平移巧解题_PDF版
中考数学复习微专题：用顶点坐标解抛物线平移的问题(pdf版)
用顶点坐标解抛物线平移的问题我们知道，抛物线的开口方向和形状由二次项系数a 确定，其位置由抛物线的顶点坐标确定.因此要确定一个二次函数的解析式或图象，只需要确定二次项系数a 和顶点坐标.本文以各地中考试题为例对抛物线的平移问题作一简单的概括和分析，以供读者参考.一、主要题型及解题策略题型1 已知原抛物线和平移过程，求平移后的新抛物线.策略 先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标;根据平移过程，确定平移后新抛物线的顶点坐标;再由新抛物线的顶点坐标和a 的值求出新抛物线解析式 题型2 已知原抛物线和平移后的新抛物线，求平移过程.策略 先将原抛物线和平移后的新抛物线的解析式化为顶点式，确定其顶点坐标;再由原抛物线的顶点坐标平移到新抛物线顶点坐标来确定抛物线的平移过程.注 特殊问题用特殊的方法(注意数形结合的思想).二、常见题型的解题分析1.求平移后抛物线的解析式例1 将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个 单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )(A) 2(1)4y x =-+(B) 2(4)4y x =-+(c) 2(2)6y x =++(D) 2(4)6y x =-+解 抛物线223y x x =-+的顶点坐标为(1,2)，将点(1 ,2)向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位得到点的坐标为(4,4) ,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 2(4)4y x =-+.故选B.2.求平移前抛物线的解析式例 2抛物线，2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3 个单位，所得图象的函数解析式为2(1)4y x =--，则b 、c 的值为( )(A) 2,6b c ==- (B) 2,0b c ==(C) 6,8b c =-= (D) 6,2b c =-=分析 抛物线2(1)4y x =--的顶点坐标为(1，－4)，因为它是由2y x bx c =++的顶点坐标先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，所以2y x bx c =++的顶点为(－1,－1)，其平移前的抛物线为22(1)12y x x x =+-=+，即2,0b c ==.故选B.例3 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是21y x =+，则原抛物线的解析式不可能的是( )(A) 21y x =- (B) 265y x x =++(C) 244y x x =++ (D) 2817y x x =++分析 函数21y x =+的顶点坐标为(0,1)抛物线21y x =-的顶点坐标为(0，－1)，将(0，－1)向上平移1个单位，再向上平移1个单位，得到(0,1).即抛物线21y x =-向上平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线21y x =+.故A 正确.抛物线265y x x =++的顶点坐标为(－3，－4)，(－3，－4)无法经两次简单变换得到 (0，－1).即抛物线265y x x =++无法经两次简单变换得到21y x =+.故B 不正确. 抛物线244y x x =++的顶点坐标为(－2,0)，将－2,0)向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到(0,l).即抛物线244y x x =++向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线21y x =+.故C 正确.抛物线2817y x x =++的顶点坐标为(－4,1)，将(－4,1)向右平移2个单位，再向右平移2个单位，得到(0,1).即抛物线2817y x x =++向右平移2个单位，再向右平移2个单位，可得到抛物线21y x =+.故D 正确.故答案选B. 3.求抛物线的平移过程例4 要将抛物线223y x x =++平移后得到抛物线2y x =，下列平移方法正确的是( )(A)向左平移1个单位，再向上平移2个单位(B)向左平移1个单位，再向下平移2个单位(C)向右平移1个单位，再向上平移2个单位(D)向右平移l 个单位，再向下平移2个单位分析 抛物线223y x x =++的顶点坐标为(－1,2)，新抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0).将点(－1,2)平移到点(0,0)的过程为:向右平移1个单位，再向下平移2个单位.故选D. 例5若把函数y x =的图象用(,)E x x 记，函数21y x =+的图象用(,21)E x x +记，…则2(,21)E x x x -+可以由2(,)E x x 怎样平移得到( )(A) 向上平移1个单位 (B)向下平移1个单位(C)向左平移1个单位 (D)向右平移1个单位分析 2(,21)E x x x -+和2(,)E x x 表示的函数图象是抛物线(解析式分别为221y x x =-+和2y x =);其顶点坐标分别为(1,0)和(0,0)，将点(0,0)平移到点(1 ,0)的过程为向右平移1个单位.故选D.4.求经过一个定点的抛物线解析式例6如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A (0,3)，那么所得新抛物线的表达式是 .分析 设将抛物线221y x x =+-向上平移m 个单位，其图象经过A (0,3)，则其顶点 由(－1，－2)平移到顶点(－1,2m -)，新抛物线为2(1)2y x m =++-;将点A (0,3)代入，解得m =4.故新抛物线的表达式为:2(1)2y x =++.5.