初三圆中动点问题

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(完整版)九年级数学动圆问题

动圆问题圆心动，半径不变1．如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第_______秒．2（北海）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了（）周，圆心O 所经路线的路程是_______ 。

3 如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上， ∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？4、. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 ( ) A. 3次 B. 5次C. 6次D. 7次圆心动，半径变1、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ．（1）当P 异于A ．C 时，请说明PQ∥BC；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？分析如图：ABCO第22题图xy A BPC DA BCOD2. 如图9，已知直线l 的解析式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n l ∥，直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C 、D 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S =梯形？若存在，求出t 值，若不存在，说明理由．动圆与定圆相切【解题技巧】当两圆相切时，把握d=R ＋r 与d=R －r 是解决问题的关键。

九年级重难点：圆中动点求最值专训

圆中动点求最值专训一．选择题（共24小题）1．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．B．2 C． D．2．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A．1 B．C．D．3．如图，已知⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H，⊙O′分别切⊙O、AB、CD于点E、F、G，则当⊙O′的半径取得最大值时，边BC的长度是（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．24．如图，∠MAN=45°，B、C为AN上的两点，且AB=BC=2，D为射线AN上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，则sin∠BDC的最大值为（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（）A．1 B．﹣1 C．﹣1 D．6．如图，△ABC内接于⊙O，过BC的中点D作直线l∥AC，l与AB交于点E，与⊙O交于点G、F，与⊙O在点A处的切线交于点P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长度为（）A．B．C．D．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是（）A．3 B．4 C．4.8 D．58．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4 B．C．D．29．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2D．10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ﹣tanθ的值（）A．B．1 C．D．11．如图，以G（0，1）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F经过的路径长为（）A．B．C．D．12．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C 随点A运动所形成的图形的面积为（）A．B．27πC．D．π13．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（）A．4cm B．2cm C．cm D．1cm14．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（）A．12πB．8πC．6πD．4π15．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．πC．2D．216．如图，直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．617．如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，则圆心到弦CD的距离为（）A．B．C．D．18．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD 边于点F，则=（）A．B．C．D．19．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD ⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3=0的根，则AB的长等于（）A． B．C．8 D．520．如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC﹣BC=AI；③AD=（IM+BC）；④S△BIC：S△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（）A．①②④ B．①②C．①②③ D．③④21．如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（）A．①③④ B．①②③ C．①②③④D．①②④22．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP=6．若点F是OP的中点，则CF的长是（）A．6 B． C． D．23．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G 是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）A．B．C．2D．24．如图，直线l与半径为3的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA，设PA=m，PB=n，则m﹣n的最大值是（）A．3 B．2 C．D．圆中动点求最值专训参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．B．2 C． D．【解答】解：如图：连接OM，OB，OA，BD．则在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=，∴OM=1．∵OB=2，∴∠OBM=30°．∴∠MOB=60°．连接OA．则∠AOB=120°．∴∠C=∠AOB=60°．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°，∴∠CBD=30°，∴CD=BC，∴当BC取最大值时，CD最大．如图2，当BC是直径时，BC最大，此时点A、D重合．即BC=4．∴CD最大=2．故选B．2．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：过点B作BD⊥直线AP，垂足为D，过点C作CE⊥直线AP，垂足为E，连接QC，如图，则有BD∥CE．∵AP∥BC，∠BDE=90°，∴四边形BCED是矩形，∴∠DBC=∠ECB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBA=∠ECA=30°，∴AD=1，AE=1，∴BD=，CE=．设AP=x，则DP=x+1，EP=．在Rt△BDP中，BP2=BD2+DP2=3+（x+1）2=x2+2x+4．在Rt△CEP中，CP2=CE2+EP2=3+（x﹣1）2=x2﹣2x+4．∵AM∥BC，∴∠APB=∠CBP．