赢在高考数学高考模拟题

第3讲 函数y=Asin ()x ωϕ+的图像与性质1.下列函数中,周期为π,且在[]42ππ,上为减函数的是…… ( ) A.y=sin (2)2x π+ B.y=cos (2)2x π+ C.y=sin ()2x π+D.y=cos ()2x π+【答案】 A【解析】 由于y=sin (2)2x π+=cos2x 的最小正周期为π,且在[]42ππ,上是减函数,故选A.2.四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数()6x π+()3x π-的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误,那么有错误的图像是( )【答案】 C 【解析】当x=2kπ(k ∈Z )时,y=sin2x=sin[2(2k π()6x π+=sin(2k π1)062y π+=>,=sin ()3x π-=π)03π-=<,显然周期最小的函数为y=sin2x,过函数y=sin2x 的图像上的点(2k π0)(k ,∈Z )作一直线x=2k π(k ∈Z ),则此直线与另外两条曲线的两个交点的纵坐标分别为12,结合各选项可知有错误的图像为C.3.(2011辽宁协作体,6)已知f(x)=cos )ϕ+sin +)ϕ为偶函数,则ϕ可以取的一个值为( ) A.6πB.3πC.6π-D.3π-【答案】 D【解析】 f(x)=2cos )3πϕ++,则3kπϕ+=πk ϕ,=π3k π-,∈Z ,令03k πϕ=,=-,故选D.4.函数f(x)=sin 2(2)4x π-的最小正周期是 .【答案】2π【解析】 1cos2(2x )411()222f x π--==-sin4x,故其最小正周期为242ππ=. 5.(2011江苏高考,9)函数f(x)=Asin ()(x A ωϕωϕ+,,为常数00)ω,>的部分图象如图所示,则f(0)的值是 .【答案】【解析】 由图可知741234T A πππ==-=,∴T=π. 又2T πω=,∴22πωπ==.根据函数图象的对应关系得23kπϕ⨯+=π(k ∈Z ),∴kϕ=π2(3k π-∈Z ).取3πϕ=,则()f x =(2)3x π+,∴(0)f =3π=.1.函数f(x)=2sinxcosx 是( )A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数 【答案】 C【解析】 因为f(x)=2sinxcosx=sin2x 是奇函数,T=π,所以选C.2.右图是函数y=Asin ()(00x A ωϕω+>,>,|ϕ|2x π≤,∈R )在区间5[]66ππ-,上的图像.为了得到这个函数的图像,只要将x ∈)的图像上所有的点( )A.向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B.向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变D.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变【答案】 A【解析】 观察图像可知,函数y=Asin ()x ωϕ+中21A πω=,=π,故2()06πωωϕ=,⨯-+=,得3πϕ=,所以函数y=sin(2x )3fπ+,故只要把y=sinx 的图像向左平移3π个单位长度,再把各点的横坐标缩短到原来的12倍即可.3.定义行列式运算: 1234 a a a a 1423a a a a =-,将函数f(x)=sin xxωω| (0)ω>的图像向左平移56π个单位长度,所得图像对应的函数为偶函数,则ω的最小值是( )A.15B.1C.115D.2 【答案】 B【解析】由题意知()f x =x ω-sin 2x ω=cos ()6x πω+.将函数f(x)的图像向左平移56π个单位长度后所得图像对应的函数y=2cos 5()66x ππωω++为偶函数,所以5πω+π=πk ,∈Z 61k k ω,=-,∈Z ,∵0ω>,∴min1ω=,故选4.已知函数()f x =x x ,∈R ,若()1f x ≥,则x 的取值范围为( )A.{x|2k π23x kπ+≤≤π+πk ,∈Z }B.{x|k π3x kπ+≤≤π+πk ,∈Z }C.{x|2k π26x k π+≤≤π56k π+,∈Z }D.{x|k π6x kπ+≤≤π56k π+,∈Z }【答案】 A【解析】 f(x)=2sin ()6x π-,若()1f x ≥, 即2sin ()16x π-≥,∴sin 1()62x π-≥,得2k π266x kππ+≤-≤π56π+(k ∈Z ),即2k π23x kπ+≤≤π+π(k ∈Z ).故选A.5.(2011北京西城二模,6)函数y=sin(π)(0)x ϕϕ+>的部分图像如图所示,设P 是图像的最高点,A,B 是图像与x 轴的交点,则tan APB ∠等于( )A.10B.8C.87D.47【答案】 B【解析】 如图,过P 作PC x ⊥轴,垂足为C,设APC BPC αβ∠=,∠=,∴APB αβ∠=+.又y=sin(π)x ϕ+,∴22T ππ==,tan 11212AC PC α===,tan 33212BC PC β===,则tan 31tan tan 222()81tan tan 3111224αβαβαβ+++====-⋅-⨯.∴选B.6.(2011安徽高考,理9)已知函数f(x)=sin (2)x ϕ+,其中ϕ为实数.若()f x ≤|()6f π|对x ∈R 恒成立,且()2f π>π则f(x)的单调递增区间是( )A.[k π3kπ-,π6](k π+∈Z ) B.[k π,k π](2k π+∈Z )C.[k π6k π+,π2](3k π+∈Z )D.