2020高考数学模拟试题及答案
2020年山东省济南市高考模拟文科数学试卷(5月份)含答案解析
2020年山东省济南市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．设复数z=（i为虚数单位），则z=（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i2．设N是自然数集，P={x|y=，则集合P∩N中元素个数是（）A．2B．3C．4D．53．如果log5a+log5b=2，则a+b的最小值是（）A．25B．10C．5D．24．“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．执行如图的程序框图，则输出的S等于（）A．0B．﹣3C．﹣10D．﹣256．已知不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A．﹣6B．﹣4C．0D．47．在区间[0，]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．8．已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC 的面积S等于（）A．3B．C．D．9．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣aB．3+aC．﹣2D．210．设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1二、填空题（本大共5小题，每小题5分，满分25分）11．商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：月平均气温x（℃）17 13 8 2月销售量y（件）24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程=﹣2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为件．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积是cm213．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．14．已知△ABC中，AB=AC=1，且|+|=|﹣|，=3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是．15．若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f（﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．2020年2月，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》中提到“原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开”，济南某新闻媒体对某一小区100名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取20人到演播大厅进行现场交流．（i）求年龄在35～55岁之间的人数；（ii）在55～75岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再65～75岁之间的概率是多少？17．已知函数f（x）=sin2x+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A﹣PBD的体积．19．已知在等比数列{a n}中，a n+1＞a n，对n∈N*恒成立，且a1a4=8，a2+a3=6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）若数列{b n}满足+…+=n，（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l1的直线l1，l2交椭圆C于另一点Q，当直线l1的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣e x+mx，其中m∈R，函数g（x）=f（x）+e x+1．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当m=﹣e时，（i）求函数g（x）的最大值；（ii）记函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣，证明：函数φ（x）没有零点．2020年山东省济南市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．设复数z=（i为虚数单位），则z=（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简复数为：a+bi的形式即可．【解答】解：复数z=（i为虚数单位），则z===﹣i．故选：B．2．设N是自然数集，P={x|y=，则集合P∩N中元素个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】交集及其运算．【分析】求出P中x的范围确定出P，找出P与N的交集即可．【解答】解：由P中y=，得到3x﹣x2≥0，整理得：x（x﹣3）≤0，解得：0≤x≤3，即P=[0，3]，∵N为自然数集，∴P∩N={0，1，2，3}，则集合P∩N中元素个数是4，故选：C．3．如果log5a+log5b=2，则a+b的最小值是（）A．25B．10C．5D．2【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得：ab=52，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b＞0，log5a+log5b=2=log5（ab），∴ab=52=25≤，解得a+b≥10，当且仅当a=b=5时取等号．则a+b的最小值是10．故选：B．4．“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】依据充分性与必要性的定义，对两个条件之间的关系进行判断研究其因果规律，以确定两个条件的关系．【解答】解：若a＞2且b＞2，则ab＞4成立，故充分性易证若ab＞4，如a=8，b=1，此时ab＞4成立，但不能得出a＞2且b＞2，故必要性不成立由上证明知“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件，故选A5．执行如图的程序框图，则输出的S等于（）A．0B．﹣3C．﹣10D．﹣25【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的s，k的值，当k=5时，不满足条件k＜5，退出循环，输出s的值为﹣10．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，s=1满足条件k＜5，执行循环体，s=1，k=2满足条件k＜5，执行循环体，s=0，k=3满足条件k＜5，执行循环体，s=﹣3，k=4满足条件k＜5，执行循环体，s=﹣10，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出s的值为﹣10．故选：C．6．已知不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A．﹣6B．﹣4C．0D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得﹣3≤y≤5，0≤|x|≤3；化简y=|x|+m为m=y﹣|x|，从而确定最小值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，﹣3≤y≤5，0≤|x|≤3；∵y=|x|+m，∴m=y﹣|x|，故当y=﹣3，|x|=3，即过点A（﹣3，﹣3）时，m有最小值为﹣6；故选：A．7．在区间[0，]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出sinx+cosx≤1的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由sinx+cosx≥1得sin（x+）≥1，即sin（x+）≥，∴2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z即2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z∵0≤x≤π，∴当k=0时，x的取值范围是0≤x≤，则“sinx+cosx≥1”发生的概率P==，故选：D．8．已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC的面积S等于（）A．3B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由条件和正弦定理求出sinA，结合条件和内角的范围求出A，由内角和定理求出B，利用三角形面积公式求出△ABC的面积S．【解答】解：在△ABC中，∵a=，c=，C=，∴由正弦定理得，则sinA===，∵C是钝角，且0＜A＜π，∴A=，∴B=π﹣A﹣C=，∴△ABC的面积S===，故选：D．9．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣aB．3+aC．﹣2D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的结论f（0）=0求出a，再由对数的运算得出结论．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=a=0，f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log3（8+1）=﹣2．故选：C．10．设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线右支上存在一点P，使•=0，∴⊥，∵|PF1|=|PF2|，∴|F1F2|=2|PF2|=4c，即|PF2|=2c∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|=2a，∵|PF2|=2c∴2（﹣1）c=2a，e==，故选：C二、填空题（本大共5小题，每小题5分，满分25分）11．商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：月平均气温x（℃）17 13 8 2月销售量y（件）24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程=﹣2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为2件．【考点】线性回归方程．【分析】分别求出，，再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a的值，写出线性回归方程，将x=24代入线性回归方程求出对应的y的值，这是一个预报值．