北京大学力学习题
北京大学量子力学习题集1
[2] 波函数的归一化及 x2, p2 的计算
一维运动的粒子处于状态
ψ
(
x)
=
⎧ ⎨
Axe−
λ
x
,
⎩ 0,
x≥0 x<0
上，其中 λ > 0 ，A为待求的归一化常数，求(1)
粒子坐标的概率分布函数；(2)粒子坐标的平均
值 x 和粒子坐标平方的平均值 x2；(3)粒子动量 的概率分布函数；(4)粒子动量的平均值 p 和粒
则有
⎡⎢− ⎣
=2 2m
⋅
d2 dx2
+V (x)⎤⎥ψ E (x)
⎦
=
Eψ E (x)
V
(x)
=
E
+
=2 2m
ψ
1 E (x)
⋅
d2 dx2
ψ
E
( x),
−∞< x<∞
(1)
如果给定一个定态波函数ψ E (x) ，则由式(1)
可给出 V (x) − E ，欲分别求出 E和 V (x)，还需
要附加条件,例如设定 V (x) 的零点.
∑ (En − Em )2 n x m 2 n
∑ = − (Em − En ) m x n (En − Em ) n x m n
∑ =
−
⎛ ⎜⎝
−
i=
μ
⎞2 ⎟⎠
n
m pn
n pm
∑ =2
= m p n n pm
μ2
n
=2 =
m
p2
n
μ
式(2)得证.以上利用了完备公式
∑ n n =1
n
∑ (En − Em ) n x m 2 n
高考物理北京力学知识点之相互作用单元汇编及答案
高考物理北京力学知识点之相互作用单元汇编及答案一、选择题1．小华同学利用如图所示的实验装置来测定物体与滑板间的滑动摩擦力．下列关于用这种装置做实验的说法中，你认为正确的是A ．必须调节托盘中重物的重量，确保滑板做匀速运动B ．不一定要使滑板做匀速运动，但必须要用恒力拉滑板C ．托盘中放的重物越重，滑板运动得越快，弹簧秤读数越大D ．只要滑板与木块有相对运动，无论滑板做什么运动，弹簧秤的读数都相同 2．已知力F 的一个分力F 1跟F 成30°角，F 1大小未知，如图所示，则另一个分力F 2的最小值为：（ ）A ． 2F B ． 33F C ．F D ．无法判断3．一质量为中的均匀环状弹性链条水平套在半径为R 的刚性球体上，已知不发生形变时环状链条的半径为R/2，套在球体上时链条发生形变如图所示，假设弹性链条满足胡克定律，不计一切摩擦，并保持静止．此弹性链条的弹性系数k 为A 3(31)mg+ B 3(31)mg-C ．23(31)4mgRπ D ．23(31)2mgRπ+ 4．重为10N 的物体放在水平地面上，今用8N 的力竖直向上提物体，则物体所受到的合力为（ ） A ．2N 向下B ．2N 向上C ．18N 向上D ．05．如图所示，在一粗糙水平面上有两个质量分别为m 1和m 2的木块1和2，中间用一原长为L ，劲度系数为k 的轻弹簧连接起来，木块与地面间的滑动摩擦因数均为μ.现用一水平力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时两木块之间的距离为（ ）A ．1+L m g kμB ．()12+L m m g kμ+C ．2+L m g kμD ．1212+m m L g k m m μ⎛⎫⎪+⎝⎭6．如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球。
在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块。
平衡时，a 、b 间的距离恰好等于圆弧的半径。
北京大学出版社理论力学部分习题解答
示：
2 ΣFx = 0 ⇒ F1 + F2 × 2 + FGH = 0
2 ΣFy = 0 ⇒ 50 + F2 × 2 = RE ΣM D = 0 ⇒ GGH = RE = 87.5 ∴ F1 = −125kN ； F2 = 37.5 2kN
F1 D 5 0 k N
E
F2
H RE FGH
对 H 点采用节点法;
习题 2.8 液压式夹紧机构如图所示，D 为固定铰链，B，C，E 为
活动铰链。已知力 F，机构平衡时角度如图所示，各构件自重不
计，求此时工件 H 所受的压紧力。
F ΣFB = 0 ⇒ NBC = sin α
ΣFC
=
0⇒
N BC sin(π − 2α )
=
NCE sin(π / 2)
ΣFE = 0 ⇒ FH = NCE cosα F
0
⇒
N BC
×
2 2.5
×1.5 +W
×1.5
=
0
⇒
N BC
=
−15kN
习题 2.36 试用截面法求如图 3.50 所示桁架的内力。
整体法：
ΣM A = 0 ⇒ RE × 4 = 100 × 2 + 50 × 3 ⇒ RE = 87.5kN
用截面法将 1，2，GH 三根杆件截开，取右边为分析对象如图所
利用三角形法则
ΣFF = 0
N AF N FG
=
4.48 4.37
⇒
N AF
= 367kN
N BF N FG
=
4.37
⇒
N BF
= 82kN
习题 2.34 由杆 AB、BC、和 CE 组成的支架和滑轮 E 支持着物体 W。物体 W 重 12kN。D 处为铰链连接，尺寸如图 3.48 所示。试 求固定铰链支座 A 和滚动铰链支座 B 的约束力以及杆 BC 所受 的力。
北大物理部分真题
北大物理部分真题北京大学量子力学真题部分北京大学量子力学的部分真题。
1992年4.设粒子处于半径为a的球壁内,(1)求基态能量。
(2)求基态粒子对球壁的压强。