∵∠APB=∠ACQ，∴∠ACQ=∠CBP．∵∠QAC=∠CPB，∴△AQC∽△PCB，∴=，∴AQ=2×，∴AQ2=4×=4×=4×（1﹣）=4×（1﹣）=4﹣，当=0即x=2时，AQ2取到最小值为，此时AQ=．故选D．3．如图，已知⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H，⊙O′分别切⊙O、AB、CD于点E、F、G，则当⊙O′的半径取得最大值时，边BC的长度是（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【解答】解：设⊙O′的半径为r，BC=x，∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，又AB⊥CD，∴BC2=BH•BA=6（BF﹣FH）=6（BF﹣r），如图，连接O′F，OO′，∵AB为⊙O′的切线，∴△OO′F为直角三角形，∴O′O2﹣O′F2=OF2，∴（3﹣r）2﹣r2=（BF﹣3）2，∴BF2=6（BF﹣r），∴BC=BF，∴BC2=6（BC﹣r），即x2=6（x﹣r），∴r=﹣x2+x=﹣（x﹣3）2+，∴当x=3时，⊙O′的半径取得最大值，即BC的长为3，故选B．4．如图，∠MAN=45°，B、C为AN上的两点，且AB=BC=2，D为射线AN上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，则sin∠BDC的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：当⊙O与AM相切于D时，∠BDC最大，此时sin∠BDC的最大，如图，作BH⊥AD于H，∵∠A=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠ADB=45°，AH=AB=，∵AD为⊙O的切线，∴AD2=AB•AC=2（2+2）=8，∴AD=2，∴DH=AH=，∴BH为△ACD的中位线，∴BH∥CD，∴CD⊥AM，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=45°，∴sin∠BDC=．故选C．5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（）A．1 B．﹣1 C．﹣1 D．【解答】解：连接AC交于点O，设EC与⊙O相切于点N，连接ON，∵O为正方形ABCD的中心，∴∠DCO=∠BCO，又∵CF与CE都为圆O的切线，∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，∴∠DCO﹣∠FCO=∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF=∠BCE，又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，∴∠BCE=∠ECF，∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=∠BCD=30°，∴∠OCN=15°，∵BC=AB=4，∴CO=AC=2，∵sin∠OCN=sin15°==，∴=，即ON=×2===﹣1，故选：C．6．如图，△ABC内接于⊙O，过BC的中点D作直线l∥AC，l与AB交于点E，与⊙O交于点G、F，与⊙O在点A处的切线交于点P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点D为BC的中点，DE∥AC，∴DE为△ABC的中位线，∴AE=BE，∵PE=EF=3，∴四边形PBFA是平行四边形，∴PA=BF，PB∥AF，∴∠BPF=∠AFP，∵PF∥AC，∴∠AFP=∠FAC，∴BPF=∠FAC，又∵∠FBC=∠FAC，∴∠FBC=∠BPF，∵∠DFB=∠BFP，∴△BFD∽△PFB，∴，即=∴BF=，∴PA=BF=．故选C．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【解答】解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，∵AE=5，EC=3，∴AC=AE+CE=8，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=AC=4，AC⊥BD，∴OE=OC﹣CE=4﹣3=1，∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线，∵DN是⊙M的切线，∴EN=OE=1，MN⊥AN，∴∠DNM=∠DOE=90°，∵∠MDN=∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN=DE：OE，∵MN=BM=OM=OB，∴DM=OD+OM=3MN，∴DE=3OE=3，∵OE∥BP，∴OD：OB=DE：EP，∵OD=OB，∴DE=EP=3，∴BP=2OE=2，∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF=EC：BP=3：2，∴EF：EP=3：5，∴EF=EP×=1.8，∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．故选C．8．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4 B．C．D．2【解答】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB，∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=．故选：B．9．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B==5，∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5﹣3﹣1=5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选A．10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ﹣tanθ的值（）A．B．1 C．D．【解答】解：设⊙O的半径为1，则BD=2．连结PD，则∠BPD=90°．在Rt△BPD中，PB=BD•cosθ=2cosθ．在Rt△BON中，BN==，在Rt△BMN中，MN=BN•tanθ=，在Rt△PMN中，∵∠MPN=∠APB=∠ADB=45°，∴PN=MN=．∵BN+PN=PB，∴+=2cosθ，∴1+tanθ=2cos2θ，∴2cos2θ﹣tanθ=1．故选B．11．如图，以G（0，1）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F经过的路径长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，∵G（0，1），即OG=1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO==，∴AB=2AO=2，又∵CO=CG+GO=2+1=3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC==2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∴度数为60°，∵直径AC=2，∴的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长．故选B．12．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C 随点A运动所形成的图形的面积为（）A．B．27πC．D．π【解答】解：如图所示，点C随A运动所形成的图形为圆，可得OC=OA，OC′=OA′，∴CC′=OC′﹣OC=（OA′﹣OA）=AA′=6，∴点C随点A运动所形成的圆的面积为π×（3）2=27π，故选B．13．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（）A．4cm B．2cm C．cm D．1cm【解答】解：如图，取AB、CD中点K、G，连接KG、BD交于点O．由题意可知点Q运动的路线就是线段OG，∵DO=OB，DG=GC，∴OG=BC=×4=2．∴点Q移动路线长度的最大值是2．故选B．14．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（）A．