2007年高考.江苏卷.数学试题及详细解答

绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考公式：n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：()(1)k k n kn nP k C p p-=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为2π的是（D）A．sin2xy=B．sin2y x=C．cos4xy=D．cos4y x=2．已知全集U Z=，2{1,0,1,2},{|}A B x x x=-==，则UA C B为（A）A．{1,2}-B．{1,0}-C．{0,1}D．{1,2}3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20x y-=，则它的离心率为（A）A B．2C D．24．已知两条直线,m n，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（C）①//,m n m nαα⊥⇒⊥②//,,//m n m nαβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m nαα⇒④//,//,m n m nαβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A．①③B．②④C．①④D．②③5．函数()sin([,0])f x x x xπ=∈-的单调递增区间是（B）A．5[,]6ππ--B．5[,]66ππ--C．[,0]3π-D．[,0]6π-6．设函数()f x定义在实数集上，它的图像关于直线1x=对称，且当1x≥时，()31xf x=-，则有（B ）A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（B ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．128．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（A ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（A ）A ．2B ．1C ．12D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

11．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= 1/2 .12．某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。

（用数值作答）13．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= 32 .14．正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC 的距离是15．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A CB+= 5/4 .16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d =t [0,60]t ∈。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位） （1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）解：（1）2325441611100.055525125p C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）415441110.00640.9955P C ⎛⎫=-⨯-=-≈ ⎪⎝⎭（3）31444410.02555P C ⎛⎫=⨯-⨯≈ ⎪⎝⎭18．（本小题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==， （1）求证：1,,,E B F D 四点共面；（4分）（2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；（4分） （3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ。

（4分） 解：（1）证明：在DD 1上取一点N 使得DN=1，连接CN ，EN ，显然四边形CFD 1N 是平行四边形，所以D 1F//CN ，同理四边形DNEA 是平行四边形，所以EN//AD ，且EN=AD ，又BC//AD ，且AD=BC ，所以EN//BC ，EN=BC ，所以四边形CNEB 是平行四边形，所以 CN//BE ，所以D 1F//BE ，所以1,,,E B F D 四点共面。

（2）因为GM BF ⊥所以BCF ∆∽∆MBG ，所以MB BG BC CF =，即2332MB =，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME 是矩形，所以EM ⊥BB 1又平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1 ，且EM 在平面ABB 1A 1内，所以EM ⊥面11BCC B（3）EM ⊥面11BCC B ，所以EM ⊥BF ，EM ⊥MH ，GM BF ⊥，所以∠MHE 就是截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角的平面角，∠EMH=90︒，所以tan MEMH θ=，ME=AB=3，BCF ∆∽∆MHB ，所以3：MH=BF ：1，=，所以，所以tan ME MH θ=19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ， （1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

（4分）1D1AABCD1C 1BMEFHG解：（1）设过C 点的直线为y kx c =+，所以()20x kx c c =+>，即20x kx c --=，设A ()()1122,,,x yB x y ，OA =()11,x y ，()22,OB x y =，因为2OA OB ⋅=，所以12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，()221212122x x k x x kc x x c +-++=所以222c k c kc k c --++=，即220,c c --=所以()21c c ==-舍去（2）设过Q 的切线为()111y y k x x -=-，/2y x =，所以112k x =，即2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为M 11,22x cc x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为12x x c =-,所以21c x x -=，所以M 12,,222x x k c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以点M 和点Q 重合，也就是QA 为此抛物线的切线。

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为PQ ⊥x 轴，所以,2P k P y ⎛⎫⎪⎝⎭因为1222x x k+=，所以P 为AB 的中点。

20．（本小题满分16分）已知 {}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，11221,a b a b a ==≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，（1）若(,k m b a m k =是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；（4分）（2）若3(i b a i =是某一正整数)，求证：q 是整数，且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠）（1）因为k m b a =，所以()()111111k a q a m a q -=+--，()()()111121k q m q m m q -=+--=-+-，所以()()()()1111111111k k a q a m m q S m a q q ------===--（2）()()23111,11i b a q a a i a q ==+--，由3i b a =，所以()()()()22111,120,q i q q i q i =+----+-=解得，1q =或2q i =-，但1q ≠，所以2q i =-，因为i 是正整数，所以2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈，设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()111111n a q a m a q -=+--中m 有正整数解即可，()()11221111,111n n n q q m q m q q q q ----=+---==+++-，所以 222n m q q q -=+++，若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3i ≥时，因为1122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++项相等，从而结论成立。