【解答】解：∵=（17+13+8+2）=10，=（24+33+40+55）=38，a=58∴=﹣2x+58，∴=﹣2×24+58=2，故答案为：2．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积是12+4\sqrt{2}cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是正方体沿对角面截取一半所得几何体，即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体沿对角面截取一半所得几何体，∴该几何体的表面积=22×2++2×2=12+4cm2．故答案为：12+4．13．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°14．已知△ABC中，AB=AC=1，且|+|=|﹣|，=3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是[\frac{1}{4}，\frac{3}{4}]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据|+|=|﹣|得出•=0，⊥，建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算表示出•，根据坐标运算即可求出•的取值范围．【解答】解：△ABC中，AB=AC=1，|+|=|﹣|，∴•=0，∴⊥；以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A（0，0），C（1，0），B（0，1），∵=3，∴E（，）；直线BC方程为x+y=1，即x+y﹣1=0；设P（x，y），则0≤x≤1，则=（x，y），=（，），∴•=x+y=x+（1﹣x）=x+；∵0≤x≤1，∴≤x+≤；即•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．15．若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f（﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据条件得到函数f（x）存在n个关于y轴对称的点，作出函数关于y轴对称的图象，根据对称性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由“n度局部偶函数”的定义可知，函数存在关于y对称的点有n个，当x＜0时，函数g（x）=|sin（x）|﹣1，关于y轴对称的函数为y=|sin（﹣x）|﹣1=|sin （x）|﹣1，x＞0，作出函数函数g（x）g和函数y=h（x）=|sin x|﹣1，x＞0的图象如图：若g（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则等价为函数g（x）和函数y=|sin（x）|﹣1，x＞0的图象有且只有3个交点，若a＞1，则两个函数只有一个交点，不满足条件，当0＜a＜1时，则满足，即，则，即＜a＜，故答案为：（，）三、解答题（共6小题，满分75分）16．2020年2月，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》中提到“原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开”，济南某新闻媒体对某一小区100名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取20人到演播大厅进行现场交流．（i）求年龄在35～55岁之间的人数；（ii）在55～75岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再65～75岁之间的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据各组的频率和等于1，即可求出m的值，（Ⅱ）（i）根据各组的人数比，利用分层抽样即可求出龄在35～55岁之间的人数，（ii）年龄在55～65岁之间的人数为3人，记为A，B，C，年龄在65～75岁之间的人数为2人，记为D，E，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，m=0.1﹣（0.015+0.035+0.015+0.01）=0.025，（Ⅱ）依题意，各小组的人数为比0.015：0.035：0.025：0.015：0.010=3：7：5：3：2，（i）年龄在35～55岁之间的人数20×=12人，（ii）年龄在55～65岁之间的人数为20×=3人，记为A，B，C，年龄在65～75岁之间的人数为20×=2人，记为D，E，从55～75岁之间任意找两个人发言，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中少一人再65～75岁之间的有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE共7种，所以至少一人再65～75岁之间的概率为．17．已知函数f（x）=sin2x+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦化简．（Ⅰ）由相位在正弦函数的增区间内求得x的取值范围可得函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）由函数的伸缩和平移变换求得g（x）的解析式，结合x的范围求得相位的范围，进一步求得函数g（x）的值域．【解答】解：f （x ）=sin2x+2sin 2x==． （Ⅰ）由，解得．∴函数f （x ）的单调增区间为[]，k ∈Z ；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，得y=2sin[2（x）﹣]+1=2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g （x ）=2sin2x ． 由x ∈[﹣，]，得2x ∈[]，∴sin2x ∈[﹣]，则函数g （x ）的值域为[﹣]．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，四边形ABCD 是边长为2的菱形， ∠BAD=60°平面ABE 与直线PA ，PD 分别交于点E ，F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，试求三棱锥A ﹣PBD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）由AB ∥CD 得出AB ∥平面PCD ，利用线面平行的性质得出AB ∥EF ； （2）过P 作PG ⊥AD 于G ，由面面垂直的性质得出PG ⊥平面ABCD ，于是V A ﹣PBD =V P ﹣ABD =．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，又AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面PCD=EF ， ∴AB ∥EF ．（2）过P 作PG ⊥AD 于G ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PG ⊥AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴PG ⊥平面ABCD ．∵△PAD 为正三角形，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB=60°， ∴PG=，S △ABD ==．∴V A ﹣PBD =V P ﹣ABD ===1．19．已知在等比数列{a n }中，a n+1＞a n ，对n ∈N *恒成立，且a 1a 4=8，a 2+a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（ Ⅱ）若数列{b n }满足+…+=n ，（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I ）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． （II ）利用等比数列的前n 项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，a n+1＞a n ，对n ∈N *恒成立，且a 1a 4=8，a 2+a 3=6． ∴a 2a 3=8，联立解得a 2=2，a 3=4． ∴q=2．∴a n =2×2n ﹣2=2n ﹣1． （II ）∵数列{b n }满足+…+=n ，（n ∈N *），∴=1，解得b 1=1．n ≥2时， =n ﹣（n ﹣1）=1，∴b n =（2n ﹣1）•2n ﹣1．∴数列{b n }的前n 项和S n =1+3×2+5×22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1． 2S n =2+3×22+…+（2n ﹣3）•2n ﹣1+（2n ﹣1）•2n ， ∴﹣S n =1+2（2+22+…+2n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•2n =﹣1﹣（2n ﹣1）•2n =（3﹣2n ）•2n﹣3，∴S n =（2n ﹣3）•2n +3．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，直线y=x与椭圆C 交于点E ，F ，直线y=﹣x 与椭圆C 交于点G ，H ，且四边形EHFG 的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l1的直线l1，l2交椭圆C于另一点Q，当直线l1的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，得出a=2b，直线y=x 代入椭圆C，可得+=1，x=b，利用四边形EHFG的面积为，求出b，可得a，即可求得椭圆的方程；（2）设直线l1的方程代入椭圆的方程，消去y，整理得一元二次方程，由韦达定理，可求得P的坐标，以﹣代入，可得Q（，﹣），从而可求PQ的直线方程，令y=0，即可得到结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，∴a=2b，直线y=x代入椭圆C，可得+=1，∴x=b，∵直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为，∴（b）2=，∴b=1，∴a=2，∴椭圆C的方程为=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2）把它代入椭圆的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0由韦达定理得﹣2+x1=﹣，∴x1=，∴y1=k（x1+2）=，∴P（，），以﹣代入，可得Q（，﹣），则k PQ=﹣∴PQ的直线方程为y﹣=﹣（x﹣），令y=0，则x=+=﹣．∴直线PQ过x轴上的一定点（﹣，0）．21．已知函数f（x）=lnx﹣e x+mx，其中m∈R，函数g（x）=f（x）+e x+1．