12πB．8πC．6πD．4π【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，△ADE绕点A旋转一周，点P的运动轨迹是，当AD⊥BD时，∵AB=2AD，∴∠ABD=30°，∵∠ABC=45°，∴∠OBP=15°，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP=15°∴∠POC=∠OPB+∠OBP=30°，当AE′⊥CE′时，同理可得∠BOP′=30°，∴∠POP′=120°，∵AC=AB=6，∠BAC=90°，∴BC=AB=12，∴OP=6，∴==4π，故选D．15．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．πC．2D．2【解答】解：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∴AB=BC=4，∴OC=AB=2，OP=AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•2π•1=π．故选B．16．如图，直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，则k的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：∵直线y=2x与双曲线（x＞0）交于点A，将直线y=2x向右平移3个单位后，∴y=2（x﹣3）=2x﹣6，∵与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C．若，∴AD=2BE，∴假设B点的横坐标为3+x，∴B点的纵坐标为：y=2（x+3）﹣6=2x，∴BE=2x，AD=4x，∵y=2x，∴OD=AD=2x，∴A点的纵坐标为：4x，根据A，B都在反比例函数图象上得出：∴2x×4x=（3+x）×2x，x=1，∴k的值为：2×1×4×1=8，故选：C．17．如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，则圆心到弦CD的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：作OF⊥CD，垂足为F，∵两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，∴AE=BE=4，AE×BE=CE×DE，假设CE=4x，DE=9x，∴4×4=4x•9x，解得：x=，∴CE=4×=，DE=9×=6；∵OF⊥CD，∴DF=CF=，⊙O的半径为5，∴OF==．故选A．18．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD 边于点F，则=（）A．B．C．D．【解答】解：连接OE、OF、OC．∵AD、CF、CB都与⊙O相切，∴CE=CB；OE⊥CF；OF平分∠AFC，OC平分∠BCF．∵AF∥BC，∴∠AFC+∠BCF=180°，∴∠OFC+∠OCF=90°，∴∠COF=90°．∴△EOF∽△EOC，得OE2=EF•EC．设正方形边长为a，则OE=a，CE=a．∴EF=a．∴=．故选C．19．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD ⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3=0的根，则AB的长等于（）A． B．C．8 D．5【解答】解：∵3x2﹣10x+3=0，∴x=3（不合题意，舍去）或x=．∴cosD=AD：BD=1：3，设AD=x，则BD=3x．∴AB==2x，BC=2x﹣4．∴（2x）2=（2x﹣4）•x．∴x=0（舍去），或x=2．∴AB=2×2=8．故选C．20．如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC﹣BC=AI；③AD=（IM+BC）；④S△BIC：S△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（）A．①②④ B．①②C．①②③ D．③④【解答】解：∵I为△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正确；∵O在BC上，∴∠BAC=90°，∵I是△ABC的内心，∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，∴四边形QIHA是正方形，∴IQ=AQ=AI=IH，∴AC﹣IH+AB﹣IH=BC，∴IH=（AC+AB﹣BC），由勾股定理得：AI=IH，∴②正确；AD=AI+ID=（AC+AB﹣BC）+BC，=AC+AB，（IM+BC）=[（AC+AB﹣BC）+BC]=AC+AB，∴③正确；∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，∴△EFI∽△CBI，∴=，∵BC一定，∴④错误；故选C．21．如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB﹣∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（）A．①③④ B．①②③ C．①②③④D．①②④【解答】解：①∵直角三角形内切圆半径=，∴IF=，∴AB+AC=BC+2IF，正确；②∵I为△ABC的内心，∴∠BIA=90+∠C，∴4∠BIA=360°+2∠C，∵∠BOA=2∠C，∴4∠AIB﹣∠BOA=360°，正确；③∵点I是△ABC的内心，∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠EBC=∠BAD，∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD∴∠EIB=∠EBI，∴EB=EI．③正确；④作EN⊥AC于点N，EM⊥AB于点M，连接EC，EB，那么四边形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，∴∠EAN=45°，∴EN=AN，∴四边形ENAM是正方形，∴（AM+AN）=AE，EN=EM，∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，∴∠CEN=∠BEM，∴△CEN≌△BEM，∴CN=BM，∴（AB+AC）=AE，由（1）得AB+AC=BC+2IF，∴AB+AC=2R+2IF，IF+R=，∴=，∴④正确．故选C．22．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP=6．若点F是OP的中点，则CF的长是（）A．6 B． C． D．【解答】解：∵EP∥OA，∴∠DEP=∠AOB=60°，∵PD⊥OB，∴PD=PE=×6=3，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD=3，∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠POC=×60°=30°，∴OP=2PC=6，∵点F是OP的中点，∴CF=OP=×6=3．故选D．23．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G 是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）A．B．C．2D．【解答】解：连接BG，如图．∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，∴AD=BD=AB=3．又∵CD=4，∴BC=5．∵E是高线CD的中点，∴CE=CD=2，∴CG=CE=2．根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．∵P是AG中点，D是AB的中点，∴PD=BG，∴DP最大值为．故选A．24．如图，直线l与半径为3的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA，设PA=m，PB=n，则m﹣n的最大值是（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴=，∵PA=m，PB=n，半径为3，∴=，∴n=m2，∴m﹣n=m﹣m2=﹣m2+m=﹣（m﹣3）2，∴m﹣n的最大值是．故选C．。

