最新北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用课件05301精
作业：
1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉
长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 Fkx则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx0.18
0
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，
并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇：s，速
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那一把 蒲 扇 。 蒲 扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡，每 逢进入 夏 天 ， 集 市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一把， 忽闪忽 闪个不 停 ， 嘴 里 叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下，或 站着， 或随即 坐在石 头 上 ， 手 持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围跑跑 跳跳， 热得满 头大汗 ，不时 听 到 “ 强 子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子们才 不听这 一套， 跑个没 完，直 到累气 喘 吁 吁 ， 这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母亲总 是，好 似生气 的样子 ，边扇 边训， “你看
B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段速
度为1.2t (m/s),到C点速度达24 m/s,从C点
到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,
经过t s后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好
停车,试求:
(1)240 (m)
(1)A、C间的距离;
(2)240 (m)
(2) B、D间的距离;
(3)20+20+280=320(s)
间隧道，袅
章《定积分》定积分的简单应用二定积
我们知道，作变速直线运动的物体所经过
的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时
间区间[a,b]上的定积分,即
s
b
v(t )dt
a
这节课，我们运用定积分知识来解决物理
学中的一些路程问题.
10.04.2021
练习:
A 、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往
热 的 ， 跑 什 么？” 此时这 把蒲扇 ，是那 么凉快 ，那么 的温馨 幸福， 有母亲 的味道 ！ 蒲 扇 是 中 国 传统工 艺品， 在我国 已有三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树， 制作简 单，方 便 携 带 ， 且 蒲扇的 表面光 滑，因 而，古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇 诸 名 ， 实 即今日 的蒲扇 ，江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ，人们 最常用 的就是 这种， 似 圆 非 圆 ， 轻巧又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今， 我的记 忆中， 它跨越 了半个 世纪， 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ，携带 着特有 的念想 ，一年 年，一 天天， 流向长 长的时
10.04.2021
3.A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车 开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀 速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
130m
教学反思： 10.04.2021
(3)电10.0车4.20从21 A站到B站所需的时间.
能力练习: 4. A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电 车开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速 直线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做 匀速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
度单位为：m/s）
解:
设 A 追上 B 时,所用的时间为 t0 依题意有 SA SB 5 即
t0 (3t 2 1)dx 0
t0 10tdx
0
5
∴ t03
t0
5t02
5
∴ t0 (t02 1) 5(t02 1) , t0 =5(s)所以 S A = 5t02 5 =130(m)
答:两物体 5s 时相遇,相遇时物体 A 的走过的路程是
高中数学北师大版选修2-2第4章 典型例题：定积分的简单应用
定积分的简单应用定积分是高中新增的数学的内容，是高等数学的基础。
它在初等数学中有着广泛的应用。
下面举例说明如下，供同学们学习时参考。
一．求函数表达式 例1.设)(x f 连续，且⎰+=1)(2)(dtt f x x f ，求)(x f .解：记⎰=10)(dtt f a ，则a x x f 2)(+=两端积分得：⎰⎰+=+=101221)2()(a dx a x dx x fa a 221+=，21-=a 1)(-=∴x x f 。
二、计算平面图形的面积 例2计算正弦曲线y=sinx 在上与x 轴所围成的平面图形的面积。
解：。
例3.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 三、平行截面面积为已知的立体体积例4曲线()1522=-+y x 绕x 解：⎰--+=11222)15(dx x V π，⎰---=11221)15(dx x V π2)2-12V V V -=⎰--+=1122)15(dx x π⎰----1122)15(dx x π211210220120ππππ=⋅=-=⎰-dx x四、求旋转体的体积例5求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积。
解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线 ,x hry =h x =及x 轴所围成三角形绕x 轴旋转一 周而成，故圆锥体体积h r x hr x x h r V hh2003222π313πd )(π=⋅==⎰. 五、求函数利润问题 例6六、在物理中的应用例7汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
最新北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用课件ppt课件
3.A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车 开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀 速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
(2)240 (m)
(2) B、D间的距离;
(3)20+20+280=320(s)
(3)电10.0车4.20从21 A站到B站所需的时间.
