数值分析课后题答案
解: X 0 1,X 1 1,X 2 2,
f(x 。) 0,f(X 1) 3,f(X 2) 4;
1
-(X 1)(x 2)
2
1
-(x 1)(x 2) 6
1
3(x 1)(x 1)
6?设X j , j 0,1,L ,n 为互异节点，求证：
n
(1) x ：l j (x) x k (k 0,1,L ,n);
j 0
n
(2) (X j x)k l j (x) 0 (k 0,1,L ,n);
j 0
证明
(1)令 f (x) x k
n
若插值节点为X j ,j 0,1,L , n ，则函数f (x)的n 次插值多项式为
x k l j (x)。
j 0 f (n 1}() 插值余项为 R n (x) f (x) L
n (x) n 1(x) (n 1)! 又Q k n,
第二章
2?当 x 1, 1,2 时，f(x) 数值分析 0, 3,4,求f (x)的二次插值多项
式。
X 2 (X
4
一
3 2) (X X /V 1 - 2(X X 1)(x X 2) (X 。 X 1)(X ° X 2) (X X 0)(X X 2)
(X 1 沧)任 X 2) (X X °)(X X 1) (X 2 X °)(X 2 X 1) l °(x ) h(x) 则二次拉格朗日插值多项式为
2 L 2(X ) y k l k (x) k 0
f (n 1)( ) 0
FUx) 0
n
x ：l j (x) x k (k 0,1,L ,n); j 0
n
⑵(X j x)k l j (x)
j 0
n n
(C?x j ( x)ki )l j (x)
j 0 i 0
n n
i k i i
C k ( x) ( X j l j (x))
i 0 j 0
又Q 0 i n 由上题结论可知
n
x ：l j (x) x i
j 0
n
原式 C k ( x)k i x i
i 0
(x x)k
又 Q f (a) f(b) 0 L i (x) 0
插值余项为R(x) 1 f (x) J(x) - f
(x)(x x °)(x x i )
7 设 f (x) 2 C 2 a,b 且 f (a)
f(b)
max f (x) a x b 1(b a) 2
max a x b
f (x).
解：令X 。 a, x i b ， 以此为插值节点
x X
X X 0
L i (x) f(x 。) f (X i )
X 0 X i X X 0
X
b X
a
= f(a) f(b)- 得证。
a b x a
0,求证: 则线性插值多项式为 f(x) 2f (x)(x x))(x X i )
又Q (X X o)(X X i)
i(X 4(xi 4(b X o) (X i
2
X)
X o)2 a)2
max a X b f(x) 8(b a)2 max f (X)
7 a X b 、，
8?在4 X 4上给出f(x) e x的等距节点函数表，若用二次插值求e X的近似值，要使截断误差不超过10 6，问使用函数表的步长 h应取多少?
解：若插值节点为X1,x i和x i 8，则分段二次插值多项式的插值余项为
1
R(x) 3! f ( )(X X i i)(X X)(x X i i) 3!
8(X X i i)(X
6
R2(X) X)(X X
i)max
f (X)
设步长为h, 即x i 1 x i h,X i X i h
R2(X) 1e4 -%
6 3.3
—e4h3.
27
若截断误差不超过10 6，
R2(X) 10 6
■ 3 4.3 6
e h 10
27
h 0.0065.
9?若y n 2n,求4y n及 4 y n
?，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
n
y n 2
4 4
y n (E 1) y n
4
4
y n
2n
1
4y n (E 2
1 (E 2)4(E 1)4y n
E
y n 2n
P(0) P (0) 0,P(1) P(1) 0, P(2)
X 0* 1
y 。0, y 1 1
m 0 0m 1
( j 0 4 ( j 0 4 ( j 0 1)j 1)j 1)j
(2
1)4y n E 4 j y n y 4 n 24 j y n 解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4的多项式
1 E 2)4
y n 2 4 y n
16. f(x) x 7 x 4 3x 1,求 F 20,21 ,L ,27 及 F 20,21 丄,28
。 解: Q f(x) X 7 X 4 3X 1
2i ,i 0,1,L
,8 则f X o ,X i 丄 ,x n (n)() n!
f X o ,X i ,L ,X 7
(7)() 7! 7! 1 7!
f X 0,X 1 丄,X
(8)() 8! 19 . 求
次数不
高于 4 次的多项式 P （ X ）， 使它
1 1
H 3(X ) y j j (x)
m j j (x) j o j o
O (X ) (1 2乞^)(乞^)2
X o X I X O X I
(1 2X )( X 1)2
1(X ) (1 2—^)2
X 1 X o X 1 X o
(3 2X )X 2
2 o (X) X(X 1)
2
1(x) (X 1)X
3
H 3(X ) (3 2X )X (X 1)X X 2X
2 2
设 P(X ) H 3(X ) A(X X o ) (X X 1)
其中，A 为待定常数
Q P(2) 1
P(X ) X 3 2X 2 A X 2(X 1)2
解法二：采用牛顿插值，作均差表:
又由得 所以
第四章
1. 确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度：
从而P(X )
1 2 2 /(x 3)
⑴ h f(x)dx A i f( h) AJ(O) Af(h)；
2h
⑵ 2h f(x)dx A i f( h) A o f(O) Af(h)；
1
⑶ I f(x)dx [f( 1) 2f(X i) 3f(X2)]/3;
h
2
⑷。f(x)dx h[f(O) f(h)]/2 ah2[ f (0) f (h)];
解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过
式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
h
(1)若(1) f(x)dx A1f( h) AJ(0) A1f(h)
h
令f (x) 1，则2h A1 A o A1
令f (x) x，则0 A 1h A1h
令f(x) x2，则2h3 h2A1h2A1
3
A 4h
1
从而解得A h
3
A1^h
3
m的多项
令f (x) x3，则 f (x)dx ：x3dx 0
Af h) AJ(0) A1f (h)
具有3次代数精度。
2h
令 f (x) x 4 h
h f(x)dx h 4 .
h xdx 2
h 5 5 A 1f ( h) A 0f (0) A-i f (h) - h 5 3
h
故此时，
h f (x)dx Af h) AJ(0) A 1f(h)
h
故 h f (x)dx A 1f ( h) A)f(0) Af(h) 故 f(x)dx h A 1f( h)
A 0f(0) Af(h)