[k π2kπ-,π](k ∈Z )【答案】 C【解析】 由()f x ≤|()6f π|对x ∈R 恒成立,可知f(x)的最大值为|6()f π|=|sin ()3πϕ+|,从而有|sin ()3πϕ+|=1,即sin ()13πϕ+=±,即3kπϕ+=π2k π+,∈Z ,即k ϕ=π6k π+,∈Z . 又2()(f f π>π),得sin 0ϕ<,故可取56πϕ=-,即f(x)=sin 56(2)x π-,由2k π52226x kππ-≤-≤π2k π+,∈Z ,得k π6x kπ+≤≤π23k π+,∈Z ,故选C.7.(2011课标全国高考,理11)设函数f(x)=sin (x ω+)ϕ+cos (x ω+)(0ϕω>,|ϕ|)2π<的最小正周期为π,且-则( )A.f(x)在(0)2π,上单调递减B.f(x)在3()44ππ,上单调递减C.f(x)在(0)2π,上单调递增D.f(x)在3()44ππ,上单调递增【答案】 A【解析】 f(x)=sin ()x ωϕ++cos ()x ωϕ+=()4x πωϕ++,∵周期2T πω==π,∴2ω=.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数, ∴4kπϕ+=π(2k π+∈Z )k ϕ,=π4k π+,∈Z .又|ϕ|2π<,∴4πϕ=.∴()f x =(2)x π+=易得f(x)在(0)2π,上单调递减,故选A. 8.(2011辽宁高考,理16)已知函数()x ωϕ+0ω>ϕ)()2y f x π,=的部分图像如图,则()24f π= .【答案】【解析】 由31288πππω⨯=-,得2ω=,则f(x)=Atan (2)x ϕ+. 又函数图像过点3(0)8π,,则Atan 3()04πϕ+=,∴4πϕ=. ∴f(x)=Atan (2)4x π+.又函数图像过点(0,1), 即Atan 14π=,故A=1. ∴f(x)=tan (2)4x π+,∴()24f π=tan (2)244ππ⨯+=tan 3π=.9.已知函数f(x)=msinx+ncosx,且()4f π是它的最大值(其中m,n 为常数,且0)mn ≠,给出下列命题:①()4f x π+为偶函数;②函数f(x)的图像关于点7(0)4π,对称; ③3()4f π-是函数f(x)的最小值;④函数f(x)的图像在y 轴右侧与直线2m y =的交点按横坐标从小到大依次记为1234P P P P ,,,,…,则|24P P |=π; ⑤1m n=.其中真命题的是 (写出所有真命题的序号). 【答案】 ①②③⑤【解析】 由题意得f(x)=msinx+ncos x =()(x ϕ+其中tan )n m ϕ=.因为()4f π是它的最大值,所以4π+ϕ=π(2k π+∈Z )2k ϕ,=π(4k π+∈Z ).所以()f x =sin(x+2k π)4π+=()4x π+,且ϕ=n m =tan(2k π)14π+=,即1n m=.故()f x =4x π+①()4f x π+=⋅sin ()44x ππ++=为偶函数,①正确;②当74x π=时7()4f π,=|m|sin 7()44ππ+=|m|sin2π=0,所以函数f(x)的图像关于点7(0)4π,对称,②正确③3()4f π-=3()44ππ-=2π=|m|,f(x)取得最小值,③正确;④根据()f x =|m|sin ()4x π+可得其最小正周期为2π,由题意可得2P 与4P 相差一个周期2π,即|24P P |=2π,④错误; ⑤1m n=,显然成立,⑤正确. 10.已知函数f(x)=2sin 2x +sin 21x x -,∈R .(1)求f(x)的最小正周期及f(x)取得最大值时x 的集合(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)在[0,π]上的图像(在图上标明关键点的坐标).【解】 (1)f(x)=sin2x-cos 2x =(2)4x π-,所以f(x)的最小正周期是π. 当224x kπ-=π2k π+,∈Z ,即x=k π38k π+,∈Z 时,sin (2)4x π-取得最大值1,从而f(x)所以f(x)取得最大值时x 的集合为{x|x=k π38k π+,∈Z }.(2)如图所示.11.(2012北京海淀月考)已知函数f(x)=sinxcosx+sin 2x . (1)求()4f π的值;(2)若[0]2x π∈,,求f(x)的最大值及相应的x 值【解】 (1)∵f(x)=sinxcosx+sin 2x , ∴()4f π=sin 4πcos 4π+sin24π22=+=1.(2)f(x)=sinxcosx+sin 2x12=sin 1cos2x 22x -+1(2=sin2x-cos 12)2x +=sin 1(2)42x π-+, 由[0]2x π∈,得32[]444x πππ-∈-,, 所以,当242x ππ-=,即38x π=时,f(x)12.已知函数()f x =21(x x -∈R ).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0]2π,上的最大值和最小值;(2)若06()[]054f x x ππ=,∈,,求cos 02x 的值.【解】 (1)由()f x =21x -,得()f x =2sinxcosx)+(2cos 21)x -=(2)6x π+.所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)=2sin (2)6x π+在区间[0]6π,上为增函数,在区间[]62ππ,上为减函数,又()6f π(2f π)=-1,所以函数f(x)在区间[0]2π,上的最大值为2,最小值为-1. (2)由(1)可知0()f x =2sin 0(2)6x π+. 又因为06()5f x =,所以sin 03(2)65x π+=.由0[]42x ππ∈,,得0272[]636x πππ+∈,.从而cos 0(2)6x π+==45-所以cos 02x =cos 0[(2)]66x ππ+-0(2x +)6πcos 6π+sin 0(2)6x π+sin 6π=。