第三届全国高校数学密码挑战赛赛题一全国三等奖代码(2018年)

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第三届全国大学数学竞赛初赛(非数学专业)真题及参考解析

第三届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷一、计算下列各题（本题共4个小题，每题6分，共24分）1. 220(1)(1ln(1))lim xx x e x x →+--+。

【解析】：因为22ln(1)22(1)(1ln(1))(1ln(1))x xxx e x ee x xx++--+--+=22022ln(1)ln(1)22220002222000ln(1)lim ,2ln(1)21lim lim lim 11ln(1)1lim 2lim 2lim 2x x x xx x x x x x x e x e xx e e e x e e x x xx x x e e ex x →++-→→→→→→+=+---==-+-+===- 所以220(1)(1ln(1))lim0xx x e x x→+--+= 【注】可以考虑洛必达法则、带皮亚诺余项的麦克劳力公式，具体参见视频解析！2. 设2coscoscos222n na θθθ=⋅⋅⋅，求lim n n a →∞。

【解析】：若0θ=，则lim 1n n a →∞=。

若0θ≠，则当n 充分大，使得022nθπ<<时，2222221cos cos coscos cos cossin2222222sin 211sin cos cos cos sin 22222sin 2sin 22n n nn nn n n n n a θθθθθθθθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=从而有，sin sin lim lim 2sin 2n n n n na θθθθ→∞→∞==。

3. 求sgn(1)Dxy dxdy -⎰⎰，其中{}(,)|02,02D x y x y =≤≤≤≤。

【解析】：设11(,)|0,022D x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，1233122321211(,)|2,0,211(,)|2,2,2112ln 2,32ln 2,sgn(1)24ln 2.D D D DD D D D x y x y x D x y x y x dxdxdy dxdy x xy dxdy dxdy dxdy ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=+=+=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【注】由积分的几何意义，积分等于2倍3D 矩形的面积减去矩形的面积，具体分析参见解析视频。

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**）对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

2018年高考数学卷(全国卷3)答案

据函数的解析式通过图象变换直接作图，另一个角度就是从
研究函数的性质入手去判断，常从函数的定义域、值域、特殊
点、函数的单调性、奇偶性等角度去研究识别．
８．Ｂ【解题思路】本题考查二项分布的概率、方差的计算．由已
{ 知得
１０ｐ（１－ｐ）＝２．４Ｃ４１０ｐ４（１－ｐ）６＜Ｃ６１０ｐ６（１－ｐ）４
①，解 ②，
线的位置关系．根据题意设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１）
{ ｙ＝ｋ（ｘ－１），
（ｋ≠０），联立抛物线方程得ｙ２＝４ｘ，消元并整理得
( ) ( ) ｙ２－４ｋｙ－４＝０，设Ａｙ４２１，ｙ１，Ｂｙ４２２，ｙ２，则ｙ１＋ｙ２＝
( ) ４ｋ，ｙ１·ｙ２＝－４ ①，由于 →ＭＡ· Ｍ→Ｂ＝
３．Ａ【解题思路】本题考查三视图．由题知当咬合时，进入木构件内部的部分看不见，需用虚线表示，且由直观图中凸出部分
的位置知Ａ是正确的，故选Ａ．
４．Ｂ【解题思路】本题考查二倍角公式的应用．因为ｃｏｓ２α ＝１－
( ) ２ｓｉｎ２α＝１－２×
１３
２
＝
７９，故选
Ｂ．
５．Ｃ【解题思路】本题考查二项展开式的通项公式的应用．由于
１２．Ｂ【解题思路】本题考查对数的运算、不等式．由于ａ＋ｂ＝
ｌｏｇ０．２０．３＋ｌｏｇ２０．３＝ｌｏｇ０．１３０．２＋ｌｏｇ１０．３２＝ｌｌｏｏｇｇ００．．３３００．．２２＋ ×ｌｌｏｏｇｇ００．．３３２２＝
ｌｏｇ０．３ｌｏ０ｇ．０２．３×０．ｌｏ４ｇ０．３２，因为ｌｏｇ０．３０．４＞０，ｌｏｇ０．３０．２＞０，ｌｏｇ０．３２＜０，
①
得

2018年全国高联数学试题

高考数学试卷一、单选题 1.函数21x y x +=-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且 B ．{|21}x x x ≥-≠且 C ．)[(21,1,)-⋃+∞ D ．)((21,1,)-⋃+∞2．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（）A ．16B ．13C ．34D ．563.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.255± B.255 C.55 D.55± 4.已知函数2()2sin cos 33(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值。

