高中数学第1章解三角形章末过关检测卷苏教版必修5

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(练习) 必修5第一章解三角形检测

必修5第一章解三角形检测一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a等于( ) A.6 B ．2 C.3 D. 22．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c=A ．1B ．2 C.3－1 D. 33．△ABC 的三边分别为2m ＋3，m 2＋2m ，m 2＋3m ＋3(m >0)，则最大内角度数为( )A ．150°B ．120°C ．90°D ．135°4．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，且cos B cos C ＝cb，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．正三角形5．在△ABC 中，关于x 的方程(1＋x 2)sin A ＋2x sin B ＋(1－x 2)sin C ＝0有两个不等的实数根，则A 为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在6．在△ABC 中，A ＝45°，b ＝4，c ＝2，那么cos B ＝( )A.31010 B ．－31010C.55 D ．－557．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( )A ．30°或150°B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．△ABC 三边长分别是3,4,6，则它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是( )A ．1 1B ．1 2C ．1 4D ．4 39．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC ＝( )A.532B. 3C.52D ．510．关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B －cos 2C2＝0有一个根为1，则此三角形为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形11．若△ABC 的三边为a 、b 、c ，它的面积为a 2＋b 2－c243C 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．在△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ，且∠A ＝2∠B ，若a ＝xb ，则x 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,2) 二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8 5，则此三角形面积为________．14．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________． 15．在四边形ABCD 中，AB ＝6，BD ＝33，BC ＝4，∠ADB ＝∠CBD ，A ＝60°，则△BCD 面积为__________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55.(1)求角B 的大小； (2)若c ＝4，求△ABC 面积．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠A ＞∠B ＞∠C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．20．(本小题满分12分)已知∠A 、∠B 满足条件b －b cos A ＝a －a cos B ，若∠A 、∠B 是△ABC 的内角，且∠A 的对边是a ，∠B 的对边是b .试确定△ABC 的形状．。

