成立的。
反过来，如果AB=BA成立，那么A一定是可逆矩阵。
所以，第一个充要条件就是A是一个可逆矩阵。
第二个充要条件是：B是一个满秩矩阵。
啥叫满秩矩阵呢？就是说这个矩阵的行列式不等于0,而且它的行(向量)和列(向量)都是线性无关的。
如果B是一个满秩矩阵，那么根据矩阵乘法的规则，AB=BA肯定是成立的。
反过来，如果AB=BA成立，那么B一定是满秩矩阵。
所以，第二个充要条件就是B是一个满秩矩阵。
好了，说完了充要条件，我们再来说说一个充分条件。
啥叫充分条件呢？就是说只要满足这个条件，就一定能得到正确结果。
那么，矩阵乘法AB=BA成立的充分条件有哪一个呢？这个充分条件就是：A是一个正交矩阵，且B是一个上三角矩阵。
啥叫正交矩阵呢？就是说这个矩阵的行(向量)和列(向量)都是正交的。
如果A是一个正交矩阵，那么根据矩阵乘法的规则，AB=BA肯定是成立的。
而B是一个上三角矩阵的意思是说，B的每一行(向量)都只包含非零元素，且每个元素都小于等于它下面的元素。
这样的矩阵可以表示成B=P*P^T的形式，其中P是一个正交矩阵。
这样一来，AB=BA也成立了。
所以，充分条件就是A是一个正交矩阵，且B是一个上三角矩阵。
好啦，今天咱们就讲到这里了。
希望大家对矩阵乘法有了更深入的理解！如果你还有什么问题，欢迎随时来找我聊聊天。
矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件
矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件大家好，我今天要给大家讲解一个关于矩阵乘法的话题，那就是AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件。
我们来了解一下什么是矩阵乘法。
矩阵乘法就是一个矩阵和另一个矩阵相乘的过程，结果是一个矩阵。
那么，AB=BA成立的两个充要条件是什么呢？又有哪些充分条件呢？接下来，我将详细地给大家讲解这些问题。
我们来看一下AB=BA成立的两个充要条件。
第一个条件是A和B必须是可逆矩阵。
所谓可逆矩阵，就是满足行列式不为0的方阵。
如果A和B都是可逆矩阵，那么它们相乘的结果一定是可逆的，也就是说，AB=BA成立。
第二个条件是A和B的行数和列数必须相等。
如果A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么AB=BA成立的条件就是m=p。
这两个条件是AB=BA成立的必要条件，也就是说，没有这两个条件，AB=BA就不可能成立。
那么，有没有一些充分条件可以让AB=BA成立呢？其实也有。
第一个充分条件是A和B的行列式相等。
如果A和B的行列式相等，那么AB=BA也一定成立。
为什么呢？这是因为行列式的性质告诉我们，行列式等于元素对应位置的乘积之和。
如果A和B的行列式相等，那么它们的元素对应位置的乘积之和也一定相等，所以AB=BA也一定成立。
第二个充分条件是A和B的迹相等。
迹是指矩阵的主对角线元素之和。
如果A和B的迹相等，那么它们的主对角线元素之和也一定相等，所以AB=BA也一定成立。
好了，现在我们已经知道了AB=BA成立的两个充要条件和一个充分条件。
接下来，我要给大家讲解的是这些条件的理论背景。
我们来看一下可逆矩阵的概念。
可逆矩阵是指满足行列式不为0的方阵。
这个概念最早可以追溯到18世纪，当时数学家高斯对矩阵进行了深入的研究。
他发现，如果一个矩阵是可逆的，那么它一定有逆矩阵存在。
逆矩阵是指一个矩阵，它的行列式等于原矩阵的行列式的倒数，且满足与原矩阵相乘等于单位矩阵的条件。
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一 两个充要条件
▪ 定理1 若A,B都是n阶可逆矩阵，则矩阵乘法AB=BA 成立的充要条件是
( AB) 1 A 1 B 1
▪ 证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取逆矩阵， 得
( AB)1 (BA)1
(BA)1 A1B1.
( AB) 1 A1 B 1
▪ 充分性 由已知条件，得
A1 , B 1与( AB) 1 , (BA) 1 存在且唯一。
▪
B ( A I )1 A
(4)
▪ 根据矩阵运算性质,由（3),（4）两式.可得
AT BT [( A I )B]T [( A I ) 1 A]T
BT ( A I )T AT [( A I )1 ]
BT ( AT I ) AT [( A I )T ]1
BT ( AT AT AT )( AT Nhomakorabea I )1
( AB)T (BA)T
又 (BA)T AT BT , 故 ( AB)T AT BT
充分性 又矩阵运算性质
(BA)T AT BT , 及已知条件
( AB)T AT BT 即得 ( AB)T (BA)T
两端分别取它们的转置， 得AB=BA
二 一个充分条件
定理3 若A,B都是n阶可逆矩阵，并且满足关系式
BT AT ( AT I )( AT I )1
BT AT I BT AT
又 ( AB)T BT AT 故 (AB)T AT BT 根据上述定理2，知AB=BA. 综上所述，对于任意的实数 ,定理3的结 论总是 成立的。
由矩阵运算性质，有
( BA) 1 A1 B 1.
又
( AB) 1 A1 B 1 于是 ( AB) 1 (BA) 1
两端取逆矩阵，即得AB=BA.
▪ 定理2 设A,B都是n阶矩阵，则矩阵乘法AB=BA成 立的充要条件是
( AB)T AT BT
(2)
证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取它 们的转置，得
矩阵乘法AB=BA成立的两个充 要条件与一个充分条件
主讲：刘媛媛
我们知道，矩阵的乘法不满足交换律， 即在一般的情况下，AB≠BA,这就是说矩阵 乘法AB=BA成立是有条件的。比如，对于n 阶矩阵A,B中任意一个为n阶单位矩E时，矩 阵乘法AＩ=ＩA总是成立的。当A,B为一般 的n阶矩阵时，矩阵乘法AB=BA成立的条件 时什么呢？为此，我做了一些探讨，得到矩 阵乘法AB=BA成立的两个充要条件和一个充 分条件。
A (A I )B
（3）
其中I为n阶单位矩阵， 为任意实数，则AB=BA.
▪ 证 当=0时，（3）式变为A=AB，从而有
▪ B IB (A1 A)B A1(AB) A1(AB) A1 A In ▪ 结论显然成立。
▪ 当 为任意非零实数时，因为已知A,B可逆，
所以A-I也是可逆的，由（3）式，得.