5.匀变速直线运动自由落体运动

匀变速直线运动的位移与时间的关系 自由落体运动一. 教学内容：第三节 匀变速直线运动的位移与时间的关系 第四节 自由落体运动学习目标：1. 理解位移和时间关系式的推导过程。

2. 掌握位移和时间关系式的基本应用。

3. 会利用图象分析匀变速直线运动。

4. 认识什么是自由落体运动，知道它是初速度为零的匀加速直线运动。

5. 认识什么是自由落体运动的加速度，知道它的方向。

知道在地球的不同地方，重力加速度大小不同。

6. 能运用自由落体运动的公式进行计算和分析。

知识要点：一、匀速直线运动的位移 1. 公式：x =vt 。

2. 公式的位移对应着v t -图象中矩形的面积。

二、匀变速直线运动的位移1. 公式：x =2012v t at +。

①位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系。

式中的0v 是初速度，时间t 应是物体实际运动的时间。

②在取初速度0v 方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a 取正值，匀减速直线运动a 取负值；计算的结果x >0，说明位移的方向与初速度方向相同，x <0，说明位移的方向与初速度方向相反。

③对于初速度为零（00v =）的匀变速直线运动，位移公式为21122x vt at ==。

即位移x 与时间t 的二次方成正比。

2. 利用匀变速v t -图象求位移大小图象与横轴t 所围面积的数值，等于物体在该段时间内的位移。

三、匀变速直线运动的位移和速度的关系：2202v v ax -= 对于初速为零的匀变速直线运动（00v =），速度与位移的关系简化为：22v ax =。

四、匀变速直线运动的平均速度公式02v vv +=。

由于匀变速直线运动的速度是均匀改变的，所以它在时间t 内的平均速度v 就等于时间t 内的初速度0v 和末速度v 的平均值，即02v v v +=。

注意：1. 此式只适用于匀变速直线运动（加速度恒定不变的运动），不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都是适用的，但对非匀变速直线运动是不适用的，对于加速度变化的非匀变速直线运动的平均速度只能用定义xv t =来计算。

2. 式中的“0v v +”是矢量和，不是代数和，若0v 和v 在一条直线上，可以通过规定正方向，把矢量运算转化为代数运算。

3. 引入平均速度的物理意义是：可以把原来的变速运动看成是以平均速度运动的匀速运动。

五、匀变速直线运动规律的图象说明匀变速直线运动速度图象：速度——时间图象是一条与时间轴倾斜相交的直线。

由速度——时间图象可得：0v va t =+ ① 202atx v t =+ ②0()2v v v +=③以上三式均可由下图所示的速度——时间图象中求出。

1. 对于①式，图中的v 等于0v 加上在时间t 内增加的速度atv =∆v at =，所以at v v v v +=∆+=00。

2. 对于②式，位移x 就是图象与时间轴所围的面积，该梯形面积等于图中矩形0v Otb 面积（0v t ）和三角形0av b 的面积（22at ）之和，故202atx v t =+。

3. 对于③式，则由图可得其平均速度就是梯形的中位线。

六、三个基本公式的选择公式0v v at =+，2012x v t at =+，2202v v ax -=中包含五个物理量，它们分别为：初速度0v 和加速度a ，运动时间t ，位移x 和末速度v ，在解题过程中选用公式的基本方法为：首先在仔细审题的基础上，正确判断物体的运动性质，或它在各个阶段的运动性质，根据物体的运动性质选用相应的公式，例如对于初速度为零的匀加速直线运动可以选用推论；对于末速度为零的匀减速直线运动，可以逆向思考处理，即把它看作反方向的初速度为零的匀加速直线运动，当然，也可以用推论。

其次，注意每个公式的特点，它反映了哪些物理量之间的函数关系，而与哪些物理量无直接关系。

例如公式2202v v ax -=不涉及时间，t tv t v x 20+=⋅=不涉及加速度，2aT x =∆不涉及速度……，所以如果题目的已知条件缺时间，一般选用公式2202v v ax -=求解较简捷，同样，题目条件缺加速度，则选用公式02v v x t+=⨯求解较好；题目条件缺速度，则选用公式2aT x =∆解题较方便，注：匀变速运动中的各公式均是矢量式，注意各矢量的符号。

最后，在练习中加强对解题规律的总结，在初学阶段，对一道题不妨多用几种解法试一试，并比较各种解法的优劣，想一想这个题有什么特点，为什么选用这几个公式解题最简便，多做这种训练，灵活应用公式解决实际问题的能力必定会提高。

［例题分析］例1. 汽车以l0m ／s 的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2s 速度变为6m ／s ，求： （1）刹车后2s 内前进的距离及刹车过程中的加速度； （2）刹车后前进9m 所用的时间； （3）刹车后8s 内前进的距离。

解析：（1）汽车刹车后做匀减速直线运动，由v v a t -=可求得。

22/a m s =-，再由2012x v t at =+，可求得16x m =。

（2）由2012x v t at =+可得2910t t =-解得11t s =，29t s =。

要注意汽车刹车后经001052v t s s a ===-停下，故时间应为1s 。

（3）由（2）可知汽车经5s 停下，可见在8s 时间内，汽车有3s 静止不动，因此()22011105252522x v t at m=+=⨯+⨯-⨯=例2. 证明（1）在匀变速直线运动中连续相等时间（T ）内的位移之差等于一个恒量。

证明：2012n x v T aT =+ 2101()2n x v aT T aT +=++所以21aT x x x n n =-=∆+（即2aT 为恒量）由此结论可用来求匀变速直线运动的加速度，即2T x a ∆=2. 在匀变速直线运动中，某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。