高中数学第1章解三角形综合检测苏教版必修5

第1章解三角形(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，a ＝2，则b ＝________. 【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2×2212＝2 2.【答案】 2 22．(2013·合肥高二检测)在▱ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝________.【解析】 AD ＝BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝462＋432－2×46×43×22＝4 3. 【答案】 4 33．(2013·九江高二检测)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.【解析】 ∵b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc ＝12. ∵C ＞π2，∴B ＝π6.∴A ＝B ＝π6，∴a ＝b ＝1.【答案】 14．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则此三角形是________．【解析】设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，其中t ＞0. 由于a ＜b ＜c ，所以C 是最大角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14＜0，所以C 是钝角．【答案】钝角三角形5．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是________．【解析】 c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝219.∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝4×32219＝5719. 【答案】57196．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.【解析】 ∵S ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，∴a ＝42＋12－2×4×cos 60°＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2339.【答案】2339 7．(2013·厦门高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为________．【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，∴c ＝3，∴B 为最大角．∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－17.【答案】－178．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＝3，则△ABC 的面积为________．【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴3sin 60°＝bsin 45°，∴b ＝2，C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 75°＝3＋34.【答案】3＋349．下面四个命题：①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 必是等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 是直角三角形；③若cos A ·cos B ·cos C ＜0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B )·cos(B－C )·cos(C －A )＝1，则△ABC 是等边三角形．其中正确的是________．(填序号)【解析】对于①，由sin 2A ＝sin 2B ，得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，因此①不正确；对于②，假设A ＝120°，B ＝C ＝30°，符合sin A ＝cosB ，但此时三角形不是直角三角形，因此②不正确；对于③，由cos A ·cos B ·cosC ＜0可知cos A ，cos B ，cos C 中必有一个负值，两个正值，因此△ABC 必为钝角三角形，所以③正确；对于④，由cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1可知，只有满足cos(A －B )，cos(B －C )，cos(C －A )都等于1时，才有cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1成立，所以A ＝B ＝C ，故此三角形为等边三角形，所以④正确．综上可知③④正确．【答案】 ③④10．(2013·镇江高二检测)已知△ABC 的三边长满足等式a 2－b －c2bc＝1，则A 的值为________．【解析】等式可化为a 2－(b 2＋c 2)＝－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°11．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔和轮船原来的距离为________．【解析】画出示意图如图． △ABC 中，AB ＝10，BC ＝53， ∠BAC ＝60°.由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°，得AC 2－10AC ＋25＝0，∴AC ＝5. 【答案】 5海里12．(2013·苏州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.【解析】由题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∴cos A ＝33. 【答案】3313．如图1所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，则BD ＝________.图1【解析】在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， ∵AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， ∴sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，∵AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，∴BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝5×91022＝922.【答案】92214．有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整．【解析】将A ＝60°看作已知条件，由2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°，由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，sin C ＝sin(45°＋30°) ＝2＋64，由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由asin A ＝bsin B，得sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°，不合题意；若已知条件为c ＝2＋62，则 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴b ＝2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.综上所述，破损处的条件为c ＝2＋62. 【答案】 c ＝2＋62二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A . 【解】 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)cos 45° ＝8，∴b ＝2 2.cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12， ∴A ＝60°.16．(本小题满分14分)(2013·泰州高二检测)在△ABC 中，已知AC ＝3，sin A ＋cos A ＝2，(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝3，求BC 的值．【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝2，∴2sin(A ＋π4)＝ 2∴sin(A ＋π4)＝1，A ＝π4，∴sin A ＝22.(2)∵S ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×22AB ＝3，∴AB ＝22， ∴BC ＝32＋222－3×22×2×22＝ 5. 17．(本小题满分14分)如图2所示，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得点P 的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .图2【解】在Rt △AOP 中，AO ＝OP ·cot 30°＝3h . 又OP ⊥OB ，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ＝h . 在△ABO 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos∠AOB ，即202＝3h 2＋h 2－2·3h ·h cos 60°，即4h 2－3h 2＝202，∴h ＝204－3. ∴旗杆的高h 为204－3.18．(本小题满分16分)(2013·无锡高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，(1)求角C ；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab . 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0＜C ＜π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而a ＝b ＝3.所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.19．(本小题满分16分)(2013·临沂高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13，(1)求sin2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值．【解】 (1)∵cos A ＝13，∴sin A ＝223，cos 2A ＝－79，∴sin 2B ＋C2＋cos 2A ＝1－cos B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos A2＋cos 2A ＝1＋132－79＝－19.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴3＝b 2＋c 2－23bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －23bc ，即3≥43bc ，∴bc ≤94(b ＝c ＝32时取等号)，∴bc 的最大值为94.20．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．【解】 (1)证明：∵AB →·AC →＝3BA →·BC →， ∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A，∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B . 又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0. ∴sin B cos B ＝3·sin Acos A，即tan B ＝3tan A . (2)∵cos C ＝55，0＜C ＜π， ∴sin C ＝1－552＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2. ∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1，tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.。

苏教版高中数学必修五第10课时第1章数解三角形单元测试.docx

第1章解三角形单元测试基础检测1．在△ABC 中，A ∶B ∶C=3∶1∶2，则a ∶b ∶c = （）A ．1:2:3 B ．3:2:1C ．1:3:2D ．2:1:32．在△ABC 中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC 的最大角与最小角之和是（） A ．90° B ．120 C ．135° D ．150° 3．在△ABC 中，若30A =，8a =，83b =，则ABC S ∆等于（）A ．323B ．163C ．323或163D ．1234．若三条线段的长分别为7、8、9，则用这三条线段（） A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形5．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A ．8a =，16b =，30A =，有两解B ．18a =，20b =，60A =，有一解C ．5a =，2b =，90A =，无解D ．30a =，25b =，150A =，有一解 6．一飞机沿水平方向飞行，在位置A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B 时测得正前下方地面目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为米． 7．在△ABC 中，在下列表达式中恒为定值的是． ① sin()sin A B C +- ② cos()cos B C A ++③ sincos 22A B C+- ④ tan tan 22A B C+⋅8．在平行四边形ABCD 中，已知AB=1，AD=2，1AB AD ⋅=，则||AC = ．9．在△ABC 中，已知AB=2，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值． 10．在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则△ABC 的形状是．11．在△ABC 中，a b c <<，60B =，面积为103cm 2，周长为20 cm ，求此三角形的各边长．12．在△ABC 中，已知3)sin sin )(sin sin sin (sin =-+++C B A C B A ，a b <，且cos cos cos a A b B c C +=，求△ABC 的各内角的大小．13．已知△ABC 中，2222(sin sin )()sin A C a b B -=-，△ABC 的外接圆半径为2．⑴ 求角C ；⑵求△ABC 的面积的最大值．14．如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30km 到达D ，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在其的北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．选修检测15．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为（）A. 3πB. 6πC. 3π或32πD. 6π或65π16．△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，5,4a b ==，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC （）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定 17．△ABC 的内角A 满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 且则A 的取值范围是（） A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，π43） D ．（34π，π）18．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是（） A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形19．在△ABC 中，60,76,14B b a ===，则A = ； 20．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线27=AD ，那么BC= ； 21．在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++= ；22．在锐角△ABC 中，已知B A 2=，则的ba取值范围是．23．在△ABC 中，已知2b =，c =1，45B =︒，求a ，A ，C ．10．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b ac =，43cos =B ．（Ⅰ）求CA tan 1tan 1+的值；（Ⅱ）设c a BC BA +=⋅求,23的值。