1994年6.假设两个质量为m=70Me/c2的夸克可以通过位势V=-a(?1.?2-b)r2束缚在一起,其中r是两个夸克之间的距离?1和?2分别为夸克1和夸克2的包利自旋矩阵,a=68.99Me/fm2,而b是一个待定的参数,(1)b 应取什么值,才能使两个夸克束缚在一起?(2)设两个夸克是不同类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度,(3)设两个夸克是同一类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度。
(4)当b=0时,求两个全同夸克在基态的方均根距离, hc=1.97.3MeV.fm.为自旋1和自旋2,h都是带横岗的1995年5.设L为轨道角动量。
在(L2,Lz)表象(即以Ilm>为基矢的表象)中,写出L=1的子空间中Lx的矩阵表示式,并求出它的本征值和本征态。
1998年7.在一维无限深位阱中,V(x)=0,0<xa.</x(1)求一维无限深位阱的能量本征值,及相应的本征函数。
(2)如果有两个无相互作用的自旋为1/2的全同粒子在此中,试写出此位阱系统基态和第一激发态的能量值和波函数。
1999年6.一个质量为m的粒子在一维势场V(x)=正无穷,x<0.V(x)=1/2mw平方x平方,x>0中运动,求其能级,不必作详细计算。
2000年6.考虑体系H=T+V(x),V(x)=无穷x<0,V(x)=Ax,x>0(A>0).(1)利用变分法,取试探波函数函数1=(2比b根号π）1/2e的-x平方/2b平方,求基态能量上限E1;(2)我们知道,如试探波函数为函数2==(1比b根号π）1/2(2x/b)e 的-x平方/2b平方,则基态能量上限为E2=(81/4π)根号1/3(A平方h 平方/m)根号1/3,对这两个基态的能量上限,你能接受哪一个,为什么?2001年6.质量为m的粒子在位势V=无穷,x<0,V=cx平方,x>0中运动,c>0,(1)试利用变分法估计体系基态能量;(2)它是精确解的上限还是下限?你能给出精确的基态能量吗?2007年5.H(t)=-h平方/2mx导数平方+1/2mw零平方x平方(1+1/cosh 平方兰姆达t)t趋向于负无穷时刻,该体系处在谐振子基态I0>.在t趋向于正无穷时刻态体系跃迁到激发态In>的概率记为p零趋向于n.(a)求(b)当(c)讨论2008年VI.质量为m的粒子在位势V(x)=-兰姆达扥特(x),(兰姆达>0)中运动。
(完整版)大学物理(力学)试卷附答案
大 学 物 理（力学）试 卷一、选择题（共27分） 1．（本题3分）如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F ＝Mg ．设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) βA ＝βB ． (B) βA ＞βB ．(C) βA ＜βB ． (D) 开始时βA ＝βB ，以后βA ＜βB ． ［ ］ 2．（本题3分）几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体(A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变．(C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变． ［ ］ 3．（本题3分）关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关． （B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关． ［ ］ 4．（本题3分）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边．(C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． ［ ］5．（本题3分）将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为β．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将 (A) 小于β． (B) 大于β，小于2 β．(C) 大于2 β． (D) 等于2 β． ［ ］ 6．（本题3分）花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为ω0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为31J 0．这时她转动的角速度变为(A)31ω0． (B) ()3/1 ω0． (C) 3 ω0． (D) 3 ω0． ［ ］7．（本题3分）关于力矩有以下几种说法：(1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量． (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零．(3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等．在上述说法中，(A) 只有(2) 是正确的．