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当m=﹣e时，（i）求函数g（x）的最大值；（ii）记函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣，证明：函数φ（x）没有零点．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出m=1的函数f（x）的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）（i）当m=﹣e时，求得g（x）的解析式和导数，以及单调区间，即可得到所求最大值；（ii）求得函数φ（x）的解析式，令φ（x）=0，可得|lnx﹣ex+1|=+，（*）由h（x）=+，求出导数，可得单调区间，可得h（x）的最大值，由|g（x）|的最小值为1，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，函数f（x）=lnx﹣e x+x的导数为f′（x）=﹣e x+1，可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为2﹣e，切点为（1，1﹣e），即有函数f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（1﹣e）=（2﹣e）（x﹣1），即为y=（2﹣e）x﹣1；（Ⅱ）（i）当m=﹣e时，g（x）=f（x）+e x+1=lnx﹣ex+1，g′（x）=﹣e，当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递增．可得g（x）在x=处取得极大值，且为最大值﹣1；（ii）证明：函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣=|lnx﹣ex+1|﹣（+），令φ（x）=0，可得|lnx﹣ex+1|=+，（*）由h（x）=+的导数为h′（x）=，当x＞e时，h′（x）＜0，函数y递减；当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数h（x）递增．即有函数h（x）=+的最大值为h（e）=+＜1；由（i）可得g（x）≤﹣1，即有|g（x）|≥1，则方程（*）无解．即有函数φ（x）没有零点．2020年7月14日。
2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)(含答案)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2}2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B ．升C ．升D ．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F ﹣ECD的外接球体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a ＝，a b＝b a ，则＝（）A ．B ．C ．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+211．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝C．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝D．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x 与4y 的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g（）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q ，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝P（K20.1500.100 0.0500.0250.010 0.005 0.001≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x +1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y ＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c ＝a，b ＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b的值．【解答】解：令t＝log a b，则t +＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t ＝或t＝2，∴log a b ＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y ＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C ≠0，可得cos C ＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A ，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A +），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C ＝，∵C∈（0，π），∴C ＝，可得A正确，B错误．∵边BC 上的高为a，∴bc sin A ＝•a •，∴a2＝2bc sin A，∵cos A ＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A +）≤4，当A +＝时等号成立，此时A ＝，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd +＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x ＝﹣1，y ＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC ＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P （﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m ＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g （）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A ，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x ﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x ﹣），∵g （）＝，∴，∴，∴，故C ＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C ）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DC AB，∴CD GF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD 的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE 的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos ＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b 的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ 的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012345P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020年山东省高考数学模拟试卷
2020年山东省高考数学模拟试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共8小题）1.设集合A＝{（x，y）|x+y＝2}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（1，1）} B．{（﹣2，4）}C．{（1，1），（﹣2，4）} D．∅2.已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．13.设向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，1），且（﹣λ）⊥，则λ＝（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣34.（﹣x）10的展开式中x4的系数是（）A．﹣210 B．﹣120 C．120 D．2105.已知三棱锥S﹣ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S﹣ABC的体积是（）A．4 B．6 C．4D．66.已知点A为曲线y＝x+（x＞0）上的动点，B为圆（x﹣2）2+y2＝1上的动点，则|AB|的最小值是（）A．3 B．4 C．3D．47.设命题p：所有正方形都是平行四边形，则￢p为（）A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形8.若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c二、多选题（共4小题）9.如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年（）A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10.已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（）A．C的方程为﹣y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝e x﹣2﹣1经过C的一个焦点D．直线x﹣﹣1＝0与C有两个公共点11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等12.函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为周期函数C．f（x+3）为奇函数D．f（x+4）为偶函数三、填空题（共4小题）13.某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种．14.已知cos（α+）﹣sinα＝，则sin（α+）＝﹣．15.直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p＝，+＝．16.半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则△ABC，△ACD与△ADB面积之和的最大值为．