三角函数的化简求值(含答案)
高中数学三角函数的恒等变换及化简求值精选题
三角函数的恒等变换及化简求值精选题一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．16252．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．34．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．455．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3- 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45-B ．35-C ．3-D ．3-7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15二．填空题（共15小题）9．设当x θ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=．11．1s in 10c o s 10-=︒︒．12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=．13．4c o s 50ta n 40︒-︒=．14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒．15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=．16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=．17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=．18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为 ．19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m =︒，若24m n +=，si n 63=︒．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为 ．三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．三角函数的恒等变换及化简求值精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．若3ta n 4α=，则2c o s 2s in 2(αα+=)A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(c o s sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案． 【解答】解：3ta n 4α=，22222314c o s 4s in c o s 14ta n 644c o s 2s in 29s in c o s ta n 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++．故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 2．若3c o s ()45πα-=，则sin 2(α=)A ．725B ．15C ．15-D ．725-【分析】法1︒：利用诱导公式化s in 2c o s (2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得s in c o s αα+的值，再平方，即得s in2α的值【解答】解：法31:c o s ()45πα︒-=，297s in 2c o s (2)c o s 2()2c o s ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:c o s ()in c o s )425πααα︒-=+=，∴19(1s in 2)225α+=，97s in 2212525α∴=⨯-=-，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．3．已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=，且ab⊥，则2sin 2c o s θθ+的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】由题意可得a b ⋅=，即解得ta n 2θ=，再由222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ+++==++，运算求得结果．【解答】解：由题意可得sin 2co s 0ab θθ⋅=-=，即ta n 2θ=．222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s 1c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ++∴+===++，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 4．若1ta n 3θ=，则c o s 2(θ=)A ．45-B ．15- C ．15D ．45【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将ta n θ的值代入计算即可求出值．【解答】解：1ta n 3θ=，22224c o s 22c o s 11111519ta n θθθ∴=-=-=-=++．故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A ．3B ．13C ．13-D ．3-【分析】先根据已知条件得到ta n α，再化简s in c o s s in c o s αααα-+代入即可得到结果．【解答】解：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1ta n 2α=-，则11s in c o s ta n 1231s in c o s ta n 112αααααα----===-++-+，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查同角三角函数的基本关系式，考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 6．已知函数()s in (2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin ()(x x -=)A ．45- B ．35-C．3-D．3-【分析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112s i n ()s i n (2)c o s (2)36x xx x ππ-=-=--求解即可． 【解答】解：因为0x π<<，∴112(,)666x πππ-∈-，又因为方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，∴1223x x π+=，∴2123x x π=-，∴12112s in ()s in (2)c o s (2)36x x x x ππ-=-=--，因为12212,3x x x x π<=-，103x π∴<<，∴12(,)662x πππ-∈-，∴由113()s in (2)65f x x π=-=，得14c o s (2)65x π-=，∴124s in ()5x x -=-，故选：A ．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题． 7．已知1ta n 4ta n θθ+=，则2c o s ()(4πθ+=)A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由已知求得s in c o s θθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解2c o s ()4πθ+的值．【解答】解：由1ta n 4ta n θθ+=，得s in c o s 4c o s s in θθθθ+=，即224s in c o s s in c o s θθθθ+=，1s in c o s 4θθ∴=，∴21c o s (2)1s in 22c o s ()422πθπθθ++-+==11212s in c o s 14224θθ-⨯-===．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．二．填空题（共15小题） 9．设当xθ=时，函数()s in o s f x x x=+取得最大值，则ta n ()4πθ+=2+【分析】()f x 解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时函数()f x 取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．【解答】解：()sin o s 2sin ()3f x x x x π=+=+；当xθ=时，函数()f x 取得最大值2,32k k zππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，kz∈；∴1ta n ()ta n (2)ta n ()2464463k πππππθπ++=++=+==+故答案为：2+．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10．求值：s in 50(1n 10)︒+︒=1 ．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．【解答】解：原式2s in 40s in 80c o s 10s in 50c o s 401c o s 10c o s 10c o s 10c o s 10︒︒︒=︒⋅=︒===︒︒︒︒故答案为：1【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值，以及两角和公式，诱导公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 11．1s in 10c o s 10-=︒︒4 ．【分析】s in 10c o s 10得结果．【解答】解：12(c o s 10in 10)1221s in 10c o s 10s in 10c o s 10s in 202︒-︒-==︒︒︒︒︒4s in 20420S in ==故答案为：4【点评】本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简． 12．已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒，则m=【分析】由题意可得2c o s 140s in 10c o s 10m ︒-︒=︒，再利用三角恒等变换求得它的值． 【解答】解：由题意可得2c o s 140s in 102c o s 40s in 102c o s (3010)s in 10c o s 10c o s 10c o s 10m ︒-︒-︒-︒-︒+︒-︒===︒︒︒2c o s 10s in 10s in 102c o s 10-︒+︒-︒==︒故答案为：【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 13．