考研数学历年真题(2008-2017)年数学二
2017年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2017年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若函数f(x)=在x=0处连续，则( )A．ab=1／2B．ab=-C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选A．2．设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1，f(0)=-1且f”(x)＞0，则( ) A．∫-11f(x)dx＞0B．∫-11f(x)dx＜0C．∫-10f(x)dx＞∫01f(x)dxD．∫-10f(x)dx＜∫01f(x)dx正确答案：B解析：f(x)为偶函数时满足题设条件，此时∫-10f(x)dx=∫01f(x)dx，排除C，D．取f(x)=2x2-1满足条件，则∫-11f(x)dx=∫-11(2x2-1)dx=-＜0，选B．3．设数列{xn}收敛，则( )A．B．C．D．正确答案：D解析：特值法：A取xn=π，有xn=π，A错；取xn=-1，排除B，C．所以选D．4．微分方程y”-4y’+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为yk=( )A．Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)B．Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)C．Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)D．Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)正确答案：C解析：特征方程为：λ2-4λ+8=0λ1．2=2±2i∵f(x)=e2x(1+cos2x)=e2x+e2xcos2x，∴y1*=Ae2x，y2*=xe2x(Bcos2x+Csin2x)，故特解为：y*=y1*+y2*=Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)，选C．5．设f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)，都有＞0，则( )A．f(0，0)＞f(1，1)B．f(0，0)＜f(1，1)C．f(0，1)＞f(1，0)D．f(0，1)＜f(1，0)正确答案：D解析：f(x，y)是关于y的单调递减函数，所以有f(0，1)＜f(1，1)＜f(1，0)，故答案选D．6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt，∫0t0v2(t)dt，则乙要追上甲，则∫0t0v2(t)dt-v1(t)dt=10，当t0=25时满足，故选C．7．设A为三阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得P-1AP=，则A(α1，α2，α3)=( )A．α1+α2B．α2+2α3C．α2+α3D．α1+2α2正确答案：B解析：P-1AP=A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)=α2+2α3，因此B正确．8．已知矩阵A=，则( )A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：由|λE-A|=0可知A的特征值为2，2，1，因为3-r(2E-A)=1，∴A可相似对角化，即A～由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1．因为3-r(2E-B})=2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴A～C，但B不相似于C．填空题9．曲线y=x(1+arcsin)的斜渐近线方程为_______．正确答案：y=x+2解析：∵=2，∴y=x+2．10．设函数y=y(x)由参数方程确定，则d2y／dx2=|t=0_______．正确答案：解析：11．∫0+∞dx=_______．正确答案：1解析：12．设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且af(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______．正确答案：xyey解析：f’x=yey，f’y1=x(1+y)ey，f(x，y)=∫yeydx=xyey+c(y)，故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey，故c’(y)=0，即c(y)=c，由f(0，0)=0，即f(x，y)=xyey．13．∫01dy∫y1dx=_______．正确答案：lncos1解析：∫01dy∫y1dx=∫01dx∫0xdy=∫01tanxdx=lncos1．14．设矩阵A=的一个特征向量为，则a=_______．正确答案：-1解析：设α=，由题设知Aα=λα，故(1 1 2)T=λ(1 1 2)T故a=1．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二真题(2008年)
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
1.
2.
3.
4.
6.
7.
8.
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
9.
11.
12.
13.
14.
三、解答题：15～22小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
17.
19.
21.
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
1. D
2. C
3. D
4. A
5. B
6. A
7. C
8. D
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
9. 2
10. y=-xe-x+Cx
11. y=x+1
12. (-1，-6)
14. λ=-1
三、解答题：15～22小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案
（Ⅱ）记 则 可逆，
即 .
【难易度】★★
【详解】
解析：
则 。记 ，则
则 ，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数 连续，且 ，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程 的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
Hale Waihona Puke 【详解】解析： 的间断点为 ，而 ，故 是可去间断点；
， ，故 是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
【详解】
解析：令
得方程组 即 ，解得 或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设 元线性方程组 ，其中 ， ， .