四、解答题（共6小题）17.在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得S k＞S k+1且S k+1＜S k+2？18.在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．（1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；（2）若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．19.如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；（2）若EF＝BC，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．20.下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码x分别为1～7）．（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得y i＝1074，x i y i＝4517，求y关于x的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果（精确到0.01）附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．21.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点（1，），且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF．（1）求E和⊙F的方程；（2）若直线1：y＝k（x﹣）（k＞0）与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．22.函数f（x）＝（x＞0），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为．（1）求a；（2）讨论g（x）＝x（f（x））2的单调性；（3）设a1＝1，a n+1＝f（a n），证明：2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1．2020年山东省高考数学模拟试卷参考答案一、单选题（共8小题）1.【分析】可以选择代入选项中的元素．【解答】解：将（1，1）代入A，B成立，则（1，1）为A∩B中的元素．将（﹣2，4）代入A，B成立，则（﹣2，4）为A∩B中的元素．故选：C．【知识点】交集及其运算2.【分析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【解答】解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a＝0，b＝1，∴a+b＝1，故选：D．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】利用（﹣λ）⊥，列出含λ的方程即可．【解答】解：因为﹣λ＝（1+λ，1﹣3λ），又因为（﹣λ）⊥，所以（1+λ，1﹣3λ）•（2，1）＝2+2λ+1﹣3λ＝0，解得λ＝3，故选：A．【知识点】平面向量的坐标运算4.【分析】由二项式展开式通项公式可得：二项式（﹣x）10的展开式的通项为T r+1＝，再令2r﹣10＝4求解即可．【解答】解：由二项式（﹣x）10的展开式的通项T r+1＝得，令2r﹣10＝4，得r＝7，即展开式中x4的系数是，故选：B．【知识点】二项式定理5.【分析】根据条件可以计算出AC，进而判断出SA⊥AC，所以SA⊥平面ABC，则三棱锥体积可表示为•SA•S△ABC，计算出结果即可．【解答】解：如图，因为∠ABC＝，所以AC＝＝2，则SA2+AC2＝40+12＝52＝SC2，所以SA⊥AC，又因为∠SAB＝，即SA⊥AB，AB∩AC＝A，SA⊄平面ABC，所以SA⊥平面ABC，所以V S﹣ABC＝•SA•S△ABC＝＝4，故选：C．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积6.【分析】作出对勾函数的图象，利用圆的性质，判断当A，B，C三点共线时，|AB|最小，然后进行求解即可．【解答】解：作出对勾函数y＝x+（x＞0）的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为A（2，4），圆心坐标C（2，0），半径R＝1，则由图象知当A，B，C三点共线时，|AB|最小，此时最小值为4﹣1＝3，即|AB|的最小值是3，故选：A．【知识点】直线与圆的位置关系7.【分析】找出条件和结论，否定条件和结论．【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论．故￢p，有的正方形不是平行四边形．故选：C．【知识点】命题的否定8.【分析】通过和1比较大小判断，特殊值代入排除选项．【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．【知识点】对数值大小的比较二、多选题（共4小题）9.【分析】根据图分析每一个结论．【解答】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A对．由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B错．由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C错．由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D对．故选：AD．【知识点】进行简单的合情推理10.【分析】根据条件可求出双曲线C的方程，再逐一排除即可．【解答】解：设双曲线C的方程为，根据条件可知＝，所以方程可化为，将点（3，）代入得b2＝1，所以a2＝3，所以双曲线C的方程为，故A对；离心率e＝＝＝＝，故B错；双曲线C的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x＝2代入得y＝e0﹣1＝0，所以C对；联立，整理得y2﹣2y+2＝0，则△＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D错，故选：AC．【知识点】双曲线的简单性质11.【分析】取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，由AM与DD1不垂直，可得AF与DD1不垂直；取B1C1中点N，连接A1N，GN，得平面A1GN∥平面AEF，再由面面平行的性质判断B；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积判断C；利用反证法证明D错误．【解答】解：取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错；取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝，故C正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错．故选：BC．【知识点】直线与平面平行的判定12.【分析】利用已知条件推导出f（x）的周期，再利用周期即可得出f（x）与f（x+3）都为奇函数．【解答】解：∵f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，∴f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）①，f（﹣x+2）＝﹣f（x+2）②，∴由①可得f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（x+1+1），即f（﹣x）＝﹣f（x+2）③，∴由②③得f（﹣x）＝f（﹣x+2），所以f（x）的周期为2，∴f（x）＝f（x+2），则f（x）为奇函数，∴f（x+1）＝f（x+3），则f（x+3）为奇函数，故选：ABC．【知识点】函数的周期性、函数奇偶性的判断三、填空题（共4小题）13.【分析】先阅读题意，再结合排列组合中的分步原理计算即可得解．【解答】解：由排列组合中的分步原理，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，共＝6种选法，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，共＝6种选法，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有6×6＝36种选法，即攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种，故答案为：36．【知识点】排列、组合及简单计数问题14.【分析】由条件利用两角和差的三角公式求得cos（α+）的值，再利用诱导公式求得sin（α+）的值．【解答】解：∵cos（α+）﹣sinα＝cosα﹣sinα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝cos（α+）＝，∴cos（α+）＝．则sin（α+）＝sin（α﹣）＝﹣cos（α﹣+）＝﹣cos（α+）＝﹣，故答案为：﹣．【知识点】两角和与差的余弦函数15.【分析】本题先根据抛物线焦点坐标可得p的值，然后根据抛物线的定义和准线，可知|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1．再根据直线斜率存在与不存在两种情况进行分类讨论，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理最终可得结果．【解答】解：由题意，抛物线C的焦点F（1，0），∴＝1，故p＝2．∴抛物线C的方程为：y2＝4x．则可设A（x1，y1），B（x2，y2）．由抛物线的定义，可知：|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1．①当斜率不存在时，x1＝x2＝1．∴＝+＝+＝1．②当斜率存在时，设直线l斜率为k（k≠0），则直线方程为：y＝k（x﹣1）．联立，整理，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，∴．∴＝+＝＝＝1．综合①②，可知：＝1．故答案为：2；1．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题16.【分析】首先求出长方体的外接球的半径，进一步利用三角形的面积和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，如图所示则设四面体ABCD置于长方体模型中，外接球的半径为2，故x2+y2+z2＝16，S＝S△ABC+S△ACD+S△ABD＝，由于2（x2+y2+z2）﹣4S＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2≥0，所以4S≤2•16＝32，故S≤8，故答案为：8．【知识点】球内接多面体四、解答题（共6小题）17.