证明：如图所示：2B A at v v =+C A v v at =+222A C A A AC A v v v v at at v v +++===+所以AC B v v = 3.在匀变速直线运动中，某段位移中点位置处的速度为2x v =证明：如图所示：2202B v v ax -= ① 222B v v ax -= ②由①②两式结合的：B v =例3. 一个作匀速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m 和64m ，每一个时间间隔为4s ，求质点的初速度和加速度。

解析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法也不同。

如：解法一：基本公式法：画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：2112A x v t at =+22211(2)(2)()22A A x v t a t v t at =+-+将1x ＝24m 、2x ＝64m ，代入上式解得： 22.5/a m s =，1/A v m s =解法二：用平均速度公式：连续的两段时间t 内的平均速度分别为1124/4/6/v x t m s m s === 2264/4/16/v x m s m s ===B 点是AC 段的中间时刻，则12A Bv v v +=22C Bv v v +=1261611(/)222A C B v v v v v m s +++====得1/A v m s = 21/C v m s = 211 2.5(/)248C A v v a m s --===⨯ 解法三：用推论式： 由2aT x =∆得)/(5.2440222s m T x a ==∆=再由2112A x v t at =+解得：1/A v m s = 答案：1/m s 2.52/m s说明：对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑公式2aT x =∆求解七、自由落体运动1. 定义：物体只在重力作用下从静止开始的运动，叫做自由落体运动。

2. 自由落体运动的特点（1）做自由落体运动的物体只受重力作用。

但不同物体的运动快慢与重力无关。

（2）自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。

八、自由落体加速度1. 定义：在同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同，这个加速度叫做自由落体的加速度也叫重力加速度。

2. 方向：自由落体加速度的方向总是竖直向下。

3. 大小：g ＝10m/s 2。

注意：在同一地点重力加速度g 的大小是相同的，在不同的地点，g 的值略有不同。

（1）纬度越大的地方，g 越大。

（2）高度越高的地方，g 越小。

但是，在通常情况下，g 的变化不大，一般g ＝9.8m ／s 2 , 粗略计算时，取g ＝10m ／s 2。

九、自由落体运动的规律1. 自由落体运动的性质自由落体运动是初速度为0的匀变速直线运动。

2. 自由落体运动的公式 （1）v gt = （2）212h gt =（3）22v gh =［例题分析］例1. 雨滴从屋顶上自由下落，经0.2s 的时间通过竖直方向上1.8m 高的窗户，空气阻力不计，求窗户上沿距屋顶的高度。

（g 取10m ／s 2）如图所示，雨滴自由下落的整个过程可分为两个阶段，即从A 到B 段和从B 到C 段。

题目要求的是AB 段位移，在这一段中已知v A ＝0，a ＝g ＝10m ／s 2，要想求得AB 段位移，还需求出这段运动的时间t 或末速度v B ，从B 到C 这一段运动中，已知位移BC ＝1.8m ，时间t ＝0.2s ，加速度g ＝10m ／s 2，由于这段三个量已知，因此可求出v B ，v C 这两个未知量。

第一种解法：研究BC 段由2012x v t gt =+可求出v B即1.8＝2B 1v 0.2100.22⨯+⨯⨯得8=B v (m /s)第二种解法：雨滴在从B 到C 这段时间的中间时刻的瞬时速度BC v v =＝1.8/0.2＝9m/s 雨滴从A 到B 的时间v 0.29t 0.10.8s g 210=-=-=22AB 11h gt 100.8 3.2m22∴==⨯⨯=【模拟试题】1. 一物体运动的位移与时间关系264x t t =-（t 以s 为单位），则 （ ）A. 这个物体的初速度为12m ／sB. 这个物体的初速度为6m ／sC. 这个物体的加速度为8m ／s 2D. 这个物体的加速度为－8m ／s 22. 一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速运动，接着做匀减速运动，开到乙地刚好停止。

其速度图象如图所示，那么在00~t 和t 0—3t 0两段时间内的 （ ）A. 加速度大小之比为1：3B. 加速度大小之比为3：1C. 位移大小之比为2：lD. 位移大小之比为l ：23. 如图所示，一小球从A 点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B 点时速度为v ，到达C 点时速度为2v ，则AB ：BC 等于 （ ）A. 1：lB. 1：2C. 1：3D. 1：44. 一个做自由落体运动的物体，下落速度v 随时间t 变化的图象如图所示，正确的是（ ）5. 关于重力加速度的说法中，不正确的是 （ ）A. 重力加速度g 是标量，只有大小没有方向，通常计算中g 取9.8m ／s 2B. 在地面上不同的地方，g 的大小不同，但它们相差不是很大C. 在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同D. 在地球上的同一地方，离地面高度越大重力加速度g 越小6. 公式02tv v v +=的适用范围是 （ ）A. 任何变速运动B. 匀变速直线运动C. 曲线运动D. 任何一种变速直线运动7. 做匀变速直线运动的物体，某时刻的速度大小是8m ／s ，ls 后的速度大小变为4m ／s ，则此物体在这1s 内通过的位移 （ ）A. 等于6mB. 小于6mC. 大于6mD. 可能等于2m8. 物体从静止开始做匀加速直线运动，测得它在第ns 内的位移为s ，则物体运动的加速度为 （ ）A. 22s nB. 22n sC. 2s nD. 221s n -9. 物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4s 内与第2s 内的位移之差是12m ，则可知 （ ）A. 第1s 内的位移为3mB. 第2s 末的速度为8m ／sC. 物体运动的加速度为2m ／s 2D. 物体在5s 内的平均速度为15m ／s10. 汽车从A 点由静止开始沿直线ACB 做匀变速直线运动，第4s 末通过C 点时关闭发动机，再经过6s 到达B 点时停止。