三角函数化一公式例题解析
数学分类汇编(12)三角函数的化简与求值(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。
【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。
第9讲 三角函数的化简与求值
第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。
三角函数化简例题大全
三角函数化简例题大全三角函数化简是解决三角函数表达式的一种常见方法，可以通过一系列的恒等变换将复杂的三角函数表达式简化为更简单的形式。
以下是一些常见的三角函数化简例题，我将从不同的角度给出一些例子。
1. 化简三角函数表达式：例如，化简 sin²(x) + cos²(x) 的表达式。
根据三角恒等式 sin²(x) + cos²(x) = 1，可以将原表达式化简为 1。
2. 利用和差化积公式：例如，化简 sin(x)cos(x) 的表达式。
根据和差化积公式sin(x)cos(x) = 1/2 sin(2x)，可以将原表达式化简为 1/2sin(2x)。
3. 利用倍角公式：例如，化简 sin²(x) 的表达式。
根据倍角公式 sin(2x) =2sin(x)cos(x)，可以将原表达式化简为 1/2 1/2cos(2x)。
4. 利用三角函数的周期性质：例如，化简sin(x + π) 的表达式。
根据 sin(x + π) = -sin(x)，可以将原表达式化简为 -sin(x)。
5. 利用三角函数的奇偶性质：例如，化简 cos(-x) 的表达式。
根据 cos(-x) = cos(x)，可以将原表达式化简为 cos(x)。
6. 利用三角函数的互余关系：例如，化简tan(π/2 x) 的表达式。
根据tan(π/2 x) = cot(x)，可以将原表达式化简为 cot(x)。
以上是一些常见的三角函数化简的例题，通过运用三角函数的基本性质、恒等变换和公式，可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，这有助于我们在解决数学问题和证明中更加灵活和高效地运用三角函数。
高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。
其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。
两倍角的正弦、余弦、正切。
、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。
要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。
了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。
由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。
2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。
每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。
总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。
（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。
根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。
如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。
（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。
如 2002 年（ 15 ）题。
（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。
一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。
如 2001 年（ 7 ）题。
（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。
（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。
考点15 三角函数式的化简与求值(答案)
，故选 B．
3．【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
，则
tan
−
4
=
（
）
−1
1
A． 2
B．-2
C． 2
D．2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
，知
=
1 3
，则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
，故选 A
．
4．【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（5 月）】已有角 的顶点与坐标原点重合，
+ cos2
sin ”；（3）化正弦、余弦为正切，即 cos
=
tan
；
tan = sin
（4）化正切为正弦、余弦，即
cos ；（ 5 ） 正 弦 、 余 弦 和 （ 差 ） 与 积 的 互 化 ， 即
(sin cos )2 =1 2sin cos ．
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ，选 D．
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦 公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注 意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性； (4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．
三角代换公式讲解例题
三角代换公式讲解例题三角代换公式是在三角函数中常用的一个技巧，可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的代数表达式，从而简化计算过程。
本文将通过讲解例题来详细解释三角代换公式的应用方法。
例题1：计算函数$f(x) = \sin^3x \cos^2x$的不定积分。
解析：首先，我们注意到$f(x)$中包含了$\sin x$和$\cos x$的高次方，这使得我们很难直接计算其不定积分。
因此，我们可以考虑使用三角代换公式来简化问题。
我们可以令$u = \sin x$，则$\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - u^2}$。
通过这个代换，我们可以将$f(x)$转化为关于$u$的代数表达式。
将代换关系带入$f(x)$，我们得到：$f(x) = \sin^3x \cos^2x = u^3(1 - u^2)$现在，我们可以计算$f(x)$的不定积分。
代换$u$的导数$du = \cos x dx$，可以将$x$的微元$dx$用$du$表示。
将代换和微元代入$f(x)$的不定积分中，我们得到：$\int f(x)dx = \int u^3(1 - u^2)du$对于这个简化后的代数表达式，我们可以使用常规的代数技巧来计算不定积分。
首先，我们可以将积分式展开：$\int u^3(1 - u^2)du = \int (u^3 - u^5)du$然后，我们可以分别计算每一项的不定积分：$\int u^3(1 - u^2)du = \frac{1}{4}u^4 - \frac{1}{6}u^6 + C$其中，$C$为常数项。
最后，我们将代换$u = \sin x$带回原来的变量$x$，即可得到原函数$f(x)$的不定积分：$\int f(x)dx = \frac{1}{4}\sin^4x - \frac{1}{6}\sin^6x + C$这样，我们通过使用三角代换公式成功地计算出了函数$f(x)$的不定积分。
三角函数化一公式训练题
三角函数化一公式训练题三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数，掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在三角函数化一公式训练题： 已知1027)4(sin =-πα，257cos2=α，=αsin （ ） A ．54 B ．54- C ．53- D ．53【答案】D 【解析】试题分析：由7sin()sin cos 45πααα-=⇒-=①，2277cos2cos sin 2525ααα=⇒-=所以()()7cos sin cos sin 25αααα-+=②，由①②可得1cos sin 5αα+=-③，由①③得，3sin 5α= ，故选D考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式 ．cos690=（ ）A ．21 B ．21- C ．23D ．23-【答案】C【解析】 试题分析：由()()3cos 690cos 236030cos 30cos302=⨯-=-==，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值π316tan的值为 A.33- B.33 C.3D.3-【答案】 C 【解析】试题分析tan π=tan （6π﹣）=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．若202παβπ<<<<-，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+= A ．33B ．33-C ．935 D ．96-【答案】C ． 