中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)
中考总复习之动点问题经典习题及答案
. . .. . .【思考1】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ∆∽BEC ∆； （2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．第25题（1）第25题（2）【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。
思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。
第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。
【思考2】 △ABC 是等边三角形，P 为平面的一个动点，BP=BA ，若0︒＜∠PBC ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP 在∠ABC 的部时（如图2），求∠BPD 的度数；（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．【思路分析】本题中，和动点P 相关的动量有∠PBC ，以及D 点的位置，但是不动的量就是BD 是平分线并且DB=DA ，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。
事实上，P 点的轨迹就是以B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那D 点是什么呢？留给大家思考一下~【思考3】如图：已知，四边形ABCD 中，AD//BC ， DC ⊥BC ，已知AB=5，BC=6，cosB=35． 点O 为BC 边上的一个动点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，连结MN ． （1）当BO=AD 时，求BP 的长；（2）点O 运动的过程中，是否存在BP=MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP=MN ；若不存在，请说明理由；（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C，请直接写出当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值围。
中考数学专项复习专题五以圆为载体的动点问题试题
专题五以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。
例1. 在中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点〔与点A、B不重合〕，Q 是BC边上的动点〔与点B、C不重合〕，当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？假设有可能，恳求出线段CQ的长的取值范围；假设不可能，请说明理由。
〔03年中考〕分析：不管P、Q如何运动，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因为PQ与AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ是否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，假设AB边上的动点P在圆上，∠CPQ就为直角，否那么∠CPQ就不可能为直角。
以CQ为直径做半圆D。
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，那么DM⊥AB，且AC＝AM＝5所以设，那么在中，，即解得：，所以即当且点P运动到切点M的位置时，△CPQ为直角三角形。
②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形。
③当时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，此时，△CPQ不可能为直角三角形。
所以，当时，△CPQ可能为直角三角形。
例2. 如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，假设腰DC上有动点P，使AP⊥BP，那么这样的点有多少个？分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，假设CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；假设CD与圆相切，切点即是点P；假设CD与圆相离，那么DC上不存在动点P，使AP⊥BP。
解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E因为∠B＝∠A＝90°所以AD、BC为⊙O的切线即AD＝DE，BC＝CE所以AD＋BC＝CD而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的间隔 OE 小于⊙O的半径OE，CD与⊙O相交，和是直径AB所对的圆周角，都为90°，所以交点即为所求。
中考专题------动圆问题专题
知识点一：圆的基本性质【知识梳理】【例题精讲】例1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．例2．如图，直线y＝33x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5练习：1.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了()A. 2周B. 3周C. 4周D. 5周5.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t(s)．(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．知识点二（圆与几何综合）例1.如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、Q C．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．例2.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N 落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm 为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．【课堂练习】1.如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O 作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．2.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t(s)(t＞0)(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE＝PF.(2)在点F运动的过程中，设OE＝a，OF＝b，试用含a的代数式表示b.(3)作点F关于点M的对称点F′，经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．知识点三圆与函数综合例1.如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为﹣1，直线l：y=﹣x﹣与坐标轴分别交于A、C两点，点B坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线l与⊙B的位置关系，并说明理由：（3）如图2，过A、O、C三点作⊙O1，点E是⊙O1上任意一点，连接EC、EA、EO．①若点E在劣弧OC上，试说明：EA﹣EC=EO；②若点E在优弧OAC上，①的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论．例2.如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接P A、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段P A、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P 与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）练习：1.在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM 的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．课后作业1、如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿C方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t （s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中，（1）连接ME，当ME∥AC时，t=________s；（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2、如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM 与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．。
