北师大版高中数学选修定积分教案
高中数学选修2-2 北师大版 1.2定积分学案
§1定积分的概念（第2课时）1.2定积分【学习目标】1.了解定积分的概念，理解定积分的几何意义；2.掌握定积分的基本性质及其应用.【重点难点】重点：定积分的几何意义定积分的性质 难点：定积分概念的理解【导学流程】一、课前预习1.阅读课本第78页“1.2定积分”内容，了解定积分的概念，理解定积分的几何意义，完成：（1）定积分的定义若函数y=f(x)在给定区间[a ，b]上，满足以下条件：①将区间[a ，b]n 等分，分点为：a=x 0<x 1<x 2<...<x n-1<x n =b ，第i 个小区间为[x i-1，x i ]，其长度为____________.②在第i 个小区间上取一点ξi ，使f(ξi )在区间[x i-1，x i ]上的值最大，求和 S=f(ξ1)△x 1+f(ξ2)△2+...+f(ξi )△x i +...+f(ξn )△n .③在第i 个小区间上取一点ζi ，使f(ζi )在区间[x i-1，x i ]上的值最小，求和 S=f(ζ1△x 1+f(ζ2)△2+...+f(ζi )△x i +...+f(ζn )△n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们A 是函数y-f(x)在区间[a ，b]上的________，记为____________，即_________________________. （2）()⎰badx x f 中符号的意义符号 ⎰a b f(x) 名称（3）定积分的几何意义、物理意义 定积分的几何意义：当f(x)≥0时，()⎰ba dx x f 表示____________________________________；定积分的物理意义：当f(x)表示速度关于时间x 的函数时，()⎰badx x f 表示______________________________________________________. 2.认真分析第79页例题，掌握利用定积分的几何意义求定积分的方法，完成：第80页练习. 3.阅读第80页“定积分的性质”，完成“思考交流”.同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容目标达成_______________________________________________________； 收获新知_______________________________________________________； 我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.下列等于1的定积分是（ ） A.⎰1xdx B.()⎰+101dx x C.⎰11dx D.⎰1021dx 2.设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间[-a ，a]上的积分⎰-aadx x f )(，由定积分的几何意义和性质得⎰-aadx x f )(=（ ）A.0B.2⎰-0)(adx x f C.⎰-0)(adx x f D.⎰adx x f 0)(3.⎰-224dx x =（ ）A.πB.2πC.3πD.4π 4.已知3)(2=⎰dx x f ，则[]⎰+26)(dx x f =（ ）A.9B.12C.15D.18 5.课本第81页A 组5.6.课本第81页A 组6.。
第四章 定积分章末总结 教案(高中数学选修2-2 北师大版)
1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限． 2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．若F ′(x )＝f (x )，⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a )．求下列定积分：(1)⎠⎛3－39－x 2d x ；(2)⎠⎛e 1e |ln 3xx|d x . 【思路点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解．【规范解答】 (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为3的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有⎠⎛3－39－x 2d x ＝π·322＝9π2. (2)∵|ln 3xx |＝⎩⎨⎧－ln 3x x ，1e≤x ≤1，ln 3xx ，1≤x ≤e ，∴⎠⎛e 1e |ln 3x x |d x ＝⎠⎛11e (－ln 3x x )d x ＋⎠⎛1eln 3x x d x .∵(ln 4x 4)′＝ln 3xx ，∴⎠⎛e 1e |ln 3x x|d x ＝－ln 4x 4|错误!＋错误!错误!错误!＝－ln 414＋ln 41e 4＋ln 4e 4－ln 414＝12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【解】 图像如图．⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝＝1＋(2－π)＋(4－0)＝7－π.广泛的应用．求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．求由曲线y ＝x 2，y ＝x ，及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．【思路点拨】 画出草图→求交点坐标→确定被积函数及积分上、下限→求定积分【规范解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 得B (2,4)．如图阴影部分面积为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝12x 2|10＋x 2|21－13x 3|21＝76. 故所围成的平面图形的面积为76.求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．【解】 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一 选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x 32⎪⎪⎪ 20＋(223x 32－12x 2＋4x )⎪⎪⎪82 ＝18.法二 选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛2－4(4－y －y 22)d y ＝(4y －12y 2－16y 3)⎪⎪⎪2－4＝18.i i 理学中有“路程＝速度×时间”，“功＝力×位移”等等．故应用定积分可以研究物理学中变速运动物体行驶的路程(位移)、变力做功等问题．图4－1一物体在做变速直线运动，其v －t 曲线如图4－1所示，求该物体在12～6 s 间的运动路程．【思路点拨】 根据图像求出速度函数v (t )后，求定积分，求路程．【规范解答】 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝⎠⎛612v (t )d t ＝⎠⎛1122t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36(13t ＋1)d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪112＋2t ⎪⎪⎪ 31＋(16t 2＋t )⎪⎪⎪63＝494.即该物体在12～6 s 间的运动路程为494m.一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线，如图4－2所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4处，力F (x )做的功．图4－2 【解】 由力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10(0≤x <2)，3x ＋4(2≤x ≤4)，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x |20＋(3x 2＋4x )|42＝46(J).积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限．如图4－3所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．图4－3【思路点拨】 确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．【规范解答】 S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积．即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3；S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t (t －12)＝0，得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝12时，S 最小，所以最小值为S (12)＝14.计算由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝(x －1)3围成的平面图形的面积． 