动点问题--圆初三数学

（ 1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等)（ 2）试用表示，并写出的取值范围；（相像）（ 3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相像）【答案】解：（ 1 ）如图 1 ，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图 2，交于点，与对于对称，则有：，又又与对于对称，（ 3）如图 3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连结，得则又解得：（舍去）①②③3.已知在平面直角坐标系 xOy中， O是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的⊙ P与 x 轴， y 轴分别相切于点 M和点 N，点 F 从点 M出发，沿 x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结 PF，过点 PE⊥ PF交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（ t ＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（以下图），求证：PE=PF；（全等）（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等 +分类议论）（3）作点F对于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，连结 QE．在点 F 运动过程中，能否存在某一时辰，使得以点Q、 O、E 为极点的三角形与以点、、为极点的三角形相像？若存在，请直接写出t 的值；若不存P M F在，请说明原因．（议论对称轴+全等 +相像）【剖析】：（1）连结PM， PN，运用△PMF≌△ PNE证明，（2）分两种状况①当t ＞1时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0＜t≤1时，点 E 在y 轴的正半轴或原点上，再依据（1）求解，（3）分两种状况，当 1＜t＜2 时，当t＞2 时，三角形相像时还各有两种状况，依据比率式求出时间 t ．【解答】：证明：（ 1）如图，连结PM， PN，∵⊙P 与x轴，y轴分别相切于点和点，M N∴PM⊥ MF，PN⊥ ON且 PM=PN，∴∠ PMF=∠ PNE=90°且∠ NPM=90°，∵ PE⊥ PF，∠NPE=∠ MPF=90°﹣∠ MPE，在△ PMF和△ PNE中，，∴△ PMF≌△ PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞ 1 时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（ 1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t ，a=NE﹣ ON=t ﹣1，∴b﹣ a=1+t ﹣（ t ﹣1）=2，∴ b=2+a，②0＜t≤1时，如图 2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△ PMF≌△ PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t ，a=ON﹣ NE=1﹣ t ，∴b+a=1+t +1﹣ t =2，∴b=2﹣ a，（3）如图 3，（Ⅰ）当 1＜t＜2 时，∵F（1+t ，0）， F 和 F′对于点 M对称，∴F′（1﹣t ，0）∵经过 M、E 和 F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，∴Q（1﹣t ，0）∴ OQ=1﹣t ，由（ 1）得△PMF≌△PNE[ 根源 : 学 , 科, 网 ]∴NE=MF=t ，∴ OE=t ﹣1当△ OEQ∽△ MPF∴=∴=，解得， t =，当△ OEQ∽△ MFP时，∴=，=，解得， t =，（Ⅱ）如图4，当t＞ 2 时，∵F（1+t ，0）， F 和 F′对于点 M对称，∴F′（1﹣t ，0）∵经过、和′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点，M E F Q∴Q（1﹣ t ，0）∴ OQ=t ﹣1，由（ 1）得△≌△∴ = =，∴= ﹣ 1PMF PNE NE MF t OE t当△ OEQ∽△ MPF∴=∴=，无解，当△ OEQ∽△ MFP时，∴= ，=，解得， t =2±，因此当t =，=，=2±时，使得以点、、为极点的三角形与以点、、t t Q O E P M F为极点的三角形相像．【评论】：本题主要考察了圆的综合题，解题的重点是把圆的知识与全等三角形与相像三角形相联合找出线段关系．3.木工黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心 O1、 O2分别在 CD、 AB上，半径分别是 O1C、 O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；（圆心距 +勾股）方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适合平移三角形并锯一个最大的圆；（相像 +设半径）方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形 AFED下边，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）经过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜ 1），圆的半径为y．（分类议论）①求 y 对于 x 的函数分析式；②当 x 取何值时圆的半径最大，最大部分径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【考点】：圆的综合题【剖析】：（ 1）察看图易知，截圆的直径需不超出长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是惯例的利用勾股定理或三角形相像中对应边长成比率等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，尔后利用关系代入表示其余有关边长，方案二中可利用△O1O2 E为直角三角形，则知足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△ OFN后对应边成比率整理方程，从而可求r的值．（3）①近似（ 1）截圆的直径需不超出长方形长、宽中最短的边，固然方案四中新拼的图象不必定为矩形，但直径也不得超出横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3﹣x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，尔后分别议论结论．②已有关系表达式，则直接依据不等式性质易得方案四中的最大部分径．另与前三方案比较，即得最后结论．【解答】：解：（ 1）方案一中的最大部分径为1．剖析以下：2，则半径最由于长方形的长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为大为 1．（2）如图 1，方案二中连结O1， O2，过 O1作 O1E⊥ AB于 E，方案三中，过点O分别作 AB，BF的垂线，交于M，N，此时 M，N恰为⊙ O与 AB， BF的切点．方案二：设半径为 r ，在 Rt△ O1O2E中，∵O1O2=2r ， O1E=BC=2， O2E=AB﹣ AO1﹣CO2=3﹣2r ，∴（ 2r）2 =22+（ 3﹣ 2r）2，解得 r =．方案三：设半径为 r ，在△ AOM和△ OFN中，，∴△ AOM∽△ OFN，∴，∴，解得r =．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵ EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为 2+x．近似（ 1），所截出圆的直径最大为 3﹣x或 2+x较小的．1．当 3﹣x＜ 2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当 3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当 3﹣x＞ 2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当 x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当 x=时， r =（3﹣）=；当 x＜时， r =（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当 x=时， r 最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．