2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题含参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题1．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）求证：24BC CF AC =⋅；（3）若O 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．2．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，CD 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥DC ，连接AC ，BC.（1）求证：AC 是∠DAB 的角平分线；（2）若AD ＝2，AB ＝3，求AC 的长.3．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，DE AC ⊥交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若364AC tanE ==，，求AF 的长．4．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ，（1）求证：△CDE 是等腰三角形；（2）若AB=4，)21AE =，求证：△OBC ≌△DCE ．5．已知锐角△ABC 内接于圆O ，D 为弧AC 上一点，分别连接AD 、BD 、CD ，且∠ACB ＝90°﹣12∠BAD ．（1）如图1，求证：AB ＝AD ；（2）如图2，在CD 延长线上取点E ，连接AE ，使AE ＝AD ，过E 作EF 垂直BD 的延长线于点F ，过C 作CG ⊥EC 交EF 延长线于点G ，设圆O 半径为r ，求证：EG ＝2r ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG ，若AC ＝BC ，DE ＝4CD ，当△ACD 的面积为10时，求DG 的长度．6．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点E 在O 外，连接CE ，ACB ∠的平分线交O 于点D .（1）若BCE BAC ∠=∠，求证：CE 是O 的切线；（2）若4AD =，3BC =，求弦AC 的长.7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90o ，以BC 为直径的半圆⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE 并延长，交CB 延长线于点F ．（1）判断直线DF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CF ＝8，DF ＝4，求⊙O 的半径和AC 的长．8．在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”.（1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1，1），F （22，－22），M(－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线y =k x （k≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围.（2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x y ，，()22B x y ，，且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.9．如图，点A 是⊙O 直径BD 延长线上的一点，AC 是⊙O 的切线，C 为切点.AD ＝CD ，（1）求证：AC ＝BC ；（2）若⊙O 的半径为1，求△ABC 的面积.10．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BO 为△ABC 的角平分线，以点O 为圆心，OC 为半径作⊙O 与线段AC 交于点D.（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若tanA ＝34，AD ＝2，求BO 的长.11．如图①，A 是O 外一点，AB 与O 相切于点B ，AO 的延长线交O 于点C ，过点B 作//BD AC ，交O 于点D ，连接DO ，并延长DO 交O 于点E ，连接AE .已知2BD =，O 的半径为3.（1）求证：AE 是O 的切线；（2）求AE 的长；（3）如图②，若点M 是O 上一点，且3BM =，过A 作//AN BM ，交弧ME 于点N ，连接ME ，交AN 于点G ，连接OG ，则OG 的长度是.12．我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．（1）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ＝8，BC ＝6，△DEF 是△ABC 的垂足三角形，求DE 的长．（2）如图2，圆内接三角形ABC 中，AB ＝AC ＝x ，BC ＝6，△ABC 的垂足三角形DEF 的周长为y ．①求y 与x 的关系式；②若△DEF 的周长为19225时，求⊙O 的半径．13．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，D 为圆上一点，且B ，D 两点位于AC 异侧，连接BD ，交AC 于E ，点F 为BD 延长线上一点，连接AF ，使得∠DAF ＝∠ABD.（1）求证：AF 为⊙O 的切线；（2）当点D 为EF 的中点时，求证：AD 2＝AO•AE ；（3）在（2）的条件下，若sin ∠BAC ＝13，AF ＝2，求BF 的长.14．如图，△ABC 内接于⊙O ，直径BD 交AC 于E ，过O 作FG ⊥AB ，交AC 于F ，交AB 于H ，交⊙O 于G ．（1）求证：OF•DE=2OE•OH ；（2）若⊙O 的半径为12，且OE ：OF ：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）15．如图，点P 是圆O 直径CA 延长线上的一点，PB 切圆O 于点B ，点D 是圆上的一点，连接AB ，AD ，BD ，CD ，∠P=30°．（1）求证：PB=BC ；（2）若AD=6，tan∠DCA=34，求BD的长．16．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，BE⊥AC于点E，点O是线段AC上的一点，以AO为半径作圆O 交线段AC于点G，设AO=m．（1）直接写出AE的长：AE=；（2）取BC中点P，连接PE O与△BPE一边所在的直线相切时，求出m的长；（3）设圆O交BE于点F，连接AF并延长交BC于点H．①连接GH，当BF=BH时，求△BFH的面积；②连接DG，当tan∠HFB=3时，直接写出DG的长，DG．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O 经过点B.（1）求⊙O的半径；（2）点P为 AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在(2)的条件下，连接PC ，求tan ∠PCA 的值.18．О 直径12AB cm AM =，和BN 是О 的切线，DC 切О 于点E 且交AM 于点D ，交BN 于点C ，设AD x BC y ==，．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）x y ，是关于t 的一元二次方程22300t t m -+=的两个根，求x y ，的值；（3）在（2）的条件下，求COD ∆的面积．19．（1）问题发现：如图1，ABC 内接于半径为4的O ，若60C ∠=︒，则AB =；（2）问题探究：如图2，四边形ABCD 内接于半径为6的O ，若120B ∠=︒，求四边形ABCD 的面积最大值；（3）解决问题：如图3，一块空地由三条直路（线段AD 、AB 、BC ）和一条弧形道路CD 围成，点M 是AB 道路上的一个地铁站口，已知AD BM =1=千米，2AM BC ==千米，60A B ∠=∠=︒，CD 的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M 处，另外三个入口分别在点C 、D 、P 处，其中点P 在CD 上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM 、MC 、CP 、PD ，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．21．如图，AB 是⊙O 的直径，DO ⊥AB 于点O ，连接DA 交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交DO 于点E ，连接BC 交DO 于点F ．（1）求证：CE=EF ；（2）连接AF 并延长，交⊙O 于点G ．填空：①当∠D 的度数为时，四边形ECFG 为菱形；②当∠D 的度数为时，四边形ECOG 为正方形．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，O 的半径为4，90ADC AB BC ∠=︒=，，对角线AC 、BD 相交于点P.过点P 分别作PE AD ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F.（1）求证：四边形DEPF 为正方形；（2）若 2AD CD =，求正方形DEPF 的边长；（3）设PC的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图所示，连接OD ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，而OB OD =，∴ODB ABC C ∠=∠=∠，∵DF AC ⊥，∴90CDF C ∠+∠=︒，∴90CDF ODB ∠+∠=︒，∴90ODF ∠=︒，∴直线DF 是O 的切线（2）证明：连接AD ，则AD BC ⊥，则AB AC =，则12DB DC BC ==，∵90CDF C ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴CDF DCA ∠=∠，而90DFC ADC ∠=∠=︒，∴CFD CDA ∽，∴2CD CF AC =⋅，即24BC CF AC=⋅（3）解：连接OE ，∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒，∴30OAE OEA ∠=︒=∠，∴120AOE ∠=︒，11sin 2cos sin 422OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯∠⨯∠= ，21201643603OAE S OAE S S ππ︒︒=-=⨯-- 阴影部分扇形2．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴AD ACAC AB，∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，∴AC＝3．