三角函数化“一角一函数”4步骤(未修改)
三角函数求解方法
略谈三角函数问题解题方法三角函数问题的题型主要有：三角函数式的化简、求值、证明，方法诸多，如切化弦、升降幂、常数与三角函数互化、公式的顺用、逆用、变用等，解题中心是“变角”、“变名”、“变式”，基本思路是从“角”“名”“形”入手，根据问题的目标，对其变换或通过对“角”“名”“形”的变换，确立变形目标，使问题向有利解决的方向转化。
一、三角函数式的化简例1、化简 22222sin sin 2cos cos cos2cos2θϕθϕθϕ+-分析 本题中出现的角的形式多，故应先变角。
解：原式=2222222sin sin 2cos cos (2cos 1)(2cos 1)θϕθϕθϕ+---=2222222sin sin 2cos cos 2cos 2cos 1θθθθθθ-++-=222222sin sin 2cos (1cos )2cos 1θθθθθ+-+-=22222sin (sin cos )2cos 1θθθθ++-=222sin 2cos 1θθ+-=1.[点评] 化简三角函数的基本方法：统一角、统一名 通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、 逆用公式等手段将其化简。
二、 三角函数的求值。
1、给角求值。
利用和、差公式变形，使其出现特殊角，若非特殊角，则可能出现正负抵消或约分的情况，从而求出其值。
例2、 求 22sin 10cos 703sin10cos70++的值[分析] 式中两个角存在关系701060-= 可从“角度”入手。
解：原式=22sin 10cos (6010)3sin10(6010)cos ++++ =221313sin 10(cos10sin10)3sin10(cos10sin10)2222+-+- =22111sin 10cos 10444+= [点评] 本题三角函数均为弦函数，所以变换的角度只涉及角。
一般来说，三角式的化简，应首先考虑角，其次是函数名，再次是代数上的结构特点。
三角函数化一公式例题解析
三角函数化一公式解析一、化一公式三角函数化一公式是指如下的三角函数公式:asinx+hcosx = yj(r +b2 sin(兀+(p) = yla2 +b2 cos(x—&),完美地融入直角梯形中。
如果ab = O,则公式显然成立。
不妨假设心0,则同理可得二、公式的应用化一公式把含有两个三角函数sinx、cosx的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题，从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。
这些问题均是三角函数的基本问题，但学生往往难以掌握。
下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。
1、三角函数最值问题例1、求函数的最大值。
解析：2siiix(sin A+ cosx) = 2sin2 x + 2sinxcosx = sin2x-cos2x + l = V2sin 2x-— +1。
于是，函数的最大值是、伍+ 1。
例2.求函数、xwR的最大值和最小值。
解析:因此，该函数的最大值和最小值分别是7、-7o例3、已知函数f(x) = 2sinx +Vt/cosx + 4, xe 7?的小值为1，求参数a 的值。
解析：/(x) = j4 + asin(x + 0)+ 4,xwR ， tan0 = ^^。
2 因凶数的最小值是1,即4-j4+ a =1 °因此a = 5。
2、三角函数的单调区间例4、求函数/(x) = sin —+ COS —, xe(- 2/r,2/r)的单调递增区间。
解析：用化一公式将函数简化为sin j + cos | = 72si注意到函数的定义域，从而i-F-e'-—o 利用正弦函数的单调性立即可知函数/的单2 44 4 )调递增区间为(-2化彳。
例5、求函数 f (x) = sin 4 x + 2V3sin xcosx-cos 4 x,xe[0,7r]的单调区间。
解析：因为/ \ A \3siii x + - +5sin x + — 4龙9厂iT sin(x + 0)3c/ + 5cos 竺 sinx +(3sin^ + 5sin 竺Lsx 9 9丿 =』3cos —+ 5cos — +| 3sin —+ 5sin 叽 9 9丿 = 7sin(x + 0)sin 4 x + 2^3 sin xcosx - cos 4 x = 73 sin 2x + sin 2 x-cos 2 x = >/3 sin 2x - cos 2x = 2sin 2x-— 。
三角函数变换的技巧与方法
三角函数变换的方法与技巧 (1)一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。
常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；22αα=等等。
例1、已知1),tan()tan(-≠-=+n n βαβα，求证：112sin 2sin +-=n n αβ。
分析：在条件中的角βα+和 βα-与求证结论中的角βα2,2是有联系的，可以考虑配凑角。
解： )()(2βαβαβ--+=，)()(2βαβαα-++=，∴)]()sin[()]()sin[(2sin 2sin βαβαβαβααβ-++--+=)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-++-+-+--+=)tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα-++--+=11)tan()tan()tan()tan(+-=-+----=n n n n βαβαβαβα二、函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。
而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。
变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。
如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。
常见的就是切割化弦。
例2 、(2001年上海春季高题)已知k =++αααtan 12sin sin22)24(παπ<<，试用k 表示ααcos sin -的值。
分析：将已知条件“切化弦”转化为ααcos ,sin 的等式。
