人教版八年级数学上册第十五章分式方程解轮船顺逆水航行问题
人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案
第十五章分式15.1.1 从分数到分式教学目标1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．2．能确定分式有意义的条件．教学重、难点分式的概念教学过程设计一、创设问题，激发兴趣章引言:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？问题1 顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度；逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度．问题2 这个问题的等量关系是什么？顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间．问题3 应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？解：设江水的流速为v km/h.依题意得：追问式子与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？问题4 填空：（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为cm.问题4 填空：（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 .追问1 上面问题中得到的式子，，，哪些不是我们学过的整式？追问2 式子，，与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同的特征？二、知识应用，巩固提高分式的定义：一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式（fraction）.分式中，A 叫做分子，B 叫做分母.问题5 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？三、应用提高、拓展创新课本128页练习1、2、3四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）你能举例说明什么是分式吗？（3）如何确定分式有意义的条件？五、布置作业：教科书习题15.1第1、2、3题.教后反思：15.1.2 分式的基本性质（1）教学目标1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．教学重、难点分式的基本性质和分式的约分教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 下列分数是否相等？追问这些分数相等的依据是什么？问题2 你能叙述分数的基本性质吗？分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变．问题3 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？问题4 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．追问1 如何用式子表示分式的基本性质？二、知识应用，巩固提高追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.例2 填空：问题5 观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．例3 约分:追问1 由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？追问2 如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？三、应用提高、拓展创新教科书132页练习1四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用分式的基本性质时应注意什么？（3）分式约分的关键是什么？如何找公因式？（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？五、布置作业：教科书习题15.1第4、6题.教后反思：15.1.2 分式的基本性质（2）教学目标1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母.2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.教学重、难点准确确定分式的最简公分母教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 通分：追问1 分数通分的依据是什么？追问2 如何确定异分母分数的最小公分母？问题2 填空：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.追问1 你认为分式通分的关键是什么？分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.追问2 上面问题中的两个分式的公分母是什么？为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.追问3 两个分式的最简公分母是如何确定的？最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．二、知识应用，巩固提高例通分：三、应用提高、拓展创新教科书132页练习1四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式通分的关键是什么？（3）分式通分时，确定最简公分母的方法是什么？五、布置作业：教科书习题15.1第7题教后反思：15.2.1 分式的乘除（1）教学目标1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想.2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理教学重、难点分式的乘除法法则的运用教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b ，当容器内的水占容积的nm 时，水面的高度为多少？ （1）这个长方体容器的高怎么表示？（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等.问题2 大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？问题3 计算：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？ 怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？二、知识应用，巩固提高分式的乘除法法则如何用文字语言来描述？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.