【评论】：本题考察了圆的基天性质及经过勾股定理、三角形相像等性质求解边长及分段函数的表示与性质议论等内容，题目虽看似新奇不易找到思路，但认真察看每一小问都是惯例的基础考点，因此整体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．4.如图，已知 l 1⊥ l 2，⊙ O与 l 1，l 2都相切，⊙ O的半径为2cm，矩形 ABCD的边 AD、AB分别与 l 1， l 2重合， AB=4 cm， AD=4cm，若⊙ O与矩形 ABCD沿 l 1同时向右挪动，⊙ O的挪动速度为 3cm，矩形ABCD的挪动速度为 4cm/ s，设挪动时间为t（s）（1）如图①，连结OA、 AC，则∠ OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形挪动一段时间后，⊙O抵达⊙O1的地点，矩形ABCD抵达A1B1C1D1的地点，此时点 O1， A1， C1恰幸亏同向来线上，求圆心 O挪动的距离（即 OO1的长）；（相像）（3）在挪动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不停变化，设该距离为d（cm），当 d＜2时，求 t 的取值范围（解答时能够利用备用图画出有关表示图）．（相像+切线）（数形联合 +分类议论）【考点】：圆的综合题．【剖析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠ DAC=60°，从而得出答案；（2）第一得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣ 2=t﹣2，求出t的值，从而得出 OO1=3t 得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设挪动时间为t 1，②当直线 AC与⊙O第二次相切时，设挪动时间为t 2，分别求出即可．【解答】：解：（ 1）∵l⊥ l，⊙ O与 l ， l2都相切，121∴∠ OAD=45°，∵ =4，=4 ，AB cm AD cm∴CD=4cm， AD=4cm，∴tan ∠ DAC===，∴∠ DAC=60°，[根源:ZXXK]∴∠ OAC的度数为：∠ OAD+∠ DAC=105°，故答案为： 105；（2）如图地点二，当O1，A1，C1恰幸亏同向来线上时，设⊙O1与 l 1的切点为 E，连结 O1E，可得 O1E=2， O1E⊥ l 1，在 Rt△ A1D1C1中，∵ A1D1=4， C1D1=4，∴tan ∠ C1A1D1=，∴∠ C1A1D1=60°，在Rt△ A1O1E 中，∠ O1A1E=∠ C1A1 D1=60°，∴A E==，1∵ 1 =1﹣1﹣2=﹣2，AE AA OO t∴t ﹣2=，∴t =+2，∴1=3 =2+6；OO t（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设挪动时间为t 1，如图，此时⊙O 挪动到⊙2 的地点，矩形挪动到2 2 2 2的地点，O ABCD ABCD设⊙ 2 与直线l 1， 2 2 分别相切于点，，连结2，2， 2 2，O A C F G OF OG OA ∴O2F⊥ l 1， O2G⊥ A2G2，由（ 2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠ O2A2F=60°，在Rt △ 2 2中， 2 =2，∴ 2 =，A OF OF A F∵OO=3t ， AF=AA+A F=4t +，2221∴4t 1+﹣ 3t1=2，∴t 1=2﹣，②当直线AC与⊙ O第二次相切时，设挪动时间为t 2，记第一次相切时为地点一，点 O1，A1，C1共线时地点二，第二次相切时为地点三，由题意知，从地点一到地点二所用时间与地点二到地点三所用时间相等，∴+2﹣（ 2﹣）=t2﹣（+2），解得： t 2=2+2，综上所述，当d＜2时， t 的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．【评论】：本题主要考察了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类议论以及数形联合 t 的值是解题重点．5.如图，平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y=﹣ x+b（ b 为常数， b＞0）的图象与 x 轴、 y 轴分别订交于点A、B，半径为4的⊙ O与 x 轴正半轴订交于点 C，与 y 轴订交于点D、E，点D在点 E 上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠ CFE的度数；2②用含 b 的代数式表示FG，并直接写出 b 的取值范围；（垂径定理+直线方程）（2）设b ≥5，在线段上能否存在点，使∠=45°？若存在，恳求出P点坐标；若不AB P CPE存在，请说明原因．（相切 +圆周角）【考点】：圆的综合题【剖析】：（1）连结CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连结OF，利用两条直线垂直订交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出22FM，再求出FG，再依据式子写出 b 的范围，（3）当b=5 时，直线与圆相切，存在点P，使∠ CPE=45°，再利用两条直线垂直订交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连结CD，EA，∵DE是直径，∴∠ DCE=90°，∵CO⊥ DE，且 DO=EO，∴∠ ODC=OEC=45°，∴∠ CFE=∠ ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥ AB点 M，连结 OF，∵OM⊥ AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点 M（b，b）222∴OM=（b）+（b），∵OF=4，2222﹣（2﹣（2∴FM=OF﹣ OM=4b）b），∵FM=FG，∴2=42=4×[4 2﹣（）2﹣（）2]=64 ﹣2=64×（ 1﹣2），FG FM b b b b∵直线 AB与有两个交点F、 G．∴4≤b＜ 5，（3）如图，当 b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，[根源:]∴∠ DCE=90°，∵CO⊥ DE，且 DO=EO，∴∠ ODC=OEC=45°，∴∠ CFE=∠ ODC=45°，∴存在点 P，使∠ CPE=45°，连结 OP，∵P 是切点，∴OP⊥ AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵ AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．【评论】：本题主要考察了圆与一次函数的知识，解题的重点是作出协助线，明确两条直线垂直时 K的关系．6.如图，矩形 ABCD的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从点 A出发，沿射线 AD挪动，以 CE为直径作圆 O，点 F 为圆 O与射线 BD的公共点，连结 EF、CF，过点 E作 EG⊥ EF，EG与圆 O订交于点 G，连结 CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止挪动，在点E挪动的过程中，①矩形 EFCG的面积能否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明原因；②求点 G挪动路线的长．【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判断与性质；圆周角定理；切线的性质；相像三角形的判断与性质．【剖析】：（ 1）只需证到三个内角等于90°即可．FCE=∠ FDE，从而证到△CFE∽△ DAB，依据（2）易证点D在⊙ O上，依据圆周角定理可得∠S矩形ABCD 相像三角形的性质可获得S 矩形ABCD=2S△CFE=．而后只需求出CF的范围便可求出的范围．依据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠ FDE=定值，从而获得点G的挪动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．【解答】：解：（ 1）证明：如图1，∵CE为⊙ O的直径，[根源:学。

