例析构造函数的基本方法

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C++_构造函数与析构函数

C++_构造函数与析构函数构造函数与析构函数1 构造函数1.1 构造函数具有⼀些特殊的性质1.2 定义构造函数的⼀般形式1.3 利⽤构造函数创建对象2 成员初始化表3 缺省参数的构造函数4 重载构造函数5 拷贝构造函数5.1 ⾃定义拷贝构造函数5.2 缺省的拷贝构造函数5.3 调⽤拷贝构造函数的三种情况5.4 浅拷贝和深拷贝6 析构函数7 调⽤构造函数和析构函数的顺序8 对象的⽣存期构造函数和析构函数都是类的成员函数,但它们都是特殊的成员函数,执⾏特殊的功能,不⽤调⽤便⾃动执⾏,⽽且这些函数的名字与类的名字有关。

C++语⾔中有⼀些成员函数性质是特殊的，这些成员函数负责对象的建⽴、删除。

这些函数的特殊性在于可以由编译器⾃动地隐含调⽤，其中⼀些函数调⽤格式采⽤运算符函数重载的语法。

C++引进⼀个⾃动完成对象初始化过程的机制，这就是类的构造函数。

对象的初始化1. 数据成员是不能在声明类时初始化2. 类型对象的初始化⽅法：1. 调⽤对外接⼝（public成员函数）实现：声明类→定义对象→调⽤接⼝给成员赋值2. 应⽤构造函数（constructor）实现：声明类→定义对象→同时给成员赋值1. 构造函数构造函数是⼀种特殊的成员函数,它主要⽤于为对象分配空间,进⾏初始化。

1.1 构造函数具有⼀些特殊的性质:(1) 构造函数的名字必须与类名相同。

(2) 构造函数可以有任意类型的参数,但不能指定返回类型。

它有隐含的返回值,该值由系统内部使⽤。

(3) 构造函数是特殊的成员函数,函数体可写在类体内,也可写在类体外。

(4) 构造函数可以重载,即⼀个类中可以定义多个参数个数或参数类型不同的构造函数。

构造函数是不能继承(5) 构造函数被声明为公有函数,但它不能像其他成员函数那样被显式地调⽤,它是在定义对象的同时被调⽤的。

(6) 在声明类时如果没有定义类的构造函数，编译系统就会在编译时⾃动⽣成⼀个默认形式的构造函数，(7) 默认构造函数是构造对象时不提供参数的构造函数。

简析导数问题中构造辅助函数的常用方法

简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。

单例的构造函数和析构函数

单例的构造函数和析构函数单例模式是一种常用的设计模式，其目的是保证一个类只有一个实例，并提供一个全局访问点。

在实际开发中，我们经常需要使用单例模式来管理全局资源，例如日志、数据库连接等。

在本文中，我们将介绍单例模式的构造函数和析构函数的实现方法。

首先，我们需要了解什么是单例模式以及它的特点。

一、什么是单例模式单例模式（Singleton Pattern）是一种常用的软件设计模式。

它保证一个类只有一个实例，并提供一个全局访问点。

二、单例模式的特点1. 单例类只有一个实例对象；2. 该实例对象由单例类自行创建；3. 单例类必须向外界提供访问该实例对象的方法；4. 单例类可以有多个方法，这些方法操作该实例对象。

三、构造函数和析构函数1. 构造函数构造函数是一种特殊的成员函数，在创建对象时被调用。

它负责初始化对象的成员变量，并为对象分配内存空间。

在单例模式中，由于只有一个实例对象，因此需要对构造函数进行特殊处理。

下面是一个简单的示例代码：```class Singleton {private:static Singleton* instance;Singleton() {}public:static Singleton* getInstance() {if (instance == nullptr) {instance = new Singleton();}return instance;}};```在上面的代码中，我们定义了一个静态成员变量`instance`，并将构造函数设为私有。

这样就保证了只有单例类自己可以创建实例对象。

同时，我们定义了一个静态方法`getInstance()`，用于获取单例对象。

在该方法中，我们首先判断实例对象是否已经创建，如果没有，则创建一个新的实例对象并返回。

2. 析构函数析构函数是一种特殊的成员函数，在对象被销毁时被调用。

它负责释放对象占用的内存空间，并清理对象所持有的资源。

php构造函数和析构函数

php构造函数和析构函数PHP是一门功能强大且容易上手的编程语言，它具有高效快捷的特性，在Web开发中占有重要地位，广泛应用于开发各种类型的网站和应用程序。

PHP中的构造函数和析构函数是面向对象编程的两个最基本的概念，它们是构建PHP对象的重要组成部分。

本文将介绍PHP的构造函数和析构函数，它们的实际应用和作用。

1. 构造函数构造函数是在一个对象被创建时自动调用的函数，通常用于初始化对象的属性和方法。

在PHP中，构造函数的名称必须与类名称相同，这样对象才能正确地创建。

PHP中的构造函数是一个方法，它需要在类中进行定义。

1.1 构造函数的语法构造函数的语法如下：```php class ClassName { function__construct() { // 构造函数代码 } } ```在上面的代码中，类名为ClassName，构造函数名称为__construct()。