苏教版必修5高一数学第1章解三角形单元复习练习

解三角形一、知识点梳理：1、正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用2、余弦定理：在△ABC 中， A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 3、△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===二、题组训练： 1、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为2、判定下列三角形的形状在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。

3、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，求tanC 的值。

5、在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，已知,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为315，求边b 的长。

苏教版数学高二必修五作业第一章《解三角形》章末检测

(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝ 3 ，B ＝60°，那么角A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22，又a <b ,∴A <B ，∴A ＝45°. 答案：45°2．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ，则A ＝________. 解析：a 2－c 2＝b 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°. 答案：120°3．(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．解析：如图所示，由∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，可得∠ACB ＝180°－75°－60°＝45，则由正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝ABsin ∠ACB ，即得AC ＝AB sin ∠CBA sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵三角形ABC 的面积为3，即12bc sin A ＝ 3.∴12×1×c ×sin60°＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案：23935．(2011·临沂高二检测)某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________千米．解析：作出示意图，如图由题意得∠ABC ＝30°，AB ＝x 千米， BC ＝3千米，AC ＝3千米，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x cos30°，即x 2－33x ＋6＝0. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案：3或2 36．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为________．解析：∵三边不等， ∴最大角大于60°.设最大角为α，故α对的边长为a ＋2， ∵sin α＝32，∴α＝120°. 由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a . 解得a ＝5. ∴三边长为3,5,7.∴S ＝12×3×5×sin120°＝1534.答案：15347．(2012·洛阳高二检测)在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形．解析：由正弦定理知：sin B ＝2sin A ，又∵B ＝2A ， ∴sin2A ＝2sin A . ∴2cos A ·sin A ＝2sin A . ∴cos A ＝22. ∴A ＝45°，B ＝90°.故△ABC 为等腰直角三角形．答案：等腰直角8．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC ·BC ＝________. 解析：由余弦定理推论知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC |＝2. 又∵b ＝1，∴|AC |＝1.∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45或cos C ＝－45.∴AC ·BC ＝85或AC ·BC ＝－85. 答案：85或－859．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，即tan A ＝3，∴A ＝π3.又∵a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c ＝c sin C ， ∴sin C ＝1，∴C ＝π2.∴B ＝π6.答案：π610．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝____；a ＝____.解析：因为在△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，代入数据解得a ＝210.答案：255210 11.如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．解析：由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000. 由正弦定理可知BS sin15°＝1 000sin30°，∴BS ＝2 000sin15°，∴BD ＝BS ·sin75°＝2 000sin15°cos15°＝1 000sin30°＝500，且DC ＝1 000sin30°＝500. ∴BC ＝DC ＋DB ＝1 000米答案：1 00012．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程3x 2－27x ＋32＝0的两个实根，那么BC 边的长为________．解析：由已知可设最大边与最小边分别为b ，c ，则b ＋c ＝9，b ·c ＝323.因为A ＝60°，所以BC 既不是最大边也不是最小边，所以BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49，即BC ＝7. 答案：713．(2012·江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝________.解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2，设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43x ×sin30°＝12×2x 2sin60°，解得x ＝6，所以AB＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：π214．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°， AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ，在△BCO 中，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)，整理得x 2－5x －50＝0，解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，所以塔高为10米．答案：10米二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求c 及最大角的余弦值．解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3.∵b >a >c ，∴在△ABC 中，B 最大． ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝72＋32－822×7×3＝－17.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B＝60°，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵角A ，B ，C 为三角形内角，且B ＝60°，cos A ＝45.∴C ＝120°－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin(120°－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝60°，b ＝ 3.∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝65∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.17．(本小题满分14分)(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sinA ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分16分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设∠ACD ＝α， ∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos60°－sin60°cos β ＝437·12＋32·17＝5314. 在△ACD 中，21sin60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin60°＝15(千米)．所以这人再走15千米就可到城A .19．(本小题满分16分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且 (sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )。