例1 计算：三、应用提高、拓展创新教科书138页 练习2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么区别和联系？五、布置作业：教材第144页第1题；第145页第10、11题．教后反思：15.2.1分式的乘除（2）教学目标1．能运用分式的乘除法法则进行复杂计算．2．能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题.教学重、难点用分式的乘除法法则进行计算，并解决一些实际问题．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 约分:分子与分母分别是多项式的分式如何约分？问题2 计算:分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？二、知识应用，巩固提高例1 计算：分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？解题策略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．例2 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？思考以下问题：① 你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？② 如何表示这两块试验田的单位产量？③ 怎样确定哪种小麦的单位产量高？④ 你能列式表示（2）的问题吗？归纳解题步骤：（1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式；（2）再根据题意列出相应的算式；（3）最后通过计算解决问题．三、应用提高、拓展创新教科书138页 练习3四、归纳小结运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式 的分式主要步骤是什么？五、布置作业：教材第144页第2题．教后反思：15.2.1 分式的乘方教学目标1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.教学重、难点分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1 计算： 2235353259.-+-x x x x x ÷⋅练习1 计算:2222222222222551334216423282816--+----++++m n p q mnp q pq mnm n n m m n m m n m na a a a a a a ⋅÷⋅÷÷⋅（）；（）（）；（）（）． 思考 你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？2310===a a a b b b （）？ （）？ （）？猜想：n 为正整数时=⎪⎭⎫ ⎝⎛nb a ? 你能写出推导过程吗？试试看．你能用文字语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n 是正整数时，这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．二、知识应用，巩固提高例2 计算：例3 计算：分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？ 练习2 计算：三、应用提高、拓展创新教科书139页练习2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用分式乘方法则计算的步骤是什么？它与整式的乘方运算有什么区别和联系？（3）分式的乘方与乘除混合运算的运算顺序是什么？五、布置作业：教科书习题15.2第3（3）（4）题．教后反思：15.2.2分式的加减教学目标1．理解分式的加减法法则，体会类比思想．2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．教学重、难点分式的加减法法则教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？（1）什么是增长率？（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．二、知识应用，巩固提高例计算：1122323++-p q p q （）．三、应用提高、拓展创新课本141页练习1、练习2练习：你能应用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书习题15.2第4、5题．教后反思：15.2.2分式的混合运算教学目标1．理解分式混合运算的顺序．2．会正确进行分式的混合运算．3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．教学重、难点分式的混合运算．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题 数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？ 分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”．例1 计算：这道题的运算顺序是怎样的？通过对例1的解答，同学们有何收获？对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；（2）计算结果要化为最简分式．二、知识应用，巩固提高例2 计算：2252412232142244-++--+-----+m m m m x x x x x x x x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫÷ ⎪⎝⎭（） ；（） ． 通过对例2的解答，同学们有何收获？对于带括号的分式混合运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式．三、应用提高、拓展创新练习1 计算：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式混合运算的顺序是什么？我们是怎么得到它的？（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书习题15.2第6题．教后反思：15.2.3 整数指数幂教学目标1．了解负整数指数幂的意义．2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1 的正数．教学重、难点幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？问题2 a m 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m 表示什么？（1）根据分式的约分，当 a ≠0 时，如何计算53a a÷？ （2）如果把正整数指数幂的运算性质（a ≠0，m ，n 是正整数，m >n ）中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像53a a÷情形也能使用， 如何计算？ 