1.2 构造函数的实例化当创建一个对象时，PHP会自动调用类中的构造函数。

下面的代码是如何创建一个类的实例：```php $obj = new ClassName(); ```这样，PHP会自动调用类中的__construct()方法。

在构造函数中，您可以定义对象的属性和方法，或执行一些其他初始化任务。

例如，在下面的代码中，我们定义一个叫做Person的类，并在构造函数中设置我们的一些人名属性：```php class Person { private $name; private $age; private $gender;function __construct($name, $age, $gender){ $this->name = $name; $this->age = $age; $this->gender = $gender; } } ```通过这种方式，我们为这个类创建了一个简单的构造函数，可以使用该构造函数创建一个名为张三的人物。

C语言里面构造函数和析构函数的运用办法

C语言里面构造函数和析构函数的运用办法C语言里面构造函数和析构函数的运用办法摘要：构造函数与析构函数是一个类中看似较为简单的两类函数，但在实际运用过程中总会出现一些意想不到的运行错误。

本文将较系统的介绍构造函数与析构函数的原理及在C#中的运用，以及在使用过程中需要注意的若干事项。

关键字：构造函数；析构函数；垃圾回收器；非托管资源；托管资源一．构造函数与析构函数的原理作为比C更先进的语言，C#提供了更好的机制来增强程序的安全性。

C#编译器具有严格的类型安全检查功能，它几乎能找出程序中所有的语法问题，这的确帮了程序员的大忙。

但是程序通过了编译检查并不表示错误已经不存在了，在“错误”的大家庭里，“语法错误”的地位只能算是冰山一角。

级别高的错误通常隐藏得很深，不容易发现。

根据经验，不少难以察觉的程序错误是由于变量没有被正确初始化或清除造成的，而初始化和清除工作很容易被人遗忘。

微软利用面向对象的概念在设计C#语言时充分考虑了这个问题并很好地予以解决：把对象的初始化工作放在构造函数中，把清除工作放在析构函数中。

当对象被创建时，构造函数被自动执行。

当对象消亡时，析构函数被自动执行。

这样就不用担心忘记对象的初始化和清除工作。

二．构造函数在C#中的运用构造函数的名字不能随便起，必须让编译器认得出才可以被自动执行。

它的命名方法既简单又合理：让构造函数与类同名。

除了名字外，构造函数的另一个特别之处是没有返回值类型，这与返回值类型为void的函数不同。

如果它有返回值类型，那么编译器将不知所措。

在你可以访问一个类的方法、属性或任何其它东西之前，第一条执行的语句是包含有相应类的构造函数。

甚至你自己不写一个构造函数，也会有一个缺省构造函数提供给你。

class TestClass{public TestClass(): base() {} // 由CLR提供}下面列举了几种类型的构造函数1）缺省构造函数class TestClass{public TestClass(): base() {}}上面已介绍，它由系统（CLR）提供。