苏教版必修5高一数学第1章解三角形章节测试题有答案

解三角形一、填空题：（每小题5分，共70分）1．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对的边长为8，那么30º角所对的边长是2．若三条线段的长分别为7，8，9；则用这三条线段组成三角形3．在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ，若1a =，b ∠A ＝30º；则△ABC 的面积是4．在三角形ABC中，若sin :sin :sin 2A B C =，则该三角形的最大内角等于5．锐角三角形中,边a,b是方程220x -+=的两根,且c =则角C =6. 钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a=7．∆ABC 中，(sin sin )(sin sin )(sin sin )a B C b C A c A B -+-+-=8. 在△ABC 中，若cos cos cos 222ab c ABC==，那么∆ABC 是三角形9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，cc b A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为______ 10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是__________11. 在∆ABC 中，若tan 2,tan A c b B b-=，则A= 12．海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75º的视角；则B 、C 间的距离是海里.13．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。

我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是小时.14．已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是二、解答题：（共80分）15.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ；求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=.16.如图在ABC ∆中,32,1,cos 4AC BC C ===;(1)求AB 的值(2)求sin(2)A C +A B C17．2003年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两个距离为2的军事基地C 和D 测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30ADB ∠= 30BDC ∠= 60DCA ∠= 45ACB ∠= ,如图所示,求伊军这两支精锐部队的距离.18. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且222b c a bc +=+（1）求∠A 的大小；（2）若a =，3b c +=，求b 和c 的值.A D C B19. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．20． ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值一、填空题：1.锐角 3.424.1205.606.27.08.等边 9直角三角形 10. 等腰三角形11.60 12.23 14.2x << 二、解答题：15．证明：由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===；左边＝22222(2sin sin 22sin sin 2)2[(1cos2)sin 2(1cos2)sin 2]R A B B A R A B B A +=-+-＝222[sin 2sin 2(sin 2cos2cos2sin 2)]2[sin 2sin 2sin(22)]R B A B A B A R B A A B +-+=+-+＝28sin sin sin R A B C =右边＝28sin sin sin R A B C = 原题得证。