抛物线不动，求平移坐标系，后抛物线的解析式例7 在平面直角坐标系中，如果抛物线23y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是( )(A) 23(3)3y x =-+ (B) 23(3)3y x =--(C) 23(3)3y x =++ (D) 23(3)3y x =+-分析 原抛物线23y x =不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移3个单位，相当于坐标系不动，把原抛物线23y x =，分别向下、向左平移3个单位.其顶点由(0,0)平移到顶点 (－3，－3)，故新抛物线的解析式为23(3)3y x =+-.故选D.6.求满足某些特殊条件的平移方法例8 将抛物线C :2310y x x =+-平移到C '.若两条抛物线,C C '关于直线1x =对称，则下列平移方法中正确的是( )(A)将抛物线C 向右平移52个单位 (B)将抛物线C 向右平移3个单位(C)将抛物线C 向右平移5个单位(D)将抛物线C 向右平移6个单位分析 抛物线C ：2310y x x =+-的顶点坐标为349(,)24--，新抛物线与原抛物线关于直线1x =对称，即新抛物线的顶点与原抛物线的顶点也关于直线1x =对称，所以新抛物线的顶点坐标为749(,)24-，即将抛物线C 向右平移5个单位得到C '.故选C。
运用平移法解决几何问题
解：把图形中左边的阴影部 也就是5×4=20cm 分向右平移5厘米，得到一个 即使本题变一下，问的是阴 阴影的小正方形 影部分的面积，对我们来说 所以 周长为 5×4=20cm 也是很容易解决的。
练习3：求下图S形水泥弯路面的面积。(单位：米)
水
30
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
甲
泥
乙
路
6
分析：本题相对上题就复杂很多，对于弯路的形状，根本 无法运用公式求出。那么下面，我们如果把图中的弯路面 左边甲部分向右平移 6米，使 S形水泥路面的两边重合，图 形就转化为了下图：
30 甲 6
乙
这时， S 形水泥路面的面积 就转化为了图中阴影部分的 面积，而这个面积显然就非 常好求了，即30×6=180㎡
解：把图中的弯路面左边甲部分向右平移 6米，使S形水泥路 面的两边重合,其中甲所移动的路径（阴影）便是所求面积。 所以 面积为 30×6=180㎡
平移法
第五小组=巫坚林+刘汝锋+唐伙健+严小珊
1.概念
所谓平移法，是说在看不出几何图形面积的计算方法时， 通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离， 使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出 图形的解题方法。 对于某些几何计算题,在不改变面积的前提下 ,采用平移的方 法适当改变图形的形状或位置 ,可以给解决问题带来明显的 效果。
2.平移法解决阴影问题
例:3：计算下图中阴影部分的周长(单位：厘米) 5
5
5
分析：本题阴影部分就是一个不规则的图形，尤其是左边 正方形中的阴影，我们无法直接用公式计算出来，而如果 把图形中左边的阴影部分向右平移5厘米，就可以把图形转 换为下图的样子：
利用平移巧妙解题
利用平移巧妙解题平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.现举例说明.一、求图形的面积例1 如图1，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？简析 利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质可使本题迅速解决.由图形可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，其长为（a －c ），宽为（b －c ），所以面积为：（a －c ）（b －c ）＝ab －ac －bc +c 2.说明 这里通过平移的知识，避免了对图形的分割，使求解简洁、方便.二、求线段的长度例2 如图2，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？简析 我们可以利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC 上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC 上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少为5.6米+2.8米＝8.4米，此总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.8平方米×40元/平方米＝1018元.说明 这道若要通过逐步计算，你会觉得比较复杂的，而运用了平移的知识，则问题就显得这么简单，因此，同学们在学习平移知识时一定要用心去体会.图1c B图2图3E CBDA三、说明角的关系例3 如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＜BC ，则∠B 与∠C 的数量关系怎样？试说明你的理由.简析 由于∠B 与∠C 的位置较散，故考虑将∠B 与∠C 变换到同一个三角形中来.而AD ∥BC ，AD ＜BC ，故将线段AB 沿着AD 的方向平移AD 长，即点B 平移到点E ，此时有DE ＝AB ，DE ∥AB ，所以∠DEC ＝∠B ，于是，在△DEC 中，因为DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠C ，故∠B ＝∠C .说明 本题从平移的角度来思考问题，使问题简洁获解.四、比较线段的大小例4 如图4，在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且BE ＝CF ，则FE ＜BC 吗？为什么？