【答案】（1）证明：如下图，连接OD，∵AB AC =，OB OD =，∴B C ∠=∠，B ODB ∠=∠，∴ODB C ∠=∠，∴//OD AC ，∴ODE CFD ∠∠=，又∵DE AC ⊥，∴90CFD ∠= ，∴90ODE ∠= ，∴DE 是O 的切线．（2）解：∵AC=6，∴11322OD OB AB AC ====，在Rt ODE 中，34OD tanE ED ==，∴4ED =，5OE ==，∴532AE OE OB =-=-=，又∵90AEF OED AFE ODE ∠∠∠∠=== ，，∴AFE ODE ~ ，∴AE AF OE OD =，即2=53AF ，∴65AF =．4．【答案】（1）证明：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，又∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，又∵OA=OC ，∴△AOC 是正三角形，又∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°，又∵ED ⊥AB 于F ，∴∠DEC=90°﹣∠BAC=30°，∴∠DCE=∠DEC ，故△CDE 为等腰三角形（2）证明：在Rt △ABC 中，∵AB=4，AC=AO=2，∴BC ==，而)212CE =+-=，∴BC=CE ，又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，∴△OBC ≌△DCE （ASA ）5．【答案】（1）证明：如图1中，∵∠ADB ＝∠ACB ，∠ACB ＝90°﹣12∠BAD ，∴∠ADB ＝90°﹣12BAD ，∵∠ABD ＝180°﹣∠BAD ﹣（90°﹣12∠BAD ）＝90°﹣12∠BAD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD （2）证明：如图2中，连接BE 交AC 于L ，连接AO ，延长AO 交BD 于J ，交BE 于T ，连接CO ，延长CO 交⊙O 于K ，连接BK ．∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠ADE+∠ADC ＝180°，∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADE ＝∠ABC ＝∠AED ，∵AB ＝AD ，∴ AB AD ，∴∠ACB ＝∠ACE ，AJ ⊥BD ，∵AC ＝AC ，∴△ACB ≌△ACE （AAS ），∴CB ＝CE ，∵AB ＝AE ，∴AC ⊥BE ，∴∠ALB ＝∠AJB ＝90°，∵∠ATL ＝∠BTJ ，∴∠TAL ＝∠TBJ ，∵AB ＝AD ＝AE ，∴∠BED ＝12∠BAD ＝∠BAJ ，∵∠EDF ＝∠DBE+∠DEB ，∴∠EDF ＝∠BAC ，∵∠K ＝∠BAC ，∴∠K ＝∠EDF ，∵CG ⊥CE ．EG ⊥BF ，∴∠DFE ＝∠GCG ＝90°，∵∠DEF+∠EDF ＝90°，∠DEF+∠G ＝90°，∴∠G ＝∠EDF ＝∠K ，∵∠CBK ＝∠GCE ＝90°，∴△CBK ≌△ECG （AAS ），∴EG ＝CK ＝2r（3）解：如图3中，在图2的基础上作AH ⊥DE 于H ．∵DE ＝4CD ，∴可以假设CD ＝k ，DE ＝4k ，则CE ＝CB ＝CA ＝5k ，∵AE ＝AD ，AH ⊥DE ，∴DH ＝EH ＝2k ，CH ＝CD+DH ＝3k ，∴AH ＝4k =，AD ＝=∵S △ACD ＝12•CD•AH ＝12•k•4k ＝10，∴k ＝（负根舍弃），∴CD ＝，AC ＝BC ＝EC ＝5，AD ＝AB ＝10，设CK 交AB 于J ，OA ＝OC ＝r ，则BJ ＝AJ ＝5，CJ ＝10==在Rt △AOJ 中，则有r 2＝52+（10﹣r ）2，解得r ＝254，∴EG ＝2r ＝252，∴CG ＝552==∴DG ＝2=6．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵∠BCE=∠BAC ，∴∠BCE=∠BAC=∠OCA ，∵∠OCA+∠OCB=90︒，∴∠BCE +∠OCB=90︒，∴∠OCE=90︒，∴CE 是⊙O 的切线；（2）解：连接DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90︒，∵CD 平分∠ACB ，∴ AD DB=，∴AD DB =，∴△ADB 为等腰直角三角形，∴AB ==，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90︒，∴AC ==．7．【答案】（1）解：相切证明：连接OD ，OE∵点E 是AB 中点，点O 是BC 中点∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ∥AC∴∠1＝∠4，∠2＝∠3∵OC ＝OD ，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2∵OB ＝OD ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△ODE∴∠ODE ＝∠OBE ＝90o∴OD ⊥DE ，∴直线DF 与⊙O 相切.（2）解：设⊙O 半径为x ，则OD ＝x ，OF ＝8－x在Rt △FOD 中，222OD FD OF +=，∴2224(8)x x +=-，∴x ＝3∴⊙O 半径为3∵∠FBE ＝∠FDO ＝90°，∠F ＝∠F ，∴△FBE ∽△FDO ，∴BF BE DF OD =，∵BF ＝FC －BC ＝2，OD ＝3，DF ＝4，∴BE ＝32，∵点E 是AB 中点，∴AB ＝2BE ＝3在Rt △ABC 中，AC ＝＝8．【答案】（1）F 解：∵⊙O 的半径为1.∴⊙O 的“梦之点”坐标为2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和2222⎛ ⎝⎭，.又∵双曲线k y x=（k≠0）与直线y=x 的交点均为圆的“梦之点”，∴将2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线表达式中，得，1=2k xy =，∵点P 位于⊙O 内部.∴102k <<（2）解：－1≤t≤3（3）解：由“梦之点”定义可得：()11A x x ，，()22B x x ，.则21x ax ax =-+.整理得，()2110ax a x -++=，解得，11x =，21x a=.把两个根代入122x x -=中，即112a -=，解得，11a =-，213a =.当1a =-时，21y x x =-++，其顶点坐标为1524⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当13a =时，211133y x x =-+，其顶点坐标为111.212⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AC 为切线，C 为切点，∴∠ACO ＝90°，即∠DCO+∠2＝90°，又∵BD 是直径，∴∠BCD ＝90°，即∠DCO+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，∵AD ＝CD ，OB ＝OC ，∴∠A ＝∠2，∠B ＝∠1，∴∠A ＝∠B ，∴AC ＝BC ；（2）解：由题意可得△DCO 是等腰三角形，∵∠CDO ＝∠A+∠2，∠DOC ＝∠B+∠1，∴∠CDO ＝∠DOC ，即△DCO 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠1＝∠2＝30°，CD ＝AD ＝1，∴BC ＝＝＝，在Rt △BCD 中，作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BEC 中，∠B ＝30°，∴CE ＝1BC 2=，BE ＝32，∴S △ABC ＝1AB CE 2⋅＝1324⨯=.10．【答案】（1）证明：过O 作OH ⊥AB 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴OC ⊥BC ，∵BO 为△ABC 的角平分线，OH ⊥AB ，∴OH ＝OC ，即OH 为⊙O 的半径，∵OH ⊥AB ，∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为3x ，则OH ＝OD ＝OC ＝3x ，在Rt △AOH 中，∵tanA ＝34，∴OH AH ＝34，∴3x AH ＝34，∴AH ＝4x ，∴AO ＝22OH AH +＝22(3)(4)x x +＝5x ，∵AD ＝2，∴AO ＝OD+AD ＝3x+2，∴3x+2＝5x ，∴x ＝1，∴OA ＝3x+2＝5，OH ＝OD ＝OC ＝3x ＝3，∴AC ＝OA+OC ＝5+3＝8，在Rt △ABC 中，∵tanA ＝BC AC ，∴BC ＝AC•tanA ＝8×34＝6，∴OB ＝22OC BC +＝2236+＝35.11．【答案】（1）证明：连接OB∵AB 与O 相切于点B ，∴OB AB ⊥，∴90OBA ∠=︒∵//BD AC ，∴AOE D ∠=∠，AOB OBD ∠=∠∵OB OD =，∴D OBD ∠=∠，∴AOE AOB ∠=∠，∵OE OB =，OA OA =，∴()SAS AOE AOB ≌∴90OEA OBA ∠=∠=︒∴OE AE⊥又∵点E 在圆上，∴AE 是O 的切线.（2）解：过点O 作OH BD ⊥交BD 于点H .∵OH BD ⊥，O 为圆心，∴112DH BD ==，90OHD ∠=︒在Rt OHD 中，OH ==∵OHD AEO ∠=∠，D AOE ∠=∠，∴AOE ODH∽∴AE OH OE DH=∴2231OH OE AE DH ⨯===（3）12．【答案】（1）解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴D 是BC 的中点，又∠BEC 是直角，∴DE ＝12BC ＝3．（2）解：①如图，连接CE ，同理（1）可得DE ＝BD ＝DF ＝3，∴∠B ＝∠BED ＝∠ACB ，∴△BDE ∽△BAC ，∴36BE x =，∴BE ＝18x ，∴AE ＝x ﹣18x ，同理可得：AF ＝x ﹣18x，∴AE ＝AF ，∵AB ＝AC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF AE BC AB =，∴EF ＝6﹣2108x ，∴y ＝12﹣2108x ；②当y ＝19225时，x ＝5，如图，连接AD ，∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心O 在线段AD 上，连接BO ，设⊙O 的半径为r ，则32+（4﹣r ）2＝r 2，∴r ＝258，即⊙O 的半径为258．