数学中规定：当n 是正整数时，()01≠=-a a an 这就是说，()0≠-a a n 是a n 的倒数．问题3 引入负整数指数和0指数后，m n m n a a a +⋅=（m ，n 是正整数）这条性质能否推广到m ，n 是任意整数的情形？问题4 类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？（1）m n m n a a a +⋅= （m ，n 是整数）；（2）m n mn a a =（） （m ，n 是整数）；（3）n n nab a b =（） （n 是整数）；（4）m n m n a a a -÷=（m ，n 是整数）； （5）n n n ba b a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（n 是整数）． 二、知识应用，巩固提高例1 计算：三、应用提高、拓展创新问题5 能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）m n m n a a a +⋅= （m ，n 是整数）；（2）m n mn a a =（） （m ，n 是整数）；（3）n n nab a b =（） （n 是整数）；探索： 4321101000010001.01010001001.010100101.0101010.1----========归纳：如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？规律：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．例2 用科学记数法表示下列各数：（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.例3 纳米（nm ）是非常小的长度单位，1 nm =10-9 m ．把1 nm 3 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1 mm 3 的空间可以放多少个1 nm 3 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？五、布置作业：教科书习题15.2第7、8、9题教后反思：15.3 分式方程（1）教学目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．教学重、难点利用去分母的方法解分式方程教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程v v -=+30603090．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？追问1 方程13321;251051;32212++=+-=-+=x x x x x x x x 与上面的方程有什么共同特征？分母中含有未知数．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．追问2 你能再写出几个分式方程吗？注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．问题2 你能试着解分式方程vv -=+30603090吗？ 问题3 这些解法有什么共同特点？总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程． 思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母． 追问 你得到的解6=v 是分式方程vv -=+30603090的解吗？ 二、知识应用，巩固提高问题4 解分式方程： 2110525=.--x x追问1 你得到的解5=x 是分式方程2510512-=-x x 的解吗？该如何验证呢？5=x 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．追问2 上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程90306030-=+v v （）（）的解6=v 是分式方程v v -=+30603090的解，而整式方程510+=x 的解5=x 却不是分式方程2510512-=-x x 的解？ 原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．显然，第2种方法比较简便！问题5你能概括出解分式方程的基本思 路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？基本思路 将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．三、应用提高、拓展创新例 解下列方程：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？五、布置作业：教科书习题15.3第1（1）～（4）题．教后反思：15.3 分式方程（2）教学目标1．会解较复杂的分式方程和较简单的含有字母系数的分式方程．2．能够列分式方程解决简单的实际问题．3．通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．教学重、难点分式方程的解法教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1 解方程31112-=.--+x x x x （）（）解分式方程的步骤：（1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验．用框图的方式总结为：二、知识应用，巩固提高例2 解关于x 的方程11+=.-a b b x a （）例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？三、应用提高、拓展创新某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25％，因此甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）解分式方程的一般步骤有哪些？关键是什么？解方程的过程中要注意的问题有哪些？（3）列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？五、布置作业：教科书习题15.3第1（2）（4）（6）（8）、4、5题．教后反思：15.3 分式方程（3）教学目标列分式方程解决实际问题．教学重、难点列分式方程解实际问题．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一次购进多少件衬衫？分析：二、知识应用，巩固提高例2 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？思考：（1）这个问题中的已知量有哪些？未知量是什么？（2）你想怎样解决这个问题？关键是什么？表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）.上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．例2中列出的方程是以x 为未知数的分式方程，其中v，s是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．三、应用提高、拓展创新练习1 商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．练习2 八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．四、归纳小结（1）借助分式方程解决实际问题时，应把握哪些主要问题？（2）本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？举例说明．五、布置作业：教科书习题15.3第6、7、8题．教后反思：。