【解】 画出直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝(x －1)3.所围成的图形如图所示．∴S ＝||⎠⎛1－1(x －1)3d x＋⎠⎛12(x －1)3d x ＝⎪⎪⎪⎪14(x －1)4|1－1＋14(x －1)4|21＝4.25.综合检测(四) 第四章 定积分(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.⎠⎛14x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )【解析】 由定积分的几何意义易知选项B 正确． 【答案】 B2．已知f (x )为偶函数，且⎠⎛6－6f (x )d x ＝8，则⎠⎛06f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16【解析】 由f (x )为偶函数，知f (x )的图像关于y 轴对称， 则⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8，∴⎠⎛06f (x )d x ＝4.【答案】 B3．若⎠⎛0a (2－3x )d x ＝－2(a >0)，则a 的值为( ) A ．2 B.23C ．2或23D ．2或－23【解析】 ∵a >0，⎠⎛0a (2－3x )d x ＝(2x －32x 2)|a 0＝2a －32a 2，由题知2a －32a 2＝－2，解得a＝2.【答案】 A。
北师大版高中数学选修定积分教案
定积分复习小结一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积取 ，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系 ；计算()baf x d x ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
高中数学4.1.2定积分 学案 (北师大选修2-2)
4。
1.2 定积分一、学习目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、能用定积分的定义求简单的定积分；3、了解定积分的几何意义；二、重点难点：学习重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义学习难点:定积分的概念、定积分的几何意义三、学习过程:（一)、复习回顾1.用“四步曲”: 求得曲边梯形的面积S=_________________________2.用四步曲求得变速运动的路程S=_____________________________.（二）、定积分的概念阅读教材P.45-46，完成下列问题问题1：函数)(x f在区间[]b a,上连续，如同曲边梯形面积的“四步曲"求法写出其运算过程。
问题2：当n→∞时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分,记做⎰∑=∞→-=ba n i i n f n ab dx x f 1(lim )(ξ）,其中a 与b 分别叫做与 ，区间[,]a b叫做 ，函数()f x 叫做 ,x 叫做 ，()f x dx 叫做 。
(三）、定积分的几何意义阅读教材P.46,完成下面问题问题3：定积分的几何意义是：______________________________ 。
例1：利用定积分的定义，计算⎰103dx x 的值。
(4)1(2122333+=+++n n n )练习1：利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-1021的大小.练习2：利用定积分的定义，证明a b dx ba-=⎰1,其中b a ,均为常数且b a <.（四）、定积分的运算性质问题4：定积分的运算性质有以下3条，分别为：性质1:性质2：性质3：（五）、课堂小结1、定积分的概念；2、根据定积分的定义求简单的定积分；3、定积分的几何意义．四、学习反思。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
高中数学第四章定积分2微积分基本定理教学案北师大版选修
2 微积分基本定理[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛12x d x 的值． 提示：⎠⎛12x d x ＝32.问题3：求F (2)－F (1)的值． 提示：F (2)－F (1)＝12×－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有 ∫b a fx d x ＝F b －F a定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数． 在计算定积分时，常常用记号F (x )| ba 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫b a f (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40]求简单函数的定积分[例1]计算下列各定积分：(1)∫10(2x ＋3)d x ； (2)∫0－π(cos x ＋e x)d x ；(3)∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x .[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析](1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x， ∴∫0－π(cos x ＋e x)d x ＝(sin x ＋e x)| 0－π＝1－e－π.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2，∴∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x | 31＝7＋13＝3. [一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎛1e.1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln e －ln 1＝1.答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x ＝x 33 |21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211xd x＝12x 2 |21＋ln x |21＝12×－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：2x 2d x ；(2) ⎠⎛23(2－x 2)·(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，2x 2d x ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π2＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛23(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－－23＋14×24 ＝－74.求分段函数的定积分[例2]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨]按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，[2,4]三段积分求和．[精解详析]图像如图．⎠⎜⎛2π2⎠⎛04f (x )d x ＝20π⎰sin x d x ＋22π⎰d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )|20π＋x |22π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |42 ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.[一点通](1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝() A.34 B.45 C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |0－1＋13x 3 |10＝cos 1－53.含参数的函数的定积分[例3]已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b的值．[精解详析]f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t |x 0＝a 3x 3＋b2x 2＋x .∵f (x )为奇函数，∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________.解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪1＝k －1＝2 013，∴k ＝2 014. 答案：2 0147．已知函数f (a )＝∫a0sin x d x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：f (a )＝∫a0sin x d x ＝－cos x|a 0＝－cos a ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1. 