能力练习: 4. A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电 车开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速 直线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做 匀速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
b点，则变力F(x) 所做的功为:
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W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A
的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分复习小结
解：设A追上B时,所用的时间为 依题意有 t t 2 S A S B 5 即 (3 t 1) d x 1 0 td x 5 0 0
0 0
t0 t0 5t0 5
3 2
t 0 ( t 0 1) 5( t 0 1)
2 2
2
t0
=5 (s) 所以 S A = 5 t 0 5 =130 (m)
x
b
f
a
x dx =
5、定积分的性质： 1d x =
a
b
。
x g x d x =
b
b
kf
a
x d x =
。
b
a
f
。
。 （定积分对积分区间的可加性）a f x d x = 6、如果连续函数 f x 是函数 F x 的导函数， b 即 f x = ，则有 f x d x = 。
（一）、知识闪烁 1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度 趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ； 误差趋于 。2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; n 3 、 lim f i x i = ；其中 叫做 n
；
计算 f x d x 时，若在 a , b 上 f x 0 则 a 。若在 a , b 上 f x 0 f x dx =
b a
b
f
a
x dx =
。 若在 a , c 上
0
f
x 0，
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x
3 0
2
+ 3x dx
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零
S S 1 S 2 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
S1 y f ( x ) d x g( )
a
b
S2
b
g ( x ) dx
a
O
a a
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
b
(x )d x f f (x x f c f )d x x(x 。 a f(xf )d x (x )da)dx(x)dfx(x(xa)df。 )d x c a
a a c
b
c
c
b
b b
最新北师大版选修2-2高考数学4.3《定积分的简单应用》ppt课件
������3 3
+
������
2
������-������������2
0 ������
=9,∴-���3���3-k3+k3=9.
∴k=-3.综上,k=±3.
答案:±3
12345
5.求抛物线 y2=2px(p>0)与直线 x=���2���及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所
A.16
B.18
C.20
D.22
思路分析:将 y 看作变量,则阴影部分的面积是一个梯形与一个曲边梯
形面积差.
| 解析:由题意,阴影部分面积
S=
4 -2
������
+
4-
������2 2
dy=
������2 2
+
4������-
������3 6
4 -2
=
42 2
+
4
×
4-
43 6
−
(-2)2 2
+
3 1
(4-������)2-
3 ������
2
dx
=π
1 3
(������-4)3
+
9 ������
|13
= 83π.
答案:83π
12345
4.若由曲线 y=x2+k2 与直线 y=2kx 及 y 轴所围成的平面图形的面积为 S=9,
则 k=
.
解析:解方程组
������ ������
= =
������2 + 2������������,
S=
2 0
(4x-x3)dx=
2������2
北师大版高中数学选修2-2：第四章 定积分 复习课件
则称������(������), ������(������)为区间[−1,1]上的一组正交函数. 给出三组函数:
①f(x)=sin
1 2
������,
������(������)
=
cosBiblioteka 1 2������;②������(������)
=
������
+
1, ������(������)
=
������
第四章 定积分 复习课件
定积分的背景——面积和路程问题 定积分的概念
定积分 微积分基本定理 定积分的简单应用 平面图形的面积
简单几何体的体积
专题一 专题二 专题三
专题一：定积分的概念。 用分割、近似代替、求和、取极限来求曲边梯形的面积
和变速运动物体在某段时间内的路程体现了无限细分和无穷累 积的思维方法。
4(2015·湖南高考)
2 0
(������ − 1)d������ = ______.
解析：
2 0
(������ − 1)d������ =
1 2
������
2-������
2
= 0.