人教版数学八年级上册15.3.1 分式方程及其解法 教案
15.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法●置疑导入 创设情境，导入新课问题：一艘轮船在静水中的最大航速为25 km/h ，它沿江以最大航速顺流航行90 km 所用时间与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？(学生分析，根据“两次航行所用时间相等”这一相等关系列出方程)分析：设江水的流速为v km/h ，则轮船顺流航行的速度为(25＋v ) km/h ，逆流航行的速度为(25－v ) km/h ，顺流航行90 km 所用的时间为9025＋v h ，逆流航行60 km 所用的时间为6025－v h ．可列方程9025＋v ＝6025－v. 【教学与建议】教学：通过经历实际问题→列分式方程→置疑，发展学生分析问题和解决问题的能力．建议：小组讨论，归纳分式方程的概念及解法．思考：(1)方程9025＋v ＝6025－v与以前所学的整式方程有何不同？ (2)什么叫分式方程？(3)如何解分式方程10025＋v ＝6025－v呢？怎样检验所求未知数的值是原方程的解？ (4)你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和方法吗？●复习导入1．含有__未知数的等式__叫做方程．使方程左、右两边__相等__的未知数的值叫做方程的解．2. 在x ＝0，x ＝1，x ＝－1中，哪个是方程x 3－x x －1＝0的解？为什么？ 解：(1)当x ＝0时，左边＝x 3－x x －1 ＝0－1＝0，右边＝0，∴左边＝右边， ∴x ＝0是方程x 3－x x －1＝0的解． (2)当x ＝1时，左边式子x 3－x x －1 无意义，∴x ＝1不是方程x 3－x x －1＝0的解． (3)当x ＝－1时，左边＝（－1）3－（－1）－1－1 ＝0－2＝0，∴左边＝右边， ∴x ＝－1是方程x 3－x x －1＝0的解． 3．把12 的分子分母都加上同一个数， 能使分数的值变为14吗？ 设所求的数为x ，则依据题意可列出方程1＋x 2＋x ＝14. 这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．【教学与建议】教学：通过复习整式方程和方程解的概念导入新课，直接进入本节课的难点：使分式的分母为零的值不是方程的解．建议：可先由学生讨论如何解这个方程，再在学生讨论的基础上分析，要把分式方程转化为整式方程．命题角度1 判别分式方程分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含有未知数．【例1】(1)下列是分式方程的是(B)A ．－2x 3 －3x ＝6B ．1x －1－1＝0 C ．x 2 －3x ＝5 D ．2x 2＋3x ＝－2 (2)下列方程中，a ，b 为已知数，x 为未知数：①x 2 ＋x 3 ＝14 ；②2x 2 ＋3x ＝4；③x a ＋a b ＝x ；④5x 2－1 ＋2＝x －1x 2＋1；⑤x 2x ＝0. 其中是关于x 的分式方程的是__②④⑤__．命题角度2 解分式方程解分式方程的一般步骤：去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后验根．【例2】(1) 分式方程3x －2＝1的解是(C) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝－5(2)①当x ＝__2__时，式子1x －1 －2x －1的值为－1； ②方程9x ＝8x －1的解为__x ＝9__． 命题角度3 利用分式方程的增根解题由分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题．【例3】(1)若关于x 的分式方程3x x －2 ＝m ＋3x －2＋1有增根，则m ＝__3__； (2)若关于x 的分式方程1x －4 ＋m x ＋4 ＝m ＋3x 2－16无解，则m 的值为__－1或－13 或5__． 高效课堂 教学设计1．理解分式方程的概念．2．了解解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法．3．理解分式方程验根的必要性，掌握解分式方程验根的方法．▲重点分式方程的解法．▲难点分式方程的解题步骤及验根．◆活动1 新课导入1．含有__一__个未知数，并且未知数的指数是__1__的整式方程叫做一元一次方程．2．解一元一次方程的一般步骤有：__去分母____去括号__移项、__合并同类项__系数化为1.3．解方程：x ＋16 ＝2x －54＋1. 解：去分母，得2(x ＋1)＝3(2x －5)＋12.去括号，得2x ＋2＝6x －15＋12.移项，得2x －6x ＝－15＋12－2.合并同类项，得－4x ＝－5.系数化为1，得x ＝54. ◆活动2 探究新知1．教材P 149 思考以上的内容．提出问题：(1)观察方程9030＋v ＝6030－v有什么特征？ (2)它与我们学过的整式方程有什么不同？(3)什么叫分式方程？学生完成并交流展示．2．教材P 149 思考至P 150 思考上面的内容．提出问题：(1)你知道怎么解方程9030＋v ＝6030－v吗？ (2)能否将分式方程化为整式方程再进行计算？将分式方程化为整式方程的关键步骤是什么？ (3)解分式方程中，得到的整式方程的解一定是分式方程的解吗？(4)解分式方程的一般步骤是什么？学生完成并交流展示．3．教材P 150 思考．学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．__分母__含有未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的基本思路是将分式方程化为__整式方程__，具体做法是__去分母__.3．解分式方程时，__去分母__后所得的整式方程的解有可能使原方程中__分母__为0，因此解分式方程需验根．将整式方程的解代入__最简公分母__，如果__最简公分母__的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解．◆活动4 例题与练习例1 教材P 151 例1.例2 教材P 151 例2.例3 符号⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，请你根据上述规定求出等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 111－x 1x －1 ＝1中x 的值． 