简析 由于已知条件中的线段BE 、CF 和结论中的线段FE 、BC 比较散，所以我们可以考虑运用平移的知识将这四条线段相对集中，即将EF 平移到BM ，则此时BE 平移到MF ，这样只要说明BC ＞BM 即可，而由于CF ＝BE ＝MF ，再考虑到MF 与CF 的对称关系，作∠MFC 的平分线交BC 于点D ，易得DM ＝DC ，因为BD +DM ＞BM ，所以BC ＞EF ，即FE ＜BC .说明 若已知条件中出现相互平行且相等的线段自然要想到利用平移知识解决问题，若条件中并没有出现这些问题，我们要想利用平移的知识求解，则可通过平移使有关线段或角相对集中，从而可降低求解的难度.五、最短路径设计例5 如图5，A 、B 两城市之间有一条国道，国道的宽为a ，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A 、B 两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.简析 不妨设国道的两边分别为l 1、l 2，桥为MN ，那么从A 到B 要走的路线就是A →M →N →B 了，如图5，而MN ＝a ＝定值，于是要使路径最短，只要AM +BN 最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，若设想先过桥，即平移MN 于AC ，从C 到B 应是余下的路程，连结BC 的线段即为最短的，此时不难说明线段BC 与国道边缘l 2的交点N 就是修桥的位置.图5BDFBAC E图4 M说明本题是设计建桥的位置，却隐含了平移的知识，体现了数学知识与社会生活的紧密联系，既能使我们在具体情况中分析、解决问题，又很好地培养和锻炼了同学们的发散思维能力.。
高中数学平移解题技巧
高中数学平移解题技巧在高中数学中，平移是一个非常常见的题型，它涉及到函数的平移、图形的平移等等。
掌握平移解题技巧可以帮助我们更好地理解和解决这类问题。
本文将以具体的题目为例，分析平移解题的考点和方法，并给出一些解题技巧，希望对高中学生和他们的父母有所帮助。
一、函数的平移函数的平移是指将函数图像沿着坐标轴平行地移动到新的位置。
常见的平移有水平平移和垂直平移两种。
1. 水平平移水平平移是指将函数图像沿着x轴平行地移动到新的位置。
我们以一道典型的题目为例：已知函数f(x)的图像如下图所示：[插入一道函数图像的示意图]若函数g(x)的图像是将f(x)的图像向右平移3个单位得到的，求g(x)的解析式。
解题思路：由于平移是在x轴方向进行的，所以我们只需要在f(x)的解析式中将x替换为x-3即可。
因此，g(x)的解析式为g(x)=f(x-3)。
2. 垂直平移垂直平移是指将函数图像沿着y轴平行地移动到新的位置。
同样以一道题目为例：已知函数f(x)的图像如下图所示：[插入一道函数图像的示意图]若函数g(x)的图像是将f(x)的图像向上平移2个单位得到的，求g(x)的解析式。
解题思路：由于平移是在y轴方向进行的，所以我们只需要在f(x)的解析式中将f(x)的整体加上2即可。
因此，g(x)的解析式为g(x)=f(x)+2。
二、图形的平移除了函数的平移，图形的平移也是高中数学中常见的题型。
图形的平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向移动到新的位置。
以一道典型的题目为例：已知△ABC的顶点A(-2,3)，B(1,2)，C(-1,-1)，将△ABC沿着x轴正方向平移4个单位，得到△A'B'C'，求△A'B'C'的顶点坐标。
解题思路：由于平移是在x轴方向进行的，所以我们只需要将△ABC的每个顶点的x坐标都加上4即可。
因此，△A'B'C'的顶点坐标为A'(-2+4,3)=(2,3)，B'(1+4,2)=(5,2)，C'(-1+4,-1)=(3,-1)。
中考数学复习：专题7-1 利用平移巧妙解题
专题01利用平移巧妙解题【专题综述】平移与轴对称一样，也是图形的一种基本变换，在日常生活应用也十分广泛.在解题中巧妙利用平移，可以起到化繁为简，事半功倍的效果.【方法解读】例1：如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？【举一反三】如图在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是2m）则空白部分表示的草地面积是（）A. 70B. 60C. 48D. 18二、求线段的长度例2：如图，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？【举一反三】某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示．请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？三、说明角的关系例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＜BC ，则∠B 与∠C 的数量关系怎样？试说明你的理由.【举一反三】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD ，且∠ABC 为锐角，AD ＝4，BC ＝12，点E 为BC 上一动点。