0
答案：0
1 2 3 4 567 8
5(2015·天津高考)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积
������=1
2(������-1) ������
3
·���2���
=
������
∑
������=1
���2���44·(i-1)3=
16 ������4
×
[03
+
13
+
⋯+(n-1)3]=
2020北师大版高中数学选修2-2 教师课件：第四章 定积分的简单应用
[双基自测]
1．由曲线 y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b(a<b)和 x 轴围成的曲边梯
形的面积 S 等于( )
A.bf(x)dx a
C.b[f(x)－a]dx a
B．－bf(x)dx a
D.b[f(x)－b]dx a
解析：画示意图(图略)，利用定积分表示面积．
b
[f1(x)－f2(x)]dx(其中f1(x)＞
a
f2(x))．
1．函数y＝sin x，y＝cos x在区间π4，54π内围成的面积为________． 解析：在x∈ π4，54π 内，y＝sin x，y＝ cos x围成一封闭图形，如图所示．
5
S＝4 (sin x－cos x)dx 4
[解析]
根据题意，得 f(x)＝1100x－，100≤ x，x12≤＜12x，≤1，
从而得 y＝xf(x)＝1100xx2－，100≤x2， x≤12＜ 12，x≤1，
1
2 0
10x2dx＋
1 1
(10x－10x2)dx
2
＝130x3
1 2
0
＋(5x2－130x3)
1 1 2
探究一 计算简单平面图形的面积
[例 1] 试求曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围成的图形的面
积． [解析]
由yy＝＝xx2＋－32x＋3 解得xy＝＝30 或xy＝＝63 .曲线y＝x2－2x＋3及
直线y＝x＋3的交点为(0,3)和(3,6)．因此所围成的图形的面积是
5
＝(－cos
x－sin
x)
4
4
＝－cos54π－sin54π －－cosπ4－sinπ4 ＝ 2－(－ 2)
高中数学北师大版选修2-2第4章 知识归纳：定积分的基本性质盘点
定积分的基本性质盘点一、定积分基本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即[()()]()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即()()bbaakf x dx k f x dx=⎰⎰（k 为常数）．性质3 不论a b c ，，三点的相互位置如何，恒有()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．性质4 若在区间[]a b ，上，()0f x ≥，则()0ba f x dx ⎰≥．推论1 若在区间[]a b ，上，()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ⎰⎰≤．推论2()()bbaaf x dx f x dx ⎰⎰≤．性质5 （估值定理）设函数()f x 在区间[]a b ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，则()bbbaaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．证明：因为()m f x M ≤≤，由推论1得()bb baaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．即()bbbaaam dx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤．故()()()bam b a f x dx M b a --⎰≤≤．利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．二、定积分性质的应用例1.比较定积分120x dx ⎰和130x dx ⎰的大小．分析：由都在区间[0，1]，无需求出积分值，只需比较被积函数大小即可． 解：由在区间[0，1]上，有x 2≥x 3．根据性质4的推论1，知120x dx ⎰≥130x dx ⎰．评注：利用性质，可减少计算量． 例2.计算：0|sin cos |x x dx π-⎰．分析：首先去绝对值，分0＜x ＜4π和4π＜x ＜π两个区间，分开运算． 解：0|sin cos |x x dx π-⎰＝4(cos sin )x x dx π-⎰＋4(sin cos )x x dx ππ-⎰＝(sinx ＋cosx)40|π＋(－cosx －sinx)4|ππ＝＋1)＋－1)＝．评注：这里用到了定积分对于积分区间具有可加性．例3.求函数f(x)＝3,[0,1][1,2]2,[2,3]x x x x x ⎧∈∈∈⎪⎩在区间[0，3]上的积分．分析：先分段，再运用性质． 解：由积分性质，知3()f x dx ⎰＝10()f x dx ⎰＋21()f x dx ⎰＋32()f x dx ⎰＝13x dx ⎰＋1⎰＋322x dx ⎰＝44x 10|＋3223x 21|＋2ln 2x 32|＝5412ln 2-．评注：⑴分段函数在区间[a ，b]上积分可分成几段积分的和的形式； ⑵分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段即可，无需分得过细．例4.估计定积分π30212sin dx x+⎰的值．分析：不用求出积分的值，可用估值定理解决． 解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，∴320sin 1x ≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x+≤≤， 于是由估值定理得π302π1π322sin dx x+⎰≤≤．评注：运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．。
高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教材习题点拨北师大版选修2-2
高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(P 85) 1.解:(1)定积分⎰01e xdx 中,被积函数为y=e x.被积函数的一个原函数为y=e x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.(2)定积分⎰ππ2cosxdx 中,被积函数为y=cosx.被积函数的一个原函数为y=sinx, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰ππ2cosxdx=sinx|2ππ=sinπ-sin2π=-1. (3)定积分⎰01x 3dx 中,被积函数为y=x 3.被积函数的一个原函数为y=41x 4, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 3dx=41x 4|10=41×14-41×04=41.2.解:(1)导函数为y′=(x 2)′=2x,⎰012xdx=x2|1=12-02=1;(2)导函数为y′=(x 2+5)′=2x,⎰012xdx=(x 2+5)|1=(12+5)-(02+5)=1;(3)导函数为y′=(x 2-π)′=2x,⎰012xdx=(x 2-π)|1=(12-π)-(02-π)=1;(4)导函数为y′=(x 2-a)′=2x,⎰012xdx=(x 2-a)|1=(12-a)-(02-a)=1.3.解:(1)定积分⎰01(x 3-1)dx 中,被积函数为y=x 3-1.被积函数的一个原函数为y=41x 4-x,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01(x 3-1)dx=(41x 4-x)|10=(41×14-1)-(41×04-0)= 43-.(2)定积分⎰24x 1dx 中,被积函数为y=x1. 被积函数的一个原函数为y=ln|x|, 由牛顿—莱布尼兹公式可得⎰24x1dx=ln|x||42=ln4-ln2=ln2. (3)定积分⎰40πx 2cos 1dx 中,被积函数为y=x2cos 1. 被积函数的一个原函数为y=tanx,由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰4π0x2cos 1dx=tanx |40π=tan 4π-tan0=1. 习题42(P 85) 1.解:⎰01x e 21dx=21x e 21|10=2121e -21e 0=2121e -21.2.解:⎰01f(x)dx=11+x |10=111+101+-=-21. 3.解:⎰0πf(x)dx=sinxcosx |0π=sinπcosπ-sin0cos0=0.4.解:(1)(sinx)′=cosx,(sinx+2)′=cosx,(sinx+c)′=cosx.(2)⎰2πcosxdx=sinx|20π=sin2π-sin0=1. 5.解:(1)f(x)=1+2x 的一个原函数是F(x)=x+x 2,所以f(x)=1+2x 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(1+2x)dx=(x+x 2) |1=(1+12)-(0+02)=2.(2)f(x)=3sinx+cosx 的一个原函数是F(x)=-3cosx+sinx,所以f(x)=3sinx+cosx 在区间[0,1]上的定积分为⎰01f(x)dx=⎰01(3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)|1=(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0)=-3cos1+sin1+3.6.解:(1)函数y=2x-7的一个原函数为F(x)=x 2-7x, 所以⎰01(2x-7)dx=(x 2-7x)|1=(12-7×1)-(02-7×0)=-6.(2)函数y=23x +x2的一个原函数为F(x)=x 3-+2ln|x|, 所以⎰12(23x +x2)dx=(x 3-+2ln|x|)|21=(-23+2ln2)-(13-+2ln1)=23+2ln2. (3)函数y=3x的一个原函数为F(x)=3ln 13x,所以,⎰133x dx=(3ln 13x )|31=(3ln 133)-(3ln 131)=3ln 24. (4)函数y=sinx 的一个原函数为F(x)=-cosx, 所以,⎰-ππsinxdx=-cosx |ππ-=(-cosπ)-［-cos(-π)］=0.(5)函数y=lnx 的一个原函数为F(x)=x(lnx-1), 所以,⎰1elnxdx=x(lnx-1)|1e =e(lne-1)-1×(ln1-1)=1. (6)函数y=112+x 的一个原函数为ln(x+12+x ),所以,⎰01112+x dx=ln(x+12+x )|1=ln(1+2)-ln(0+1)=ln(1+2).(7)函数y=x 2-2x+3的一个原函数为F(x)=31x 3-x 2+3x, 所以,⎰01（x 2-2x+3）dx=(31x 3-x 2+3x)|10=(31×13-12+3×1)-(31×03-02+3×0)=231.(8)函数y=（x-1）2=x 2-2x+1的一个原函数为F （x ）=31x 3-x 2+x, 所以,⎰13(x-1)2dx=(31x 3-x 2+x)|31=(31×33-32+3)-(31×13-12+1)=232.(9)函数y=2x+x 2的一个原函数为F(x)=33122ln 1x x +, 所以⎰-11(x 2+2x )dx=(2ln 12x +31x 3)|11-=(2ln 121+31×13)-(2ln 12-1+31×(-1)3)=32ln 23+x . (10)函数y=x 21+x x 的一个原函数为F(x)=21ln|x|+52x 2x, 所以,⎰12(x 21+x x )dx=(21ln|x|+52x 2x )|21=(21ln2+52×222)-(21ln1+52×121)=21ln2+258-52. 7.解:设汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为s,则s=⎰510(2t+t+2)dt=［3423t +22t +2t ］|105=10340-3205+295(m). 