圆的动点问题方法总结

圆的动点问题方法总结
圆的动点问题涉及圆的运动轨迹和动点的位置变化。

在解决这类问题时，我们
可以采用以下方法：
1. 构建几何模型：首先，我们可以通过绘制几何图形来简化问题。

将圆和动点
在纸上画出来，有助于我们更清楚地理解问题。

2. 利用圆的性质：圆有很多重要的性质，我们可以利用这些性质来解决动点问题。

例如，圆的半径和直径之间的关系，圆的切线和切点的性质等。

3. 使用向量方法：在处理圆的动点问题时，向量方法很有用。

我们可以将动点
的位置表示为向量，并使用向量的运算规则来解决问题。

例如，我们可以用位置向量来表示动点的位置，并使用向量的加法和减法来计算动点的移动方向和距离。

4. 应用三角函数：如果涉及到角度的变化，我们可以使用三角函数来解决问题。

例如，如果动点绕圆心旋转，我们可以使用正弦和余弦函数来描述动点在不同位置的坐标变化。

5. 运用解析几何：解析几何是解决圆的动点问题的常用方法之一。

我们可以使
用坐标系和代数方程来描述圆和动点的运动轨迹。

通过求解方程组，我们可以得到动点的位置和移动方向。

总的来说，解决圆的动点问题需要充分利用圆的性质，运用几何、向量、三角
函数和解析几何等方法。

通过选择合适的方法，我们可以更好地理解问题并求解出准确的结果。

关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题]

关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题] 由于圆具有对称性，以及点、弦、角等元素在圆中位置的相对性.因此，在解答没有给出图形的圆的有关计算题时，就要仔细审题，周密思考，以防漏解. 一、有关点与圆的位置关系问题例1:点P到⊙O的最大距离是8cm，最小距离是4cm，则⊙O的半径是.分析:题中并没有说明点P与圆的位置关系，故需分点P在圆内与点P在圆外两种情况求解.（如图1）当点P在圆内时，由已知，得PA=4, PB=8.（如图2）当点P在圆外时，由已知，得PA=4,PB=8.综上所述，⊙O的半径为6cm或2cm.二、有关平行弦问题例2:已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6.⊙O的半径等于5，求梯形ABCD的高.分析:求圆内接梯形的高就是求圆中两条平行弦间的距离.（如图3）当AB、CD在圆心的两侧时，过圆心O作EF⊥AB于E，交CD于F.∵AB∥CD，∴EF⊥CD.连结OA、OD，则△OAE、△ODF都是直角三角形.∴梯形的高EF＝OE+OF=3+4=7.（如图4）当AB、CD在圆心O的同侧时，作OF⊥CD于F，交AB于E，连结OA、OD.同理，求得OE＝3，OF＝4.∴梯形的高EF＝OF－OE＝4-3＝1.综上所述，⊙O的内接梯形ABCD的高为7或1.三、有关公共弦问题例3:⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，它们的半径AO1=20，AO2=15，公共弦AB＝24，则△AO1O2的周长为 .分析:因为已知两圆的半径不等，所以，圆心可能在公共弦AB 的两侧（如图5），也可能在AB的同侧（如图6）.分别在Rt△AO1C和Rt△AO2C中，由勾股定理求得O1C=16,O2C=9.∴O1O2=16+9=25.∴△AO1O2的周长为20+15+25＝60.在图6中，同理求得O1C=16,O2C=9.∴O1O2=16－9=7.∴△AO1O2的周长为20+15+7＝42.综上所述，△AO1O2的周长为60或42.四、有关两条弦的夹角问题分析：连结OA，则弦AC、AD可能在半径OA的两侧（如图7），也可能在OA的同侧（如图8）.在图7中，连结OC.∴∠OAD=30°.∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=45°+30°＝75°.在图8中，同理求得∠OAD=30°，∠OAC＝45°.∴∠CAD=∠OAC－∠OAD＝45°-30°＝15°.综上所述，∠CAD等于75°或15°.五、有关圆周角问题例5 ：PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB=.分析：如图9，因为C是⊙O上异于A、B的任意一点，所以点C可能在优弧AB上，也可能在劣弧 AB上.当点C在优弧AB上时，连结OA、OB,则OA⊥PA，OB⊥PB.又∠APB＝78°，∴∠AOB＝360°-90°-90°-78°＝102°.当点C"在劣弧AB上时，四边形AC"BC是圆内接四边形.∴∠AC"B=180°-∠ACB＝180°-51°＝129°.综上所述，∠ACB等于51°或129°.六、有关圆的相切问题例6：以O为圆心的两个同心圆的半径分别9cm和5cm,若⊙A 与这两个圆都相切，则⊙A的半径为 .分析：因为相切分内切和外切两种，所以⊙A可能与大圆内切，与小圆外切（如图10），也可能与两个圆都内切（如图11）.综上所述，⊙A的半径为2cm或7cm.本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文内容仅供参考。