答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |1＝a 2＋b ＝1， 所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．[对应跟踪训练十五]1．下列积分值等于1的是() A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x解析：∫101d x ＝x ⎪⎪ 10＝1.答案：C2．(福建高考)⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝()A ．1B ．e －1C ．eD.e ＋1解析：⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|1＝(e 1＋1)－e 0＝e.答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝() A.213 B.3 C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C. 答案：C4．函数F (x )＝∫x0t (t －4)d t 在[－1,5]上() A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋0 －0 ＋ F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－3，F (5)＝－3，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：∫a－a x 2d x ＝x 33| a－a ＝a 33－－a33＝18⇒a ＝3.答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1.答案：17．求下列定积分： (1)∫212x 2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x .解：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x＝∫21(2x ＋1x＋1)d x＝∫212x d x ＋∫211xd x ＋∫211d x＝x 2|21＋ln x |21＋x |21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π2sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x＝(－cos x ＋sin x ) |π＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.。
高中数学 第四章《定积分》教案 北师大版选修2-2
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案§1定积分概念第一课时曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．xxx 11yyy把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案姚连省编制
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案扶风县法门高中 姚连省 §1 定积分概念 第一课时 曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
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定积分复习小结
一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁
1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1
lim
n
i
i
n i f x ξ→∞
=∆∑= ；其中⎰
叫做
a 叫做
b 叫做 ()f x 叫 ;
4、
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积
取 ，在x 轴下方的面积取
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；
()b
a
f x dx ⎰
，
()b
a
f x dx ⎰
，()b
a
f x dx ⎰的关系 ；
计算
()b
a
f x d x ⎰
时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()b
a
f x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上
()0
f x <()b
a
f x dx ⎰
= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()b
a
f x dx ⎰=
5、定积分的性质：
1b a
dx ⎰= ()b
a
kf x dx ⎰
= ()()b
a f x g x dx ±⎡⎤⎣
⎦⎰=
（定积分对积分区间的可加性）
()b
a
f x dx ⎰=
6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有
()b
a
f x dx ⎰=
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分
()b
a
f x dx ⎰= =()()F b F a -
8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()a
a
f x dx -=⎰
若()f x 在[]
,a a -上连续，且是奇函数，()a
a
f x dx -=⎰
（二）、方法点拨：
1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
2、求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前的平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的图形的范围；（3）确定被积函数；（4）v=()2b
a
f x dx π⎰
（三）、例题探究
例1、给出以下命题：（1）若
0)(>⎰
dx x f b
a
，则f (x )>0； （2）4sin 20
=⎰dx x π
;
（3）应用微积分基本定理，有
)1()2(1
2
1
F F dx x
-=⎰
, 则F (x )=ln x ； （4）f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则dx x f dx x f T
a T
a
⎰
⎰
+=)()(0
；
其中正确命题的个数为 （ ） 答案：B A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
学生练习，教师准对问题讲评。
例2、求由曲线2
2y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积。
2232123201
:(23)(32)1331(2)|(2)|32231x x dx x x dx
x x x x x x ⎰+-+⎰--=+-+--=1201解由题意知阴影部分的面积是:
S=
x
y
12
例3、如图所示，已知曲线2
1:C y x =与曲线()22:21C y x ax a =-+>交于点O 、A ，
直线()01x t t =<≤与曲线1C 、2C 分别相交于点D 、B ，连结,OD DA AB ,。
写出曲边四．．．边形．．
ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式()S f t =。
解：（Ⅰ）由22
,2,y x y x ax ⎧=⎨=-+⎩
得点()()20,0,,O A a a ．又由已知得()()22,2,,B t t at D t t -+． 故()()()222
20
112222
t
S x ax dx t t t at t a t =
-+-
+-+-⨯-⎰
()()3232
01132t x ax t t at a t ⎛⎫=-
+-+-+⨯- ⎪⎝⎭
3
2
332211232
t at t t at a t ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭
3
2216
t a t a t =
-+． ()()3221
016
S f t t at a t t ∴==-+<≤．
例4、物体A 以速度2
31v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ） 解：设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有B 5A S S =+ 即
2
(31)105t t t dx tdx +=+⎰
⎰
3200055t t t +=+ 22000(1)5(1)t t t +=+ 0t =5 (s)
所以 A S =2
055t +=130 (m)
（四）、课堂练习：课本P95页复习题四A 组1、2
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11 五、教后反思：。