答:汽车在5~10 s 这段时间走过的路程为10340-3205+295m. 8.解:设弹簧弹力在这一过程中所做的功为W,则W=⎰8.06.0(-0.5x)dx=0.07(焦耳).答:这一过程中弹簧弹力所做的功为0.07焦耳.B 组1.解:⎰-22ππf(x)dx=⎰20πf(x)dx+⎰-2πf(x)dx=⎰20π-sinxdx+⎰-2πxdx=cosx |2π+21x 2|02π=cos 2π-cos0+21×02-21×(-2π)2=-82π-1.思路分析:将区间[-2π,2π]拆分成[0,2π]和[-2π,0],函数f(x)在区间[-2π,2π]的积分等于函数在区间[0,2π]和[-2π,0]的积分之和.2.解:(1)定积分⎰01x 2dx 中,被积函数为y=x 2.被积函数的一个原函数为y=31x 3, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰01x 2dx=31x 3|10=31×13-31×03=31.用图像表示为: (2)定积分⎰12(x-1)2dx 中,被积函数为y=(x-1)2=x 2-2x+1.被积函数的一个原函数为y=31x 3-x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰12(x 2-2x+1)dx=(31x 3-x 2+x)|21=(31×23-22+2)-(31×13-12+1)=31. 用图像表示为: (3)定积分⎰-10(x+1)2dx 中,被积函数为y=(x+1)2=x 2+2x+1. 被积函数的一个原函数为y=31x 3+x 2+x, 由牛顿—莱布尼茨公式可得⎰-10(x 2+2x+1)dx=(31x 3+x 2+x)|01-=(31×03-02+0)-［31×(-1)3+(-1)2-1］=31. 通过计算可以看出:以上积分的结果相同.从图像中不难看出:三种情况下曲边梯形的面积相等,故积分值相等. 练习(P 88) 1.解:曲线y=x1，直线x=1,x=2以及x 轴围成的平面图形的面积为⎰12x 1dx=ln|x||21=ln2-ln1=ln2.2.解:曲线y=e x 与y 轴的交点为(0,1),曲线y=e x,直线x=1以及x 轴、y 轴围成的平面图形的面积为⎰01e x dx=ex|1=e 1-e 0=e-1.练习(P 90)1.解:直线x=y,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到的圆台体积为⎰12πx 2dx=31πx 3|21=31π×23-31π×13=37π. 2.解:曲线y=1+x x+1,x 轴,y 轴和直线x=1围成的区域绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为:⎰01π(x+1)dx=(21πx 2+πx)|10|10=(21π×12+π×1)-(21π×02+π×0)=23π.习题43(P 90)1.解:⎩⎨⎧+==,2,2x y x y 解方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1,14,2y x y x 或. 所求平面图形的面积为⎰-12(x+2-x 2)dx=(22x +2x-33x )|21-=8-621.2.解:如图所示:所求的阴影部分的面积分为两部分:一部分是x 轴上方的面积,一部分是x 轴下方的面积.x 轴上方的面积S 1=⎰-22ππcosxdx=sinx|22ππ-=sin2π-sin(-2π)=2, x 轴下方的面积S 1=S 2=2,所求的阴影部分的面积为S=S 1+S 2=2+2=4. 3.解:所求的面积为S=⎰20πsinxdx=-cosx|20π=-cos2π-(-cos0)=1. 4.解:所求的面积为S=⎰12(x+x 1)dx=(21x 2+ln|x|)|21=(21×22+ln2)-( 21×12+ln1)=23+ln2.5.解:所求旋转体的体积为 V=⎰12π(x 1)2dx=-π·x1|21=(-π×21)-(-π×11)=2π. 6.解:所求旋转体的体积为 V=⎰01π(x )2dx=π·21x 2|10=(π×21×12)-(π×21×02)=2π. 7.解:由题意知⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y ,2解此方程组得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==1,1y x .所求平面图形的面积为:⎰01x dx-⎰01x 2dx=32x x|10-31x 3|10=32×1×1-32×0×0-(31×13-31×03)=31.该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为:⎰01π(x )2dx-⎰01π(x 2)2dx=21πx 2|10-51πx 5|10=21π×12-21π×02-(51π×15-51π×05)=103π. STS浅淡微积分(二)微积分是数学中的基础分支.内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极限.17世纪后半叶,英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼茨,总结和发展了几百年间前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础.19世纪,柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善.微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发,希望用数学工具来刻画这一事实.导数作为一个数学工具无论在理论上还是在实际应用中,都起着基础而重要的作用.例如在求极大、极小值问题中的应用.积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分.主要内容包括积分的性质、计算,以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.。