中考试题九年级专题训练：圆的专题14圆中的动态问题.docx

圆的专题14——圆中动态问题
1、如图，点P 是等边△ABC 外接圆BC 上的一个动点，求证PA ＝PB ＋PC.
2、已知弦AD ⊥BD ，且AB ＝2，点C 在圆上，CD ＝1，直线AD 、BC 交于点E.
（1）如图1，若点E 在⊙O 外，求∠AEB 的度数；
（2）如图2，若C 、D 两点在⊙O 上运动，CD 的
长度不变，点E 在⊙O 内，求∠AEB 的度数.
图－
1 图－2
3、已知直线l经过⊙O的圆心O，且交⊙O于A、B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30︒，点
P是直线l上一个动点（与O不重合），直线CP与⊙O交于Q，且QP＝QO.
（1）如图1，当点P在线段AO上时，求∠OCP的度数；
（2）如图2，当点P在线段OA的延长线上时，求∠OCP的度数；
（3）如图3，当点P在线段OB的延长上时，求∠OCP的度数.
图－1
图－2
图－3
初中数学试卷
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初三-圆中动点问题

个性化教学辅导教案例1.已知如图, 在平面直角坐标系中, 直线与轴、轴分别交于A, B两点, P是直线AB 上一动点, ⊙的半径为1.（1）判断原点O与⊙的位置关系, 并说明理由；（2）当⊙过点B时, 求⊙被轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙与轴相切时, 求出切点的坐标．练习1: 平面上, 矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图15－1摆放, 分别延长DA和QP交于点O, 且∠DOQ=60°, OQ=OD=3, OP=2, OA=AB=1, 让线段OD及矩形ABCD位置固定, 将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转, 设旋转角为.发现：(1)当, 即初始位置时, 点P 直线AB上.(填“在”或“不在”)求当是多少时, OQ经过点B？(2)在OQ旋转过程中, 简要说明是多少时, 点P, A间的距离最小？并指出这个最小值；如图15－2, 当点P恰好落在BC边上时, 求及.拓展: 如图15－3, 当线段OQ与CB边交于点M, 与BA边交于点N时, 设B M=x(x>0),用含x的代数式表示B N的长,并求x的取值范围.图15－2图15－3备用图探究: 当半圆K与矩形ABCD的边相切时, 求sin 的值.练习2: 如图1, 已知点A（8, 4）, 点B（0, 4）, 线段CD的长为3, 点C与原点O重合, 点D在x轴正半轴上. 线段CD沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移, 过点D作x轴的垂线交线段AB于点E, 交OA于点G, 连接CE交OA于点F（如图2）, 设运动时间为t. 当E点与A点重合时停止运动.（1）求线段CE的长；（2）记△CDE与△ABO公共部分的面积为S, 求S关于t的函数关系式；（3）如图2, 连接DF.①当t取何值时, 以C、F、D为顶点的三角形为等腰三角形？②△CDF的外接圆能否与OA相切？如果能, 直接写出此时t的值；如果不能, 请说明理由。

