《数学方法论与解题研究》期末试题
解题研究第一次摸底考试参考答案
09级数学教育《数学方法论与解题研究》第一次摸底考试 参考答案年级 班别 姓名 学号一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，把答案填在下表中。
(1)cos300︒=(A)2-12 (C)12 (D) 2(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ðA.{}1,3B. {}1,5C. {}3,5D. {}4,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 1. (5) 在(1－x 3)（1＋x ）10的展开式中，x 5的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则 12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8（9）函数y ＝log 1 (－2x 2＋5x ＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙ 的最小值为(A) 4-3-4-+3-+（12）正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为___ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (13)不等式22032x x x -++ 的解集是 （-2，-1）∪（2，＋∞） .(14)已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= －724(15)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 30种.(用数字作答)(16) 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离为52，那么P 点到右焦点的距离为8。
成人教育 《计算方法》期末考试复习题及参考答案
计算方法复习题二一、对于线性方程组KX 1+ X 2 = 1X 1+KX 2+X 3 = 2X 2 +KX 3 = 31、 写出相应的Jacobi （雅可比）迭代法和Gauss —Seidel （高斯—德尔）迭代法矩阵形式的迭代公式。
2、 选择合适的K 的值，使Jacobi 迭代法收敛，选择初始向量X （0），计算出X （1） 。
二、对于常微分方程初值问题y ′（x ）=f （x ，y （x ）） ， x ∈[a ，b]y （a ）=y 0试推导出梯形格式。
三、对于给定的方阵A ，若1A <，则矩阵I-A 是非奇异的。
四、证明，当1122a -<<时系数矩阵为111a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的方程组Ax=b,其雅可比迭代和高斯——赛德尔迭代均收敛。
五、设求方程组Ax=b,其雅可比迭代公式为(1)()k k G b x x +=+ 求证当1G ∞<时相应的高斯—赛德尔迭代亦收敛。
六、给定方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧⎰40)(dx x f 1231231235325242511x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩请问如何加工方程组，以保证雅可比迭代过程收敛。
七、已知函数表：用复化Simpson 公式求积分的 近似值。
计算方法复习题二答案一、解1、Jacobi 迭代公式()(1)21()()(1)132()(1)23123k k k k k k k k k k x xx x xx x +++-=--=-= Gauss —Seidel 迭代公式 ()(1)21(1)()(1)132(1)(1)23123k k k k k k k k k k x x x x x x x +++++-=--=-= 2、选择 (0)k=3, (0,0,0)x T=,计算 (1)(1)(1)123101200230;;133333x x x ----====== 二、解：作分划0(0,1,...,);i x x ih i N h =+=为定常数在1[,]i i x x +上对方程两端分别积分有11()(,)i i i i x x x x y x dx f x y dx ++=⎰⎰左端直接积分，右端用梯形求积公式计算积分整理，得111[(,)(,)](0,2,...,1)2i i i i i i h y y f x y f x y i N +++=++=- 三、 解：见教材165页。
数学方法论习题及答案
综合作业本卷共分为2大题40小题，总分100 分。
本卷得分:1001[论述题,2.5分]什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。
终止|结果|有限性2[论述题,2.5分]变量数学产生的意义是什么？工具|发展|辩证法3[论述题,2.5分]《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？明显的|定理|逻辑4[论述题,2.5分]简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。
思想方法|数学知识|目的5[论述题,2.5分]常量数学应用的局限性是什么？问题|运动|数量6[论述题,2.5分]什么是类比猜想？并举一个例子说明。
属性|判断|对应7[论述题,2.5分]简述计算机在数学方面的三种新用途。
应用|数学化|发展8[论述题,2.5分]数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？试举例说明。
掌握|形成|结合9[论述题,2.5分]简述化归方法的和谐化原则统一|结构特征|总体思路10[论述题,2.5分]简述化归方法在数学教学中的应用新知识|指导解题|知识结构11[论述题,2.5分]什么是归纳猜想？并举一个例子说明。
归纳|推测性|猜想12[论述题,2.5分]简述特殊化方法在数学教学中的应用。
特殊值|特殊化|特例检验13[论述题,2.5分]为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？逻辑规则|应用问题|演绎体系14[论述题,2.5分]简述培养数学猜想能力的途径。
新知识|数学规律|解题思路15[论述题,2.5分]我国数学教育存在哪些问题？重结果|重模仿|负担过重16[论述题,2.5分]简述概括与抽象的关系。
不同|密切|联系17[论述题,2.5分]简述数学抽象的特征。
无物质性|层次性|直觉18[论述题,2.5分]在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题？教学目标|过程|工作19[论述题,2.5分]简述代数解题方法的基本思想。
代数式|方程|未知数20[论述题,2.5分]为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？数学模型|应用|方程21[填空题,2.5分]分类必须遵循的原则是（），无遗漏，标准同一。
数学方法论考试题型及答案
数学方法论考试题型及答案数学办法论考试题型，及答案1、解题策略：解题策略是指解答数知识题时，总体上所实行的方针、原则和计划。
解题策略不同于详细的解题办法，它是指导办法的原则，是对解题途径的概括性熟悉和宏观掌握，体现了挑选的机灵和组合的艺术，因而是最高层次的解题办法。
（346页）2、欧几里得几何公理，其主要内容有：23条定义，5条公设，9条公理，465条定理。
3、问题解决的要素：问题表征，问题解决的程序、模式在认。
（276页）4差异分析策略：通过分析条件与结论之间的差异，并不断缩小目标差来完成的策略。
普通来说，学问综合跨度较小、注意形式变换的题目，应用差异分析策略常能奏效，比如某些恒等式、条件等式或不等式的证实题、平面几何和立体几何证实题。
在使用差异分析策略时，寻觅差异是基础，消退差异是目标，转化是差异是关键。
（376页）5因果关系归纳法：因果关系归纳法是指以某类事物的部分对象的因果关系作为前提，而得出普通性结论的推理办法。
（54页）6公理化办法：公理化办法就是选取尽可能少得一组原始概念和不加证实的一组公理，以此为动身点，应用规律推理规章，把一门科学建立成为一门演绎系统的一种办法。
（172页）7发生性思维：发生性思维是所给的信息中产生信息，从同一来源产生各种各样为数众多的信息。
即从问题的多种可能方向蔓延出去，探究问题的多种解法。
它的特点是：1.多端：可使思维广大；2.伸缩：对一个问题能按照客观状况的变化而变化，可使思维灵便；3.新颖：可使思维具有独创性。
（232页）8化归转化策略：化，就是变化原问题，转化原问题，变换原问题；归，说的是变化、转化、变换原问题是有目的，有方向的，其目的就是变化出一个已知数学模型，就是通过变化使面临的问题转化为自己会解决的问题。
化归转化策略涉及三个基本要素，即化归的对象、目标和办法。
化归的对象就是我们所面临的数知识题，化归的目标就是某一已知的数学模型，化归的办法就是数学思想办法。
《数学方法论与解题研究》期末试题
《数学方法论与解题研究》期末试题一、填空题（20分，每题2分）1，数学研究主要的就是发现问题和问题。
2，陈氏定理是由我国著名数学家提出。
3，化归是实现化归的关键。
4，演绎法又称，它是一种逻辑证明的工具。
5，爱因斯坦于1905年提出了。
6，完全归纳法又分为和类分法两种类型。
7，在数学教育界第一个系统研究解题理论的人是。
8，唐以荣教授得出是“解题过程的本质”。
9，解题“三步曲”是指观察、和转化。
10．应该反映原型，但又不等于原型。
二，判断题（10分，每题2分）（对打√，错打×）1，（）通常把思维分为三类，即抽象思维、形象思维和灵感思维。
2，（）分析法即所谓“执果索引”的方法。
3，（）悖论的出现说明集合论中包含着矛盾。
4，（）数学逻辑思维的基本形式为概念、判断和证明。
5，（）智力是人类特有的现象，是人类认识世界、改造世界的本质力量。
三，选择题（15分，每题3分）1，求高次方程的近似解法较早出现在（）A，《数书九章》B，《几何原本》C，《九章算术》D，《怎样解题》2已知f(x+1)=x²,f(x)=( ) A x+1 B x²-2x+1 C x²-x C x²+2x+13非演绎法的类型有( ) A 三段法 B 假言推理C 综合法 C 否定肯定式4“万物皆数”的说法出自( )A 欧拉B 高斯C 王阳明D 毕达哥拉斯5数学解题的目的和价值有知识基础性,方法技能性和( )A 观念性 B意识性C 综合性D 观念意识性四.名词解释(10分,每题5分)1.归纳法2.公理化方法的含义五.解题研究:(30分, 每题15分) ^1,研究cos值,并证明其结果.2nA2(如图,)已知等腰三角形ABC中, E AB=AC AE=CF FBC求证:EF≥ B C 2六.结合题( 15分)1什么是创造性思维?2. 创造性思维有何特点?3. 结合自己的教学实践,谈谈如何培养学生的创造力和探索精神.参考答案:一. 填空题.1. 解决2.陈景润3.方法4.演绎推理5.狭义相对论6.群举归纳法7.波利亚8.连续化简9.联想10.模型二. 判断题1.√2.√3.√4.χ5.√三.选择题1.A2.B3.C4.D5.D四.名词解释1. 归纳法就是通过对同一类事物的特殊对象的研究而得出一般结论的方法. 归纳法是一个从特殊到一般的推理过程，属于 “合情推理”的范畴,是一种 “似然”的推理方法。
数学思想方法练习题答案
数学思想方法练习题答案一、选择题1. 以下哪个是数学中的归纳推理？A. 观察个别事实，得出一般结论B. 从一般到特殊C. 通过实验得出结论D. 通过类比得出结论答案：A2. 演绎推理的典型例子是：A. 三角形内角和定理B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 黄金分割答案：B3. 以下哪个是数学中的类比推理？A. 从已知数列推导出未知数列的规律B. 从已知函数推导出未知函数的性质C. 从已知图形推导出未知图形的性质D. 所有以上选项答案：D二、填空题1. 数学中的反证法是一种________推理方法。
答案：间接2. 归纳推理的基本步骤包括：观察、________、概括。
答案：归纳3. 演绎推理的三段论包括：大前提、小前提和________。
答案：结论三、简答题1. 请简述数学中的归纳推理和演绎推理的区别。
答案：归纳推理是从个别事实出发，通过观察和实验，总结出一般性的结论。
而演绎推理则是从已知的一般性结论出发，通过逻辑推理得出特殊性的结论。
归纳推理是“从特殊到一般”，演绎推理是“从一般到特殊”。
2. 举例说明数学中的类比推理。
答案：类比推理是通过比较两个或多个对象的相似性，推断它们在其他属性上也可能相似。
例如，在几何学中，通过比较相似三角形的性质，我们可以推断出未知三角形的一些性质。
四、应用题1. 已知数列 1, 4, 9, 16, ... 请使用归纳推理找出数列的通项公式。
答案：观察数列可以发现，每一项都是其项数的平方。
因此，数列的通项公式为 \( a_n = n^2 \)。
2. 使用反证法证明：如果一个三角形的内角和不等于180度，则它不是欧几里得几何中的三角形。
答案：假设存在一个内角和不等于180度的三角形ABC，根据欧几里得几何的公理，任意三角形的内角和必须等于180度。
这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，即如果一个三角形的内角和不等于180度，则它不是欧几里得几何中的三角形。
五、论述题1. 论述数学中的数学思维方法在解决实际问题中的应用。
数学思想与方法期末考试范围答案全
一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。
2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。
3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：实践的需要；理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。
6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种情况，也可能不发生某种情况。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜化阶段、明朗阶段、深入理解阶段。
10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比，是指由一类事物具有某种属性，推测与其类似的某种事物也具有该属性的推测方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。
15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。
16、猜想具有两个显著特点：具有一定的科学性、具有一定的推测性。
17、三段论是演绎推理的主要形式。
三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。
18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。
19、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。
数学思想与方法考试题及答案.docx
模拟题一一、填空题（每题 5 分 . 共 25 分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发. 能够得到这一问题的正确解）。
3．所谓数形结合方法. 就是在研究数学问题时. （由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理. 以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用. 以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映. 是数学中各个分支固有的内在联系的体现. 它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
二、判断题（每题 5 分 . 共 25 分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物. 又是数学的创造者。
（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想. 一是公理化思想. 一是机械化思想。
（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否）三、简答题（每题10 分 . 共 50 分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系答：①因为在《几何原本》中. 除了推导时所需要的逻辑规则外. 每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理. 并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求. 原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外 . 《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题. 因此对于社会生活的各个领域来说. 它也是封闭的。
③所以 . 《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题目归结为九类. 即九种不同的数学模型. 分列为九章。
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For personal use only in study and
research; not for commercial use
《数学方法论与解题研究》期末试题一、填空题（20分，每题2分）
1，数学研究主要的就是发现问题和问题。
2，陈氏定理是由我国著名数学家提出。
3，化归是实现化归的关键。
4，演绎法又称，它是一种逻辑证明的工具。
5，爱因斯坦于1905年提出了。
6，完全归纳法又分为和类分法两种类型。
7，在数学教育界第一个系统研究解题理论的人是。
8，唐以荣教授得出是“解题过程的本质”。
9，解题“三步曲”是指观察、和转化。
10．应该反映原型，但又不等于原型。
二，判断题（10分，每题2分）（对打√，错打×）
1，（）通常把思维分为三类，即抽象思维、形象思维和灵感思维。
2，（）分析法即所谓“执果索引”的方法。
3，（）悖论的出现说明集合论中包含着矛盾。
4，（）数学逻辑思维的基本形式为概念、判断和证明。
5，（）智力是人类特有的现象，是人类认识世界、改造世界的本质力量。
三，选择题（15分，每题3分）
1，求高次方程的近似解法较早出现在（）
A，《数书九章》B，《几何原本》C，《九章算术》D，《怎样解题》
2已知f(x+1)=x²,f(x)=( )
A x+1
B x²-2x+1
C x²-x C x²+2x+1
3非演绎法的类型有( )
A 三段法
B 假言推理
C 综合法 C 否定肯定式
4“万物皆数”的说法出自( )
A 欧拉
B 高斯
C 王阳明
D 毕达哥拉斯
5数学解题的目的和价值有知识基础性,方法技能性和( ) A 观念性 B 意识性
C 综合性
D 观念意识性
四.名词解释(10分,每题5分)
1.归纳法
2.公理化方法的含义
五.解题研究:(30分, 每题15分) ^
值,并证明其结果.
1,研究cos
2n
A
2(如图,)已知等腰三角形ABC中, E
AB=AC AE=CF F BC B C 求证:EF≥
2
六.结合题( 15分)
1什么是创造性思维?
2. 创造性思维有何特点?
3. 结合自己的教学实践,谈谈如何培养学生的创造力和探索精神.
参考答案:
一. 填空题.
1. 解决
2.陈景润
3.方法
4.演绎推理
5.狭义相对论
6.群举归纳法
7.波利亚
8.连续化简
9.联想10.模型
二. 判断题
1.√
2.√
3.√
4.χ
5.√
三. 选择题
1.A
2.B
3.C
4.D
5.D
四. 名词解释
1. 归纳法就是通过对同一类事物的特殊对象的研究而得出一般结
论的方法. 归纳法是一个从特殊到一般的推理过程，属于 “合情推理”
的范畴,是一种 “似然”的推理方法。
2.公理化方法就是选取尽可能少的一组原始概念和不加证明的一组
公理,以此为出发点,应用逻辑推理规则，把一门科学建立成一门演绎
系统的一种方法。
五. 解题研究:
1,第一步，特殊化：COS 2π=0
COS 4π=
2
COS 8π
Cos
16π
第二步，猜想：cos 2n π
（n-1重根号）
第三步，证明：利用数学归纳法。
当1n =时显然成立。
假设n k =时成立，即有cos
2k π=1k -重根号）
则当1n k =+时有
1cos 2k π
+=
=
（k 重根号）
即1n k =+时成立。
综上所述，可知原命题对任意的正整数成立。
2，由2
BC 想到三角形中位线，作辅助线。
A 当E ，F 为中点时等号成立。
1E
现在只需证明E ，F 不是中点的情形。
E F
1F
B C
可设12,AB a AE x ==，则根据余弦定理有
22222cos EF a a A =-
22211(2)2(2)cos E F x a x x a x A =+---
2222444cos 2cos x a ax ax A x A =+--+
然后将两式相减，由基本不等式得
22
11222222222244cos 2cos 2cos 2(1cos )2(1cos )4(1cos )
2(1cos )(2)
0E F EF x a ax ax A x A a A
x A a A ax A A x a ax -=+--++=+++-+=++-≥
即 2211E F EF ≥，也即11E F EF ≥，结论得证。
六，结合题（答案要点）
1， 创造性思维是一种综合性的思维活动，是主动地、独创地发
现新事物，提出新见解，解决新问题的思维形式。
2， 创造性思维的特点：独立性、连动性、多向性、跨越性和综
合性。
3， 激发好奇心、求知欲；引导学生学好“双基”；发展学生的逻
辑思维、发散思维、逆向思维和直觉思维；引导学生善于发
现并解决实际问题；转变教育观念，将“再创造”作为整个
数学教育的原则。
4， 要结合教学实践、素质教育、新课程标准对如何培养学生的
创造力和探索精神做重点叙述，不能过于简略。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
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以下无正文。