13．【答案】（1）证明：连接CD .AC 是直径，90ADC ∴∠=︒，90DAC ACD ∴∠+∠=︒，ABD ACD ∠=∠ ，DAF ABC ∠=∠，DAF ACD ∴∠=∠，90DAF DAC ∴∠+∠=︒，90FAC ∴∠=︒，AF ∴为O 的切线（2）证明：90FAE ∠=︒ ，DF DE =，AD DE DF ∴==，DAE AED ∴∠=∠，OA OD = ，DAO ADO ∴∠=∠，ADO AED ∴∠=∠，OAD DAE ∠=∠ ，ADO AED ∴ ∽，∴AD AO AE AD=，2AD AO AE∴=⋅（3）解：如图，过点B 作BJ EC ⊥于J .AC 是直径，90ABC ∴∠=︒，1sin 3BC BAC AC ∴∠==，∴可以假设BC a =，3AC a =，BJ AC ⊥ ，90AJB ∴∠=︒，90BAC ABJ ∴∠+∠=︒，90ABJ CBJ ∠+∠=︒，CBJ BAC ∴∠=∠，1sin sin 3CJ CBJ BAC BC ∴∠=∠==，13CJ a ∴=，223BJ ∴==，DA DE = ，DAE AED CEB ∴∠=∠=∠，DAE CBE ∠=∠ ，CEB CBE ∴∠=∠，CE CB a ∴==，1233EJ EC CJ a a a ∴=-=-=，2AE AC EC a =-=，//AF BJ ，∴AF AE BJ EJ=，∴222233a a =，a ∴=，AE ∴=，3EJ =，3BJ =，6EF ∴==，2BE ==，628BF EF BE ∴=+=+=14．【答案】（1）证明：∵BD 是直径，∴∠DAB=90°．∵FG ⊥AB ，∴DA ∥FO ．∴△FOE ∽△ADE ．∴FO OE AD DE=，即OF•DE=OE•AD ∵O 是BD 的中点，DA ∥OH ，∴AD=2OH∴OF•DE=OE•2OH（2）解：∵⊙O 的半径为12，且OE ：OF ：OD=2：3：6，∴OE=4，ED=8，OF=6代入（1）中OF•DE=OE•AD ，得AD=12．∴OH=12AD=6．在Rt △OHB 中，OB=2OH ，∴∠OBH=30°，∴∠BOH=60°．∴BH=BO•sin60°=122⨯=2OHB GOB 60121=S S =6183602S ππ⨯⨯∴--⨯⨯- 阴影扇形15．【答案】（1）证明：连接OB ，∵PB 是圆O 的切线∴∠OBP=90°∵∠BOP=90°-∠P=90°-30°=60°∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∵∠POB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB=60°∴∠OCB=30°=∠P∴PB=BC（2）解：过点A作AE⊥BD于点E ，∴∠AED=∠AEB=90°，∵AC是直径，∴∠ADC=90°在Rt△ADC中，tan∠DCA=634ADDC DC==，解之DC=8∴10 =在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AB=1110522AC=⨯=在Rt△ADE中，∠ADE=∠ACB=30°∴DE=6×cos30°=AEB=∠ADC，∠ABE=∠ACD∴△ABE∽△CAD∴AB BEAC DC=，即5108BE=解之：BE=4∴DB=DE+BE=16．【答案】（1）AE=18 5（2）解：当圆O与△BPE的BE边相切时，点E和点G重合，则AE⊥BE∴AE是圆O的直径∴m=111892255AE=⨯=；当圆O与△BPE的BP边相切时，切点为F，连接OF∴∠OFC=∠BEC=90°∵∠OCF=∠BCE∴△OFC∽△BCE∴OF OC BE BC=在Rt△ABC中，BE⊥AC∴AB·BC=AC·BE即6×8=10BE解之：BE=245∴102485m m-=解之：m=154;当圆O与△BPE的PE边相切时，交PE的延长线于点F，切点为F，连接OF∴∠OFE=∠BEC=90°∵∠OEF=∠CEP∵点P是Rt△BEC斜边上的中线∴CP=PE∴∠ECP=∠CEP∴∠OEF=∠ECP∴△OFC∽△CBE∴OF OEBE BC=∵圆O的半径为m∴OE=185-m，OF=m∴1852485mm-=解之：m=2720;答：当圆O与△BPE一边所在的直线相切时，95m=，154m=，2720m=（3）过点F作FM⊥AB，过点F作FN⊥BC于点N易证四边形BMFN是矩形∴FN=BM，∵BH=BF∴∠1=∠2,∵∠1=∠5，∠5+∠3=90°，∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∴AF平分∠CAB，FE⊥AC，FM⊥AB∴EF=FM在Rt△AEF和Rt△AMF中A=AA=A∴Rt△AEF≌Rt△AMF（HL）∴AE=AM=3.6∴BM=AB-AM=6-3.6=2.4即FN=2.4，∵FM∥BH∴△AFM∽△ABH∴MF AMBH AB=∴3.6365MFBH==，设MF=3x，则BH=BF=5x，在Rt△BMF 中，4x=4x=2.4解之：x=0.6∴BH=5×0.6=3∴S△BFH=11121832255BH FN⋅=⨯⨯=；；1255 17．【答案】（1）解：连接OB，如图，∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠OBC=30°，在Rt△OBC中，cosBC OBCOB∠=，即1 cos30OB︒=，解得233 OB=，即⊙O 的半径为23 3（2）解：连接OP，设AB与QP交于点M，∵点P为 AB的中点，∴OP⊥AB，∴∠QPO+∠PMB=90°，∵PQ⊥AC，∴∠A+∠AMQ=90°，又∵∠AMQ=∠PMB，∴∠QPO=∠A=30°，在Rt△OPQ中，sinOQ QPOOP∠=，即sin30233︒=，∴2313323 OQ==（3）解：在Rt△OBC中，∵3OB =，∠OBC=30°，∠ACB=90°∴3sin 30°=3OC OB =⨯，∴233CQ CO OQ =+=，∴tan 2PQ PCA CQ ∠==18．【答案】（1）解：如图，作DF BN ⊥交BC 于F ；AM BN 、与O 切于点A B、AB AM AB BN ∴⊥⊥，．又DF BN ⊥ ，∴BAD ABC BFD ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFD 是矩形，12BF AD x DF AB ∴====，，BC y = ，FC BC BF y x ∴=-=-；DE 切O 于E ，DE DA x CE CB y ∴====，，则DC DE CE x y =+=+，在Rt DFC ∆中，222CD FC DF =+，即222()()12x y y x +=-+，整理为：36y x =，y ∴与x 的函数关系式是36y x=．（2）解：由（1）知36xy =，∵x y ，是方程22300t t m -+=的两个根，∴根据韦达定理知，2m xy =，即72m =；∴原方程为215360t t -+=，解得：12123t t ==，．即=3=12或123x y =⎧⎨=⎩．（3）解：如图，连接OD OE OC ，，，AD BC CD ，，是O 的切线，OE CD AD DE BC CE ∴⊥==，，，AOD ODE OBC COE S S S S ∆∆∆∆∴==，，111==(312)1245222COD COE ODE ABCD S S S S ∆∆∆∴=+⨯⨯+⨯=梯形19．【答案】（1）（2）解：∵∠ABC=120︒,四边形ABCD 内接于O ，∴∠ADC=60︒，∵O 的半径为6，∴由（1）得AC=,如图，连接AC ，作DH ⊥AC,BM ⊥AC,∴四边形ABCD 的面积=111()222AC DH AC BM AC DH BM ⋅⋅+⋅⋅=⋅+,当DH+BM 最大时，四边形ABCD 的面积最大，连接BD ，则BD 是O 的直径，∴BD=2OA=12，BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 的面积=111222AC BD ⋅⋅=⨯=.∴四边形ABCD 的面积最大值是（3）解：存在；∵AD BM =1=千米，2AM BC ==千米，60A B ∠=∠=︒，∴△ADM ≌△BMC,∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,∵∠BCM+∠BMC=180︒-∠B=120︒，∴∠AMD+∠BMC=120︒，∴∠DMC=60︒，∴△CDM 是等边三角形，∴C 、D 、M 三点共圆，∵点P 在弧CD 上,∴C 、D 、M 、P 四点共圆，∴∠DPC=180︒-∠DMC=120︒，∵CD 弧的半径为1千米，∠DMC=60︒，∴CD=,∵2()0PD PC -≥,∴2()4PD PC PD PC +≥⋅,∴PD PC +≥,∴当PD=PC 时，PD+PC 最大，此时点P 在弧CD 的中点，交DC 于H ,在Rt △DPH 中，∠DHP=90︒,∠DPH=60︒，DH=12DC=32,∴1sin 60DH DP == ，∴四边形DMCP的周长最大值=DM+CM+DP+CP=2+.20．【答案】（1）；3的特征值为4的点，（2）解：设点G是O∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条， 经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，=+分别与x，y轴交于点A、B，直线y x b()0，，B b∴-，，()A b∴==，OA OB bOBH∴∠=︒，45b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，当0设切点为为H，连接OH，则OH=，∴==OB，∴=b，设以O为半径的圆与y轴正半轴的交点记为1B，OB=，则1当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=21．【答案】（1）证明：连接OC ，如图，.∵CE 为切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°∵DO ⊥AB ，∴∠3+∠B=90°，而∠2=∠3，∴∠2+∠B=90°，而OB=OC ，∴∠4=∠B ，∴∠1=∠2，∴CE=FE（2）30°；22.5°22．【答案】（1）证明：∵PE AD ⊥，PF DC ⊥，∴90PED PFD ∠∠==︒，∴90ADC PED PFD ∠∠∠===︒，∴四边形DEPF 是矩形，∵90ADC ∠=︒，∴AC 是圆O 的直径，∴90ABC ∠=︒，∵AB BC =，∴45ACB BCA ∠=∠=︒， AB BC=，∴45ADB CDB ∠=∠=︒，∴45DPE ADB ∠∠==︒，∴PE DE =.∴四边形CEPF 是正方形；（2）解：∵ 2AD CD=，AC 是圆O 的直径，∴ AD 的度数为120︒， AD 的度数为60︒，∴30DAC ∠=︒，60DCA ∠=︒，∴12PE sin DAC AP ∠==，3602PF sin DCA sin PC ∠=︒==，∴2AP PE =，233PC PF =，∵2428AC AP PC r =+==⨯=，正方形DEPF 中，PE PF =，∴23283PF PF +=，∴2PF =.（3）解：在ED 上取点G ，使EG CF =，连接PG ，由（1）得：PE PF =，90GEP PFC ∠∠==︒，∴GPE CPF ≌，∴PG PC x ==，GPE FPC ∠∠=，CEP PFC S S = ，∴阴影部分的面积等于APG ABC S S + ，∵90EPF ∠=︒，∴90APE CPF ∠∠+=︒，∴90GPE APE ∠∠+=︒，即90APG ∠=︒，∵8AC =，∴8AP x =-，∴()11822APG S AP PG x x =⋅=- ，∵ABC 是等腰直角三角形，8AC =，∴AB BC ==，∴2111622ABC S AB ==⨯= ，即阴影部分的面积()()21181642422y x x x =-+=--+，∴当4x =时，y 有最大值，最大值为24.。