【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，先求出，等比数列{b n}的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列{a n}的通项公式，并判断是否存在符合条件的k．【解答】解：∵{b n}是等比数列，b2＝3，b5＝﹣81，∴，解得，∴b n＝﹣（﹣3）n﹣1，∴a5＝b1＝﹣1，若S k＞S k+1，即S k＞S k+a k+1，则只需a k+1＜0，同理，若S k+1＜S k+2，则只需a k+2＞0，若选①：b1+b3＝a2时，a2＝﹣1+（﹣9）＝﹣10，又a5＝﹣1，∴a n＝3n﹣16，∴当k＝4时，a5＜0，a6＞0，符合题意，若选②：a4＝b4时，a4＝b4＝27，又a5＝﹣1，∴d＝﹣28，∴等差数列{a n}为递减数列，故不存在k，使得a k+1＜0，a k+2＞0，若选③：S5＝﹣25时，S5＝＝＝5a3＝﹣25，∴a3＝﹣5，又a5＝﹣1，∴a n＝2n﹣11，∴当k＝4时，a5＜0，a6＞0，符合题意，综上所求：①，③符合题意．故答案为：①，③．【知识点】等差数列的前n项和、等比数列18.【分析】（1）直接利用三角形的面积公式的应用建立等量关系，进一步求出∠ABC．（2）利用三角形的边的关系式的应用和余弦定理的应用求出cos∠CFB．【解答】解：（1）如图所示在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC，所以，，且△CDF的面积等于△ABC的面积，由于DF＝AC，所以CD＝AB，D为BC的中点，故BC＝2AC，所以∠ABC＝60°．（2）如图所示：设AB＝k，由于∠A＝90°，∠ABC＝45°，BD＝3DC，DF＝AC，所以AC＝k，CB＝k，BD＝，DF＝k，由于DF⊥BC，所以CF2＝CD2+DF2，则．且BF2＝BD2+DF2，解得，在△CBF中，利用余弦定理＝＝．【知识点】余弦定理19.【分析】（1）根据异面直线共垂线的定义进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行转化求解即可．【解答】解：（1）取SD的中点H，连EH，FH，则EH∥SA，则EH⊥平面ABCD，∴EH⊥AD，∵FH∥CD，CD⊥AD，∴FH⊥AD，∴AD⊥平面EFH，∴AD⊥EF设BC＝2，∴EF＝1，EM＝FM＝，∴CD＝AB＝，SA＝，建立如图的空间直角坐标系，则E（0，1，0），F（，1，），S（0，0，），C（，2，0），则＝（，0，），＝（，2，﹣），则＝1﹣1＝0，即EF⊥SC，即EF为异面直线AD与SC的公垂线．（2）若EF＝BC，设BC＝2，则EF＝1，则EM＝FM＝，CD＝AB＝，SA＝，D（0，2，0），B（，0，0），则＝（，2，﹣），＝（0，2，0），＝（﹣，0，0），设面BCS的法向量为＝（a，b，c），则，则，取a＝c＝1，则＝（1，0，1）设面SCD的法向量为＝（x，y，z），则，则，取z＝，则y＝1，则＝（0，1，），则cosθ＝＝＝，∴余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题20.【分析】（1）根据散点图可以看出，散点均匀的分布在一条直线附近，故y与x成线性相关；（2）根据给出信息，分别计算出x，y的平均值，代入最小二乘法估计公式，即可得到回归方程；（3）根据所给残差图分别区域的宽度分析即可．【解答】解：（1）根据散点图可知，散点均匀的分布在一条直线附近，且随着x的增大，y增大，故y 与x成线性相关，且为正相关；（2）依题意，＝（1+2+3+4+5+6+7）＝4，＝y i＝1074≈153.43，＝＝＝≈7.89，＝﹣＝154.43﹣7.89×4＝121.87，所以y关于x的线性回归方程为：＝7.89x+121.87；（3）由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，回归方程的预报精度较高．【知识点】线性回归方程21.【分析】（1）根据离心率可得，代入a2＝b2+c2得a＝2b，再代点即可得出E的方程，再求出点F、P的坐标，从而求出圆F的方程；（2）设出C、D的坐标，求出|CF|、|DF|，根据条件得到|AB|＝|CD|＝1，利用韦达定理代入即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为，∵椭圆的离心率e＝，∴，∵a2＝b2+c2，∴a＝2b，将点（1，）代入椭圆的方程得：，联立a＝2b解得：，∴椭圆E的方程为：，∴F（），∵PF⊥x轴，∴P（），∴⊙F的方程为：；（2）由A、B再圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝r＝，设C（x1，y1），D（x2，y2），|CF|＝1同理：，若|AC|＝|BD|，则|AB|＝|CD|＝1，∴4﹣，由得，∴∴4﹣＝1得12k2＝12k2+3，无解，故不存在．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，以及切线方程，代入（0，），解方程可得a；（2）求得g（x）的解析式和导数，分解因式可得导数的符号，进而判断单调性；（3）运用分析法证明，结合f（x）和g（x）的单调性，以及a n+1＝f（a n），等比数列的性质，对a n与的大小关系讨论，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）＝（x＞0）的导数为f′（x）＝，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为，切点为（1，），切线方程为y﹣＝（x﹣1），代入（0，）可得﹣＝（0﹣1），解得a＝7；（2）g（x）＝x（f（x））2＝x•（）2＝，g′（x）＝，当x＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在（0，+∞）递增；（3）要证2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1，只需证|lna n﹣ln7|＜，即为|ln|＜，只要证|ln|＜|ln|，由f（x）在（0，+∞）递减，a n＞0，若a n＞，a n+1＝f（a n）＜f（）＝，此时＜1＜，只要证ln＜ln（），即为＜（），即a n a n+12＞7，此时a n＞，由（2）知a n a n+12＝g（a n）＞g（）＝7；若a n＜，a n+1＝f（a n）＞f（）＝，此时＜1＜，只要证ln＜ln（），即为＜（），即a n a n+12＜7，此时a n＜，由（2）知a n a n+12＝g（a n）＜g（）＝7；若a n＝，不等式显然成立．综上可得|ln|＜|ln|，（n≥1，n∈N*）成立，则|ln|＜•|ln|＝•ln7，由ln7＜lne2＝1，可得|ln|＜，则2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1成立．【知识点】利用导数研究函数的单调性。
2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷（理科）含解析
2020年高考模拟高考数学第三次模拟试卷（理科）一、选择题1.已知函数/(x)-2x,集合A=(x|/-(x)WO},B={x\f(x)W0},则AI~IB=()A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,1]D.(-8,1]U[2,+8)2.设7是虚数单位，若复数z=l+i,则2-+z2= Z3.4. 5. 6.A.1+i B.1-i C.-1-i D.一1+i命题w Vxe(0,1),e~x>lnx"的否定是(A.Vxe(o,1),e~x^：lnxB.3xo£(0,1),e~x o>ZwxoC.3xoG(0,1),e~x o<ZnxoD.3xoG(0,1),e-XoWlnx。
已知援i=J§，应=2,若如G-Q,则向量二+E在向量£方向的投影为（）在三角形ABC中,A.充分不必要C.充要R7木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（B-2「1C--2"sinA>sinB"是"tanA>tanB"的()条件B.必要不充分D.既不充分也不必要阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（I弓始］B.6A.111222~3A1.2())c.2-4D)7.)B. 48tt +9-、v 危A. 2471+9^/38.函数 j=cos2x - y/^inlx (xG[O, -^-])兀B. [0,—]oC. 48tt +18-/3的单调递增区间是(D. 144tt +18-/3兀A - T ]C [匹兰• 6，2x-4y+4<09.在平面直角坐标系中，若不等式组2x+y-10<0所表示的平面区域内存在点Go, jo),)c 「兀 兀D.[—,—3 25x-2y+2》0使不等式xo+myo+lW 0成立，则实数钢的取值范围为()A. (— °°, — —]B. (- °°, -C. [4, +°°)D. (一 8, — 4]10. 已知函数/ (x) =e x ~1+x - 2的零点为初，若存在实数〃使x 2 - ax - a+3 = 0且\m - n\W1,则实数0的取值范围是()A. [2, 4]B. [2,方C, [?, 3]D. [2, 3]O O2 211. 已知双曲线E: %一土=1(0>°，力>°)满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点H 重合；②双曲线E 与过点P (4, 2)的幕函数f (x)=尸的图象交于点0 且该暴函数在点。