解：由已知k ==++=++ααααααααααcos sin 2cos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22；24παπ<<ααc o ss i n >∴ ∴ααcos sin -k -=-=-=1cos sin 21)cos (sin 2αααα。
三角函数化简和求值基本策略及三角函数转换公式汇总
三角函数化简和求值基本策略
1、常值代换：
特别是“1”的代换
例如：cos2θ+sin2θ=1，tan x∙cot x=1，tan45°=1 等等2、分拆项：
例如：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x 等等3、配凑角：
例如：α=(α+β)−β，β=α+β
2−α−β
2
等等
4、降次和升次：
通常利用倍角或者半角公式降（升）次
例如降次：sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2−2sin2x∙cos2x等等例如升次：
sin2x
2=1−cos x
2
cos4x= cos22x−sin22x
等等
5、化弦（切）法：
将三角函数利用同角三角函数基本关系华为弦（切）。
6、利用辅助角公式法：
具体参考学而思课本上的辅助角那一讲知识
7、万能代换法：
巧用万能公式将三角函数化为tanθ
2
的有理式
2、二倍角公式：
cos2α=(cosα+sinα)(cosα−sinα)
sinα∙ cos α=1
2
sin2α
4、万能公式：
5、辅助角公式：
y=a sinα+b cosα=√a2+b2sin(α+φ)，其中tanφ=b
，φ所在的象限由a,b的
a
符号确定。
6、积化和差公式：
7、和差化积公式：
8、其他公式：
sin3α=3sinα−4sin3α=4sin(60°−α)∙sinαsin(60°+α)
cos3α=4cos3α−3cosα=4cos(60°−α)∙cosαcos(65°+α)。
三角函数化简公式及方法
三角函数化简公式及方法三角函数化简就是对复杂的三角函数进行变形，从而变成简单的三角函数，接下来给大家分享三角函数化简常用的公式。
三角函数化简原则(1)看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建求特角;(2)看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互相转化;(3)看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。
另外，根据式子的特点，还可以使用辅助角公式。
三角函数化简常用公式半角公式sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数积化和差公式sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数辅助角公式asinα+bcosα=(√a^2+b^2)sin(α+β)，tanβ=b/a 三角函数化简方法(1)切割化弦;(2)降幂公式；(3)用三角公式转化出特殊角;(4)异角化同角;(5)异名化同名;(6)高次转低次;(7)辅助角公式；(8)分解因式。
如何快速化一角一函数
三角函数快速化“一角一函数”(x)Asin(x )b;(x)Acos(x )b;(x)Atan(x )b;x sin cos tan f f f ωϕωϕωϕωϕ=++=++=+++“一角一函数”具体是指下述三种形式之一：“一角”指的是一个相位：；“一函数”指的是一个函数名称：或或化简一角一函数的步骤主要有：第一步：消平方。
解决给出的式子中带有平方项甚至四次方项的式子。
意思就是通过降幂扩角公式将式子中的平方或四次方化成一次幂，降幂扩角公式就是指：221cos21cos2sin ,cos ,22x x x x -+==对于四次方的式子，也可以考虑是否需要使用平方差公式，先降成二次幂的式子，然后再使用降幂公式进行处理。
第二步：切化弦。
我们所说的一角一函数，基本上不会化成()tan()f x A x b ωϕ=++的切函数形式，而都是整理为弦函数形式，因此，需要将所有的切函数一律化成弦函数。
第三步：变同角。
所谓的角，前面说了，指的是相位，所以我们需要利用：sin()sin cos sin cos ;cos()cos cos sin sin ;αβαββααβαβαβ±=±±=将式子打开在进行处理。
第四步：合一名。
使用辅助角公式：sin cos ),tan b a x b x x aωωωϕϕ+=+=， 对于一些题，ϕ如果不是特殊角的，可以不需要求出，结果与ω的取值无关，注意观察。
另外，通过1sin cos sin 22x x x =也能将比较简单的三角函数式进行化成一角一函数。
2222cos cos 2=cos sin 12sin 2cos 1x x x x x x -=-=-的二倍角公式也非常重要，需要熟练掌握：练习题下列问题都是要求化成一角一函数形式。
1.2()cos 2cos 1f x x x x =+- ()212.sin 22x f x x =-+．3.()4cos sin()16f x x x π=⋅+- 4.f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x()()5.4242x x f x sin sin x πππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.2()sin()cos cos (0)f x x x x πωωωω=-+>7.2()sin )sin()2f x x x x πωωω=⋅+ 8.2()sin()2cos ()366x x f x πππ=--()()()()()()()()1.22;62.;63.22;64.245.2;316.2;24217.2;328.1;33f x sin x f x sin x f x sin x f x sin x f x sin x f x sin x f x sin x f x x ππππππωπωππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。
三角函数求值“三步曲”
三角函数求值“三步曲”孙虎1. 角的拼凑适当地变化角的表达式，可以给三角函数求值带来便利。
如单角α可以看成角α＋β与角β的差，也可以看成角α－β与角β的和，既可以看成是α2的二倍，也可以看成是2α的一半。
角的分拆与配凑也是变角的常用策略。
如2α＝（α＋β）＋（α－β），α－β＝2α－（α＋β）等。
当条件所给角都是非特殊角时，要仔细观察非特殊角与特殊角之间的联系，可通过三角公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数值而得解。