微专题(三)构造法在导数中的应用--2025年高考数学复习讲义及练习解析

近几年高考数学客观压轴题，多以导数为工具采用构造函数比较大小或求参数取值范围的形式出题，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明．类型一导数型构造函数(多角度探究)角度1利用f(x)与x n构造(1)对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，构造函数F(x)＝x n f(x)；(2)对于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，构造函数F(x)＝f(x)x n.例1函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且3f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x＋2024)3f(x＋2024)＋8f(－2)<0的解集为()A．(－2026，－2024)B．(－∞，－2026)C．(－2024，－2023)D．(－∞，－2020)答案A解析依题意，有[x3f(x)]′＝x2[3f(x)＋xf′(x)]<0，故y＝x3f(x)在(－∞，0)上是减函数，原不等式化为(x＋2024)3f(x＋2024)<(－2)3f(－2)，即0>x＋2024>－2，所以原不等式的解集为(－2026，－2024)．故选A.题目已知中出现含f(x)，f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新函数，然后再逆用单调性等解决问题．1．设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F(x)＝f(x)x，则F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，由当x<0时，xf′(x)－f(x)>0可得当x<0时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．又f(x)为偶函数，g(x)＝x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F(x)的图象(图略)，根据函数F(x)的图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．角度2利用f(x)与e nx构造(1)对于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常构造函数F(x)＝e nx f(x)；(2)对于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，其中n>0，通常构造函数F(x)＝f(x)e nx.例2(2023·湖北武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)－f′(x)>0，f(0)＝1，则关于x的不等式f(x)>e x的解集为()A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <1}D ．{x |x >1}答案B解析由f (x )>e x ⇒f (x )e x >1，设g (x )＝f (x )e x ⇒g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0⇒g (x )单调递减，且g (0)＝1，所以由f (x )e x>1⇒g (x )>1＝g (0)⇒x <0.故选B.若不等式满足“f ′(x )－nf (x )>0”的形式，优先构造函数F (x )＝f (x )e nx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可，注意所求问题的转化．2．(2024·湖北襄阳第五中学高三上学期月考)设f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，f (x )－f ′(x )＋2e x <0(e 为自然对数的底数)，且f (2)＝4e 2，则不等式f (x )>2x e x 的解集为________．答案(2，＋∞)解析设g (x )＝f (x )e x －2x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x －2＝f ′(x )－f (x )－2e x ex ，因为f (x )－f ′(x )＋2e x <0，所以g ′(x )>0，函数g (x )在R 上单调递增，又f (2)＝4e 2，所以g (2)＝f (2)e2－4＝0，由f (x )>2x e x ，可得f (x )ex －2x >0，即g (x )>0＝g (2)，又函数g (x )在R 上单调递增，所以x >2，即不等式f (x )>2x e x 的解集为(2，＋∞)．角度3利用f (x )与sin x ，cos x 构造由于sin x ，cos x 的导函数存在一定的特殊性，且它们之间可以相互转化，因此，要解由f (x )，f ′(x )，sin x ，cos x 构成的不等式，常用的构造方法如下：(1)对于f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(2)对于f ′(x )sin x －f (x )cos x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )sin x ；(3)对于f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )cos x；(4)对于f ′(x )cos x －f (x )sin x >0(或<0)，通常构造函数F (x )＝f (x )cos x .例3f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f ′(x )>f (x )tan x 成立，则()A ．3B ．3f (1)C ．6D ．2答案A解析由f ′(x )>f (x )tan x ，得f ′(x )cos x －f (x )sin x >0，构造函数F (x )＝f (x )cos x ，则F ′(x )＝f ′(x )cos x－f (x )sin x >0，故F (x )，则cos π6<cos π3＝即3故选A.若不等式满足或通过变形后满足“f ′(x )cos x －f (x )sin x >0”的形式时，优先考虑构造函数F (x )＝f(x )cos x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可，注意所求问题的转化．3．(2023·重庆市九龙坡区高三二模)已知偶函数f (x )－π2，f ′(x )，当0≤x <π2时，有f ′(x )cos x ＋f (x )·sin x >0成立，则关于x 的不等式f (x )>2x 的解集为________．答案－π2，－解析构造函数g (x )＝f (x )cos x ，0≤x <π2，g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(cos x )′cos 2x ＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x>0，所以函数g (x )＝f (x )cos x 在0，因为函数f (x )为偶函数，所以函数g (x )＝f (x )cos x 也为偶函数，且函数g (x )＝f (x )cos x 在0，所以函数g (x )＝f (x )cos x 在－π2，，因为x －π2，所以cos x >0，关于x 的不等式f (x )>2x 可变为f (x )cos x >cos π3也即g (x )>所以g(|x |)>|>π3，－π2<x <π2，解得π3<x <π2或－π2<x <－π3.－π2，类型二同构法构造函数例4(2023·重庆万州纯阳中学模拟)若0<x 1<x 2<1，则下列结论正确的是()A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2答案C解析令h (x )＝e x－ln x ，则h ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x，令φ(x )＝x e x －1，所以当0<x <1时，φ′(x )＝(x ＋1)e x >0，所以φ(x )在(0，1)上单调递增，又φ(0)＝－1，φ(1)＝e －1>0，所以∃x 0∈(0，1)，使得φ(x 0)＝0，即当x ∈(0，x 0)时，φ(x )<0，h ′(x )<0，当x ∈(x 0，1)时，φ(x )>0，h ′(x )>0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，1)上单调递增，故e x 2－ln x 2与e x 1－ln x 1的大小关系无法判断，故A ，B 均错误；令f (x )＝e xx ，则当0<x <1时，f ′(x )＝(x －1)e x x 2<0，故f (x )在(0，1)上单调递减，若0<x 1<x 2<1，则f (x 1)>f (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，所以x 2e x 1>x 1e x 2，故C 正确，D 错误．故选C.根据条件或结论特征构造具体函数，一般具有相似结构，利用这一特征构造具体函数，利用该函数单调性寻求突破口，在根据特征构造函数时，需要较强的观察力和联想力，灵活地针对不同特征构造出相应函数，这也需要我们平时注意积累，掌握一些常见函数模型．4．已知a ＝2e ，b ＝ln (3e)3，c ＝ln 5＋15，则()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c答案A解析因为a ＝2e ＝ln e ＋1e ，b ＝ln 3＋13，所以设f (x )＝ln x ＋1x，x ∈(1，＋∞)．因为f ′(x )＝－ln xx 2<0，所以f (x )在(1，＋∞)上是减函数，又e<3<5，所以a >b >c .故选A.5．已知变量x 1，x 2∈(0，m )(m >0)，且x 1<x 2，若x x 21<x x12恒成立，则m 的最大值为()A ．eB ．eC ．1e D ．1答案A解析x x 21<x x12，即x 2ln x 1<x 1ln x 2，化为ln x 1x 1<ln x 2x 2，故f (x )＝ln xx在(0，m )上为增函数，又由f ′(x )＝1－ln xx 2>0，得0<x <e ，故m 的最大值为e.故选A.。