5．已知函数1()2f x x x =+-（1）用定义证明函数()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lg y f x k =-有两个大于0的零点时，求实数k 的取值范围6.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位 7.tan 3π=（）A ．33B ．32C ．1D ．38．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件9.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（） A.12 B.6 C.27 D.3010．下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=--C.()()2111x x x +-=-D.()2211x x -=- 11.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为13.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（）倍。

2018年全国卷3理科数学试题及参考答案-

绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ( ) A ．{}0 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥，{}1,2A B ∴= 【考点】交集2．()()12i i +-=( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图 4.若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为：()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，故令2r =，则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8 C． D．⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --，AB ∴=，可设()2,P θθ+，则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注：P AB d -的范围也可以这样求：设圆心为O ，则()2,0O，故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣，而O AB d -==，P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7．422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =，排除A 、B ；()32'42212y x x x x =-+=-，故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布，即()~10,X p ，由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=，故0.4p =或0.6，而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<，故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC∆的重心，易知OF⊥底面ABC，当,,D O F三点共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D ABC-的高最大，体积也最大. 此时：6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边，在等边ABC∆中，233BF BE AB===，在Rt OFB∆中，易知2OF=，6DF∴=，故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1PF=，则C的离心率为( )AB．2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：by xa=，利用点到直线的距离公式可求得2PF b=，(此结论可作为二级结论来记忆)，在Rt ABC∆中，易得OP a=，1PF∴=，在1POF∆中，由余弦定理可得：22216cos2a c aPOFac+-∠=，又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=，故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=，同理可知21b -<<-，0,0a b ab ∴+<<，排除C 、D 其次：利用作商法：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=. 若()//2c a b + ，则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=，故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-，则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++，12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈，3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，由cos y t =图像可知，当35,,222t πππ=时cos 0t =，即()f x 有三个零点或者：令362x k πππ+=+，则93k x ππ=+，当0,1,2k =时，[]0,x π∈，故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90AMB ∠= ，则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法：设直线方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ，可得12m =，故2k =(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ，则由二级结论可知NM ⊥准线，1N M y y ∴==，故22A B N y y y +==，由点差法可得，42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论：AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中，1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =，求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==，2q ∴=±，∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时，()()112631mmS -==-，解得6m =当2q =-时，()()112633mm S --==，得()2188m-=-无解综上：6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min 之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m +==，且列联表为：超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定，故要使M ABC V -最大，则M ABC d -最大，结合图象可知M 为弧 CD中点时，M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ，则MO DC ⊥，故MO ⊥面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系则：()0,0,1M ，()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--，∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ，易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =，故12cos ,5n n <>== ， ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2)28d =±【解析】(1) 点差法：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得： 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34m k ∴=-，易知中点M 在椭圆内，21143m +<，代入可得12k <-或12k >，又0m >，0k ∴<，综上12k <-联立法：设直线方程为y kx n =+，且()()1122,,,A x y B x y ，联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得，()2224384120k x knx n +++-=，则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩，两式相除可得34m k =-，后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ，20FP FM ∴+= ，即()1,2P m -，214143m ∴+=，()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=，由(1)得联立后方程为2171404x x -+=，1,2114x ∴=±， ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a . 【答案】(1)见解析；(2)16a =-【解析】(1)常规方法：当0a =时，()()()()2ln 121f x x x x x =++->-，()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+，当10x -<<时，()''0f x <；当0x >时，()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，而()'00f =， ∴()'0f x ≥恒成立，()f x ∴单调递增，又()00f = ∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >改进方法：若0a =，则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+，则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增，又因为()00g = 故当10x -<<时，()()00g x g <=，即()0f x <；当0x >时，()()00g x g >=，即()0f x >；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出()2x +之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0，第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+，()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++，()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点，()'''0610f a ∴=+=，16a ∴=-，下证：当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点，()()()3163'''1x x f x x -+=+，所以()''f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减进而有()()''''00f x f ≤=，从而()'f x 在()1,-+∞单减，当()1,0x ∈-时，()()''00f x f >=，当()0,x ∈+∞时，()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减，所以0x =是()f x 的极大值点.方法二： 0x =是()f x 的极大值点，所以存在0δ>，使得在()(),00,δδ- ，()()00f x f <=，即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时，()ln 10x +>，故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+，当(),0x δ∈-时，()ln 10x +<，故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44-：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时，直线:0l x =，符合题意；当2πα≠时，设直线:l y kx =-1d =<，即()(),11,k ∈-∞-+∞ ，又tan k α=，3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩，代入圆的方程可得：2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程23. 选修45-：不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，图象如下(2)由题意得，当0x ≥时，ax b +的图象始终在()f x 图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +最小，最小值为5，【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。