2020年高考模拟内蒙古高考数学模拟试卷(理科)(3月份) 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．23．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．164．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y ＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i【分析】把z＝1﹣i代入（3+2）i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1﹣i，得（3+2）i＝（3+2+2i）i＝（5+2i）i＝﹣2+5i．故选：B．2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【分析】可以求出M＝{x|﹣1＜x＜3}，从而可以根据M∩N＝{x|0＜x＜1}即可得出N＝{x|0＜x＜m}，从而得出m＝1．解：∵M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，M∩N＝{x|0＜x＜1}，∴N＝{x|0＜x＜m}，∴m＝1．故选：A．3．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．16【分析】由已知结合等差数列的求和公式可求d，a1，然后结合等差数列的通项公式即可求解．解：因为S4＝24，S9＝99，，解可得，a1＝3，d＝2则a7＝a1+6d＝15．故选：C．4．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．【分析】分别求出小正方形的面积及大正方形的面积，然后根据几何概率的求解公式即可．解：由题意可知，小正方形的边长为2（cosθ﹣sinθ），面积S1＝4（cosθ﹣sinθ）2＝4（1﹣sin2θ），大正方形的面积S＝2×2＝4，故镖落在小正方形内的概率P＝（1﹣sin2θ）．故选：A．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f（π）的值，推出结果即可．解：函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）＝lnx+sin x，可得：f′（x）＝+cos x，令+cos x＝0，作出y＝与y＝﹣cos x图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f（π）＝lnπ＞1，故选：B．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种【分析】6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．利用组合数的意义、乘法原理即可得出．解：6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．∴不同的抽取方法数＝•＝45．故选：A．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R＝，．故选：D．8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能【分析】设|BF2|＝k，题意开发其他的焦半径的值，再由余弦定理可得a与k的关系，进而可得|AF2|＝3k＝|AF1|，可得A在y轴上．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k由椭圆的定义可得：|AF2|＝2a﹣3k，|BF2|＝2a﹣k，|AB|＝4k，在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2＝|AF2|2+|BF﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，即16k2＝（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣2（2a﹣3k）（2a﹣k），整理可得a＝3k，所以|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，F1A⊥F2A，即△AF1F2为等腰直角三角形，所以A在y轴上，故选：C．9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e【分析】作出函数f（x）的图象，结合题意，利用根与系数的关系利用函数的单调性得解．解：若函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，则有a∈（1，e]，当x＞0时，f（x）＝x+﹣3≥2﹣3＝1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）＝，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x＝﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y＝a，可得＝＝＝，即有x1+1+x2+1＝0，可得x1+x2＝﹣2，x3，x4是方程﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，则x1+x2+x3+x4＝﹣2+3+a＝a+1≤e+1，故最大值为e+1，故选：A．10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，而根据B，O，D三点共线，可设，从而可得出，这样根据平面向量基本定理即可得出，解出t即可．解：由得，，∴，∵B，O，D三点共线，∴可设，且，∴，∴，解得．故选：D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）【分析】确定M，F1，F2的坐标，进而由•＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．解：设直线方程为y＝（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴＝（﹣，），＝（，），由题意可得•＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e＝＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．【分析】构造函数g（x）＝x2f（x），结合已知条件及导数与单调性关系可判断g（x）的单调性及奇偶性，从而可求解．解：令g（x）＝x2f（x），当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0，则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+f′（x）]＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为f（﹣x）＝f（x），所以g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x）即g（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，g（e）＞g（3），所以＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为﹣6．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x，y满足作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B（﹣2，﹣2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝﹣2×2﹣2＝﹣6．故答案为：﹣6．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝3．【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的性质即可求解．解：设等比数列的公比为q，则，解可得q4＝，所以a10+a12+a14+a16＝+（a6+a8）q8＝8×＝3．故答案为：3．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．【分析】设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率．解：设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012，2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率P（B）＝，故答案为：．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．【分析】由题意画出图形，利用直线与圆的位置关系及垂径定理求解．解：如图，M，N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与球O的表面交于E，F两点，连接MO，并延长交于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG∥PN，且OG＝＝．在Rt△OGE中，OE＝，则EF＝2EG＝2．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．【分析】（1）根据向量数量积的定义求出f（x），结合零点的定义进行求解即可．（2）根据条件先求出A和a的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．解：（1）f（x）＝＝2cos x sin（x﹣）+2sin x cos（x﹣）＝2sin（2x﹣），由f（x）＝0得2x﹣＝kπ，k∈Z，得x＝+，即函数的零点为x＝+，k∈Z．（2）∵f（A）＝2，∴f（A）＝2sin（2A﹣）＝2，得sin（2A﹣）＝1，即2A﹣＝2kπ+，即A＝kπ+，在三角形中，当k＝0时，A＝，满足条件，∵△ABC的外接圆半径为，∴＝2，即a＝2×＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥＝（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，即（b+c）2≤4×9＝36，即b+c≤6当且仅当b＝c时取等号，则a+b+c≤9，即三角形周长的最大值为9．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．【分析】（1）根据勾股定理判断AD⊥BD，AE⊥EF，AE⊥EC，得到AE⊥平面EFC，最后得出结论；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面DEFB的法向量，利用夹角公式列方程，求出a．解：（1）连接AC，在三角形ABD中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝，AD2+BD2＝AB2，故AD⊥BD，EDBF是矩形，DE＝1，平面EDBF⊥平面ABCD，故BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF＝，AE2+EF2＝AF2，故AE⊥EF，由AC＝，EC＝，AE＝，得AE2+EC2＝AC2，故AE⊥EC，EC∩EF＝E，所以AE⊥平面EFC，FC⊂平面EFC，所以AE⊥FC；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（0，0，a），F（0，），，设平面AEF的法向量为，由，得，平面DEFB的法向量为，由cos＜＞＝，得a＝．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．【分析】（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，根据题意列出方程组化简即可得到曲线E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理求出C的坐标为（2，4+m），利用弦长公式求出|AB|＝4，所以|AC|＝2，又y0＝6+m，所以|MC|＝，再利用二倍角的正切公式求出tan，所以tan∠AMC＝＝＝，即可解出m的值．