4c o s 50ta n 40︒-︒=【分析】表达式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【解答】解：4c o s 50ta n 404s in 40ta n 40︒-︒=︒-︒4s in 40c o s 40s in 40c o s 40︒︒-︒=︒2s in 80s in (3010)c o s 40︒-︒+︒=︒12c o s 10c o s 10in 1022c o s 40︒-︒-︒=︒3c o s 10in 1022c o s 40︒-︒=︒==．【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式12o s 20s in 20)s in 202c o s (3020)s in 2022c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒-︒-︒==︒︒o s 20s in 20s in 20o s 20c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒===︒︒【点评】本题主要考查三角函数值的化简，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键． 15．已知1ta n 31ta n αα+=-，则2sin 2sin co s 1ααα-+=25．【分析】由1ta n 31ta n αα+=-，我们可计算出ta n α的值，由于2sin α2c o s +α1=，所以将所求的代收式变形为222222s in c o s s in s in c o s s in c o s ααααααα-+++，然后化弦为切，代入求值．【解答】解：1ta n 31ta n αα+=-，1ta n 2α∴=．22222222222112()212s in c o s 2ta n 1222s in 2s in c o s 1115()12s in s in c o s ta n ta n s in c o s ta n αααααααααααααα⨯-⨯+-++-++∴-+====+++． 故答案是：25．【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数间的基本关系，解题的关键是将角的弦化切，属于中档题． 16．若1s in ()43πα-=，则c o s ()4πα+=13．【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】解：1sin ()43πα-=，∴1c o s ()s in (())s in ()42443a ππππαα+=--=-=．故答案为：13．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 17．若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+，则s in 2θ=23-．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：2(c o s s in )in 2θθθ+=，平方后整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，进而解得s in 2θ的值． 【解答】解：o s 22c o s()4θθπθ=+，∴2(c o s s in )in 22θθθ=+=，∴平方可得：24(1sin 2)3sin 2θθ+=，整理可得：23sin 24sin 240θθ--=，∴解得：2s in 23θ=-，或2（舍去）．故答案为：23-．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．若ta n 3α=，则s in 2ta n ()4απα+的值为310-．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：由于ta n 3α=，所以22ta n 3s in 21ta n 5ααα==+，1ta n 4ta n ()241ta n 2πααα++===---所以3s in 235210ta n ()4απα==--+．故答案为：310-【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．若ta n 3,(0,)2παα=∈，则c o s ()4πα-=5．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解s in α、c o s α的值，然后展开两角差的余弦求解．【解答】解：由ta n 3α=，得s in 3c o s αα=，即s in 3c o s αα=．又22sin c o s 1αα+=，且(0,)2πα∈，解得：s in 10α=，c o s 10α=．∴c o s ()c o s c o s s in s in4441021025πππααα-=+=+=．故答案为：5．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题．20．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2s in 18m=︒，若24m n +=，则s i n 63m +=︒【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n ，利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可． 【解答】解：2s in 18m =︒，∴由24m n +=，得222444sin 184co s 18nm =-=-︒=︒，则2s in 182c o s 18in (4518)in 63s in 63s in 63s in 63s in 63m +︒+︒︒+︒︒====︒︒︒︒故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．21．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2s in 18a=︒，若24a b +=，则2=12-．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24co s 18b =︒，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案． 【解答】解：2s in 18a =︒，若24a b +=，2222444sin 184(1sin 18)4c o s 18b a∴=-=-︒=-︒=︒，∴22c o s 54sin 3614sin 18c o s 182sin 362-︒-︒====-︒︒︒，故答案为：12-．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．22．函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求()in (2)4f x x π=-+[,]2x ππ∈，可得：32[44x ππ-∈，7]4π，进而利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：2()tan 60sin 22f x x x=︒+1c o s 2in 22xx -=+2o s 2x x=+-in (2)4x π=-+又[,]2x ππ∈，可得：32[44xππ-∈，7]4π，s in (2)[14x π∴-∈-，2，可得()in (2)4f x x π=-+-，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 三．解答题（共3小题） 23．设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()06f π=求出ω的值；（Ⅱ）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，求出[4x π∈-，3]4π时()g x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-s in c o sc o s s ins in ()662x x x πππωωω=---3in c o s 22x xωω=-in ()3x πω=-，又()in ()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z∈，解得62k ω=+，又03ω<<，2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()in (2)3f x x π=-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数in ()3y x π=-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到in ()43yx ππ=+-的图象，∴函数()in ()12yg x x π==-；当[4x π∈-，3]4π时，[123xππ-∈-，2]3π，s in ()[122x π∴-∈-，1]，∴当4xπ=-时，()g x取得最小值是322-=-．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 24．已知α，β为锐角，4ta n 3α=，c o s ()5αβ+=-（1）求c o s 2α的值； （2）求tan ()αβ-的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得s in α，c o s α的值，再由倍角公式得c o s 2α的值； （2）由（1）求得t a n 2α，再由c o s ()5αβ+=-求得t a n (αβ+，利用tan ()tan [2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431s in c o s s in c o s ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4s in 53c o s 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227c o s 225c o s s in ααα∴=-=-；（2）由（1）得，24s in 22s in c o s 25ααα==，则s in 224ta n 2c o s 27ααα==-．α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，s in ()5αβ∴+==．则s in ()ta n ()2c o s ()αβαβαβ++==-+．ta n 2ta n ()2ta n ()ta n [2()]1ta n 2ta n ()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 25．已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：2()3f π的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数22()s inc o s in f x x x x =--7c o s in 2c o s 22s in (2)6x x x x π=-=+（Ⅰ）2275()2s in (2)2s in 23362f ππππ=⨯+==，（Ⅱ）2ω=，故Tπ=，即()f x 的最小正周期为π，由72[262xk πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z∈得：5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，kZ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，kZ∈．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档。