中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析附详细答案
中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析附详细答案一、圆的综合1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，2而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3）；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．2．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3 8.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»AD AC=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AHHC=34，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣33HC=43∴222(33)(43)r r-+=，∴r 253，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HCEM OE=，∴3343253EM=，∴EM=2538．点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．4．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．求证：AD+BC=AB+CD．证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．故答案为：B ，D ；②∵圆外切四边形ABCD ，∴AB +CD =AD +BC ．∵AB =12，CD =8，∴AD +BC =12+8=20，∴四边形的周长是AB +CD +AD +BC =20+20=40． 故答案为：40；③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x ，4x ，7x ，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x +7x ﹣4x =8x ．∵圆外切四边形的周长为48cm ，∴4x +5x +7x +8x =24x =48，∴x =2，∴此四边形的四边为4x =8cm ，5x =10cm ，7x =14cm ，8x =16cm ．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．5．如图，AB 为O e 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠．()1DE 是O e 的切线吗？请说明理由； ()2求证：2AC CD BE =⋅．【答案】（1）结论：DE 是O e 的切线，理由见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE V V ∽即可解决问题. 【详解】()1解：结论：DE 是O e 的切线．理由：连接OD ．∠=∠Q，CDB ADE∴∠=∠，ADC EDBQ，//CD AB∴∠=∠，CDA DABQ，OA OD=∴∠=∠，OAD ODA∴∠=∠，ADO EDBQ是直径，AB∴∠=o，ADB90∴∠=∠=o，90ADB ODE∴⊥，DE ODe的切线．DE∴是O()2//Q，CD AB∴∠=∠，CDB DBE∠=∠，ADC DABn n，∴=AC BD∴=，AC BDDCB DABQ，EDB DAB∠=∠∠=∠，∴∠=∠，EDB DCB∴V∽DBECDBV，CD DB∴=，BD BE2∴=⋅，BD CD BE2AC CD BE∴=⋅．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.6．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。
备战中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类附答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD﹣DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB22AC BC．∵D、E分别为AB和BC的中点，∴DE=12AC=4，AD=12AB=5，∴点P在AD上的运动时间=55=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．∵DE段运动速度为1c m/s，∴DP=（t﹣1）cm．故答案为t ﹣1．（2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，∴3＞t ﹣1，t ＜4，DP ＞0，∴t ﹣1＞0，解得：t ＞1，∴1＜t ＜4．∵△DFN ∽△ABC ，∴DN FN =AC BC =86=43． ∵DN =PN ﹣PD ，∴DN =3﹣（t ﹣1）=4﹣t ， ∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．由（1）可知，DP=（t﹣1）cm，则PE=CQ=（5﹣t）cm，MQ=3cm，∴MC=MQ+CQ=5﹣t+3=（8﹣t）cm，∴1+0.2t=8﹣t，解得：t=356s．∵P到E点停止，∴t﹣1≤4，即t≤5，∴t=356s（舍）．综上所述：当t=103s时，⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切．点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．2．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22（），∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．3．矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．（1）当t=0时，点F的坐标为；（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标；（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论； （3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论；（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°，∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t =，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．4．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O 于点M，连接MD，ME．求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．详解：证明：（1）连接OC，∵HC=HG，∴∠HCG=∠HGC；∵HC切⊙O于C点，∴∠OCB+∠HCG=90°；∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠HGC=∠BGF，∴∠OBC+∠BGF=90°，∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；（2）连接BE，由（1）知DE⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴，∴∠BED=∠BME；∵四边形BMDE内接于⊙O，∴∠HMD=∠BED，∴∠HMD=∠BME；∵∠BME是△HEM的外角，∴∠BME=∠MHE+∠MEH，∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．5．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的长为；（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．【答案】（1）4；（2）35；（3）点E的坐标为（1，2）、（53，103）、（4，2）．【解析】分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，∴tan∠BAH=BHHA=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．故答案为4．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．由（1）得：OH =2，BH =4．∵OC 与⊙M 相切于N ，∴MN ⊥OC ．设圆的半径为r ，则MN =MB =MD =r ．∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =12（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ．∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ．∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =12BD =2，∴OF =4，∴OG同理可得：OB AB ，∴BG =12AB ．设OR =x ，则RG x ．∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，∴（2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．解得：x =5，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2﹣（5）2=365，∴BR =5．在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB35． 故答案为35． （3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ． 则有2t =2．解得：t =1．则OP =CD =DB =1．∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴DE OC =BD BC =12，∴DE =2，∴EP =2， ∴点E 的坐标为（1，2）．②当∠BED =90°时，如图3．∵∠DBE =OBC ，∠DEB =∠BCO =90°，∴△DBE ∽△OBC ，∴BEBC =2DB BE OB ∴，∴BE =5t ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP =∠BOC ．∵∠OPE =∠BCO =90°，∴△OPE ∽△BCO ，∴OEOB =25OPBC∴，=2t，∴OE=5t．∵OE+BE=OB=255，∴t+5t=25．解得：t=53，∴OP=53，OE=55，∴PE=22OE OP-=103，∴点E的坐标为（51033，）．③当∠DBE=90°时，如图4．此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．则有OD=PE，EA=22PE PA+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．在Rt△DBE中，cos∠BED=BEDE=2，∴DE=2BE，∴t=22（t﹣22）=2t﹣4．解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（51033，）、（4，2）．点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．2．已知▱ABCD的周长为26，∠ABC=120°，BD为一条对角线，⊙O内切于△ABD，E，F，G 为切点，已知⊙O的半径为3．求▱ABCD的面积．【答案】203【解析】【分析】首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.【详解】设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F；平行四边形ABCD的面积为S；则S=2S△ABD=2×12(AB·OE+BD·OF+AD·OG)=3（AB+AD+BD）；∵平行四边形ABCD的周长为26，∴AB+AD=13，∴S=3(13+BD)；连接OA；由题意得：∠OAE=30°，∴AG=AE=3；同理可证DF=DG，BF=BE；∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7，即BD=7，∴S=3（13+7）=203．即平行四边形ABCD的面积为203．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求CE的长；（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．【答案】（1）证明见解析（2）33）4π【解析】【分析】（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=12BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.【详解】（1）如图1，连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE为⊙O的切线；（2）如图2，连接BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴BF∥DE，∵CD=BD，∴DE=12BF，CE=EF，∵∠A=30°，AB=16，∴BF=8，∴DE=4，∵DE为⊙O的切线，∴ED2=EF•AE，∴42=CE•（16﹣CE），∴CE=8﹣（3）如图3，连接OG，连接AD，∵BG∥DF，∴∠CBG=∠CDF=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠OBG=75°﹣30°=45°，∵OG=OB ，∴∠OGB=∠OBG=45°，∴∠BOG=90°，∴BG 的长度=908180π⨯⨯=4π．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.4．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin ∠ABE=33，CD=2，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 3 【解析】 分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ．∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ．又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ，∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=， ∴23DC BD sin CBD ∠==， 在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AE AE BC AB ，，=∴=∴=， 由勾股定理求得6BE =．在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2． 设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=-（）（），∴r =32， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AE AE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为32．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．5．如图，O 是△ABC 的内心，BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于D ，连结DC 、DA 、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA．（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）433π-.【解析】分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O 为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=3BH=3，OB=2OH=23，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.详解:（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠6，∴△BOC≌△CDA（AAS）(2)由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形∴O 是△ABC 的内心也是外心∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC .在Rt △OCE 中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30°， ∴OA=OB=OC=233∵∠AOC=120°，∴=AOB AOB S S S-阴影扇 =21202313()23602π-⨯⨯ =4339π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.6．如图，△ABC 中，∠A=45°，D 是AC 边上一点，⊙O 经过D 、A 、B 三点，OD ∥BC ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE 的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB ，求出∠DOB 度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长BO 交⊙O 于点F ，连接AF ，求出∠ABF ，解直角三角形求出BE ．详解：（1）证明：连接OB ．∵∠A=45°，∴∠DOB=90°．∵OD ∥BC ，∴∠DOB+∠CBO=180°．∴∠CBO=90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，∴∠ODB=45°，BD=OD=15，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴BD2=BE•BA，∴（15）2=（7+BE）BE，∴BE=18或﹣25（舍弃），∴BE=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．7．解决问题：()1如图①，半径为4的O外有一点P，且7PO=，点A在O上，则PA的最大值和最小值分别是______和______．()2如图②，扇形AOB的半径为4，45∠=，P为弧AB上一点，分别在OA边找AOB点E，在OB边上找一点F，使得PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出PEF周长的最小值；拓展应用()3如图③，正方形ABCD的边长为42；E是CD上一点(不与D、C重合)，=，M、N分别是AB、AC上动点，求PMN周长CF BE⊥于F，P在BE上，且PF CF的最小值．