(B) (1) 、(2) 是正确的． (C) (2) 、(3) 是正确的．(D) (1) 、(2) 、(3)都是正确的． ［ ］ 8．（本题3分）一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大． (B) 不变．(C) 减小． (D) 不能确定． ［ ］ 9．（本题3分）质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为(A) ⎪⎭⎫⎝⎛=R JmR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭⎫⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针． ［ ］二、填空题（共25分）10．（本题3分）半径为20 cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为50 cm 的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动．主动轮从静止开始作匀角加速转动．在4 s 内被动轮的角速度达到8πrad ·s -1，则主动轮在这段时间内转过了________圈． 11．（本题5分）绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为ω 0＝5 rad / s ，t ＝20 s 时角速度为ω = 0.8ω 0，则飞轮的角加速度β ＝______________，t ＝0到 t ＝100 s 时间内飞轮所转过的角度θ ＝___________________． 12．（本题4分）半径为30 cm 的飞轮，从静止开始以0.50 rad ·s -2的匀角加速度转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240°时的切向加速度a t ＝________，法向加速度a n ＝_______________． 13．（本题3分）一个作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量为J ．正以角速度ω0＝10 rad ·s -1匀速转动．现对物体加一恒定制动力矩 M ＝－0.5 N ·m ，经过时间t ＝5.0 s 后，物体停止了转动．物体的转动惯量J ＝__________． 14．（本题3分）一飞轮以600 rev/min 的转速旋转，转动惯量为2.5 kg ·m 2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在1 s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小M ＝_________． 15．（本题3分）质量为m 、长为l 的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固定轴O 在水平面内自由转动(转动惯量J ＝m l 2 / 12)．开始时棒静止，现有一子弹，质量也是m ，在水平面内以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中．则子弹嵌入后棒的角速度ω ＝_____________________． 16．（本题4分）在一水平放置的质量为m 、长度为l 的均匀细杆上，套着一质量也为m 的套管B (可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴OO ＇的距离为l 21，杆和套管所组成的系统以角速度ω0绕OO ＇轴转动，如图所示．若在转动过程中细线被拉断，套管将沿着杆滑动．在套管滑动过程中，该系统转动的角速度ωmm m0v 俯视图与套管离轴的距离x 的函数关系为_______________．(已知杆本身对OO ＇轴的转动惯量为231ml )三、计算题（共38分） 17．（本题5分）如图所示，一圆盘绕通过其中心且垂直于盘面的转轴，以角速度ω作定轴转动，A 、B 、C 三点与中心的距离均为r ．试求图示A 点和B 点以及A 点和C 点的速度之差B A v v ϖϖ-和C A v v ϖϖ-．如果该圆盘只是单纯地平动，则上述的速度之差应该如何？ 18．（本题5分）一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0变为021ω时所需的时间．19．（本题10分）一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 和2m 的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为221mr ．将由两个定滑轮以及质量为m 和2m 的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．20．（本题8分）如图所示，A 和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J ＝10 kg ·m 2 和 J ＝20 kg ·m 2．开始时，A 轮转速为600 rev/min ，B 轮静止．