解：（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，被x轴截得的弦长为|AB|，依题意得：，化简整理得：x2＝4y，∴曲线E的方程为：x2＝4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立方程，整理得：，∴△＝16×2+4×4m＝32+16m＞0，∴m＞﹣2，∴，x1x2＝﹣4m，，∴，y3＝4+m，∴线段AB的中点C的坐标为（2，4+m），又|AB|＝＝＝4，∴|AC|＝2，又AB的垂直平分线方程为：y﹣（4+m）＝﹣，∴y0＝6+m，∴|MC|＝，∵CM垂直平分AB，∴∠AMB＝2∠AMC，又tan∠AMB＝＝﹣2，解得tan或﹣（舍去），∴在Rt△AMC中，tan∠AMC＝＝＝，∴m＝0，满足m＞﹣2，∴m的值为0．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【分析】（1）根据抽样调查数据，求得一等品所占比例的估计值为0.375，由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率，求得在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，然后利用古典概型概率计算公式求解；（3）求出“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值，再由“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），得质量指标的均值约为216，作差得答案．解：（1）根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260+0.090+0.025＝0.375．由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形由2种．①一等品2件，二等品1件，三等品1件．②一等品1件，二等品2件，三等品1件．P＝；（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025＝200.4．“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），即质量指标的均值约为216．所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6．21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论确定导数符号，即可求解函数单调性；（2）由零点存在的条件，结合函数的性质，把所要证明的不等式转换为函数的单调性与大小关系的比较．解：（1）f′（x）＝1+ae x，当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f′（x）＝0可得x＝ln（﹣），故函数的单调递增区间为（﹣），单调递减区间（ln（﹣），+∞），（2）证明：由f（x）＝0可得a＝，设g（x）＝，则，当x＜3时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＝3时，g（x）取得最小值g（3）＝﹣，当x＞时，g（x）＜0，当x＜2时，g（x）＞0，不妨设x1＜x2，则x1∈（2，3），x2∈（3，+∞），所以6﹣x1＞3，且g（x）在（3，+∞）上单调递增，要证x1+x2＞6，只要证x2＞6﹣x1＞3，故只要证g（x2）＞g（6﹣x1），因为g（x1）＝g（x2）＝a，只要证g（x1））＞g（6﹣x1），即，即证（x1﹣4）+x﹣2＜0，令h（x）＝e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2，2＜x＜3，则h′（x）＝e2x﹣6（2x﹣7）+1，令m（x）＝h′（x），则m′（x）＝4e2x﹣6（x﹣3）＜0，所以m（x）在（2，3）上单调及，h′（x）＞h′（3）＝0，故h（x）在（2，3）上单调递增，h（x）＜h（3）＝0，即e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2＜0，从而：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．【分析】（1）求出曲线C的普通方程和当a＝1时，直线l的普通方程，列方程组能求出C与l的交点的直角坐标．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，由此利用C上的点到l的距离的最大值为，能求出a．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴曲线C的普通方程为，∵直线l的参数方程为，∴当a＝1时，直线l的普通方程为x+y﹣2＝0．由解得或从而C与l的交点的直角坐标是．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，故C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，当a≥﹣1时，d的最大值为．由题设得，所以当a＜﹣1时，d的最大值为.由题设得，所以．综上，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝﹣2时，利用绝对值不等式得f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，即f（x）≤3的解集为R；再由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解之，即可得到不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，可求得f（x）＝|x﹣1|﹣x+a的最小值为f（1）＝a﹣1，解不等式a2﹣3≥a﹣1即可得到答案．解：（1）当a＝﹣2时，因为f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）＝3，|所以f（x）≤3的解集为R；由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解得x＜﹣，故不等式0＜f（x）≤3的解集为（﹣∞，﹣）；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，f（x）＝|x﹣1|﹣x+a＝，则f（x）min＝f（1）＝a﹣1，故a2﹣3≥a﹣1，解得：a≥2或a≤﹣1，又a≤0，所以a≤﹣1．所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷07(解析版)
直线 AB 的方程为____________．
答案：x＋y－3＝0
解析：设圆心为 C，由题知 kAB·kCP＝－1，又 kCP＝2－1＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线 AB 的方程为 y＝ 1－0
－(x－1)＋2，即 x＋y－3＝0.
11. 在△ABC 中，BC＝2，A＝2π，则A→B·A→C的最小值为________． 3
抛物线 y2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案： y＝± 3x 解析：由题设知a2＝1，又易知双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝1，所以 b2＝c2－a2＝3，从而双曲线方程为
c2
x2－y2＝1，所以双曲线渐近线方程为 y＝± 3x. 3
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________． 答案：6 解析：由题知|4m－4|＝4，得 m＝6 或－4，∴ P(6，1)或 P(－4，1)．又 2x＋y≥3，∴ m＝6. 5
11
＝
a
[π
－ 1 x4＋4x3－12x2 25 3
＋12×104]，(10
分)
11
令 f(x)＝－ 1 x4＋4x3－12x2，则 25 3
f′(x)＝－
4
x3＋4x2－24x＝－4x
1 x2－x＋6 25
.
25
由 f′(x)＝0，解得 x＝0(舍去)或 x＝10 或 x＝15，(12 分)
列表如下：
a
a
14. 已知等比数列{an}的首项为4，公比为－1，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 ≤B 对 n∈N*恒成立，则 B
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2020届高考模拟试题（含答案）石油中学 巨泳说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.若复数2(R,12a ia i i-∈+为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.4B. －4C.1D. －1 2．已知集合M=｛x ︱x=y 2｝,N=｛x ︱x 2-x-2>0｝，U=R,则N C M U ⋂=（ ）A ．｛x ︱0<X ≤2｝B ．｛x ︱0≤X<2｝C ．｛x ︱0≤X ≤2｝D ．｛x ︱0<X<2｝3．用0．1．2．3．4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中奇数的个数是（ ） A ． 18 B ． 24 C ．36 D ． 484．已知椭圆C ．：12222=+by a x 以抛物线x y 162=的焦点为焦点，且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，那么椭圆C 的离心率为（ ） A ．21B ．23 C ． 33 D ． 43 5． 已知正项等差数列｛n a ｝,满足 )1(1+=+n n a a n n ,则｛aa n n11+｝的前n 项和为（ ） A ．111+-n B ．)1(1+n n C ． 11+nD ．nn 1- 6．已知在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
在空间中可以类比得出以下一组命题：①在空间中，垂直于同一直线的两条直线平行 ②在空间中，垂直于同一直线的两个平面平行 ③在空间中，垂直于同一平面的两条直线平行 ④在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行 其中，正确的结论的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ． 47.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0),||1==a b ，则|2|+a b 等于（ ）AB ．C ．4D ．128．设函数x x x f sin )(=，]2,2[ππ-∈x ，若)()(21x f x f >，则下列不等式必定成立的（ ） A ．21x x <B ．21x x >C ．2221x x <D ．2221x x >9.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ）A ．89B ．910C ．1011D ．111210．设函数na x x f )()(+=，其中⎰=20cos 6πxdx n ，3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-360 B ．360 C ．-60 D ．60第II 卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