解：由题意，得2x －1 －11－x＝1，解得x ＝4.检验：当x ＝4时，x －1≠0，∴x 的值为4. 例4 若关于x 的方程1x －2 ＋k x ＋2 ＝3x 2－4无解，求k 的值． 解：k ＝－1或－34时，原分式方程无解． 练习1．教材P 152 练习．2．解下列方程：(1)x x －1 ＝32x －2－2； 解：方程两边乘2x －2，得2x ＝3－2(2x －2)，解得x ＝76. 检验：当x ＝76 时，2x －2≠0.∴x ＝76是原分式方程的解； (2)x －3x －2 ＋1＝32－x. 解：方程两边乘x －2，得x －3＋x －2＝－3，解得x ＝1.检验：当x ＝1时，x －2≠0.∴x ＝1是原分式方程的解．3．如果关于x 的方程1＋x 2－x ＝2m x 2－4 的解也是不等式组 ⎩⎨⎧x －12＞x －3，2（x －3）＞x －9 的一个解，求m 的取值范围．解：解分式方程，得x ＝－m －2.∵x ≠±2，∴－m －2≠±2，∴m ≠－4且m ≠0.解不等式组，得－3＜x ＜5，∴－3＜－m －2＜5，解得－7＜m ＜1，∴m 的取值范围为－7＜m ＜1，且m ≠－4且m ≠0.◆活动5 课堂小结1．分式方程的概念．2．分式方程的解法．1．作业布置(1)教材P 154 习题15.3第1，2题；(2)对应课时练习．2．教学反思。
人教版 八年级数学上册 第15章分式 分式方程及其应用专题(含答案)
人教版 八年级数学上册 第15章 分式方程及其应用（含答案） 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得()()x x +-11 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。
21688y y y =∴==5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m 的值是（ ）2111x x m x x x x +-++=+A. B. --12或-12或C. D. 12或12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
2024年人教版八年级上册第十五章 分式分式方程
第1课时分式方程课时目标1.让学生经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.2.通过探究分式方程解法的过程,让学生感受增根产生的合理性及验根的必要性,提升学生思维的深度认知.3.通过使学生经历运用所学知识解分式方程的过程,让学生体会化归的数学思想和数学知识之间的内在联系,进一步提高学生的运算能力.学习重点分式方程的解法.学习难点理解解分式方程时可能无解的原因.课时活动设计新知引入一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它以最大航速沿江顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v千米/时,(1)轮船顺流航行速度为30+v千米/时,逆流航行速度为30-v千米/时;(2)顺流航行90千米的时间为9030+小时,逆流航行60千米的时间为6030−小时;(3)根据题意可列方程为9030+=6030−.想一想,像这样的方程属于什么方程,应该怎样解呢?设计意图:通过经历实际问题→列分式方程,让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题和解决问题的能力,培养应用意识,激发学生的探究欲与学习热情,为探索分式方程的解法做准备.探究新知探究1分式方程的概念问题1:什么是方程?我们学习过哪些方程?它们都是怎么定义的?学生代表发言,教师总结.教师引导学生通过类比的方法得到分式方程的概念.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知数.问题2:下列关于x的方程中哪些是分式方程?(1)1=5;(2)5=1;(3)x2-x+13=0;(4)2r2-1;(5)4+3=7;(6)12x2-2=1.学生独立完成.探究2分式方程的解法1.解方程:2t13-3t12=116.请两名学生上台板演,教师给出正确的解答过程.解:去分母,得2(2x-1)-3(3x-1)=11.去括号,得4x-2-9x+3=11.移项,得4x-9x=11+2-3.合并同类项,得-5x=10.系数化为1,得x=-2.2.解分式方程:9030+=6030−.分析:先将分式方程转化为整式方程.解:9030+=6030−去分母,两边同乘(30+v)(30-v)90(30-v)=60(30+v)去括号2700-90v=1800+60v移项-90v-60v=1800-2700合并同类项-150v=-900系数化为1v=6思考:v=6是原分式方程的解吗?将v=6代入原方程中,左边=52=右边,因此v=6是原分式方程的解.总结:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.探究3增根解方程:1t5=102-25.解:方程两边同乘最简公分母(x-5)(x+5),得整式方程x+5=10.解得x=5.将x=5代入原分式方程检验,分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.所以这个分式方程无解.思考:上面两个分式方程中,为什么9030+=6030−①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1t5=102-25②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?学生分小组进行交流,学生代表发言,教师总结.总结:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.设计意图:引导学生观察、反思、对比方程①②的解法,得出解分式方程时检验的必要性和具体检验方法.让学生经历这样的探究过程,促使学生深刻地领悟数学知识、数学方法产生的合理性,有利于提升学生的思维能力.典例精讲例解方程:(1)2t3=3;(2)t1-1=3(t1)(r2).解:(1)方程两边同乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.检验:当x=9时,x(x-3)≠0.所以,原分式方程的解为x=9.(2)方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以,原分式方程无解.设计意图:通过例题,使学生熟悉解分式方程的步骤以及检验方法,规范解题步骤及书写格式,加深学生对分式方程解法的认识.课堂小结1.分式方程的概念是什么?2.怎样解分式方程?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固所学知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第150页,152页练习,第154页习题15.3第1题.2.七彩作业.第1课时分式方程一、分式方程的概念.二、解分式方程的基本思想——化归.三、解分式方程的一般步骤:1.化——化分式方程为整式方程(去分母);2.