C 为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A 、B 分别与C 的左、右两个组件相连，当C 的左右组件啮合时，B 轮得到加速而A 轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求：(1) 两轮啮合后的转速n ；(2) 两轮各自所受的冲量矩．21．（本题10分）空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC 自由转动，转动惯量为J 0，环的半径为R ，初始时环的角速度为ω0．质量为m 的小球静止在环内最高处A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B 点和环的最低处的C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r <<R .) 回答问题（共10分） 22．（本题5分）绕固定轴作匀变速转动的刚体，其上各点都绕转轴作圆周运动．试问刚体上任意一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向加速度和法向加速度的大小是否变化？理由如何？ 23．（本题5分）一个有竖直光滑固定轴的水平转台．人站立在转台上，身体的中心轴线与转台竖直轴线重合，两臂伸开各举着一个哑铃．当转台转动时，此人把两哑铃水平地收缩到胸前．在这一收缩过程中，(1) 转台、人与哑铃以及地球组成的系统机械能守恒否？为什么？ (2) 转台、人与哑铃组成的系统角动量守恒否？为什么？(3) 每个哑铃的动量与动能守恒否？为什么？大 学 物 理（力学） 试 卷 解 答一、选择题（共27分）C D C C C D B C A 二、填空题（共25分） 10．（本题3分）20 参考解： r 1ω1＝r 2ω2 , β1 = ω1 / t 1 ,θ1＝21121t β 21211412ωθr r n π=π=4825411⨯π⨯⨯π=t =20 rev11．（本题5分）－0.05 rad ·s -2 （3分）250 rad （2分）12．（本题4分）0.15 m ·s -2（2分）1.26 m ·s -2（2分）参考解： a t =R ·β =0.15 m/s 2 a n =R ω 2=R ·2βθ =1.26 m/s 2 13．（本题3分）0.25 kg ·m 2（3分） 14．（本题3分）157N·m （3分） 15．（本题3分）3v 0/(2l )16．（本题4分）()2202347xl l +ω三、计算题（共38分） 17．（本题5分）解：由线速度r ϖϖϖ⨯=ωv 得A 、B 、C 三点的线速度ωr C B A ===v v v ϖϖϖ 1分各自的方向见图．那么，在该瞬时 ωr A B A 22==-v v v ϖϖϖθ＝45° 2分同时 ωr A C A 22==-v v v ϖϖϖ方向同A v ϖ． 1分平动时刚体上各点的速度的数值、方向均相同，故0=-=-C A B A v v v v ϖϖϖϖ 1分 ［注］此题可不要求叉积公式，能分别求出 A v ϖ、B v ϖ的大小，画出其方向即可． 18．（本题5分）解：根据转动定律： J d ω / d t = -k ω∴t Jkd d -=ωω2分 两边积分：⎰⎰-=t t Jk 02/d d 100ωωωω得 ln2 = kt / J∴ t ＝(J ln2) / k 3分19．(本题10分)θ BC AωB v ϖC v ϖA v ϖB v ϖ－A v ϖB v v A ϖϖ－ -C v ϖ A v ϖ解：受力分析如图所示． 2分 2mg －T 1＝2ma 1分 T 2－mg ＝ma 1分T 1 r －T r ＝β221mr 1分T r －T 2 r ＝β221mr 1分a ＝r β2分解上述5个联立方程得： T ＝11mg / 8 2分20．（本题8分）解：(1) 选择A 、B 两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒1分 J A ωA ＋J B ωB = (J A ＋J B )ω， 2分 又ωB ＝0得 ω ≈ J A ωA / (J A ＋J B ) = 20.9 rad / s 转速 ≈n 200 rev/min 1分(2) A 轮受的冲量矩⎰t MAd = J A (ω -ωA ) = -4.19×10 2 N ·m ·s 2分负号表示与A ωϖ方向相反． B 轮受的冲量矩⎰t MBd = J B (ω - 0) = 4.19×102 N ·m ·s 2分方向与A ωϖ相同．21．（本题10分）解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点．两个守恒及势能零点各1分，共3分小球到B 点时： J 0ω0＝(J 0＋mR 2)ω ① 1分()22220200212121BR m J mgR J v ++=+ωωω ② 2分 式中v B 表示小球在B 点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度．由式①得：ω＝J 0ω 0 / (J 0 + mR 2) 1分代入式②得222002J mR RJ gR B ++=ωv 1分 当小球滑到C 点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至ω0，又由机械能守恒定律知，小球在C 的动能完全由重力势能转换而来．