1-1-1 三角函数
第一章--三角函数(北师大新版)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即sinA=斜边边的对A ∠=ca．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA=斜边邻边的A ∠=c b．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即tanA=边对边的邻A ∠的A ∠=ba．（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的定义1．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ） A 、 B 、2 C 、D 、第1题 第2题 第3题2．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADAC D ．CD AC3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ．第4题 第5题 第6题 第7题 5．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=_______________. 6．如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为 ． 7．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．8．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于23，则sin ∠CAB= ．9．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= ．2.2 30°、45°、60°角的三角函数值1、同角三角函数的关系（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=AAcos sin 或sinA=tanA•cosA ．2、互余两角的三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ． 3、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为 ．2．若2cos （α+15°）=1，则α= 度． 3．在△ABC 中，若，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C的度数是 ．2.4 解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； ③边角之间的关系：sin A=c a ，cos A=c b ，tan A=ba ． 基础训练1．如图，在△ABC 中，cosB=22，sinC=53，AC=10，则△ABC 的面积为 ．第1题 第2题 第3题 2．如图，在 Rt △ABO 中，斜边 AB=1，若 OC ∥BA ，∠AOC=36°，则下面四个结论： ①点B 到AO 的距离为sin54°； ②点B 到AO 的距离为tan36°；③点A 到OC 的距离为sin36°•sin54°； ④点A 到OC 的距离为cos36°•sin54°． 其中正确的是 （填序号）．3．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．4．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于 ．第4题 第5题 第6题5．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cos B=53，则AC 的长为 ．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，若AB=6，AD=8，sin ∠OEA= ．7．如图，△ABC 中，∠A=30°，tan B ＝23，AC=23，则AB 的长为 ．8．如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．9．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=30°，BC=8，sin ∠A=55，BD 是AC 边上的中线．求： （1）△ABC 的面积； （2）∠ABD 的正切值．拓展提升1．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=2AE ，已知AD=33，tan ∠BCE=33，那么CE 等于 ．第1题 第2题 第3题2．如图，已知点A （53，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b= ． 3．在Rt △ACB 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，cos ∠CBD=415，则sin ∠ABD= ． 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为 。
(完整版)三角函数三角函数公式表
(完整版)三角函数公式表1. 正弦函数 (sin):定义：正弦函数是直角三角形中对边与斜边的比值。
公式：sin(θ) = 对边 / 斜边范围：1 ≤ sin(θ) ≤ 1特殊值：sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 12. 余弦函数 (cos):定义：余弦函数是直角三角形中邻边与斜边的比值。
公式：cos(θ) = 邻边 / 斜边范围：1 ≤ cos(θ) ≤ 1特殊值：cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 03. 正切函数 (tan):定义：正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值。
公式：tan(θ) = 对边 / 邻边范围：tan(θ) 可以取任意实数值特殊值：tan(0°) = 0, tan(30°) = 1/√3, tan(45°) = 1, tan(60°)= √3, tan(90°) 不存在（无穷大）4. 余切函数 (cot):定义：余切函数是直角三角形中邻边与对边的比值。
公式：cot(θ) = 邻边 / 对边范围：cot(θ) 可以取任意实数值特殊值：cot(0°) 不存在（无穷大）, cot(30°) = √3, cot(45°) = 1, cot(60°) = 1/√3, cot(90°) = 05. 正割函数 (sec):定义：正割函数是直角三角形中斜边与邻边的比值。
公式：sec(θ)= 1 / cos(θ)范围：sec(θ) 可以取任意实数值特殊值：sec(0°) = 1, sec(30°) = 2, sec(45°) = √2, sec(60°) = 2/√3, sec(90°) 不存在（无穷大）6. 余割函数 (csc):定义：余割函数是直角三角形中斜边与对边的比值。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
高中数学第一章三角函数11任意角和弧度制111任意角知识巧解学案
1。
1.1 任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角α的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边、终边。
我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角。
旋转一周角的大小记为360°，如图1—1-1.图1—1-12.由于图1-1-1（1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=—315°；图1—1-1(2)中的α=30°,β=390°，γ=-60°。
显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1—1—2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°）=60°。
学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
3。
在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。
显然,如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1。
若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1—1—3例如：由于图1—1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角;同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，—70°、290°都是第四象限的角.2。
高中数学必修一课件：三角函数的概念
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
三角函数展开式
三角函数展开式
三角函数展开式是指将三角函数表达式按照一定规律展开成一系列三角函数的和或积的形式。
三角函数展开式在数学中具有很大的作用和意义，它们可以用于求解各种三角函数的复杂问题，如证明恒等式、求解三角方程、计算三角函数的值等等。
以下是常见的三角函数展开式：
1. 正弦函数展开式
sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny
sin(x-y) = sinxcosy - cosxsiny
sin(2x) = 2sinxcosx
sin(3x) = 3sinx - 4sin^3x
2. 余弦函数展开式
cos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny
cos(x-y) = cosxcosy + sinxsiny
cos(2x) = cos^2x - sin^2x = 2cos^2x - 1 = 1 - 2sin^2x cos(3x) = 4cos^3x - 3cosx
3. 正切函数展开式
tan(x+y) = (tanx+tany)/(1-tanxtany)
tan(x-y) = (tanx-tany)/(1+tanxtany)
tan(2x) = 2tanx/(1-tan^2x)
tan(3x) = (3tanx-tan^3x)/(1-3tan^2x)
三角函数展开式的应用非常广泛，不仅在数学中有很多应用，也
在物理、工程等领域中发挥着巨大的作用。
因此，学习和掌握三角函数展开式对于我们理解和掌握数学知识，提高数学水平非常重要。
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
三角函数公式和图像大全[1]