解——解整式方程;3.检验——检验所得整式方程的解是否为原分式方程的解.四、例题讲解.教学反思第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题课时目标1.让学生经历用分式方程解决实际问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.3.通过列分式方程解应用题,使学生进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤,体会检验的必要性,渗透方程思想.学习重点会列分式方程解决实际问题.学习难点实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程.课时活动设计回顾旧知1.解分式方程:1t2+1=r12t4.2.列方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.3.常见等量关系式:路程=时间×速度;工作总量=工作效率×工作时间;顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度;利润=售价-进价.设计意图:复习解方程的步骤、列方程解决实际问题的步骤和常见等量关系式,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.探究新知问题:一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同,若水流速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度.分析:设轮船在静水中的速度为x千米/时,则顺水航行的速度为x+3千米/时,逆水航行的速度为x-3千米/时,顺水航行的时间为40r3小时,逆水航行的时间为30t3小时,根据题意,可得方程40r3=30t3.解:设轮船在静水中的速度为x千米/时,则40r3=30t3,解得x=21.检验:当x=21时,(x+3)(x-3)≠0,所以,x=21是原分式方程的解.答:轮船在静水中的速度为21千米/时.对比列整式方程解应用题的步骤,学生交流讨论、教师归纳总结出列分式方程解实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答.设计意图:用同学们熟悉的实际问题引入分式方程的模型,激发学生对本节课学习的兴趣.通过这道实际问题的解决,加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.典例精讲例1两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的1.记总工程量为1,根据工程的实际进度,得13+16+12=1.方程两边乘6x,得2x+x+3=6x.解得x=1.检验:当x=1时,6x≠0.所以,原分式方程的解为x=1.由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任13,可知乙队的施工速度快.例2某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50km,提速前列车的平均速度是多少?解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km所用时间为r50r h.根据行驶时间的等量关系,得=r50r.方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).解得x=B50.检验:由v,s都是正数,得x=B50时,x(x+v)≠0.所以,原分式方程的解为x=B50.答:提速前列车的平均速度为B50km/h.设计意图:通过例题让学生巩固解题步骤,规范书写格式,亲身体验建立分式方程解决实际问题的过程,提高学生分析问题和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的一般步骤是什么?2.工程、行程问题中都存在哪些等量关系式?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第154页练习第1,2题,第154页习题15.3第3题.2.七彩作业.第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、例题讲解.教学反思第3课时分式方程的实际应用——销售及其他问题课时目标1.通过使学生经历用分式方程解决销售问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决销售问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.学习重点会列分式方程解决销售问题.学习难点销售问题中相等关系的寻找及转化为方程的过程.课时活动设计回顾旧知1.列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答;2.销售问题中基本量之间有什么关系?;总价=单价×数量;打折后的销售价利润=售价-进价;利润率=利润进价=单价×折扣;……设计意图:通过复习列分式方程解决实际问题的步骤和销售问题中常见的基本量之间的关系,唤起学生已有的知识体系,为本节课的学习做好准备.探究新知问题:在某“爱心义卖”活动中,商家购进甲、乙两种文具,甲每个进货价比乙高10元,90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价.分析:设甲的进货价为x元,则乙的进货价为x-10元,150元可以购买甲的数量为150个,90元可以购买乙的数量为90t10个,根据题意,可得方程150=90t10.解:设甲的进货价为x元/个,则150=90t10,解得x=25.经检验,当x=25时,x(x-10)≠0,所以x=25是原分式方程的解.x-10=25-10=15.答:甲的进货价为25元/个,乙的进货价为15元/个.设计意图:用同学们熟悉的实际问题题引入分式方程的模型,激发学生们对本节课学习的兴趣,加深学生对解分式方程的步骤和解应用题步骤的认识.典例精讲例某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元?(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元?解:(1)设试销时该品种的苹果的进货价是每千克x元.根据题意,得2×5000=11000r0.5,解得x=5.经检验,x=5是原分式方程的解.答:试销时该品种的苹果的进货价是每千克5元.(2)试销时购进苹果的数量为50005=1000(千克),第二次购进苹果的数量为2×1 000=2000(千克).赢利为(1000+2000-400)×7+400×7×0.7-5000-11000=4160(元).答:超市两次销售该品种苹果共赢利4160元.设计意图:通过例题引导学生再次体会建立分式方程解决销售问题的过程,增强学生对销售问题中基本量之间关系的深刻理解,培养学生的应用意识.教学中,教师应注意鼓励学生积极探究,充分发挥学生的主观能动性,让学生经过自己的努力,最终解决实际问题,体验到获得成功后的喜悦.巩固训练某商城销售一种商品,第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价,共获利6000元.第二个月商场搞促销活动,将商品的进价提高10%作为销售价,第二个月的销售量比第一个月增加了80件,并且商场第二个月比第一个月多获利400元.此商品的进价是每件多少元?商场第二个月共销售此商品多少件?解:设此商品的进价为每件x元.根据题意,得6000+40025%=600025%+80,解得x=500.经检验,x=500是原分式方程的解.6000+40010%×500=128(件).答:此商品的进价是每件500元,商场第二个月共销售此商品128件.设计意图:通过练习巩固所学,提高学生分析和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的步骤是什么?2.销售问题中常见量之间有什么关系?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第155页习题15.3第7,8题.2.七彩作业.第3课时分式方程的实际应用——销售及其他问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、销售问题中常见量之间的关系.三、例题讲解教学反思。
初二数学分式方程——航行问题(教案)
航行问题1、轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是千米/时．2、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度3、某人沿一条河顺流游泳L米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为x m/s,水流速度为n m/s,求他来回一趟所需的时间。
4、小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。
5、A、B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆流返回A地,逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍,已知水流速度为4千米/时.求:该轮船在静水中的速度多少?6、甲乙两港路程为60km . 一艘船顺流由甲驶向乙,行驶了一段时间后因故折返甲,逆流行驶了10千米然后调头驶往乙港，这样花的时间与该船直接从乙港驶向甲港的时间相同，如果水流速度为2km/h ,求船在静水中的速度.7、A 、B 两个码头相距6千米,一只船从A 出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达A.回来时,开始的23路程划船前进,余下的13路程让船顺水漂移到达A 地,结果来去所用时间相同.求船在静水中的划行速度和水流速度.8、一艘轮船在静水中的最大航速为24千米/小时,它沿江以最大航速顺流航行120千米,再以最大航速返航.经过与顺流航行相等的时间,返航行程恰好比顺航行程的一半多20千米.求江水的流速.9、甲、乙两地相距150km , 一轮船从甲地逆流航行到乙地,然后又从乙地返回到甲地,又知水流速度为3km/h ，回来时所用时间是去时的34，求轮船在静水中的速度.10、一条船往返于甲,乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶,已知船在静水中的速度为8km/h ,平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2 : 1 ,某天恰逢暴雨,水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h 。
人教版八年级数学上册第十五章 分式在行程问题中的应用
分式在行程问题中的应用例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时）例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得x x 6828-=x5.1828，解得46x =， 60经检验，46x=是方程的根，且符合题意．∴46x=，1.569x=，即普通快车车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．例3 A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
分析：所行距离速度时间甲（87-45）千米x千米/小时乙45千米（x+4）千米/小时8745x-454 x+等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：方程两边都乘以2x ，去分母，得 30-15＝x ， 所以，x ＝15． 检验：当x ＝15时，2x ＝2×15≠0，所以x ＝15是原分式方程的根，并且符合题意．∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．3060解：设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：解得x＝15．经检验x＝15是这个方程的解．当x＝15时，3x＝45．即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A 与B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
第十五章 15.3.1分式方程及其解法
∴原分式方程的解为x=9.
∴原分式方程无解.
知识点二
分式方程的解法
要点归纳
用框图的方式总结为：
分式方程 整式方程
x=a
去分母 解整式方程 检验
x=a是分式 否 方程的解
当x=a时 最简公分母是
否为零？
是
x=a不是分 式方程的解
知识点二
分式方程的解法
典例题
【例2-2】关于x的方程 2x+a =1 的解是正数,则a的取值范围是 x -1
人教版数学八年级上册 第十五章 15.3.1分式方程及其解法
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺
流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间
相等.设江水的流速为x千米/时,根据题意可列方程_3_09+0x
60 30
x
.
这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
知识点二
分式方程的解法
要点归纳
“去分母法”解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
知识点二
知识点
01 分式方程的概念 02 分式方程的解法
知识点一
分式方程的概念
90 60 30+x 30 x
要点归纳
定义：此方程的分母中含有未知数x，像这样分母
中含未知数的方程叫做分式方程.
知识点一
分式方程的概念
人教版八年级数学上册第十五章 15.3 分式方程的解法2
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
学习目标
1.列分式方程解决实际问题，体会建模 的思想． 2．掌握用分式方程解决实际问题的方 法和步骤.
知识要点
知识点一：列分式方程常用的等量关系 (1)工程问题： 工作量＝工作效率×工作时间； 工作总量＝各工作量之和． 以工程为背景的这类问题，通常设工程总量为 1 的也比较多 见(如教科书第 152 页例 3)．
A.4x50＝x3＋3305×2 C.4x50－323x0＝35
【答案】D
B.4x50＝323x0－35 D.3x30－425x0＝35
4【. 例 2】轮船顺水航行 80km 所需要的时间与逆水航行 60km 所需要的时间相同，已知水流的速度是 3km/h，求轮船在静水 中的速度． 解：设轮船在静水中的速度为 x km/h，由题意得 x8＋03＝x6－03，解得 x＝21. 经检验，x＝21 是原方程的解． 答：轮船在静水中的速度为 21km/h. 小结：轮船顺逆水航行速度＝轮船在静水中的速度＋－水流的速度.
任务，原计划每天施工多少米？设原计划每天施工 x 米，则根
据题意所列方程正确的是( A )
2 A.
0x00－x2＋00500＝2
B.x2＋00500－2 0x00＝2
2 C.
0x00－x2－00500＝2
D.x2－00500－2 0x00＝2
知识点二：列分式方程解实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量，找到相等关系； (2)设：设未知数(可以直接设，也可以间接设)； (3)列：列出分式方程； (4)解：把分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程； (5)验：看整式方程的解是否满足分式方程(验根)(注意：千万 不要漏掉“检验”这个步骤)； (6)答：写出实际问题的答案.
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100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流 速为多少？
路程（千米）
速度（千米 / 时） 时间（小时）
顺水航行
逆水航行
时间
48 x4 48 x4
等量关系：顺流用时 + 逆流用时 =5 （小时）
例 2 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时
间相等，已知水流速度为 2 千米／时，求船在静水中的速度。
分析：此题的等量关系很明显：顺水航行 30 千米的时间 = 逆水中航行 20
30千米
20千米
千米的时间，即
=
．设船在静水中的速度为 x 千米
顺水航行速度 逆水航行速度
／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题
可解决．
解： 设船在静水中速度为 x 千米／时，则顺水航行速度为 ( x 2) 千米／时，
逆水航行速度为 (x 2) 千米／时，依题意，得
30 20
=
，解得 x 10 ．
7 、小芳在一条水流速度是 0.01m/s 的河中游泳，她在静水中游泳的速度是 0.39m/s, 而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是 60m, 求她从出发点到小艇来 回一趟所需的时间。
8、志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来 回一趟大约用了 2.5min ，假设当时水流的速度是 085m/s ，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
9、一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米 / 时，它沿江以最大航速顺流航 行 100 千米所用的时间与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等， 问： 江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米 / 时，则可列方程
10 、一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米 / 时，它沿江以最大航速顺流航行
3、轮船顺水航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同， 已知 船在静水中的速度是 21 千米／小时，求水流的速度？
4（1 ）小芳在一条水流速度是 0.01m/s 的河中游泳，她在静水中游泳的速度是 0.39m/s, 而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是 60m, 求她从出发点到小艇来 回一趟所需的时间。 （ 2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间 来回一趟大约用了 2.5min ，假设当时水流的速度是 0.015m/s ，而志勇在静水 中的游泳速度是 0.585m/s ，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
分式方程解轮船顺逆水航行问题
例 1 轮船顺流、逆流各走 48 千米，共需 5 小时，如果水流速度是 4 千米 / 小时，求轮船在静水中的速度。
顺流
路程 48 千米
速度 (x+4) 千米 / 小时
逆流
48 千米
(x-4) 千米 / 小时
分析：顺流速度 = 轮船在静水中的速度 + 水流的速度 逆流速度 = 轮船在静水中的速度 - 水流的速度
x2 x2
经检验， x 10 是所列方程的根．
即船在静水中的速度是 10 千米／时．
强化练习 1、轮船顺水航行 80 千米所需要的时间和逆水航行 60 千米所用的时间相同。 已 知水流的速度是 3 千米 / 时，求轮船在静水中的速度。
2．已知一个汽船在顺流中航行 46 千米和逆流中航行 34 千米共用去的时间正好 等于它在静水中航行 80 千米用去的时间并且水流的速度是每小时 2 千米求汽船 在静水中的速度。
5、已知一个汽船在顺流中航行 46 千米和逆流中航行 34 千米共用去的时间正好 等于它在静水中航行 80 千米用去的时间并且水流的速度是每小时 2 千米求汽船 在静水中的速度。
6、某人沿一条河顺流游泳 l 米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳 速度为 xm/s, 水流速度为 nm/s, 求他来回一趟所需的时间 t 。