高中数学苏教版必修5 第1章解三角形单元测试

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于________．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R ，故1sin 30°＝bsin 60°，解之得b ＝ 3.答案： 32．在三角形中，60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________．解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos 60°＝492，∴a ＝49. 答案：493．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________三角形．解析：由正弦定理得sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，即sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.由于A 2，B 2，C 2均为锐角，故有A 2＝B 2＝C 2，所以△ABC 为等边三角形．答案：等边4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－ac ＝b 2，则角B 的大小为________．解析：∵a 2＋c 2－ac ＝b 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∴B ＝60°. 答案：60°5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb，则角A 的大小为________．解析：∵1＋tan A tan B ＝2c b ，∴1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B，即得sin （A ＋B ）cos A sin B ＝2sin C sin B ，∴1cos A＝2，即得cos A ＝12，解得A ＝π3.答案：π36．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝________．解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin Bb，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin 2B 52b ＝sin Bb ，b ≠0，sin B ≠0，∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.答案：547．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12.所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°. 又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°. 答案：0°＜A ≤30°8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于__________，AC 的取值范围为________．解析：如图，AC sin B ＝1sin A.又B ＝2A ，∴1sin A ＝AC sin 2A ＝AC 2sin A cos A . ∴AC cos A＝2， ∵在锐角△ABC 中，B ＝2A ，∴0<A <π4.又C ＝π－A －B ＝π－3A ，∴0<π－3A <π2，即π6<A <π3.∴π6<A <π4，22<cos A <32. ∴AC ＝2cos A ∈(2，3)．答案：2 (2，3)9．△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________．解析：由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab sin C ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33sin C ，即tan C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.故填π3. 答案：π310．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)①ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)②ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)③①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61211．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x24x ，将其代入上式，得S △ABC ＝x 1－（4－x 24x ）2＝128－（x 2－12）216，由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 答案：2 212．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．解析：法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，故△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点A 作BC 的高线AE ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝ 22－（12）2＝152，∴sin B ＝AE AB ＝1522＝154.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2.∵cos C ＝14，∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝154.又由正弦定理c sin C ＝b sin B 得sin B ＝b sin C c ＝sin C ＝154.答案：15413．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________．解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2， ∵(a －c )2≥0，故a 2＋c 2≥2ac ，即(1＋2cos B )ac ≥2ac ，∴cos B ≥12，∴0＜B ≤π3，∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)，∵0＜B ≤π3，∴π4＜π4＋B ≤π3＋π4， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1，∴22＜sin(B ＋π4)≤1， ∴P 的取值范围为(1， 2 ]．答案：(1， 2 ] 14．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________．解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α，∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin （β－α）＝BCsin α，∴BC ＝a sin αsin （β－α）.在△BDC 中，由正弦定理得 CD sin β＝BCsin ∠BDC， ∴sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sin αsin βh sin （β－α）.又∠BDC ＝90°＋θ，∴sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ.∴cos θ＝a sin αsin βh sin （β－α）.答案：a sin αsin βh sin （β－α）二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3.(1)求bc的值；(2)若AB 边上的高为33，求a 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又∵sin B ∶sin C ＝2∶3，∴b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)∵AB 边上的高为33，A ＝60°，由面积相等可求得b ＝6，又b c ＝23，∴c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63， ∴a ＝37.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.17．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.解：(1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理，得sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时，B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时，B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝22－263. (3)法一：由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝433.法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0.∴c ＝433，由正弦定理，得sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°.(4)由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝3＞1，三角形无解．18. (本小题满分16分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于点E ，AB ＝2.求：(1)cos ∠CBE 的值； (2)AE 的长．解：(1)因为∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，所以∠CBE ＝15°.所以cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理知AE sin 30°＝2sin 105°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝6－ 2.19．(本小题满分16分) 如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1)求sin ∠ADB ； (2)求BC 的长．解：(1)不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，即14sin x ＝10sin （120°－x ）， ∴7sin(120°－x )＝5sin x ，整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2 x ＋cos 2 x ＝1及x ∈(0°，90°)．可解得cos x ＝3926，sin x ＝71326.∴sin ∠ADB ＝71326.(2)在△ABD 中利用正弦定理得， AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，即1471326＝BD 32，解得BD ＝239. 在△BDC 中利用正弦定理得， BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD，即BC sin （90°－∠ADB ）＝239sin 135°， ∴BC ＝239×cos ∠ADBsin 135°＝239×392622＝3 2.20．(本小题满分16分)在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．解：由正弦定理有c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B.又c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋b sin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A )＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A )＝(2＋6)2cos(75°－A )．①当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3.②∵A ＋B ＝150°，∴0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. ∴cos(75°－A )∈(cos 75°，1]．又(2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3.综上，a ＋b ∈(2＋6，8＋43]．。

【数学】第一章《解三角形》测试1(苏教版必修5)

第1章解三角形§1.1正弦定理、余弦定理重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．经典例题：半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R(sin 2A-sin 2C)＝(3a-b)sinB ．(1)求角C ；(2)求△ABC 面积的最大值．当堂练习：1．在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC 中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( )(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )(A) 有一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角A 的最大值为 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC 中，若cos2a A =cos2b B =cos2c C ，则△ABC 的形状是 ( )(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 和4 3 cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是。