试求：当CE 为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？第21题图CDE BA四、比较线段的大小例4：如图，在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且BE ＝CF ，则FE ＜BC 吗？为什么？【举一反三】如图所示，AD ∥BC ，∠ABC ＝80°，∠BCD ＝50°，利用平移的知识讨论BC 与AD +AB 的数量关系．五、最短路径设计例5：如图，A、B两城市之间有一条国道，国道的宽为a，现要在国道修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A、B两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.【举一反三】如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）①请画出架桥的位置（不写画法）②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.【强化训练】1．如图，阴影部分的面积为 ( )A.a 2；B.2a 2；C.a 2；D.4a 2. 2．(1)已知图1将线段AB 向右平移1个单位长度,图2是将线段AB 折一下再向右平移1个单位长度,请在图3中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形；(2)若长方形的长为a ,宽为b ,请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩下部分的面积；(3)如图4，在宽为10 m ,长为40 m 的长方形菜地上有一条弯曲的小路,小路宽度为1 m ,求这块菜地的面积.3．如图，凯瑞酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯，已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，已知这种地毯每平方米的售价是60元.请你帮助酒店老板算下，购买地毯至少需要多少元？4．如图，张三打算在院落里种上蔬菜，已知院落为东西长32 m ，南北宽20 m 的长方形，为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青椒、菜豆、黄瓜等蔬菜，若每条道路的宽均为1 m ，求蔬菜的总种植面积是多少？5．（阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是____．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b ＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.7．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB .试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此230时AM+NB=（）A．6 B. 8 C. 10 D. 128．如图1，在▱ABEF中，AB=2，AF＜AB，现将线段EF在直线EF上移动，在移动过程中，设线段EF的对应线段为CD，连接AD、BC．（1）在上述移动过程中，对于四边形的说法不正确的是BA．面积保持不变B．只有一个时刻为菱形C．只有一个时刻为矩形D．周长改变（2）在上述移动过程中，如图2，若将△ABD沿着BD折叠得到△A′BD（点A′与点C不重合），A′B交CD于点O．①试问A′C与BD平行吗？请说明理由；②若以A′、D、B、C为顶点的四边形是矩形，且对角线的夹角为60°，求AD的长．9．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD 集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．10．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： =；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．。
平移图形好解题
．
．
四边 形 Ａ Ｎ是 平 行 四 边 形 ． ＭＥ
・
． ．
Ａ Ｅ Ａ ／ Ｎ． Ｍ： Ｎ， Ｍ／Ｅ
ＢＭ ：Ａ Ｃ ． ＢＭ Ｅ ： ＡＣＭ ：
Ａ
在 △Ａ ＭＣ和 ＡＢ ＭＥ 中 ，
． ． ．
９ ０。． Ｅ＝Ｍ Ｃ 。
’ ． ．
△ Ａ ＣＭ △ Ｂ Ｅ ．
温 馨 小 提 示 ： 线 段 Ａ 向 右 平 移 ， 成 平 行 四 边 形 ， 分 散 将 Ｍ 构 把
的 条 件 Ａ Ｂ 等 线段 的 长 度 集 中 到 同一 个 三 角 形 中 ，从 而 发 现 Ｍ、 Ｄ
Ａ 与 曰 的 垂 直 关 系． Ｍ Ｄ
例 ４ 如 图 ５ ＡＡ Ｃ 中 ， Ｃ＝ ０ ，点 Ｍ 在 Ｂ 上 ，且 曰 ， Ｂ ９。 Ｃ ＝ ＡＣ，点 Ⅳ 在 Ａｃ上 ， 且 Ａ ｃ， Ｍ 与 Ｂ 相 交 于 点 Ｐ Ⅳ＝ Ａ Ｎ ．求 证 ：
图 ３
ｆ
； 米
ｊ
Ｃ ＋ — 一 ５
．
６米＿——
等 于 横 向 直 角 边 的 长 度 ，纵 向线 段 的长 度 之 和就 等 于 纵 向 直 角 边
的 长 度 ， 以地 毯 的 总 长 度 至 少 为 ５ 所 ． ＋． ＝． ６米 ２８米 ８４米 ， 面 积 为 总
８ ． × ４米 ３米 ＝ ５ ２ ． 方 米 ，所 以 购买 地 毯 至 少 需 要 ２ ． 方 米 ｘ ０ ２平 ５ ２平 ４
羹 羹蠹 露
解 ：将 图 １中 的 阴影 部 分 平 移 在 一
图 １
起， 图 ２ 如 ．在 长 方 形 ＡＢ Ｄ 中 ， 的 长 Ｃ 它
为 小 正 方 形 的 边 长 ，宽 为 两 正 方 形 的 边
专题18 巧用图形的平移解决几何问题
专题18 巧用图形的平移解决几何问题阅读理解：在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向右（或向左）平移k个单位长度；反之如果把一个点向右（或向左）平移k个单位长度，就是把这个点的横坐标都加（或减去）一个正数k．在平面直角坐标系内，如果把一个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向上（或向下）平移k个单位长度；反之如果把一个点向上（或向下）平移k个单位长度；就是把这个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k．【典例18】应用探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对等边三角形ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到等边三角形△A′B′C′及其内部的点，其中点A（﹣3，0），B（3，0）的对应点分别为A′（﹣1，2），B′（2，2）．