即：()R mg m C 2212=v , gR C 4=v 2分四、问答题（共10分） 22．（本题5分）答：设刚体上任一点到转轴的距离为r ，刚体转动的角速度为ω，角加速度为β，则由运动学关系有：切向加速度a t ＝r β 1分 法向加速度a n ＝r ω2 1分对匀变速转动的刚体来说β＝d ω / d t ＝常量≠0，因此d ω＝βd t ≠0，ω 随时间变化，即ω＝ω (t )． 1分所以，刚体上的任意一点，只要它不在转轴上（r ≠0），就一定具有切向加速度和法向加速度．前者大小不变，后者大小随时间改变． 2分（未指出r ≠0的条件可不扣分）m 2m βT 2 2P ϖ1P ϖTa T 1a23．（本题5分）答：(1) 转台、人、哑铃、地球系统的机械能不守恒． 1分因人收回二臂时要作功，即非保守内力的功不为零，不满足守恒条件． 1分 (2) 转台、人、哑铃系统的角动量守恒．因系统受的对竖直轴的外力矩为零． 1分(3) 哑铃的动量不守恒，因为有外力作用． 1分 哑铃的动能不守恒，因外力对它做功． 1分 刚体题一 选择题 1．（本题3分，答案：C ；09B ）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等． (B) 左边大于右边．(C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 2．（本题3分，答案：D ；09A ） 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为ω0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为31J 0．这时她转动的角速度变为(A)31ω0． (B) ()3/1 ω0． (C)3 ω0． (D) 3 ω0．3.( 本题3分，答案：A ，08A ）1.均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小. (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大. (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小.(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大. 二、填空题1（本题4分，08A, 09B ）一飞轮作匀减速运动，在5s 内角速度由40πrad/s 减少到10π rad/s ，则飞轮在这5s 内总共转过了 圈，飞轮再经 的时间才能停止转动。
北京大学物理学院力学复习题及答案
大学物理力学复习题及答案一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内）1．下列运动中，加速度a保持不变的是 ( D )A ．单摆的摆动B ．匀速率圆周运动C ．行星的椭圆轨道运动D ．抛体运动。
2．某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 ( D ) A ．匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 B ．匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 C ．变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 D ．变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向3． 某物体作一维运动， 其运动规律为dvkv t dt=-2， 式中k 为常数. 当t =0时， 初速为v 0，则该物体速度与时间的关系为 ( D )A ．v kt v =+2012 B ．kt v v =-+20112C ．kt v v =-+201112D ．kt v v =+2011124．质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(v 表示任一时刻质点的速率)( C )A ．dv dtB ．v R 2C ．dv v dt R -⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12242 D ．dv v dt R+2ta t dt dxv 301532-=-==5、质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度，对下列表达式：(1) a dt dv =；(2) v dt dr =；(3) v dt ds =；(4) t a dtv d =，下列判断正确的是 ( D )A 、只有(1)(4)是对的；B 、只有(2)(4)是对的；C 、只有(2)是对的；D 、只有(3)是对的。
6．质点作圆周运动，如果知道其法向加速度越来越小，则质点的运动速度 ( A ) A 、 越来越小； B 、 越来越大； C 、 大小不变； D 、不能确定。
(整理)北京大学量子力学期末试题