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【金版学案】-高中数学第1章解三角形章末过关检测卷苏教版必修5(本部分在学生用书中单独成册) 第1章解三角形(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝(C )A .1010 B .105 C .31010 D .55解析：由余弦定理得AC 2＝32＋22－2×3×2cos π4⇒AC ＝ 5.再由正弦定理5sinπ4＝3sin ∠BAC ⇒sin ∠BAC ＝31010.2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦是(C )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由c 2＝72＋82－2×7×8×1314，得c ＝3，∴B 是最大角，cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．(·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝(B )A ．5B . 5C ．2D ．1解析：利用三角形面积公式可求角B ，再利用余弦定理求得B 的对边AC. ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22.∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为35，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为(D )A ．3，5B ．4，6C ．6，8D ．5，7解析：设三角形的两边为a ，b ，夹角为α，由cos α＝35可知，sin α＝45，由三角形面积公式，得12ab ×45＝14，得ab ＝35，观察选项知选D .5．(·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝(A )A .π6B .π3C .2π3D .5π6解析：由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即 sin A cos C ＋cos A sin C ＝12⇒sin (A ＋C)＝12，亦即sin B ＝12，又a ＞b ，∴B ＝π6.6．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为(D )A ．19B ．－14C ．－18D ．－19解析：AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B)＝－|AB →|·|BC →|·cos B ＝－|AB →|·|BC →|·|AB →|2＋|BC →|2－|AC →|22·|AB →|·|BC →|＝－49＋25－362＝－19.7．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于(A )A .63 B .62 C .12 D .32解析：由大边对大角知A ＝75°，故边a 最长，边b 最短，由正弦定理bsin B ＝csin C ，得b ＝63. 8．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为(B )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cos B ＝52＋82－722×5×8＝12，∴B ＝60°，即最大角、最小角之和为A ＋C ＝180°－B ＝120°.9．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为(C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵A＝60°，∴第三边即为a ，又b ＋c ＝7，bc ＝11， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c)2－3bc ＝72－3×11＝16. ∴a ＝4.10．在某海域，一货轮航行到M 处，测得灯塔P 在货轮的北偏东15°并与灯塔P 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P 在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B )A ．20(6＋2) n mile /hB ．20(6－2) n mile /hC ．20(6＋3) n mil e /hD ．20(6－3) n mile /h解析：如图由题意可知，∠M ＝15°＋30°＝45°，∠N ＝60°＋45°＝105°，故知∠P＝30°，由正弦定理，得20sin 105°＝MNsin 30°，∴MN ＝10sin （60°＋45°）＝406＋2＝10(6－2)．故知速度为20(6－2) nmile /h .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝13，则其外接圆半径为________．解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×13＝9，∴c ＝3，sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. ∴R ＝c 2sin C ＝98 2.答案：98212．在△ABC 中，A 、B 、C 是三个内角，C ＝30°，那么sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC 的值是________．解析：sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B co sC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2×(a 2＋b 2－2ab cos C)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2×c2＝sin 2C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：1413．(·山东卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．解析：由向量知识求出|AB →||AC →|的值，代入三角形面积公式求解．已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积 S ＝12|AB→||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.答案：1614．(·安徽卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，且3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由3sin A ＝5sin B ⇒3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ⇒b ＝35a ，c ＝75a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴C ＝2π3.答案：2π3三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a 的值．解析：(1)cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35， ∴sin A ＝45，AB →·AC →＝bc×35＝3.∴bc＝5.故面积S ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由bc ＝5和c ＝1得b ＝5， ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋1－2×5×1×35＝2 5.16．(本小题满分12分)(·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33，又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理，得b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2，得 cos B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B)．所以sin C ＝sin [π－(A ＋B)]＝sin (A ＋B)＝sin A ·cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，且m 与n的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝3，三角形面积S ＝433，求a ＋b .解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，∴m·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C .又m·n ＝|m|·|n |cos π3＝cos π3＝12，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝3，∴9＝a 2＋b 2－ab .由S ＝12ab sin C ＝34ab ＝433，得ab ＝163，从而(a ＋b )2＝9＋3ab ＝25，∴a ＋b ＝5.18．(本小题满分14分)如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122°.半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．解析：在△ABC 中，∠B ＝152°－122°＝30°，∠C ＝180°－152°＋32°＝60°，∠A ＝180°－30°－60°＝90°，BC ＝352，∴AC ＝352sin 30°＝354.∴船与灯塔间的距离为354n mile.19．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由A ＋B ＋C ＝π，得cos B ＝－cos(A ＋C )，于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ＝1⇒sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 得sin A ＝2sin C ．②由①②得sin C ＝12，又a ＝2c ＞c ，∴C ＝π6.20．(本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＝223.(1)求tan2B ＋C2＋sin 2A2的值； (2)若a ＝2，S △ABC ＝2，求b 的值．解析：(1)在锐角三角形ABC 中，由sin A ＝223，得cos A ＝13，∴tan2B ＋C2＋sin 2A2＝sin 2B ＋C2cos2B ＋C 2＋sin 2 A 2＝1－cos （B ＋C ）1＋cos （B ＋C ）＋12(1－cos A )＝1＋cos A 1－cos A ＋12(1－cos A )＝1＋131－13＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝73.(2)因为S △ABC ＝2，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·223＝2，则bc ＝3.将a ＝2，cos A ＝13，c ＝3b 代入a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 4－6b 2＋9＝0，解得b ＝ 3.。