【答案】（1）11，3；（2）图见解析，PEF周长最小值为423）41042．【解析】【分析】()1根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求，此时PEF 周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；()3类似()2题作对称点，PMN 周长最小12PP =，然后由三角形相似和勾股定理求解． 【详解】解：()1如图①，圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP 上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离． PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=，PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=，故答案为11和3；()2如图②，以O 为圆心，OA 为半径，画弧AB 和弧BD ，作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求．连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ，由对称知识可知，1AOP AOP ∠∠=，2BOP BOP ∠∠=，1PE PE =，2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==，12454590POP ∠=+=，12POP ∴为等腰直角三角形，121PP ∴==PEF 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=，此时PEF 周长最小．故答案为；()3作点P 关于直线AB 的对称1P ，连接1AP 、1BP ，作点P 关于直线AC 的对称2P ， 连接1P 、2P ，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．如图③由对称知识可知，1PM PM =，2PN P N =，PMN 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=，此时，PMN 周长最小12PP =．由对称性可知，1BAP BAP ∠∠=，2EAP EAP ∠∠=，12APAP AP ==， ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC ∠∠∠∠∠+=+==12454590P AP ∠=+=，12P AP ∴为等腰直角三角形，PMN ∴周长最小值122PP AP =，当AP 最短时，周长最小． 连接DF ． CF BE ⊥，且PF CF =， 45PCF ∠∴=，2PC CF= 45ACD ∠=，PCF ACD ∠∠∴=，PCA FCD ∠∠=，又2AC CD=， ∴在APC 与DFC 中，AC PC CD CF=，PCA FCD ∠∠= C AP ∴∽DFC ，2AP AC DF CD∴==， ∴2AP DF =90BFC ∠=，取AB 中点O ．∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短． 2222(22)(42)2221022DF DO FO OC CD OC =-=+-=+-=-， AP ∴最小值为2AP DF =∴此时，PMN 周长最小值()12222222102241042PP AP DF ==⋅=⋅-=-．【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．8．如图, Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r＝12(a+b-c).(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;(3)若r=310, PD＝18, PC=272. 求△ABC各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH 中点O ，连接OD∵FH ∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB 与圆相切于点F ，∴FH 为圆的直径，即O 为圆心∵FH ∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10 ∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan∠ADB=ABBD=tan∠MOD=3∴AB=3BD=3r=910∴AE=AF=AB-BF=910−310＝610设CE=CD=x，则BC=310+x，AC=610+x∵AB2+BC2=AC2∴(910)2．+(310+x)2＝(610+x)2解得：x=910∴BC=1210，AC=1510∴△ABC各边长AB=910，AC=1510，BC=1210【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．9．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）52 BE【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF ＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝AD＝10，CD= CF+DF=4，再证明△ABE ∽△CDA ，得出BE AB DA CD=，即可求出BE 的长度； 试题解析： （1）证明：连结OA ，OB ，∵∠ACB =45°，∴∠AOB =2∠ACB = 90°，∵OA=OB ，∴∠OAB =∠OBA =45°，∵∠BAE =45°，∴∠OAE =∠OAB +∠BAE =90°，∴OA ⊥AE ．∵点A 在⊙O 上，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：过点A 作AF ⊥CD 于点F ，则∠AFC =∠AFD =90°．∵AB=AD ，∴AB =AD∴∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中，∵AC =∠ACF =45°，∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，∴AB AD ==且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ， ∴BE AB DA CD =，∴=∴52BE =．10．已知AB ，CD 都是O 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=，D E 90∠∠∴+=，2D 2E 180∠∠∴+=，AOD COB ∠∠=，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===，∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =，A AOD ∠∠∴=，在AOR 和ODG 中，A AOD ∠∠=，ARO OGD 90∠∠==，OA DO =，AOR ∴≌ODG ，OR DG ∴=，DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===，AF//OC//BT ∴，OA OB =，CT CF 3m ∴==，ET m ∴=， CD 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===，E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=，tan E tan CBT ∠∠∴=，BT CT ET BT∴=， BT 3m m BT∴=，BT ∴=负根已经舍弃)，tan E ∠∴== E 60∠∴=，CWD HDE H ∠∠∠=+，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==，MON 2HCN 60∠∠∴==，OM ON =，OMN ∴是等边三角形，MN ON ∴=，QM OB OM ==，MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=， PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN 中，CN 48==，在Rt CHN 中，CN 48tan H HN HN∠===HN ∴=在Rt KNH 中，1KH HN 2==NK 24==，在Rt NMK 中，MK 7===，HM HK MK 7∴=+=．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.。
中考数学复习专题讲：动点型问题(含答案)
中考数学复习专题讲座：动点型问题（建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1 （2012•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP 长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，∵正方形ABCD的边长为a，∴BD=a，则当0≤x＜a时，y=x，当a≤x＜（1+）a时，y=，当a（1+）≤x＜a（2+）时，y=，当a（2+）≤x≤a（2+2）时，y=a（2+2）﹣x，结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，根据当a≤x＜（1+）a时，函数图象被P在BD中点时，分为对称的两部分，故B选项错误，再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，故只有D符合要求，故选：D．点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．对应训练1．（2012•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2 （2012•攀枝花）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．思路分析： 首先根据点D 的坐标求得点A 的坐标，从而求得线段OA 和线段OC 的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF 的面积的变化情况． 