数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求2的近似值*x ，使其相对误差不超过%1.0。

解：4.12=。

设*x 有n 位有效数字，则nx e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。

从而，1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。

故，若%1.0105.01≤⨯-n，则满足要求。

解之得，4≥n 。

414.1*=x。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。

按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()γβα=-1A。

分别求如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。

即，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323131β；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=313231γ。

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3132132310313101A 。

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x解: 平方根法：先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ，其中，TL L A ⨯=。

经平方根法的回代程，分别求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x L T =，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111x 。

改进平方根法：先求系数矩阵A 的形如TLDL A =的分解，其中44)(⨯=ijlL 为单位下三角矩阵，},,,{4321d d dd diag D =为对角矩阵。

利用计算公式，得11=d ；;1,2,222121===d l t;9,2,1,2,1332313231=-==-==d l l t t1,32,1,3,6,1,34434241434241===-===-=d l l l t t t 。

分别求解方程组，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x DL T=，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111x 。

（P48）12. 已知方程组⎩⎨⎧=+=+198.099.0199.02121x x x x 的解为100,10021-==x x 。

（1） 计算系数矩阵的条件数； （2） 取TT x x )5.99,5.100(,)0,1(*2*1-==，分别计算残量)2,1(*=-=i Ax b r i i 。

本题的计算结果说明了什么？解：（1）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=98.099.099.01A ，求得，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-100009900990098001A。

从而，39601)(1=A Cond 。

（2）计算得，Tr)01.0,0(1=，01.011=r；Tr)985.0,995.0(2--=，98.112=r 。

这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。

Chapter 3（P72）3. 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321321321x x x x x x x x x取初值Tx )0,0,0()0(=，迭代4次，并比较它们的计算结果。

解：由方程组得，1221122213312321+--=+--=++-=x x x x x x x x x从而，Jacobi 迭代格式为：1221122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1+--=+--=++-=+++k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，.,2,1,0 =kGauss-Seidel 迭代格式为：1221122)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1+--=+--=++-=++++++k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，.,2,1,0 =k整理得，1232)(3)1(3)(3)(2)1(2321-=-=++k k k k k x x x x x ，.,2,1,0 =kJacobi 迭代：TT T T T x x x x x )1,3,3()1,3,3()3,1,1()1,1,1()0,0,0()4()3()2()1()0(-=→-=→--=→=→=Gauss-Seidel 迭代：TT T T T x x x x x )15,51,43()7,15,11()3,3,1()1,0,1()0,0,0()4()3()2()1()0(--=→--=→--=→-=→=Jacobi 迭代中)3(x 已经是方程组的精确解，而从Gauss-Seidel 迭代的计算结果，可以预见它是发散的。

（P73）9.设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++33122113214bx ax b x ax b ax ax x（1） 分别写出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式，（2） 用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的a 的取值范围。

解: 由方程组得，31321213214b ax x b ax x b ax ax x +-=+-=+--=从而，Jacobi 迭代格式为：3)(1)1(32)(1)1(213214b ax x b ax x k k k k +-=+-=++，.,2,1,0 =k 迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000040a a a a B设0||=-B I λ，求得，||5|,|5,0321a a -===λλλ，故||5)(a B =ρ。

另由Jacobi 迭代格式，得Gauss-Seidel 迭代格式为：31)(32)(22)1(321)(32)(22)1(21)(3)(2)1(1444b ab x a x a x b ab x a x a x b ax ax x k k k k k k k k k +-+=+-+=+--=+++，.,2,1,0 =k迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=222204400a a a a a aG设0||=-G I λ， 求得，23215,0,0a ===λλλ，故25)(a G =ρ。

另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得，55±≠a 。

由迭代收敛的充要条件得，Jacobi 迭代收敛55||<⇔a ；Gauss-Seidel 迭代收敛55||<⇔a 。

故，使得两种迭代法都收敛的a 的取值范围是相同的：55||<a 。

（P74）12.证明对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111a a a a a a A 当121<<a 时为正定矩阵，且只有当21||<a 时，Jacobi 迭代解b Ax =才收敛。

解: A 为正定当且仅当以下三个不等式同时成立：0111,011,01>>>a a a a aa a a，解之得，121<<a 。

此时解方程组的Gauss-Seidel 迭代收敛。

另外，可得解方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=000a a a a a a B解得，||2)(a B =ρ。

由收敛的充要条件，Jacobi 迭代收敛当且仅当21||<a 。

Chapter 5（P140）7.设nx x x ,,,1为1+n 个互异节点，),1,0)((n j x l j=为这组节点上的n 次Lagrange 插值基函数，试证：（1）∑===nj kj k j nk xx l x 0,1,0,)( ；（2）∑==≡-nj j k jnk x l x x,1,0,0)()( 。

证：（1）对于固定的},,2,1{n k ∈，设∑==nj j k j x l x x P 0)()(，则)(x P 为次数不超过n 的多项式，且ki i x x P =)(，n i ,,1,0 =而对于多项式函数kx 当然也满足如上的等式条件以及次数n ≤，由Lagrange 插值问题的适定性，kx x P =)(。

（2）对于固定的},,2,1{n k ∈，∑∑∑∑∑==---===--=-=-nj ji j ki ik ik i kik i jnj nj ki ik ikj j kjx lx xC xx C x l x l x x00)()1()1()()()()()1(0≡-=-=∑=--k i ki i k i k i k x x x x C ，证完。