其中第15题为选做题，考生可从A 、B 、C 中任选一道题作答；若多做，则按第一道题评阅给分）11．在样本的频率分布直方图中，共有n 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于另外1n -个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间这一组的频数为12．如图，为一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为13．当实数x 满足约束条件020x y xx y k >⎧⎪≥⎨++≤⎪⎩（其中k 为小于零的常数）时，x y 1+的最小值为2，则实数k 的值是 ; 14．下列一组命题：①在区间[]0,1内任取两个实数,x y ，求事件“221x y +>恒成立”②从200个元素中抽取20个样本，若采用系统抽样的方法则应分为10组，每组抽取2个③函数)(x f 关于（3,0）点对称，满足)6()6(x f x f -=+，且当[]3,0∈x 时函数为增函数，则)(x f 在[]9,6上为减函数。
④命题“对任意R a ∈,方程012=-+ax x 有实数解”的否定形式为“存在R a ∈，方程012=-+ax x 无实数解” 以上命题中正确的是 15．A ．（参数方程与极坐标）直线2)3cos(=-πθρ与直线4)3sin(=-πθρ的夹角大小为B ．（不等式选讲）要使关于x 的不等式31≤-+-a x x 在实数 范围内有解，则A 的取值范围是C ．（几何证明选讲） 如图所示，在圆O 中，AB 是圆O 径AB =8,E 为OB ．的中点，CD 过点E 且垂直于AB,EF ⊥AC,则 CF •CA=三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设正数组成的数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且21=a ， 143=S（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n a a a T ⋅⋅⋅⋅=21，其中*N n ∈； 求n T 的值,并求n T 的最小值．17．（12分）在ABC ∆中，三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,（a c >）,A C A C sin sin cos cos -= ，31sin =B （1）求A sin 的值，（2）若边长6=b ，求ABC ∆的面积18．（12分）如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、CD 、1BB 、11C D 的中点．（1）求点P 到平面MNQ 的距离； （2）求直线PN 与平面MPQ 所成角的正弦值．19．（12分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．活动次数 1 2 3 参加人数51520(1)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率;(2)从“青志队”中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．20．（13分）已知函数c bx x a x x f ++⋅+=23)(的图像上的一点()m M ,1处的切线的OB方程为2=y ，其中R c b a ∈,,（1）若3-=a ①求)(x f 的解析式，并表示成k t k t x x f ,(,)()(3++=为常数）②求证)(x f 的图像关于点M 对称；（2）问函数y =f （x ） 是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a 表示），若不存在，请说明理由。
21．（14分）如图，在等边ABC ∆中，O 为边长AB 的中点，4=AB ，E D ,为ABC∆的高OC 上的点，且→→=OD OC 32，→→=OE OC 3；若以B A ,为焦点，O 为中心的椭圆过D 点，建立恰当的直角坐标系，记椭圆为M （1）求椭圆M 的轨迹方程；（2）过点E 的直线l 与椭圆M 交于不同的两点Q P ,，点P 在点Q E ,之间，且→→=EQ EP λ，求实数λ的取值范围。
参考答案11．32 12．24+58+28 13．-3 14．①③④ 15．A ．2πB ．[-2,4]C ．12 16．（12分）解：（1）令等比数列{}n a 公比是q ，当1=q 时，146313≠==a S ∴1≠q()0614112233=-+⇒=--=q q qq S 2=q 或3-=q （舍）所以n n n a 2221=⋅=- （2）()213212122++⋅⋅⋅+++==⋅⋅⋅⋅=n n n n n a a a T当1=n 时，n T 取得最小值217．（12分）解：（1）0)cos(sin sin cos cos =-⇒-=A C A C A C,A C a c >⇔> ,2π+=∴A C则()[]()312cos 3122sin sin sin sin =⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+-=A A C A C A B ππ31sin 31sin 212cos 22=⇒=-=A A A 因为33sin )2,0(=⇒∈A A π （2）23sin sin sin sin ==⇔=BAb a B b A a23sin 2136cos 2sin sin ==⇒==⎪⎭⎫⎝⎛+=∴∆C ab S A A C ABC π18．（12分）解：（1）方法1（几何法）：∵1BB 平面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离等于点B 到平面MNQ 的距离．设BD MN E =．∵平面MNQ ⊥平面ABCD ，∴由BE MN ⊥得BE ⊥平面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离为33244BE BD a ==． （2）设点N 到平面MNQ 的距离为d ．可以求得6MP PQ QM ===， ∴223633()428MPQ S a ∆==．21224MNQ S MN NQ ∆=⋅=． 由N MPQ P MNQ V V --=得1132334MPQ MNQ S d S a ∆∆⋅=⋅，∴33d a =． 设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则2sin 3d PN θ==．故直线PN 与平面MPQ 所成的角的正弦值为2． 方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系． （1）(,,)(0,0,)(,,0)DB a a a a a a =-=是平面MNQ 的一个法向量．∵(,,)(0,,0)(,,)2222a a a aQP a a a =-=，∴点P 到平面MNQ 的距离3||24||QP DB d a DB ⋅==． （2）设平面MPQ的一个法向量为(,,1)x y =n ．(,0,)(,,)(,,)2222a a a a PM a a a a =-=--．由0,0PM QP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,220,22aa x ay a a ax y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩得1,1,x y =-⎧⎨=⎩ ∴(1,1,1)=-n ．(0,,)(,,)(,,)2222a a a a PN a a a a =-=--．2cos ,3PN <>=n ．设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则 2sin cos()|cos ,|23PN πθθ=-=<>=n ．19．（12分）解： (1)这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率为111515203401C C C P C =-419494=(2)由题意知0,1,2ξ=22251520024061156C C C P C ++== 11115151520124075156C C C C P C +==115202240539C C P C ==ξ的分布列：ξ的数学期望:6175511501215615639156E ξ=⨯+⨯+⨯=20．（13分）解()()023123/2/=++=⇒+⋅+=b a f b x a x x f由()2112=+++=⇒=c b a f m（1）①,1,33==⇒-=c b a ()21133)(323+-=++-=x x x x x f②()2,1M ，在()x f y =的图像任取一点()00,y x p ，p 关于()2,1M 的对称点为()004,2y x Q -- ()()()0203004212122y x x x f -=+--=+--=-由点p 的任意性，命题得证．（2）()b x a x x f +⋅+=232/由（１）知32--=a b所以()()()131232232/-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-⋅+=x a x b a x a x x f令()1,3320/=+-=⇒=x ax x f 当31332-=⇔=+-a a 即()()0132/≥-=x x f()x f 为R 上为增函数，所以函数没有单调减取间；当31332-<⇔>+-a a 时，可以判定()x f 单调减取间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-332,1a当31332->⇔<+-a a 时，可以判定()x f 单调减取间为⎪⎭⎫⎝⎛+-1,332a 21．（14分）解：建立如图所示的直角坐标系，由于→→=OD OC 32，→→=OE OC 3,1321==→→OC OD 231==→→OC OE ()()2,0,1,0E D ∴设椭圆方程为()0,12222>>=+b a by a x1,242==⇒=∴b c c 5=a 即椭圆方程为;1522=+y x设),(11y x p ),(22y x Q)2,0(E ，即()()2,2,2221-=-=→y x Q E y x EP→→=EQ EP λ ⎩⎨⎧⎩⎨⎧+-==⇒-=-=∴22)2(221212221λλλλλy y x x y y x x ①又PQ 都在圆上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴151522222211y x y x ② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-+∴151)22(5)(22222222y x x y x λλ 消去2x 得λλλλλλ4351)22(2222222-=⇒-=-+-y y y 112≤≤-y 331≤≤∴λ又P 在Q E ,之间，是10,<<∴=→→λλEQ EPλ∴范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,31。