解：∵D （5，4），AD=2． ∴OC=5，CD=4 OA=5 ∴运动x 秒（x ＜5）时，OE=OF=x ， 作EH ⊥OC 于H ，AG ⊥OC 于点G ， ∴EH ∥AG ∴△EHO ∽△AGO即：∴EH=x∴S △EOF =OF •EH=×x ×x=x 2，故A 、B 选项错误；当点F 运动到点C 时，点E 运动到点A ，此时点F 停止运动，点E 在AD 上运动，△EOF 的面积不变，点在DC 上运动时，如右图， EF=11﹣x ，OC=5∴S △EOF =OC •CE=×（11﹣x ）×5=﹣x+是一次函数，故C 正确，故选C ．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象．对应训练2．（2012•贵港）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3 （2012•桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；（2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到y与x之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°∴AD=BD=DC （2分）∵AE=CF∴△AED≌△CFD（2）解：依题意有：FC=AE=x，∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9∴∴；（3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°∴∠DAF=∠DBE=135°∴△ADF≌△BDE∴S△ADF=S△BDE∴S△EDF=S△EAF+S△ADB=∴．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．对应训练3．（2012•桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点二：动态几何型压轴题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．3、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．4、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？5、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M经过的弧长(结果保留π)．6、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．8、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．9、如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交⊙O 于C 、D 两点，直径AB ⊥CD ，点M 是直线CD 上异于点C 、O 、D 的一个动点，AM 所在的直线交于⊙O 于点N ，点P 是直线CD 上另一点，且PM=PN ．（1）当点M 在⊙O 内部，如图一，试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程； （2）当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．10、如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 为OC 上动点，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）点M 在OC 上移动时（点M 不与O 、C 点重合），探究△ACM 与△DCN 之间关系，并证明 （3）若点M 移动到CO 的中点时，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．11、如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．(1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC时，求弦ED的长．12、如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1A=时，求AP的长；tan2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Qtan3相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3答案：1、解：（1）连接AC ，如图所示：∵AB=4，∴OA=OB=OC=12AB=2。
又∵AC=2，∴AC=OA=OC。
∴△ACO 为等边三角形。
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°， ∴∠APC=12∠AOC=30°。
又DC 与圆O 相切于点C ，∴OC⊥DC。
∴∠DCO=90°。
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
（2）连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。
当点P 移动到弧CB 的中点时，∠COP=∠POB=60°。
∴△COP 和△BOP 都为等边三角形。
∴AC=CP=OA=OP。
∴四边形AOPC 为菱形。
（3）当点P 与B 重合时，△ABC 与△APC 重合，显然△ABC≌△APC。
当点P 继续运动到CP 经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为： ∵CP 与AB 都为圆O 的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt△ABC 与Rt△CPA 中，AB=CP ，AC=AC ∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL ）。
综上所述，当点P 与B 重合时和点P 运动到CP 经过圆心时，△ABC≌△CPA。
2、解：（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。
∵PD⊥CD，∴∠D=90°。
∴∠D=∠ACB。
∵∠A 与∠P 是BC 所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。
（2）当PC 是⊙O 的直径时，△PCD≌△ABC。
理由如下：∵AB，PC 是⊙O 的半径，∴AB=PC。
∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。
画图如下：11y DF OE 0x 22<=⋅=（3）∵∠ACB=90°，AC=12AB ，∴∠ABC=30°。
∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。
∵CP⊥AB，AB 是⊙O 的直径，∴AC AP =。
∴∠ACP=∠ABC=30°。
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。
3、解：（1）∵点O 是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=12BC=12。
又∵OB=2，∴==。
（2）存在，DE 是不变的。
如图，连接AB，则= ∵D 和E是中点，∴DE=12。
（3）∵BD=x，∴OD =。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。
过D 作DF⊥OE，垂足为点F。
由△BOD∽△EDF，得BD OD=EF DF，即x EF ，解得。
∴。
4、解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，且菱形ABCD 的边长为2，∴AB=BC=2，∠BAC=12∠DAB。
又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。
如图1，连接BD 交AC 于O 。
∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OA=12AC 。
∴OB=12AB=1运动ts 后，t ，AO=t ，∴AP AC=AQ AB=。
又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB. ∴PQ∥BC.（2）如图2，⊙P 与BC 切于点M ，连接PM ，则PM⊥BC。
在Rt△CPM 中，∵∠PCM=30°，∴PM=12。
由PM=PQ=AQ=t t =t ，解得t=6-， 此时⊙P 与边BC 有一个公共点。
如图3，⊙P 过点B ，此时PQ=PB ，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB 为等边三角形。
∴QB=PQ=AQ=t。
∴t=1。
∴当6t 1<≤时，⊙P 与边BC 有2个公共点。
如图4，⊙P 过点C ，此时PC=PQ ，即- =t∴t=3。
∴当1≤t≤3-时，⊙P 与边BC 有一个公共点。
当点P 运动到点C ，即t=2时，Q 、B 重合，⊙P 过点B ， 此时，⊙P 与边BC 有一个公共点。
综上所述，当t=6或1≤t≤3或t=2时，⊙P 与菱形ABCD的边BC 有1个公共点；当6t 1<-≤时，⊙P 与边BC 有2个公共点。
5、解：（1）证明：连接DE ，过点D 作DN ⊥BC ，垂足为点N 。
∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC 。
∵⊙D 与边AB 相切于点E ，∴DE ⊥AB 。
∴DN=DE 。
∴⊙D 与边BC 也相切。
（2）∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝23，∴AD ＝AB ＝23。
又∵∠A ＝60º，∴DE ＝ADsin600＝3，即⊙D 的半径是3。
又∵∠HDF ＝12∠HADC ＝60º，DH ＝DF ，∴△HDF 是等边三角形。
过点H 作HG ⊥DF ，垂足为点G ，则HG ＝3sin600∴2HDF HDF 16033S 3S 23602ππ∆⨯⨯=⨯===扇形。
∴HDF HDF 3S S S 2π∆=-==扇形影阴 （3）假设点M 运动到点M 1时，满足S △HDF ＝3S △MDF ，过点M 1作M 1P ⊥DF ，垂足为点P113M P 2=⋅⋅，解得3M P=2'。