2018年全国高考数学卷3试题及答案

2018年全国高考数学卷Ⅲ试题及答案文5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为45.0，既用现金支付也用非现金支付的概率为15.0，则不用现金支付的概率为（）A ．3.0B ．4.0C ．6.0D ．7.0 答案：B ．命题意图：本题主要考查以下几点：（1）互斥事件的概率加法公式；（2）古典概型及其概率计算公式．解题思路：直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：4.015.045.01=--，故选B ．理8.（2018年全国高考数学卷Ⅲ理科第7题）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =（）A ．7.0B ．6.0C ．4.0D ．3.0 答案：B ．命题意图：本题主要考查离散型随机变量的期望与方差．解题思路：利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．解：由~(10,)X B p ，∴10(1) 2.4DX p p =-=，∴21010 2.40p p -+=，解之得4.0=p 或6.0=p ，由(4)(6)P X P X =<=，有0.6p =，故选B ．文14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．答案：分层抽样．命题意图：本题主要考查以下几点：（1）分层抽样方法；（2）系统抽样方法；（3）简单随机抽样．文18、理18．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．答案：（1）第二种生产方式的效率更高；（2）见表格；（3）有．命题意图：本题主要考查独立性检验．解题思路：（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）法一：第一种生产方式的平均数为841=x ，第二种生产方式平均数为7.742=x ，∴21x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.法二：根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高.（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为：（3）))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20202020)551515(402⨯⨯⨯⨯-⨯=635.610>=，∴有%99的把握认为两种生产方式的效率有差异.。

第三届全国大学生数学竞赛非数学类预赛试卷评分标准

D1 {( x, y ) | 0 x
2
……………………………2 分 ………………………4 分
sgn( xy 1)dxdy dxdy
D D3
dxdy 2 4 ln 2 .
………………………6 分
D2 D3
4. 求幂级数

2n 1 2 n 2 2n 1 的和函数，并求级数的和. x 2 n 1 n 2 n 1 2 n 1
…………………2 分
|d | a2 b2 c2
设平面 Pu : u .Βιβλιοθήκη …………………………5 分
ax by cz a2 b2 c2
第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案及评分标准（非数学类，2011）
一、（本题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）计算题
(1 x) x e 2 (1 ln(1 x)) 1. lim . x 0 x
解：因为
2
(1 x) e (1 ln(1 x)) e = x
n
2. 如果存在正整数 p，使得 lim( an p an ) ，则 lim
an . n n p
证明：1. 由 lim an a ， M 0 使得 | an | M ，且 0, N1 ，当 n > N1 时，
n
2 N ( M | a |) 因为 N 2 N1 ，当 n > N2 时， 1 . n 2
2 2 2
I f ( ax by cz ) dS . 求证： I 2 f ( a 2 b 2 c 2 u )du

1
1
解：由的面积为 4 可见：当 a, b, c 都为零时，等式成立. 当它们不全为零时, 可知：原点到平面 ax by cz d 0 的距离是

全国高校密码数学挑战赛题目

全国高校密码数学挑战赛题目全国高校密码数学挑战赛的题目通常涉及密码学、数学和计算机科学等领域的知识，具有较高的难度和挑战性。

以下是一些可能出现在全国高校密码数学挑战赛中的题目示例：1. 分组密码的设计与分析：题目要求参赛者设计一个分组密码，并分析其安全性；或者要求参赛者分析一个给定的分组密码，找出其弱点并攻击。