数学分类汇编(12)三角函数的化简与求值(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。
【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。
三角函数式的化简求值训练
)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数化简求值每日一练
三角函数化简求值每日一练1、的值为____________2、计算：=____________3、化简=____________4、sin15°+sin75°的值是____________5、求值：sin10°tan70°﹣2cos40°=____________6、sin315°sin（﹣1260°）+cos390°sin（﹣1020°）=____________7、=____________8、sin2230°+sin110°•cos80°=____________9、=____________10、=____________11、求值sin17°cos47°﹣sin73°cos43°=____________12、=____________13、﹣的值是____________14、（1+tan21°）（1+tan24°）的值为____________15、=____________16、计算3tan10°+4 =____________17、化简：=____________18、=____________19、sin40°（tan190°﹣）=____________20、计算：=____________21、求值：=____________22、计算：=____________答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：= = = ，故选：B．【分析】利用三角恒等变换化简所给的式子，可得结果．二、填空题2、【答案】1【考点】三角函数的化简求值，两角和与差的正切函数【解析】【解答】解：∵tan60°= ，∴==tan（60°﹣15°）=tan45°=1．故答案为：1．【分析】由tan60°= ，利用两角差的正切公式，即可求出答案来．3、【答案】﹣8【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：∵tan12°﹣= = = =﹣8sin12°cos24°，∴= =﹣8．故答案为：﹣8．【分析】由同角函数的三角函数关系以及两角和差的正弦公式转化原式可得tan12°﹣=﹣8sin12°cos24°，整理化简可得结果。
考点15 三角函数式的化简与求值(答案)
，故选 B．
3．【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
，则
tan
−
4
=
（
）
−1
1
A． 2
B．-2
C． 2
D．2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
，知
=
1 3
，则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
，故选 A
．
4．【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（5 月）】已有角 的顶点与坐标原点重合，
+ cos2
sin ”；（3）化正弦、余弦为正切，即 cos
=
tan
；
tan = sin
（4）化正切为正弦、余弦，即
cos ；（ 5 ） 正 弦 、 余 弦 和 （ 差 ） 与 积 的 互 化 ， 即
(sin cos )2 =1 2sin cos ．
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ，选 D．
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦 公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注 意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性； (4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．
三角函数的化简详解
三角函数的化简1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简 【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
【例2】（三兄弟）已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值【变式】（05天津）已知727sin(),cos 241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
三角函数专项(有答案)
三角函数专项一、化简求值 1、若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=A．3B．3-C．9D．9-【答案】C 2、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ） 45- （B ）35-（C ）35（D ）45【答案】B 3、设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（A ）79- （B ）19-（C ）19（D ）79【答案】A4、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。
【答案】24+5、已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________【答案】2-6、已知a ∈（2π，π），5tan2α=【答案】43-7、已知,2)4tan(=+πx 则xx 2tan tan 的值为__________【答案】948、若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于 A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D二、三角函数图像 9、函数2sin 2x y x =-的图象大致是【答案】C10、已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf ．10、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的 部分图象如图所示，则f (0)= 【答案】2611、设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．9三、三角函数性质12、若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3 B ．2 C ．32D ．23【答案】C13、已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈【答案】B14、设函数()s i n ()c o s (f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减（C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增【答案】A15、已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭（B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭【答案】C四、正余弦定理16、若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为A ．43B．8-C ． 1D ．23【答案】A17、如图，在△ABC 中，D 是边A C上的点，且,2,2AB C D AB BC BD ===，则sin C 的值为 A．3 B．6C 3D 6【答案】D18、在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是A ．（0，6π]B ．[ 6π，π）C ．（0，3π]D ．[ 3π，π）【答案】C【解析】由题意正弦定理22222222211cos 023b c aa b c bc b c a bc A A bcπ+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤【答案】C19、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b（A ） （B ） （C （D【答案】D20、在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60C AB C BA ∠=∠=，则A ．C两点之间的距离是 千米。
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三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)
1.化简的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
2.化简的结果是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
3.下列选项中，不是化简的结果的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
4.化简的结果的是( )
A.，其中
B.，其中
C.，其中
D.，其中
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
5.函数（）的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
6.函数（）的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
8.函数（）的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
9.函数（）的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简
10.函数（）的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。