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初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B ） = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B ） = sinAcosB —cosAsinB cos （A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos （A —B ） = cosAcosB+sinAsinBtan （A+B ） =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A —B ） =tanAtanB 1tanBtanA +-cot （A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot （A —B ） =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A —Sin 2A=2Cos 2A —1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA —4(sinA ）3 cos3A = 4（cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan （3π—a ）半角公式sin （2A )=2cos 1A - cos(2A）=2cos 1A + tan(2A）=A A cos 1cos 1+- cot （2A）=AA cos 1cos 1-+ tan （2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba -sina-sinb=2cos2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos （a —b)] cosacosb = 21［cos(a+b)+cos(a —b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)］ cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a —b ）］ 诱导公式sin （—a) = -sinacos(—a) = cosasin （2π-a) = cosacos （2π—a) = sina sin （2π+a) = cosa cos （2π+a ） = —sina sin （π-a) = sinacos （π—a ） = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a） = -cosa tgA=tanA =aa cos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan2a a+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan 2a a -其它公式a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin （a+c) ［其中tanc=ab ］a •sin(a ）—b •cos(a ） = )b (a 22+×cos(a —c ） [其中tan （c)=b a ］1+sin （a) =(sin 2a +cos 2a )21-sin(a ） = （sin 2a -cos 2a ）2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec （a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -a acosh （a)=2e e -a a tg h （a ）=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α)= tanαcot （2kπ＋α)= cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= —cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(—α)= —sinαcos(-α)= cosαtan （-α）= -tanαcot （—α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系：sin （π—α）= sinαcos （π—α）= —cosαtan(π—α)= -tanαcot(π-α）= —cotα公式五利用公式—和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系:sin （2π-α）= —sinαcos(2π-α）= cosαtan （2π—α)= -tanαcot （2π—α）= —cotα公式六2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π+α）= cosα cos(2π+α)= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= —tanαsin （2π-α)= cosαcos （2π-α）= sinαtan （2π—α）= cotα cot(2π-α）= tanαsin （23π+α）= —cosα cos(23π+α)= sinαtan （23π+α)= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= —sinα tan(23π—α)= cotαcot （23π-α)= tanα(以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin(ωt+θ）+B •sin(ωt+φ） =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=（a+b)（a-b) a3+b3=(a+b ）(a2-ab+b2） a3—b3=（a-b)（a2+ab+b2）三角不等式｜a+b｜≤｜a｜+｜b||a-b｜≤｜a｜+|b｜｜a|≤b<=>-b≤a≤b｜a-b｜≥｜a|-|b|—｜a｜≤a≤｜a｜一元二次方程的解-b+√(b2-4ac）/2a -b-b+√（b2-4ac）/2a 根与系数的关系X1+X2=—b/aX1*X2=c/a注:韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有一个实根b2—4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B）=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B）=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=(tanA+tanB）/(1-tanAtanB） tan(A—B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB）ctg(A+B)=（ctgActgB-1)/（ctgB+ctgA) ctg（A—B)=(ctgActgB+1)/（ctgB-ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/(1—tan2A) ctg2A=(ctg2A—1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a半角公式sin(A/2）=√（（1-cosA）/2） sin（A/2)=—√(（1-cosA)/2)cos（A/2）=√（（1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA）/2）tan(A/2)=√(（1—cosA）/（（1+cosA）） tan(A/2)=—√((1-cosA)/((1+cosA））ctg（A/2)=√(（1+cosA）/((1—cosA）) ctg（A/2）=—√(（1+cosA）/（(1—cosA））和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A—B） 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A—B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin（A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)—cos（A-B)sinA+sinB=2sin（(A+B）/2)cos((A—B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin(（A-B）/2)tanA+tanB=sin（A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B）/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB —ctgA+ctgBsin（A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n（n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1)2/41*2+2＊3+3＊4+4*5+5*6+6＊7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注:角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/（a-b）]={［Tan(a+b）/2］/［Tan（a—b)/2］}圆的标准方程(x—a）2+（y—b)2=r2 注：（a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2—4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=—2py直棱柱侧面积S=c＊h斜棱柱侧面积S=c'＊h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c'）h’圆台侧面积S=1/2(c+c’）l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi＊r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2＊c＊l=pi＊r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r 〉0 扇形面积公式s=1/2*l*r(完整word版)三角函数公式和图像大全(word版可编辑修改) 锥体体积公式V=1/3＊S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi＊r2h斜棱柱体积V=S’L注：其中,S’是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s＊h圆柱体V=pi＊r2h。
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自主预习
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ___si_an_A_＝__s_ibn_B__＝__s_inc_C_____.