2. 公钥密码体制的设计与分析：题目要求参赛者设计一个公钥密码体制，并分析其安全性；或者要求参赛者分析一个给定的公钥密码体制，找出其弱点并攻击。

3. 数字签名方案的设计与分析：题目要求参赛者设计一个数字签名方案，并分析其安全性；或者要求参赛者分析一个给定的数字签名方案，找出其弱点并攻击。

4. 哈希函数的设计与分析：题目要求参赛者设计一个哈希函数，并分析其安全性；或者要求参赛者分析一个给定的哈希函数，找出其弱点并攻击。

5. 协议安全性分析：题目要求参赛者分析一个给定的协议的安全性，找出其中的漏洞和弱点，并提出改进方案。

6. 数学基础问题：题目要求参赛者解决一些与密码学相关的数学基础问题，如数论、概率论、统计学、计算复杂性理论等。

7. 混合密码体制的设计与分析：题目要求参赛者设计一个混合密码体制，该体制结合了分组密码和公钥密码体制的特点，并分析其安全性。

8. 数字货币的安全性分析：题目要求参赛者分析一种数字货币的安全性，包括交易安全、防篡改、匿名性等方面的问题。

9. 量子密码学的基本问题：题目要求参赛者了解和掌握量子密码学的基本原理和概念，解决一些与量子密码学相关的问题，如量子密钥分发、量子随机数生成等。

10. 实际应用问题：题目要求参赛者解决一些与密码学相关的实际应用问题，如数据加密、身份认证、安全通信等。

这些题目示例只是其中的一部分，具体的题目难度和形式可能会根据比赛的要求和组织者的意图而有所不同。

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if i<=23: else:
print g,i break
if (i-66000)%100000==0 : #os.system('>> '+'a'+str(i/1000.0)+'k.txt') fp = open('bc_'+str(i/1000.0)+'k.txt','w') fp.write(str(g[0])+'\n') fp.write(str(g[1])+'\n') fp.write(str((time()-t0)/3600)+' hours\n')
w = cos(2*i*pi/n)+1j*sin(2*i*pi/n) w = 1/w if inverse else w y.append(yi) yi= y1[i%(n/2)] + w * y2[i%(n/2)]
def fft_mul(f1,f2): n=max(len(f1),len(f2)) while n>k: n=k<<1 k<<=1 k=1
f,g=[g[0]<<1,g[1]<<1],[f[0]+d*g[0],f[1]+d*g[1]] #f[1]=phi2([f[1],modl+f[1],f[1]-modl]) #f[0]=phi2([f[0],modl+f[0],f[0]-modl])
#g[0]=phi2([g[0],modl+g[0],g[0]-modl])
# -*- coding:utf-8 -*from math import * from time import * import os
import matplotlib.pyplot as plt t0=time()
def fft(fx,inverse=False): n=len(fx) if n==1: fx1=[]
flag = not ((alpha*(g[1]-1)+alpha)-g[0])&(modl-1) f[0]<<=1 f[1]<<=1 #f[0]=phi2([f[0],modl+f[0],f[0]-modl]) elif phi(g)<phi(f): #f[1]=phi2([f[1],modl+f[1],f[1]-modl]) d=dou_f(f,g,modl)
else:
#g[1]=phi2([g[1],modl+g[1],g[1]-modl]) d=dou_f(g,f,modl)
f,g=[f[0]<<1,f[1]<<1],[g[0]+d*f[0],g[1]+d*f[1]] #f[0]=phi2([f[0],modl+f[0],f[0]-modl]) #f[1]=phi2([f[1],modl+f[1],f[1]-modl]) #g[0]=phi2([g[0],modl+g[0],g[0]-modl]) i+=1 #g[1]=phi2([g[1],modl+g[1],g[1]-modl])
return y
f1 = f1 + (n-len(f1))*[0]
f2 = f2 + (n-len(f2))*[0]
y1 = fft(f1)
y2 = fft(f2) y=[y1*y2 for y1,y2 in zip(y1,y2)] fx = fft(y,inverse=True) fx = [i/len(fx) for i in fx] return fx v=0
return [fx[0]]
fx2=[] for i in range(0,n,2): fx1.append(fx[i]) fx2.append(fx[i+1]) y1 = fft(fx1,inverse = inverse) y=[]
y2 = fft(fx2,inverse = inverse)
for i in range(n):
def dou_f(f,g,mo):
for i in [l-2,l+2,r,r+2]:
min_d = phi([f[0]+i*g[0],f[1]+i*g[1]])
def j(alpha,g,modl): global tt global tm
return d
t2=time()
f1=alpha *g[1]-g[0] tt+=time()-t2 t2=time()
fp.write(str(phi(g))+'\n') fp.write(str(alpha)+'\n') fp.write(str(modl)+'\n') fp.write(str(f[1])+'\n') fp.close() fp.write(str(f[0])+'\n')
print i,'\t',(time()-t0)/3600#,tt/(time()-t0)*100,tm/(time()-t0)*100 print (alpha *g[1]-g[0])%modl #print 'p=',g[0] #print 'phi(p,q)=',phi([p,q])
#print 'q=',g[1]
FI.close()
def phi2(f):
for i in range(1,len(f)): v=i
if abs(f[i])<abs(f[v]):
def phi(f):
return f[v] return max(abs(f[0]),abs(f[1])) x0=(f[0]-f[1])/(g[1]-g[0]) x1=-sum(f)/sum(g) l=min(x0,x1) l=l-1+(l&1) d=l r=max(x0,x1) r=r-1+(r&1) min_d = phi([f[0]+l*g[0],f[1]+l*g[1]]) if phi([f[0]+i*g[0],f[1]+i*g[1]])<min_d: d=i
f=f1&modl reБайду номын сангаасurn f
tm+=time()-t2 FI = open('sequence.txt') a='' for l in FI: a=l i=2 alpha=2 f=[0,2] d=0 g=[2,1] modl = 1<<2 while i<len(a): if a[i]=='1': modl<<=1 if flag: alpha+=modl