构造法解数学题例析

・．
．
’ ．
。
‘ ．
‘
ＥＧ是００的切线Ｃ
ＬＧＣＢ＝ＬＢＡＣ
函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，生对于函数学的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时
也达到了训练学生的思维，强学生的思维的灵活性，拓性和增开
设＝ｘＦ３２，Ｃ＝ｘ由勾股定理，：得＋＝ＦＣ（。３）２）＋（＝（３）
‘ ，Ｅ（，）ＹｚＯ１，
．
解得：＝± （去负值）３舍
。
．
．
‘ ．
Ｏ＝一一＋１（一１（一）＞）Ｙ；＝ｙ）ｚ１０１）＝（＋ｚ）＋（一一＋）＝ｚＯ）一１，Ｙ＝１ｙ＞
Ｆ＝２ｘ＝６Ｅ
通过上述简单的例子说明了，造法解题有着在你意想不到构的功效，题很快便可解决。可见构造法解题重在 “ 造 ” 问构。它可
而，）一次函数，图象是直线，（是其
’
．
．
由Ｅ（，）０１恒有，）＞（０
・．．
Ｃ：Ｃ＝３ＥＤ
分析：题条件、此结论均具有一定的对称性，而难以直接证然明，妨用构造法一试。不证：造函数构
）Ｙ十一）：（＝１＋（一，＋），一１

导数中构造函数的常见题型与方法归纳

导数中构造函数的常见题型与方法归纳高考中有一难点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型及其处理方法．题型一f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型【例1】设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是() A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】令g(x)＝f(x)x，则g′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，由题意知，当x>0时，g′(x)<0 ，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0，∴g(1)＝f(1)1＝0，∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.又∵f(x)是奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；当x∈(－1,0)时，f(x)<0.综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．【例2】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________．【解析】借助导数的运算法则，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y＝f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由分析知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(0,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．【小结】(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；(2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.(3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)(g(x)≠0)；(5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)；(6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)x(x≠0)．题型二xf′(x)±nf(x)型【例3】设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)>x D．f(x)<x【解析】法一：令g(x)＝x2f(x)－14x4，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)－x3＝x[2f(x)＋xf′(x)－x2]，当x>0时，g′(x)>0，∴g(x)>g(0)，即x2f(x)－14x4>0，从而f(x)>14x2>0；当x<0时，g′(x)<0，∴g(x)>g(0)，即x2f(x)－14x4>0，从而f(x)>14x2>0；当x＝0时，由题意可得2f(0)>0，∴f(0)>0.综上可知，f(x)>0.法二：∵2f(x)＋xf′(x)>x2，∴令x＝0，则f(0)>0，故可排除B、D，不妨令f(x)＝x2＋0.1，则已知条件2f(x)＋xf′(x)>x2成立，但f(x)>x 不一定成立，故C也是错误的，故选A.【例4】已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是()A．(－∞，1) B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)【解析】∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，∴xf′(x)＋2f(x)>0.∵g(x)＝x2f(x)，∴g(x)也是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0.∵g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )在(－∞，0)递减．若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)，解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)．【小结】(1)对于xf ′(x )＋nf (x )>0型，构造F (x )＝x n f (x )，则F ′(x )＝x n －1[xf ′(x )＋nf (x )](注意对x n －1的符号进行讨论)，特别地，当n ＝1时，xf ′(x )＋f (x )>0，构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )>0；(2)对于xf ′(x )－nf (x )>0(x ≠0)型，构造F (x )＝f (x )x n ，则F ′(x )＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1(注意对x n ＋1的符号进行讨论)，特别地，当n ＝1时，xf ′(x )－f (x )>0，构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2>0. 题型三 λf (x )±f ′(x )(λ为常数)型【例5】已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( )A ．e 2 019f (－2 019)<f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．e 2 019f (－2 019)<f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)C ．e 2 019f (－2 019)>f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)D ．e 2 019f (－2 019)>f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)【解析】构造函数h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，即h (x )在R 上单调递减，故h (－2 019)>h (0)，即f (－2 019)e－2 019>f (0)e 0⇒e 2 019f (－2019)>f(0)；同理，h(2 019)<h(0)，即f(2 019)<e2 019·f(0)，故选D.【小结】(1)对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝e x f(x)；(2)对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x) e x.。