图1图2最值问题例2.如图, 在△ACE 中, CA=CE, ∠CAE=30°, ⊙O 经过点C, 且圆的直径AB 在线段AE 上. （1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中AE 边上的高为h, 试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点）, 连接OD, 当 CD+OD 的最小值为6时, 求⊙O 的直径AB 的长．练习1: 在△ 中, ,将△ 绕点顺时针旋转, 得到△ .⑴.如图①, 当点在线段延长线上时.①.求证: ；②.求△ 的面积；⑵.如图②，点是上的中点，点为线段上的动点，在△ 绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是，求线段长度的最大值与最小值的差.练习2: 如图, 在平面直角坐标系中, 圆M 过原点o, 与x 轴交于A （4.0）, 与y 轴交于B （0,3）, 点C 为劣弧AO 的中点, 连接AC 并延长到D, 使DC=4CA,连接BD.（1）圆M 的半径;（2）证明：BD 为圆M 的切线；（3）在直线MC 上找一点p, 使｜DP-AP ｜最大。

圆形中动点问题的解题策略：

圆形中动点问题的解题策略：圆形中动点问题的解题策略
圆形中动点问题是一类在几何学中常见的问题，涵盖了动点在圆形表面的位置、路径、速度和加速度等相关计算和性质。

解决这类问题可以采用以下简单策略：
1. 确定圆的性质
首先，确定给定圆的半径和中心坐标。

这些参数将是解题的基础，用来计算动点相对于圆的位置。

2. 确定动点的位置
确定动点在圆上的位置。

可以使用动点在圆上的弧长或角度来描述其位置。

3. 计算动点的速度
根据题目所给的信息，计算动点在圆上的速度。

可以使用速度公式来计算动点的线速度。

4. 计算动点的加速度
如果题目要求，计算动点在圆上的加速度。

可以使用加速度公
式来计算动点的向心加速度和切向加速度。

5. 分析动点的运动轨迹
根据动点的速度和加速度，可以分析动点的运动轨迹。

根据速
度的方向和大小，以及加速度的方向和大小，可以确定动点在圆上
的运动性质。

6. 结论
总结分析结果，得出关于动点在圆上运动的结论。

以上是解决圆形中动点问题的一般策略，根据具体题目的要求，可能需要适当调整和扩展这些策略。

通过掌握这些基本策略，可以
更有效地解决圆形中动点问题。

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初三圆中动点问题
年级：九年级任课教师：
授课时间：xx 年春季班
第2周教学课题圆中动点问题教学目标
1、熟悉圆的基础知识和常用证明技巧。

2、运用圆的知识解圆中动点问题。

教学重难点圆中动点问题教学过程相切问题例
1、已知如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙的半径为
1、（1）判断原点O与⊙的位置关系，并说明理由；（2）当⊙过点B时，求⊙被轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙与轴相切时，求出切点的坐标、BPOyxA图15－1练习1：平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图15－1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60，OQ=OD=3，OP=2， OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为、发现：(1)当，即初始位置时，点P 直线AB上、(填“在”或“不在”)求当是多少时，OQ经过点B？(2)在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；图15－2(3)
如图15－2，当点P恰好落在BC边上时，求及、拓展：如图15－3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设
BM=x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围、图15－3备用图探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin 的值、练习2：如图1，已知点A（8，4），点B（0，4），线段CD的长为3，点C与原点O重合，点D在x轴正半轴上、线段CD 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，过点D作x 轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F （如图2），设运动时间为t、当E点与A点重合时停止运动、（1）求线段CE的长；（2）记△CDE与△ABO公共部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，连接DF、①当t取何值时，以
C、F、D为顶点的三角形为等腰三角形？②△CDF的外接圆能否与OA相切？如果能，直接写出此时t的值；如果不能，请说明理由。

ABOExDyG图1(C)
CABOExDyGF图2最值问题例
2、如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上、（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长、练习1：在△中，,将△绕点顺时针旋转，得到△、⑴、如图①，当点在线段延长线上时、①、求证：；②、求△的面积；⑵、如图②，点是上的中点，点为线段上的动点，在△绕点顺时针旋转过程中，点
的对应点是，求线段长度的最大值与最小值的差、练习2：如图，在平面直角坐标系中，圆M过原点o，与x轴交于A（
4、0），与y轴交于B（0,3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA,连接B
D、（1）圆M的半径;（2）证明：BD为圆M的切线；（3）在直线MC上找一点p，使｜DP-AP｜最大。

函数关系问题例
1、如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交轴，轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点、以OM为直径的⊙P分别交轴，轴于C，D两点，交直线AB于点E （位于点M右下方），连结DE交OM于点K、（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标；②求ME的长；[来源:学科网]（2）若，求∠OBA的度数；（3）设（0<<1），，直接写出关于的函数解析式、练习：如图10，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点
A、
B、
C、D，直线y＝－ x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F、（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N、是否存在一个常数a，始终满足MNMK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，
请说明理由、xDABHCEMOF图10xyDABHCEMOF图11PQxyDABHCEMOF 图12NTKy存在性问题例
4、已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=O
A、（1）当OC=时（如图），求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE、①当D为CE中点时，求△ACE的周长;②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AEED的值；若不存在，请说明理由。