例1. 已知cos()αβ-=-219，sin()αβπαπβπ223202-=<<<<，且，，求cos （α＋β）的值。
分析：所求余弦中的角与已知正、余弦中的角，其运算结构不同，所以要做角的拆拼，注意到αβαβαβ+=---222()()。
解：因为παπβπ202<<<<，，所以παβππαβπ42422<-<-<-<，，于是 s i n ()cos ()αβαβ-=--2122=--=1194592()c o s ()s i n()αβαβ2122-=--=-=123532() 所以 cos cos[()()]αβαβαβ+=---222=--+--cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ2222··=-+=()1953459237527××从而 cos()cosαβαβ+=+-2212 =-=-2752712397292×()例2. 求cot cos 10410°°-的值。
分析：此题给出的是非特殊角，要设法把非特殊角化为特殊角，相互低消、约分求出值。
解：cot cos cos sin cos 104101010410︒-︒=︒︒-︒=︒-︒︒︒=︒-︒︒=︒-︒-︒︒cos sin cos sin cos sin sin cos sin()sin 1041010101022010102301010=︒-︒︒+︒︒︒=︒-︒+︒︒=cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1023010230101010103101032. 化弦（切）法当已知的式子中切、割、弦混合时，从函数名称的角度去考虑，切割化弦是三角函数求值的常用方法。
三角函数变换的技巧与方法
三角函数变换的方法与技巧 (1)一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。
常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；22αα=等等。
例1、已知1),tan()tan(-≠-=+n n βαβα，求证：112sin 2sin +-=n n αβ。
分析：在条件中的角βα+和 βα-与求证结论中的角βα2,2是有联系的，可以考虑配凑角。
解： )()(2βαβαβ--+=，)()(2βαβαα-++=， ∴)]()sin[()]()sin[(2sin 2sin βαβαβαβααβ-++--+= )sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-++-+-+--+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα-++--+= 11)tan()tan()tan()tan(+-=-+----=n n n n βαβαβαβα 二、函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。
而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。
变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。
如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。
常见的就是切割化弦。
例2 、(20XX 年上海春季高题)已知k =++αααtan 12sin sin 22 )24(παπ<<，试用k 表示ααcos sin -的值。
分析：将已知条件“切化弦”转化为ααcos ,sin 的等式。
解：由已知k ==++=++ααααααααααcos sin 2cos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22；24παπ<< ααc o s s i n >∴∴ααcos sin -k -=-=-=1cos sin 21)cos (sin 2αααα。
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专项17 三角函数化“一角一函数”4步骤
什么叫一角一函数，我已经在前边专项中，专门做过说明，在这个专项，我就集中笔墨，着色如何化一角一函数。
我把整个过程分为四个步骤：
第一步：消平方。
意思就是通过降幂扩角公式将式子中的平方或者四次方化成一次幂，降幂扩角公式就是指：221cos21cos2sin ,cos ,22
x x x x -+==对于四次方的式子，也可以考虑是否需要使用平方差公式，先降成二次幂的式子，然后再使用降幂公式进行处理。
如果真的需要一开始就要使用降幂扩角公式的，那需要使用两次。
第二步：切化弦。
我们所说的一角一函数，基本上不会化成()tan()f x A x b ωϕ=++的切函数形式，而都是整理为弦函数形式，因此，需要将所有的切函数一律化成弦函数。
第三步：变同角。
所谓的角，即是指相位，所以我们需要利用：
sin()sin cos sin cos ;cos()cos cos sin sin ;αβαββααβαβαβ±=±±=将式子打开在进行处理。
第四部：合一名。
就是将不含平方、没有切函数、角也是同一个角的式子融合成只含正弦或者只含余弦的一角一函数
形式，需要使用辅助角公式：sin cos ),tan b a x b x x a
ωϕϕ+=+=，尤其要注意一点，点(,)a b 所在象限决定了ϕ的取值范围，即该点若为第二象限内的点，则ϕ的取值范围就是(
,)2ππ的，其他也同样道理。
另外，通过1sin cos sin 22
x x x =也能将比较简单的三角函数式进行化成一角一函数。
下列问题都是要求化成一角一函数形式。
1.(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -=
2.()4cos sin()16f x x x π=⋅+
-
3.2()cos 2cos 1f x x x x =+-
4.2()sin()cos cos (0)f x x x x πωωωω=-+>的最小正周期为π.
5.2()sin(
)2cos ()366x x f x πππ=--
6. 2()sin )sin()2f x x x x πωωω=⋅+
的最小正周期为π.
7. ()sin()cos()sin()2424
x x f x x πππ=+
⋅+-+
.
.
8. ()(1tan )1)4f x x x π⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦。