大连理工大学矩阵与数值分析部分课后习题
大连理工大学《矩阵与数值分析》2005-2009年真题答案
大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2005 年 12 月 12 日 试卷共 7 页一二三四五 六 七 总分 标准分 得 分装 一、填空（共30分，每空1.5分）（1）误差的来源主要有 、 、 、 .（2）要使 7459666.760=的近似值a 的相对误差限不超过310-，应至少取 位有效数字, 此时的近似值a = .订 （3）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4224A , 则1A ＝ , 2A ＝ , ∞A ＝ , F A ＝ ,谱半径)(A ρ＝ , 2-条件数)(2A cond ＝ , 奇异值为 .线 （4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=-]1,0,1[f ，=-]3,1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：，其收敛阶 . （7）计算u u 5-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 . 为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解，并求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1085Ax .三、（6分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=622292221A 的QR 分解（Q 可表示为两个矩阵的乘积）.四、（12分）根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则Jacobi 法和G-S 法均收敛.五、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数.27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .六、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法,1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.七、（18分）求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的标准正交多项式系)(0x ψ, )(1x ψ, )(2x ψ, 并由此求3x ])1,1[(-∈x 的二次最佳平方逼近多项式, 构造Gauss 型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f , 并验证其代数精度.大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2006 年 12 月 11 日 试卷共 8 页一二三四五 六 七 八 总分 标准分 得 分装订 一、填空（共30分，每空2分）线 （1）误差的来源主要有 .（2）按四舍五入的原则，取 69041575.422= 具有四位有效数字的近似值 a = ，则绝对误差界为 ，相对误差界为 .（3）矩阵算子范数M A ||||和谱半径)(A ρ的关系为： ，和 .（4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=]1,0[f ，=-]1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：.（7）使用Aitken 加速迭代格式)(1-=k k x x ϕ得到的Steffensen 迭代格式为：，对幂法数列}{k m 的加速公式为：.（8）1+n 点的Newton-Cotes 求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(的最高代数精度为.（9）计算u u 7-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 ，为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（10分） 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4224A , 计算1A ,2A ,∞A ,F A , 谱半径)(A ρ, 2-条件数)(2A cond , 和奇异值.三、（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解.四、（4分）求Householder 变换矩阵将向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221x 化为向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003y .五、（12分）写出解线性方程组的Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR ）法的矩阵表示形式，并根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR ）法当松弛因子]1,0(∈ω时收敛.六、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数. 27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .七、（12分）证明区间],[b a 上关于权函数)(x ρ的Gauss 型求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(中的系数⎰=bak k dx x l x A )()(ρ，其中)(x l k 为关于求积节点n x x x ,,10的n 次Lagrange 插值基函数，n k ,1,0=. 另求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的二次正交多项式)(2x ψ, 并由此构造Gauss型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f .八、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法, 1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dxe x ⎰-12求得的近似值为()15.02141--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++e e 。
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
矩阵与数值分析部分习题解答
其具有6位有效数字。 故
*
而
y y* zz ， 于是， y
*
1 4 1 1 k n 26 10 y y 10 10 2 2 2
y y* y z
* *
z z* z
*
0.5 104 0.5 106 59.9833 4.09407
可见，用公式 f ( x) ln x
k
k 2 k A A ( I A ) 5．证明ρ(A)＜1时，
1 注意，绝对收敛的函数幂级数 f t t 1 t , t 1，则 证明(1)： k 0 1 t k 1 k s t f t t f t kt kt 令 2 1 t 1 t 2 k 1 k 0
3 。 节点为: x1 h , x2 2h , x3 3h 4 8 8
相应的方程组为：
2 1 h 2 0 1 h 2 0 u1 h u2 1 2 2 u 3
2 先令 y x x 1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已
知， 故应看成 z g ( y) ln( y) , 由 y的误差限
* ln( y ) ln( y )。 误差限
y y * 求g(y)的
解：当x=30时，求 y 30 302 1 , 用六位开方表得
xi a ih,
h 称为步长。
i 0,1,
,N, h
ba N
于是我们得区间 I=[a, b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点,
h
a x0 x1
大连理工大学 矩阵与数值分析 第4章-4.2非线性方程的迭代解法
敛呢？不管非线性方程 f (x) = 0 的形式如何，总可以构造
ϕ(x) = x − k(x)
x
(k(x) ≠ 0)
（4-25）
作为方程（4-17）求解的迭代函数。 因为
ϕ′(x) = 1− k′(x) f (x) − k(x) f ′(x)
可知 | ϕ ′(x) | 在根 α 附近越小时 ,其局部收敛速度越快，
则迭代法 xk+1 = ϕ (xk ) 是 p 阶收敛。
练习1 取迭代函数
ϕ (x) = x + a(x2 −5)
要使迭代法收敛到 x* = 5, 则a应取何值？
且其收敛阶是多少？
解： ϕ′( x) = 1+ 2a x , 令
( ) ϕ′ 5 = 1+ 2a 5 < 1, 即有
−1 < 1+ 2a
x = x − f (x) = ϕ(x)
f ′(x)
（4-24）
建立的迭代格式至少是平方收敛。
证 根据定理4.6, 只需证明 ϕ′(α ) = 0 。 因为
ϕ′(α
)
=
⎡ ⎢
x
−
⎣
f f
(x) ′( x)
⎤ ⎥ ⎦
' x=α
=
⎡ ⎢1 ⎣
−
(
f
′(
x))2 − ( f ′(
f (x) x))2
f
′′( x)
x1 = 2× 0 −1 = −1 , x2 = 2(−1)3 −1 = −3 , x3 = 2(−3)3 −1 = −55 , L
显然, 当 k → ∞时, xk → −∞ ,故迭代法发散。 上述例子表明，迭代法的收敛与发散，依赖于迭代
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业Word版
传播优3^ Word版文档•希望对您有帮助.可双击去除!矩阵与数值分析上机作业学校：大连理工大学学院：班级：姓名：学号：授课老师：注：编程语言Mat lab1.考虑计算给定向量的范数：输入向量x = (ri,x2,•■- ,-r n)r»输出胡I” ||创2，||広||oc・请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：对“ =10, 100, 1000甚至更大的八计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？程序：Norm, m函数function s二Norm(x,m)给求向量x的范数師取1,2, in f分别表示仁2,无穷范数n=length(x);s=0;switch mcase 1 績-范数for i=1:ns二s+abs(x(i));endcase 2 %2-范数for i=1:ns 二s+x(i 厂2;ends=sqrt (s);case inf %无穷-范数s二max(abs(x));end计算向量X, y的范数Testi.mclear all;clc;n1=10；n2=100；n3=1000;x1=1./[1:n1],;x2=1./[1：n2]t ;x3=1./[1:n3]f;y1 = [1:n1]t;y2=[1:n2]-;y3=[1:n3],;disp(*n=10 时J ;dispC x 的 1 一范数：*) ;disp(Norm(x1, 1)); dispC x 的 2-范数：*) ;disp(Norm(x1,2)); dispC x 的无穷-范数:*) ;disp(Norm(x1, inf)); dispCy 的1-范数：’);disp(Norm(y1, 1)); dispC'y 的 2-范数:*) ;disp(Norm(y1,2));disp(* y 的无穷-范数：*) ;disp(Norm(y1, inf)); disp(*n=100 时J;dispC x 的1-范数：*) ;disp(Norm(x2, 1));dispCx 的 2-范数:*) ;disp(Norm(x2, 2)); disp(' x 的无穷-范數:*) ;disp(Norm(x2, inf)); disp(' y 的 1 一范数：*) ;disp(Norm(y2, 1)); dispC y 的 2-范数：*) ;disp(Norm(y2, 2));disp(* y 的无穷-范数:*) ;disp(Norm(y2, inf)); dispCn=1000 时’);disp(' x 的 1-范数：*) ;disp(Norm(x3, 1)); dispC x 的 2-范数：*) ;disp(Norm(x3, 2));dispC x 的无穷-范數:*) ;disp(Norm(x3, inf)); dispC y 的 1-范数：*) ;disp(Norm(y3, 1));dispC y 的 2-范数:*) ;disp(Norm(y3, 2)); dispC y 的无穷-范数:*) ;disp(Norm(y3, inf));y 的1-范数:500500： y 的2-范数：1・8272+004； y 的无穷-范数:10002. 考虑y = /(x)=芈也，其中定义/(O) = b 此时/仗)是连续函数.用此＞公式计算 当10-込10-】5］时的函数值，画出图像。
大连理工大学矩阵分析matlab上机作业
x(i)=1/i; %按要求给向量 x 赋值，其值递减 end normx1=norm(x,1); %求解向量 x 的 1 范数 normx1 normx2=norm(x,2); %求解向量 x 的 2 范数 normx2 normxinf=norm(x,inf); %求解向量 x 的无穷范数 normxinf normy1=norm(y,1); %求解向量 y 的 1 范数 normy1 normy2=norm(y,2); %求解向量 y 的 2 范数 normy2 normyinf=norm(y,inf); %求解向量 y 的无穷范数 normyinf z1=[normx1,normx2,normxinf]; z2=[normy1,normy2,normyinf]; end
for i=2:n
for j=i:n U(i,j)=A(i,j)-L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j);
式
%Doolittle 分解计算上三角矩阵的公
L(j,i)=(A(j,i)-L(j,1:i-1)*U(1:i-1,i))/U(i,i); %Doolittle 分解计算下三角矩 阵的公式
end
1 1 1 ������ x = (1, 2 , 3 , … , ������) ,
������ = (1,2, … , ������)������.
对n = 10，100，1000甚至更大的n计算其范数，你会发现什么结果?你能否修改
你的程序使得计算结果相对精确呢？
1.1 源代码
function [z1,z2]=norm_vector(n) %向量 z1 的值为向量 x 的是三种范数，向量 z2 的值为向量 y 的三 种范数，n 为输入参数
矩阵与数值分析课后答案
矩阵与数值分析课后答案【篇一：李庆扬-数值分析第五版第5章习题答案(20130808)】>【篇二：李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案】>【篇三：数值分析习题】(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的； (4) 有效数字越多,相对误差越2. 用例1.4的算法计算,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.x1?0.3040, x2?5.1?109, x3?400, x4?0.003346,x5?0.875?10?55. 证明1.2.3之定理1.1.6. 若钢珠的的直径d的相对误差为1.0%,则它的体积v的相对误差将为多少。
（假定钢珠为标准的球形）7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m成绩为60s的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件,直径d为10.25?0.25mm,高h为40.00?1.00mm,则它的体积v的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有?r(f(x))?k??r(x), 其中k?xf?(x)f(x)并求出f(x)?tanx,x?1.57时的k值，从而说明f(x)?tanx在x?11. 定义多元函数运算?2时是病态问题．s??cixi,其中?ci?1,?(xi)??,i?1i?1nn求出?(s)的表达式，并说明ci全为正数时，计算是稳定的，ci有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：(1) y?11?x?,1?2x1?x(x?1)(x?1)1-cos2x(3) y?,(x?1)x(2) y?(4) y?p,(p?0,q?0,p?q)习题21. 填空题(1) gauss消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素的绝对值太小会发生 ;(2) gauss消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为;(3) 直接lu分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为; (4) a????11??,a1?, a2?, ?(a)?; ??02??t0???,t?1 ?(a)cond2(a)?0t??(5) a????a???b(6) a???,c?b?a?0 ?(a)cond2(a)?; ?c???2．用gauss消元法求解下列方程组ax?b?11?1???(1)a??12?2?,??211????4??1????3b??0?, (2)a??2?1?????1?321??1????432??1?,b? ???343?1?????1?234????3．用列主元消元法解下列方程组ax?b．??326???(1)a??10?70?,?5?15???4. 用gauss－jordan消元法求：01??02?0??????4???2232????2?b??7?(2)a??,b????7?4?301?6????????61?6?5??6??????11?1????210? ?1?10???5．用直接lu分解方法求1题中两个矩阵的lu分解，并求解此二方程组． 6．用平方根法解方程组ax?b?321??4?????a??221?,b??3??111??6?????7．用追赶法解三对角方程组ax?b?1?2?1000??1???????12?100??0?a??0?12?10?,b??0? ?????00?12?1??0??000?12??0?????8．证明：(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵．9．由l?l1l2?ln?1，(见(2.18)式)，证明:?1?1?1?1??l211?ll3231?l?????????l?n1ln210．证明向量范数有下列等价性质：1???1ln3?ln,n?1????? ???1??(1)(2)(3)x2?x1?nxxx??2?x1?nx???x2?nx11．求下列矩阵的a1,a2,a?,??a?．?1??13?a???;?12???2??513???a??1102?.?326???12．求cond2?a??10099?1a?????;?9998?13．证明：?cos?2a?????sin??sin???. cos??(1)若a是正交矩阵，即ata?i, 则cond2?a??1;(2)若a是对称正定阵，?1是a的最大特征值，?n是最小特征值，则cond2?a???1. ?n习题31. 填空题:(1) 当a具有严格对角线优势或具有对角优势且ax=b用jacobi迭代法和gauss－seidel迭代法均收敛;(2) 当线性方程组的系数矩阵a对称正定时.(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的小于1; sor法收敛的必要条件是 ;(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ? (b), q, q接近时收敛较快, q接近时收敛较慢; (5)?11?a???,bj?;bs?; ??bj????bs???12?2．用jacobi迭代法和gauss－seidel迭代法求解方程组?210??x1??3???????(1) ?121??x2????5?；(2)?012??x??4????3???1??x1??1???81??????1?51???x2???16? ?1????1?4????x3??7?各分量第三位稳定即可停止．3．用sor法解方程组，取??0.9，与取??1 (即gauss-seidel法)作比较．?321??x1???5????????573???x2???13?． ?2?57??x??3??? ?3???性?521????12?(1)?132?； (2)??32??；???112???00???21??212??0??1?21??(3)?121?；(4)?； ?01?21??212??????001?2????5???1(5)??1???1?5．方程组?1?1?1?1??1122?10?1?1??11?1； (6)2?． ?2?15?1??111??????1?110??a11a12??x1??b1????a???x?????b??a?2122??2??2?,a11?0,a22?0证明用jacobi迭代法收敛的充要条件是：r?6．设a12a21?1． a11a22?1aa???a??a1a?,a为实数；?aa1???(1)若a正定，a的取值范围；(2)若jacobi迭代法收敛，a的取值范围．习题41. 填空题：(1) 幂法主要用于求一般矩阵的jacobi旋转法用于求对称矩阵的特征值；(2) 古典的jacobi法是选择的一对元素将其消为零;(3) qr方法用于求特征值的和求出对应的． 2．用幂法求矩阵． ?621???4140?????⑴?231?，⑵??5130???102??111?????按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位． ??11111???9?2? 3．已知： a??11?1?213???。