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例析构造函数的基本方法
一、用作差法构造函数
求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1
11 证明：设函数x x x f -+=)1ln()(，1111)(+-=-+=
'x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数，故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞，于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证），令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则，
当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，
∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++
+x x ∴111)1ln(+-
≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时
二、换元法构造函数
对任意的正整数n ，不等式3
211)11ln(n n n ->+ 都成立. 分析：从所证结构出发，只需令x n =1，则问题转化为：当0>x 时，
恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(23++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

【解析】令)1ln()(23++-=x x x x h ，则1)1(31123)(232+-+=++-='x x x x x x x h 在
),0(+∞∈x 上恒正，所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x 时，恒有，0)0()(=>h x h 即0)1ln(23>++-x x x ，∴32)1ln(x x x ->+
对任意正整数n ，取3211)11ln(),0(1n n n n x ->++∞∈=，则有
三、变量分离直接构造函数
已知函数()()ax x x ax x f --++=231ln .（1）若3
2为()x f y =的极值点，求实数a 的值；（2）若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围；
（3）若1-=a 时，方程()()x
b x x f =---311有实根，求实数b 的取值范围。

解：（1）因为32=x 是函数的一个极值点，所以0)3
2(='f ，进而解得：0=a ，经检验是符合的，所以.0=a （2）显然
(),231
2a x x ax a x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且
01≥+ax a 。

同时a x x --232此函数是31<x 时递减，31>x 时递增，故此我们只需要保证()02311≥--++='a a a f ，解得：.2
510+≤≤a （3）由于0>x ，所以()2ln x x x x b -+=32ln x x x x -+=()2321ln x x x x g -++=' ()x x x x x x g 1266212---=-+=''当67
10+<<x 时，(),0>''x g 所以()x g '在
67
10+<<x 上递增；当67
1+>x 时，(),0<''x g 所以()x g '在671+
>x 上递减；
又(),01='g ().6
710,000+<<='∴x x g 当00x x <<时，(),0<'x g 所以()x g 在00x x <<上递减；当10<<x x 时，(),0>'x g 所以10<<x x 上递增；
当1>x 时，(),0<'x g 所以()x g 在1>x 上递减；
又当+∞→x 时，(),-∞→x g ()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤-+=-+=41ln ln ln 232x x x x x x x x x x x g 当0→x 时，,041ln <+x 则(),0<x g 且()01=g ∴b 的取值范围为(].0,∞-
四、通过多次求函数的导数构造函数例．已知函数21()2
x f x ae x =- (1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围;(2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x
解：(1)f ′(x)＝ ae x
－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f ′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，
即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e -x ，
当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数, ∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a ≥1/e,即a 的取值范围是[1/e, + ∞)
(2)记F(X)=f(x) －(1+x) =)0(12
12>---x x x e x 则F ′(x)=e x -1-x, 令h(x)= F ′(x)=e x -1-x,则h ′(x)=e x
-1当x>0时, h ′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数,
又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0
即F ′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续, ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x ．
小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可
以转化为)(x
f的最大值（或m小
f
m<)恒成立，于是m大于)(x
f
m>(或)(x
于)(x
f的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．。