【解析】 试题分析：因为202παβπ<<<<-，1cos()43πα+=，所以4344παππ<+<，且322)4sin(=+απ；又因为cos()42πβ-=02<<-βπ，所以2244πβππ<-<，且36)24sin(=-βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+，所以)24sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(βπαπβπαπβπαπβα-++-+=--+=+935363223331=⨯+⨯=．故应选C ．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式． 若角的终边在第二象限且经过点，则sin α等于AB ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知23sin 2,3,1==⇒=∴=-=r y r y x α，故选A ．考点：三角函数的概念．sin70Cos370- sin830Cos530的值为（ ） A ．21- B ．21 C ．23D ．23-【答案】A 【解析】 试题分析：sin70Cos370- sin830Cos530α(1P -12-12()()3790sin 790cos 37cos 7sin ---=()()2130sin 377sin 37sin 7cos 37cos 7sin -=-=-=-= 考点：三角恒等变换及诱导公式； 已知53)4cos(=-x π，那么sin 2x ＝（ ） （A ）2518 （B ）2524± （C ）257- （D ）257【答案】C 【解析】试题分析：sin2x ＝cos （2π－2x ）＝2cos 2（4π－x ）－1＝2×237()1525-=- 考点：二倍角公式，三角函数恒等变形 已知51sin()25πα+=,那么cos α= （ ）A ．25- B ．15- C ．15D ．25【答案】C 【解析】试题分析：由51sin()25πα+==sin()cos 2a a π+=,所以选C ．考点：三角函数诱导公式的应用 已知31)2sin(=+a π，则a 2cos 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．97D ．97-【答案】D 【解析】试题分析：由已知得31cos =α,从而971921cos 22cos 2-=-=-=αα,故选D.考点：诱导公式及余弦倍角公式.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，tan 0,cos 0αα<⎧⎨<⎩，故角α在第二象限．考点：三角函数的符号.已知α是第四象限角，125tan -=α，则=αsin （ ） A ．51 B ．51- C ．135D ．135-【答案】D 【解析】试题分析：利用切化弦以及1cos sin 22=+αα求解即可．125cos sin tan -==ααα， ，，16925sin 1cos sin 222=∴=+ααα又α是第四象限角，135sin ,0sin -=<αα,故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 ．化简2cos ()4πα--2sin ()4πα-得到（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】Aωπω2sin ==T xy α2sin α2sin -α2cos α2cos -【解析】 试题分析：απαπαπαπααππα2sin )22cos()4(2cos )4(sin )4(cos )4(sin )4(cos 2222=-=-=---=---考点：三角函数的诱导公式和倍角公式.已知3cos ,05ααπ=<<，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.15B.17C.1-D.7-【答案】D 【解析】试题分析：由053cos ,0>=<<απα可知20πα<<，因此54sin =α，34tan =α，由和角公式可知713411344tan tan 14tantan )4tan(-=⨯-+=⋅-+=+παπαπα，故答案为D 。
高考数学三角形中的三角函数式解析
高考数学三角形中的三角函数式解析三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.●难点磁场(★★★★★)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .BC A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos2CA -的值. ●案例探究［例1］在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系. 错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米) 在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =33(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°)/(30261330330)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BCABsin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°10103=. 2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDAACDCA AD sin sin =，∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD 答：此时船距岛A 为1339+千米. ［例2］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2CA -，f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+). (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域. 命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题. 错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f (x )的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意|2CA -|的范围.解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°,3421221)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(22-=-+-=-++-+=⋅+⋅=x xx x C A C A CA C A C A C A x f∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］. (2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0. 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0.即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数.(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2. 故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞).●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题2.(★★★★)在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为__________.3.(★★★★)在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.三、解答题4.(★★★★)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.5.(★★★★★)如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？6.(★★★★)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27cos 22sin 42=-+A C B .(1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.7.(★★★★)在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值. 8.(★★★★★)在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值.参考答案难点磁场解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=2CA -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， ,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+C A 所以 依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα .2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0，∴2cos α－2=0.从而得cos222=-C A . 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A CA C A -++-=-+③，将cos 2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：)cos(2222cosC A C A --=-④ 将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2CA -－32=0，(*)，.222cos :,022cos 2,032cos 22,0)32cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得歼灭难点训练一、1.解析：其中(3）(4）正确. 答案： B二、2.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A C A C A C A C A 故π答案：33.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°. ∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53. 即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527. 答案：625527三、4.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83.5.解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ，RR h Rk I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 .1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos 45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin 4)1(:.6222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc a c b bc a c b A bca cb A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解 7.解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］ ∵B =π－(A+C ).∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－21.∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π.又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12π.8.解：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABC 中， ∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，由正弦定理知：APBABBAP BP sin sin =.∴BP =)120sin(sin θθ-︒a 在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3.。
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三角函数化一公式解析
一、化一公式
三角函数化一公式是指如下的三角函数公式：
)cos()sin(cos sin 2222θϕ-+=++=+x b a x b a x b x a ，
其中
2
2sin cos b a a +=
=θϕ，2
2cos sin b a b +=
=θϕ，
θϕ、
完美地融入直角梯形中。
如果0=ab ，则公式显然成立。
不妨假设0≠ab ，则
[]),
sin( cos sin sin cos cos sin cos sin 2222222
222ϕϕϕ++=++=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡++++=+x b a x x b a x b a b
x b a a b a x b x a
同理可得
)cos(cos sin 22θ-+=+x b a x b x a 。
二、公式的应用
化一公式把含有两个三角函数x sin 、x cos 的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题，从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。
这些问题均是三角函数的基本问题，但学生往往难以掌握。
下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。
1、三角函数最值问题 例1、求函数
R x x x x x f ∈+=),cos (sin sin 2)(
的最大值。
解析：142sin 212cos 2sin cos sin 2sin 2)cos (sin sin 22+⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=+-=+=+πx x x x x x x x x 。
于是，函数的最大值是12+。
例2、求函数
R x x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,94sin 59sin 3)(ππ
的最大值和最小值。
解析：
)
sin(7 )sin(94sin 59sin 394cos 59cos 3 cos 94sin 59sin 3sin 94cos 59cos 394sin 59sin 32
2
ϕϕππππππππππ+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x
x x x
因此，该函数的最大值和最小值分别是7、-7。
例3、已知函数
R x x a x x f ∈++=,4cos sin 2)(
的小值为1，求参数a 的值。
解析：
R x x a x f ∈+++=,4)sin(4)(ϕ，2
tan a
=
ϕ。
因函数的最小值是1，即144=+-a 。
因此5=a 。
2、三角函数的单调区间 例4、求函数
()ππ2,2,2
cos 2sin )(-∈+=x x
x x f
的单调递增区间。
解析：用化一公式将函数简化为
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+42sin 22cos 2sin
πx x x 。
注意到函数的定义域，从而⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
∈+45,4
34
2
πππx 。
利用正弦函数的单调性立即可知函数f 的单调递增区间为⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-2,2ππ。
例5、求函数
],0[,cos cos sin 32sin )(44π∈-+=x x x x x x f
的单调区间。
解析：因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=-=-+=-+62sin 22cos 2sin 3cos sin 2sin 3cos cos sin 32sin 2244πx x x x x x x x x x 。
利用正弦函数的单调性，立即得到函数f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,653,0 ，单调递减区间为⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡
65,3ππ。
3、三角函数的最小正周期
周期现象是一种普遍而重要的自然现象，对于描述周期现象的有力工具之一——三角函数，其最小正周期实际问题中扮演着一个重要角色，例如Fourier 级数。
因此，如何寻求三角函数的最小正周期无疑是一个十分重要的课题。
而化一公式无疑又是解决这个问题的一把钥匙。
对于例1中的函数，利用化一公式，我们立即可知该函数的最小正周期为
π。
类似地，对于另一高考题：求函数x x s y cos sin 32cos -=的最小正周期，也可
获知其最小正周期为π
4、三角函数图象的对称轴、对称中心及相关问题 例6、若函数
R x x a x x f ∈+=,2cos 2sin )(
的图像关于直线8
π-=x 对称，则参数a 的值为多少
解析：利用化一公式，有
a x a x a x =++=+ϕϕtan ),2sin(12cos 2sin 2。
根据题意
43,182ππϕπ+
=+=⎪⎭
⎫
⎝⎛-k a f 。
进而，1-=a 。
对于这个函数，如果图像关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,6
π对称，用同样的方法可知
3=a 。
例7、已知函数
R x x x x x f ∈++=,1cos sin 2
3cos 21)(2。
该函数图象可由R x x y ∈=,sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变化得到 解析：首先利用化一公式可得
R x x x f ∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,4
5
62sin 21)(π。
进而，该问题就可迎刃而解。
5、解三角方程和三角不等式 例8.求三角方程01cos 3sin =--x x
利用化一公式和正弦函数的性质，立即可知其解集为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+=Z k k x k x x ,62 22ππππ或。
例9.解三角不等式1cos 3cos sin 2sin 22≤+-x x x x
同样地，利用化一公式和正弦函数的单调性立即可知解集为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈-≤≤-Z k k x k x ,42π
πππ。