已知等边三角形ABC内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F坐标【解析】（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，设点B表示的数为a，则a+1＝2，解得a＝3，设点E表示的数为b，则b+1＝b，解得b＝；（2）根据题意，得：，解得：，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+＝x，y+2＝y，解得x＝1，y＝4，所以，点F的坐标为（1，4）【巩固提升】1、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D 与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．【分析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．【解析】(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°，∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,∴α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=1BC．2又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=1BC=AC.∴△ADC为正三角形．2①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.∵CA=CE=CD=CF,∴四边形ADEF为矩形．②当α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,∴2∠F AC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,∴∠F AC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．2、如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．（1）试说明AD∥BC的理由；（2）试求∠CAN的度数；（3）平移线段BC．①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．【解析】（1）∵AP∥DQ，∴∠D+∠DAB＝180°．∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．∵∠ABC＝80°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．∵∠1＝∠2，∴∠CAM＝∠BAM．∴∠NAM+∠CAM＝∠DAM+∠BAM，即：∠CAN＝∠DAB∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°，（3）①不会．∵AP∥DQ，∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，∴∠AMD：∠ACD＝2，②∵AP∥DQ，AD∥BC，∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC，∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，∴∠NAB﹣∠NAC＝∠DAC﹣∠NAC，即：∠1＝∠DAN．∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，∴∠ACB＝∠DAC＝75°．3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．（1）在图中画出△A′B′C′；（2）直接写出A′、C′点的坐标；（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．【解析】（1）△A′B′C′如图：（2）∵平移后点B和点A刚好重合，∴平移后，对应点的横坐标增加3，纵坐标减小1，又∵顶点A的坐标是（1，3），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），∴A′、C′点的坐标分别为（4，2），（1，﹣2）；（3）∵P点的坐标是（a，b），∴平移后的对应点P′的坐标是（a+3，b﹣1）．4、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为；（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为；（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为；△A2B2C2的面积为．【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1坐标为（1，﹣4）；故答案为：（1，﹣4）；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，2）；故答案为：（2，2）；（3）点P（a，b）沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移4个单位长度后，对应点的坐标为（a+3，b+4），△A2B2C2的面积为．故答案为：（a+3，b+4），．5、如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为∠B与∠D的大小关系为；（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠FDG＝α，其它条件不变，则∠B＝．