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
．
（Ⅱ）由克莱姆法则， 时方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将 得第一列换成 ，得行列式为
所以， ．
（Ⅲ）当 时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ，其中 为任意常数．
考研数二历年真题答案
考研数二历年真题答案为了帮助考研数学二科目的学生更好地备考，以下整理了近几年的考研数学二历年真题及其详细答案。
通过仔细研究和解析这些真题，考生们可以更好地了解考试内容和出题思路，从而更有针对性地复习和备考。
一、2000年考研数学二真题及答案（下面是2000年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）二、2001年考研数学二真题及答案（下面是2001年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）三、2002年考研数学二真题及答案（下面是2002年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）四、2003年考研数学二真题及答案（下面是2003年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）五、2004年考研数学二真题及答案（下面是2004年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）六、2005年考研数学二真题及答案（下面是2005年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）七、2006年考研数学二真题及答案（下面是2006年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）八、2007年考研数学二真题及答案（下面是2007年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）九、2008年考研数学二真题及答案（下面是2008年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十、2009年考研数学二真题及答案（下面是2009年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十一、2010年考研数学二真题及答案（下面是2010年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十二、2011年考研数学二真题及答案（下面是2011年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十三、2012年考研数学二真题及答案（下面是2012年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十四、2013年考研数学二真题及答案（下面是2013年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十五、2014年考研数学二真题及答案（下面是2014年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
）十六、2015年考研数学二真题及答案（下面是2015年考研数学二的真题及其答案，请考生查看。
2008年数学二 考研数学真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数（ ）()A 0()B 1 ()C 2()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'()axf x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()22,Df u v F u v +=，则Fu∂=∂（ ） ()A ()2vf u()B ()vf u()C ()2vf u u()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =（10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （11）求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. （12）已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. （13）矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且2A =-48，则λ=_______.（14）设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+，则A 的非零特征值为 .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (17)（本题满分10分） 求积分21⎰(18)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值. (19)（本题满分10分）曲线()y f x =满足(0)1f =对于任意的t 曲线是严格递增，在x 轴上0t >，该曲线与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为()V t ,侧面积为()S t .如果()f x 二阶可导,且()2()S t V t =，求曲线()y f x =. (20)（本题满分11分） 求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤（21）（本题满分11分） 证明(1)积分中值定理；(2)已知()x ϕ在[1,3]上连续且可导，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰证明至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ'=使得. （22）（本题满分11分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0TB = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（23）（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关； （2）令()123,,P a a a =，求1P AP -。
2008年考研数学二试题答案与解析
(B) E − A 不可逆, E + A可逆. (D) E − A 可逆, E + A不可逆.
[C]
(8)
设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
,则在实数域上与
A
合同的矩阵为
(A)
⎛ −2
⎜ ⎝
1
1 −2
⎞ ⎟ ⎠
.
(B)
⎛2
⎜ ⎝
−1
−1⎞
2
⎟ ⎠
.
(C)
⎛2
⎜ ⎝
1
1⎞
2
⎟ ⎠
.
(D)
⎛1
⎜ ⎝
NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导!
由定积分性质,有
m(b
−
a)
≤
b
∫a
f
(
x )dx
≤
M
(b
−
a)
即
m
≤
b
1 −
a
b
∫a
f
(
x)dx
≤
M
由连续函数介值定理可知,至少存在一点η ∈[a,b] ,使得
f
(η
)
=
b
1 −
a
b
∫a
f
( x)dx
即
b
∫a
f
( x)dx
=
f
(η )(b − a)
x = ln (1+ t2 )
dy dx
=
dy
dt dx
=
ln (1+ t2 ) ⋅ 2t
2t
=
(1+ t2 ) ln (1+ t2 )
dt
2017年考研数学二真题与解析
x lim
1x 2
1
， lim
f (x) b
f (0) ，要使函数在 x 0 处连续，
x0
x0
ax
x0 ax 2a x0
必须满足 1 b ab 1 ．所以应该选（A）
2a
2
2．设二阶可导函数 f (x) 满足 f (1) f (1) 1 ， f (0) 1 ，且 f (x) 0 ，则（ ）
2 1
a
1
1 2
1
2
3
2a
2
，解得 a
1 ．
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
x
求极限 lim 0 x0
x tetdt x3
【详解】令 x t u ，则 t x u , dt du ， x x tetdt x uexudu
0
0
x
lim 0
x0
x tetdt
A(1 , 2 , 3 )
AP
P
0
1
0
1,
2
,3
0
1
0
0,2, 23
0 0 2
0 0 2
所以 A(1 2 3) A1 A2 A3 2 23 ，所以可知选择（B）．
2 0 0
2 1 0
1 0 0
8．已知矩阵
A
0
2
1
，
B
0
2
0
，C
0
2
0
，则
0 0 1
0 0 1
19．（本题满分 10 分）
设函数 f (x) 在区间 0,1上具有二阶导数，且 f (1) 0 ， lim f (x) 0 ，证明：
x x0
2008考研数学二真题及答案
2008考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()4sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题020xt dx te dtx --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭OO O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =L ，()1,0,,0B =L ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -. 参考答案 一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确.本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x xx x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x yy xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-， 将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-=⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)z x ∂=-∂本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=Q 3|2|2||A A = 32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+Q 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)xd ye x dx=+本题的难度值为0.742.(17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524. (19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知20()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+， 即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a a a a A r ar aaa a =-=O O L OO O OO O OO OO121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++O K O OO OO证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-OO O OO21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=L即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+L1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa a a a D na a a a a --⨯-⨯-===O O OO O OO O OO OO所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M O O M此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +L L为任意常数．本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)Q 11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似
二、填空题：9~14 题，每小题 4 分，共 24 分.