第一章 1.1 第1课时
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第一章
第 1 课时 正弦定理
第一章 解三角形
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课前自主预习 课堂典例讲练
名师辨误做答 课后强化作业
第一章 1.1 第1课时
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课前自主预习
第一章 1.1 第1课时
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第一章 1.1 第1课时
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在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R，
所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 已知在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°， 解这个三角形． [分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可运 用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
第一章 1.1 第1课时
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第一章 1.1 第1课时
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不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°； (4)c＝50，b＝72，C＝135°.
第一章 1.1 第1课时
温故知新
在初中，我们学习过直角三角形中的边角关系，那么在 Rt△ ABC 中(如图)，有________、________、________.
[答案]
ac＝sinA
bc＝sinB
c csinC
第一章 1.1 第1课时
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新课引入
“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的 慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测 出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险 峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三 角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.
60°<B<90°. ∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以△
ABC 有两解．
第一章 1.1 第1课时
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(4)sinB＝bsicnC＝725si0nC>sinC＝ 22， ∴B>45°， ∴B＋C>180°，∴△ABC 无解．
对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的 正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的 正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关 系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系 的转化．
B．4 3 22
D. 3
第一章 1.1 第1课时
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[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[答案] C [解析] 在△ABC 中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定 理sianA＝sibnB得，b＝assiinnAB＝8s·sinin4650°°＝4 6. ∴选 C.
第一章 1.1 第1课时
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2．正弦定理的变形公式 (1)a＝bssiinnBA＝__css_iin_nC_A_， b＝assiinnAB＝_c_ss_iin_nC_B_， c＝assiinnAC＝_b_ss_iin_nB_C_.
第一章 1.1 第1课时
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有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于钝角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定 值； ④在△ABC 中，sinA B C＝a b c.
第一章 1.1 第1课时
[解析] 由正弦定理及已知条件有sin3A＝sin425°，
得 sinA＝ 23，asinB＝
3sin45°＝
6 2<
2.
∴∠A 有两解，∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2 .
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
②在△ABC 中，已知 a、b 和 A，以点 C 为圆心，以边长 a 为 半径画弧，此弧与除去顶点 A 的射线 AB 的公共点的个数即为三角 形的个数，解的个数见下表：
A 为钝角 A 为直角
A 为锐角
a>b a＝b
一解 无解
一解 无解
一解 一解
a>bsinA 两解
a<b
无解
无解 a＝bsinA 一解
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(2)sinA＝asibnB＝__a_si_cn_C_， sinB＝bsianA＝__b_s_icn_C__， sinC＝csianA＝_c_s_ibn_B__. (3)a:b:c＝___s_in_A__:s_i_n_B_:_si_n_C____.
成才之路·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
解三角形
第一章 解三角形
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第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章 解三角形
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第一章 1.1 第1课时
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在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC 等于( )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[答案] A [解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
第一章 1.1 第1课时
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建模应用引路
三角形形状的判断
(2012～2013 学年度江西九江一中高二期中测 试)在△ABC 中，a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边，若 acosA＝bcosB，则△ABC 一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
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a<bsinA 无解
第一章 1.1 第1课时
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图示已知 a、b、A，△ABC 解的情况． (ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：
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(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：
第一章 1.1 第1课时
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[解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB， ∴sinB＝bsianA＝4 3×4sin30°＝ 23， 又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或 120°.
第一章 1.1 第1课时
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[答案] D
[分析] 判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定， 也可以从三角形三边关系确定．本题由条件式可考虑应用正弦 定理把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判 定．
第一章 1.1 第1课时
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[解析] 由正弦定理，得ab＝ssiinnAB. 又 acosA＝bcosB，即ab＝ccoossBA，∴ssiinnAB＝ccoossBA， 即 sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B. ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B.∴A＝B 或 A＋B＝2π. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选 D.
第一章 1.1 第1课时
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(3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法： ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的 个数．
第一章 1.1 第1课时
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[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
3 2<
23，
∴△ABC 有一解．