量子力学习题（三年级用）北京大学物理学院二O O三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。
第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikr ikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0=υ⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t时，波函数为()()x ,x δ=ϕ0求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
清北学长精心打造——北约华约卓越自主招生物理力学部分模拟训练题及参考答案
清北学长精⼼打造——北约华约卓越⾃主招⽣物理⼒学部分模拟训练题及参考答案“北约”“华约”“卓越”⾃主招⽣⼒学部分模拟试题⼀．选择题（以下每题中有⼀个或⼀个以上选项符合题意，每⼩题3分，共30分）1．如图所⽰，⼀质量为m 的质点在半径为R 的半球形容器中，由静⽌开始⾃边缘上的⼀点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压⼒N 。
则质点⾃A 滑到B 的过程中，摩擦⼒对其所做的功为（A ）1(3)2R N mg - （B ）1(3)2R mg N - （C ）1()2R N mg -（D ）1(2)2R N mg -2．有⼀“不倒翁”，由半径为R 的半球体与顶⾓为60o的圆锥体组成（如图），它的重⼼在对称轴上。
为（A ）34R。
（B ）2R 。
（C ）R 3 。
（D ）条件不⾜，⽆法确定。
3. θ⾓的光滑斜⾯上的物块相对于斜⾯向下的加速度a′=13 gsinθ，由此可以推断车厢在⽔平⾯上的加速度为 (A)a0=23gtgθ； (B) a0=23gctgθ (C) a0=23gsinθ：(D) a0=23gcosθ4．将质量为2m 的⽊板静⽌地放在光滑⽔平⾯上，⼀质量为m 的⽊块以⽔平初速v 0由⽊板左端恰能滑⾄⽊板的右端与⽊板相对静⽌。
⽊块运动过程中所受摩擦⼒始终保持不变。
现将⽊板分成长度与质量相等的两段（a 、b ）后紧挨着仍放在光滑⽔平⾯上，让⽊块仍以相同的初速度v 0由⽊板a 的左端开始滑动，则（A ）⽊块仍能滑到⽊板b 的右端并与⽊板保持相对静⽌。
（B ）⽊块滑到⽊板b 的右端后飞离⽊板。
（C ）⽊块滑到⽊板b 的右端前就与⽊板保持相对静⽌。
（D ）后⼀过程产⽣的热量⼩于原来过程产⽣的热量。
5．如图所⽰，⼀半径为R 、质量为M 的1/4光滑圆弧槽D ，放在光滑的⽔平⾯上，有⼀质量为m 的⼩球由A 点静⽌释放，在下滑到B 点的过程中，下述说法正确的是（A ）以地⾯为参考系，⼩球到达B 处时相对于地的速度v 满⾜12mv2＝mgR（B ）以槽为参考系，⼩球到达B 处时相对于槽的速度v ’满⾜12mv ’2＝mgR（C ）以地⾯为参考系，以⼩球、槽和地球为系统，机械能守恒（D ）不论以槽或地⾯为参考系，以⼩球、槽和地球为系统的机械能均不守恒6.空中有⼀⽓球，下⽅连⼀绳梯，它们的总质量为M ，在梯上站⼀质量为m 的⼈。
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力 学 习 题第一章1. 站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在∆t 1=4.0s 内从他身边驶过，设火车做匀加速直线运动。
问第n 节车厢从他身边驶过所需的时间的时间间隔∆t n 为多少？令n =7，求∆t =?2. 路灯距地面的高度为h 1, 一人身高为h 2的人在路灯下以匀速v 1沿直线行走。
试证明人影的顶端做匀速运动，并求其速度v 2。
3. 设α为跑位所在处观看靶子的仰角，β为炮弹的发射角。
试证明：若炮弹命中靶点恰为弹道的最高点，则有tan β=2tan α.4. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h =20cm , 斜面对水平的倾角θ=30°，问它第二次碰到斜面的位置距离原来的下落点多远？（假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角）。
5. 飞机以v 0=100m/s 的速度沿水平直线飞行，在离地面高h =98m 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度？此时目标距飞机在下方地点多远？6. 质点沿x 轴正向运动，加速度a =−kv , k 为常数。
设从原点出发是速度为v 0，求运动方程x =x(t)。
7. 跳水运动员自10m 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速。
设加速度a =−kv 2，k =0.4m −1。
求运动员减为入水速度的1/10时的入水深度。
第二章1. 均质杆AB 放在光滑桌面上，两端分别受到力f 1与f 2作用。
求C 处截面两方的相互作用力，设AC =1n AB 。
2. 用定滑轮将质量为m 的重物拉往高处，人的质量为M。
求在下述两种情况下人对地第1题面的压力：(1)物体匀速上升；(2)物体以加速度a 上升。
设绳与滑轮的质量以及两者间的摩擦力均可忽略不计。