【解析】（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；（2）∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠B，由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DFE﹣∠DCE，∴∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，在△DEF中，∠DEF＝180°﹣2∠DFE，在△DFG中，∠DGF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE，∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，∵DG平分∠CDE，∴∠CDG＝∠EDG，∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，∴∠FDG＝∠DCE，即∠FDG＝∠B，∵∠B＝60°，∴∠FDG＝×60°＝30°；（3）思路同（2），∵∠FDG＝α，∴∠B＝2α，故答案为：（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；（3）2α．6、如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC 的度数．【解析】（1）如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；（3）如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．。
平移典型例题及练习含答案
平移典型例题及练习含答案一、知识点复平移是指在平面内，一个图形沿某个方向移动一定距离的变换。
平移的要素包括方向和距离，其中方向是原图上的点指向它的对应点的射线方向，距离是连接原图与平移后图形上的一对对应点的线段的长度。
平移具有不改变图形形状和大小，仅改变位置的性质。
平移后的图形与原图形上对应点连成的线段数量相等，位置关系是平行或在同一条直线上。
判断一组图形能否通过平移得到的方法是看对应点连线是否平行或在同一条直线上，以及形状、大小是否发生变化，位置的变化是否由平移产生。
二、典型例题题型1：生活中平移现象生活中的平移现象包括：推开教室的门、急刹车时汽车在地面上的滑动等。
因此，答案为B。
题型2：平移的性质在平移过程中，对应线段一定相等，对应线段的位置关系是平行或在同一条直线上，周长不变，因此正确的选项为①②③。
题型3：与平移有关的计算将△XXX沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE。
连接AE，若△ABC的面积为2，则△XXX的面积为4.例题6】：如图所示，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是多少？答案：由于△ABE和△DCF是平移，所以它们的周长相等。
设△ABE的周长为16cm，则△DCF的周长也为16cm。
因为AE、DC交于点G，所以△ADG和△CEG是全等三角形，它们的周长之和为2×AD+2×CE=2×AG+2×CG=2×AC=2×(AE+EC+CD)=2×16cm=32cm。
例题7】：如图所示，大矩形长是10厘米，宽是8厘米，阴影部分宽为2厘米，则空白部分面积是多少？答案：阴影部分的面积为10cm×2cm=20cm²，所以空白部分的面积为80cm²-20cm²=60cm²。
例题8】：如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？答案：如图所示，将长方形地块分成四个小矩形和一个中间的正方形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用平移巧解题
【类型一：利用平移求线段长度】
1、如图所示是一个会场的台阶的侧视图，要在上面铺上红地毯，则至少需要多少米的红地毯才能铺好整个台阶？
2．如图，长方形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小长方形的周长之和为多少？
3、如图,将周长为12的△ABC沿BC方向平移得到△DEF,AD=2,则四边形ABFD 的周长是多少？
【类型二：利用平移求面积】
4、小区门口有一块长30米，宽20米的草坪，现在为了方便大家出行，要在草坪中间设计横竖各1米宽的小路，求剩下的草坪面积。
变式1：小区门口有一块长30米，宽20米的草坪，现在为了方便大家出行，要在草坪中间设计横竖各1米宽的小路，但竖向的小路变为倾斜的，宽仍是1米，求剩下的草坪面积。
变式2：小区门口有一块长30米，宽20米的草坪，现在为了方便大家出行，要在草坪中间设计横竖各1米宽的小路，但竖向的小路变为弯折的，宽仍是1米，求剩下的草坪面积。
5．如图，在长为50m，宽为30m的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，其他部分均种植花草．试求种植花草部分的面积是多少？
6、Rt△ABC沿射线AB的方向平移AD的距离得到△DEF.已知BE=4，EF=8，CG=3，求图中阴影部分的面积。
【类型三：利用平移比较线段】
7、王老师在黑板上写出了一道题：如图①，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，试比较AC＋BD与AB的大小．小聪思考片刻就想出来了，如图②，他说将AB平移到CE位置，连接BE，DE，就可以比较AC＋BD与AB的大小了，你知道他是怎样比较的吗？
8、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.
(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
(2)求线段BD的长．
9、
10、如图所示，半圆弧AB平移到半圆弧CD的位置时所扫过的面积为___.、。