（9）曲线 y x1 arcsin 2 的斜渐近线方程为
x
（10）设函数 y
y(x
)由参数方程
x
y
t et sin t
d 2y
确定，则
dx 2
2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）若函数
f
(x)
1 cos ax
x , x 0 在 x=0 连续，则
b, x 0
(A) ab 1 2
(B) ab 1 2
(C) ab 0
dy d2y
,求
dx
x 0 , dx 2
x 0
-2-
（17）（本题满分 10 分）
求 lim n
n k 1
k n2
ln
1
k n
（18）（本题满分 10 分）
已知函数 y(x) 由方程 x3 y3 3x 3y 2 0 确定，求 y(x) 的极值
（19）（本题满分 10 分）
设函数
f (x) 在0,1 上具有 2 阶导数，
f (1) 0, lim x0
f (x) 0 ，证明 x
（1）方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根；
（2）方程 f (x) f (x) [ f (x)]2 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同的实根.
（20）（本题满分 11 分）
8x1x3
2x2 x3 在正交变换
x
Qy
下的标准型为 1 y12
2 y22
求 a 的值及一个正交矩阵 Q .
-3-
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.
（1）设 a1 x(cos x 1) ， a2 x ln(1 3 x ) ， a3 3 x 1 1.当 x 0 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到
a
的一个特征向量为
1
，则
a
3 1 1
2
三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
x
求 lim 0 x 0
x tetdt x3
（16）（本题满分 10 分）
设函数f
u ,v
具有 2 阶连续偏导数， y f
e x ,cosx
0 0 2
(A)1 2
(B)2 23
(C)2 3
(D)1 22
2 0 0
2 1 0
1 0 0
（8）已知矩阵 A 0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0 2 0 ，则
0 0 1
0 0 1
0 0 0
(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似 (C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似
(D) ab 2
（2）设二阶可到函数 f (x) 满足 f (1) f (1) 1, f (0) 1且 f (x) 0 ，则
(A) 1 f (x)dx 0 1
(C)
0 f (x)dx
1
f (x)dx
1
0
（3）设数列xn 收敛，则
(B) 1 f (x)dx 0 2
(D)
1 f (x)dx
（22）（本题满分 11 分）
三阶行列式 A (1,2 ,3 ) 有 3 个不同的特征值，且3 1 22 （1）证明 r( A) 2 （2）如果 1 2 3 求方程组 Ax b 的通解
（23）（本题满分 11 分）
设二次型
f
(x1, x2, x3)
2x2 1
x22
ax2 3
2x1x2
(A) Ae2x e2x (B cos 2x C sin 2x)
(B) Axe2x e2x (B cos 2x C sin 2x)
(C) Ae2x xe2x (B cos 2x C sin 2x)
(D) Axe2x xe2x (B cos 2x C sin 2x)
（5）设
f
(x,
y)
具有一阶偏导数，且在任意的 (x,
y) ，都有
f
(x, x
y)
0,
f
(x, x
y)
0,
则
(A) f (0, 0) f (1,1)
(B) f (0, 0) f (1,1)
(C) f (0,1) f (1, 0)
(D) f (0,1) f (1, 0)
（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线 v v1 t （单位:m/s）
已知平面区域 D x ,y x 2 y 2 2y ，计算二重积分 x 1 2 dxdy D
（21）（本题满分 11 分）
设 y(x) 是区间 (0, 3) 内的可导函数，且 y(1) 0 ，点 P 是曲线 L : y y(x) 上的任意一点， L 在点 P 处的切线 2
与 y 轴相交于点 (0,YP ) ，法线与 x 轴相交于点 ( X P , 0) ，若 X p YP ，求 L 上点的坐标 (x, y) 满足的方程。
虚线表示乙的速度曲线 v v2 t ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 t0 （单
位:s）,则
(A) t0 10
(B)15 t0 20 (C) t0 25
(D) t0 25
-1-
0 0 0 （7）设 A 为三阶矩阵， P (1,2 ,3) 为可逆矩阵，使得 P1AP 0 1 0 ，则 A(1,2 ,3)
t 0
（11）
0
ln(1 x )dx 1x 2
=
（12）设函数f x ,y 具有一阶连续偏导数，且df x ,y ye ydx x 1 y e ydy ,f 0,0 0 ，则
f x,y =
（13）
1
dy
1 tan x dx
0 yx
4 1 2
1
（14）设矩阵 A
1
2
1
f (x)dx
1
0
(A)当 lim sin n
xn
0 时， lim n
xn
0
(C)当
lim(
n
xn
x2 ) n
0
,
lim
n
0
(B)当
lim
n
xn
( xn
xn ) 0
时，则 lim n
xn
0
(D)当
lim(
n
xn
sin
xn )
0 时， lim n
xn
0
（4）微分方程 yk