3. 质点在空气中无初速自由下落时，在速度不大的情况下，阻力F 的大小和速度成正比，即F =−kv ,k 为常数。
试用积分法求质点速度随时间的变化关系，设质点质量为m 。
4. 如图所示，一根长l 的细棒，可绕其端点在竖直平面内运动，棒的一端有质量为m的质点固定于其上。
(1) 试分析，在顶点A 处质点速率取何值，才能使棒对它的作用力为0？(2) 假定m =500g , l =50.0cm ,质点以均匀速度v =40cm/s 运动。
求它在B 点时棒对它的切向和法向的作用力。
5. 地球中心与月球中心相距s =3.84×105km ，地球质量M 与月球质量m 之比为81:1.有一星际飞船从地球飞向月球，在通过地球引力区和月球引力区的分界线时，宇航员没有测到重力，试求该处距地球多远。
6. 升降机中水平桌上有一质量为m 的物体A ，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m 的物体B 相连。
当升降机以加速度a =g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到A ，B 两物体的加速度分别是多少？(略去各种摩擦，线轻且不可伸长。
)第2题第4题7. 列车在北纬30°自南向北沿直线行驶，速率为90km/h 。
其中一车厢质量为50t 。
问哪一条铁轨将受到车轮的旁压力。
该车厢作用于铁轨的旁压力等于多少？第三章1. 棒球质量为0.14kg ，棒球沿水平方向以速率50m/s 投来，经棒击球后，球沿水平成30°飞出（见图），速率为80m/s.球与棒接触时间为0.02s.求棒击球的平均力.2. 如图，已知绳的最大强度T 0=9.8N,m =500g,l =30.0cm .开始时m 静止，水平冲量等于多大才能把绳子打断？3. 三只质量均为M的小船，一只跟着一只鱼贯而行，速率均为v 0,由于中间那只船上同时以水平速率u (相对于船))把两个质量均为m(设m 不包括在M 内)的物体抛到前后两只船上，当投入物体后三只船的速度如何？4. 一宇宙飞船以恒速v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt 的第6题 第1题 第2题速率沉积在飞船上.尘粒在落到飞船之前的速度为u,在时刻t飞船的总质量为M(t),试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？第四章1.有一列火车，总质量为M，最后一节车厢质量为m。
若m从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为s的路程之后停下来。
若机车的牵引力不变，且每车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。
问脱开的那节车厢停止时，它距列车后端多远。
2.质量为M=980g的木块静止在光滑水平面上，一质量为m=20g的子弹以v=800m/s的速率水平地射入木块后与木块一起运动，求：(1)子弹克服阻力所做的功；(2)子弹施于木块的力对木块所做的功；(3)耗散的机械能。
3.如图，劲度系数为k的弹簧悬挂质量为m1(上)和m2(下)的两个物体，开始时处于静止。
若突然把m1与m2间的连线割断，求m1的最大速度。
第3题4.如图，把弹簧的一端固定在墙上，另一端系一物体A。
当把弹簧压缩x0后，在他的右边再放一物体B，求除去外力后，(1)A，B分离时，B以多大速度运动？(2)A最大能移动多少距离？设A，B放在光滑水平面上，质量分别为m A和m B，弹簧的劲度系数为k。
第4题5.如图，在一铅直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是足够长的水平直线。
现有质量分别为m A和m B的两个质点，B在水平轨道上静止，A在高h处自静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。
碰后A 仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。
求A 和B 至少发生两次碰撞的条件。
6. 在一半径为R 0的无空气的小行星表面上，若以速率v 0水平地抛出一物体，则该物体恰好环绕该行星的表面做匀速圆周运动。
问：(1) 这小行星的逃逸速度是多少？(2) 在这星体表面竖直上抛一物体，要使它达到R 0的最大高度，上抛速率是多少？第五章1. 电子的质量为9.1×10−31kg ，在半径为5.3×10−11m 的圆周上绕氢核作匀速率运动.已知电子的角动量为ℎ/2π(h 为普朗克常量，ℎ=6.63×10−34J ∙s ),求其角速度.2. 在光滑的水平面上，用一根长为l 的绳子把一质量为m 的质点联结到一固定点O. 起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v 0沿一直线运动.质点与O 最接近的距离为b ，当此质点与O 的距离达到l 时，绳子就绷紧了，进入一个以O 为中心的圆形轨道.(1) 求此质点的最终动能与初始动能之比.能量到哪里去了？(2) 当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻,绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O 的角动量如何变化？3. 一质量为m 的物体，绕一穿过光滑桌面上极小的圆孔的缰绳旋转(见题图).开始时物体到中心的距离为r 0,旋转角速度为ω0，若在t=0时，开始以固定的速度 v 拉绳子.于是物体到中心的距离不断减小.求(1)ω(t);(2)拉绳子的力F.4. 两个滑冰运动员，体重都是60kg ，在两条相距10m 的平直跑道上以6.5m/s 的速度相向地匀速滑行.当他们之间的距离恰好等于10m 时，他们分别抓住一根10m长的第5题第3题绳子的两端.若将每个运动员看成一个质点，绳子质量略去不计.(1) 求他们抓住绳子前后相对于绳子中点的角动量.(2) 他们每人都用力往自己一边拉绳子，当他们之间距离为5.0m 时，各自的速率是多少？(3) 计算每个运动员在减小他们之间距离时所做的功，并证明这个功恰好等于他们动能的变化.(4) 求两人相距为5.0m 时，绳中之张力T.第六章1. 一长为l 的细杆，其密度ρ依关系ρ=ρ0x/l 随x 而变化，x 是杆的一端算起的距离，ρ0为常量.求其质心的位置.2. 如图，在光滑水平面上，用劲度系数为k 的弹性连接物体m 1和m 2. m 1紧靠墙.在m 2上施力将弹簧压缩x 0, 以m 1，m 2和弹簧为系统，当外力撤去后，求系统质心加速度的最大值和系统质心速度的最大值.3. 证明两质点组成的系统的总角动量等于r c ×Mv c +r 12×μv 12,其中r c 和v c 是质心位矢和速度，r 12和v 12是质点2相对质点1的位矢和速度，M 是总质量, μ是两质点的约化质量.第七章1. 有一圆盘绕定轴O 转动，试证圆盘上任意二点A ，B 的速度v A , v B 与加速度a A , a B 有下列关系：v A 与a A 间的夹角α等于v B 与a B 间夹角β.2. 有三根长l ,质量为m 的均匀细杆组成一个三角架，求它对通过其中一个顶点且与架平面垂直的轴的转动惯量.3. 在质量为M ，半径为R 的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔，孔心在半径的中心.求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.第2题第3题 4. 图示为固定在一起的两个同轴圆柱刚体，可绕OO ’轴转动，设大柱体与小柱体的半径分别为R 1和R 2，长分别为l 1和l 2，整个刚体的质量为M ，两柱体上的绳子分别与m 1,m 2相连，求转动时刚体的角加速度.5. 图中AB 为一静止的细长棒，长为l ，质量为M ，可绕O 轴在水平面内转动.若以质量为m,速度为v 的子弹在水平面内沿棒垂直的方向射入棒的一端，设击穿后，子弹的速度减为v/2. 求棒的角速度.6. 一质量为M 半径为R 的水平圆盘，可绕通过其中心且与盘面垂直的光滑铅直轴转动.圆盘原来是静止的，盘上站着一质量为m 的人，当这个人沿着距圆盘中心为r(r<R)的圆周匀速走动，相对于圆盘的速率为v 时，圆盘将以多大的角速度旋转？7. 圆柱体重6kg ，用两条轻软的绳子对称地绕在这圆柱体两端附近，两端的另一端分别拴在天花板上.现将圆柱体水平地托着，且使两绳铅直地拉紧，然后将它释放.试求此圆柱体向下运动的加速度及向下加速运动时绳中的张力.第八章1. 一物体沿x 轴做简谐振动，振幅为12.0㎝，周期为2.0s ，在t=0时物体位于6.0㎝处且向正x 方向运动，求：(1) 初相位；(2) t=0.50s 时，物体的位置，速度和加速度；(3) 在x=-6.0㎝处且向负x 方向运动时，物体的速度和加速度第4题 第5题2. 三个频率和振幅都相同的简谐振动x 1（t ）,x 2（t ），x 3（t ），设x 1的图形如图所示，已知x 2与x 1的相位差φ2-φ1=2π/3，x 3与x 1的相位差φ3-φ1=-2π/3。
试在图中作出x 2（t ）与x 3（t ）的图形。
3. 求半径为5.00㎝的金属球与长为25.0量为m ，细棒质量可忽略。
4. 如图，一细棒两端装有质量为m 的小球A,B,可绕水平轴O 自由转动，且OA=l 1，OB=l 2，若细棒的质量可忽略不计，求细棒做角度很小的摆动时的周期.5. 图示两个弹簧系统，劲度系数为k 1和k 2， 分别求出两种情形的振动频率.第2题 第4题6. 如图，一单摆的摆长l=100㎝，摆球质量m=10.0g ，开始时处在平衡位置.(1) 若给小球一个向右的水平冲量F ∆t=10.0g ∙㎝/s ，以刚打击后为t=0时刻，求振动的初相位及振幅；(2) 若F ∆t 是向左的，则初相位为多少？7. 一竖直弹簧下挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长出托住，然后撒手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置在初始位置下方10.0㎝处，求：(1) 振动频率；(2) 物体在初始位置下方8.0㎝处的速率大小；(3) 若将一个300g 的砝码系在该物体上，系统振动频率就变为原来频率的一半，则原物体的质量为多少？(4) 原物体与砝码系在一起时，其新的平衡位置在何处？8. 图中的弹簧振子水平放置，弹簧的劲度系数为k ，振子的质量为m ，从弹簧原长处开始，对振子施加恒力f ，经一段距离s 0后撤去外力，试讨论外力撤去后振子的运第5题第6题动情况。