人教版初三数学上册圆中的动点问题
(完整版)九年级数学动圆问题
动 圆 问 题圆心动，半径不变1．如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第_______秒．2（北海）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了 （ ）周， 圆心O 所经路线的路程是_______ 。
3 如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上， 点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上， ∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速 度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀 速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时， 以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？4、. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 ( ) A. 3次 B. 5次C. 6次D. 7次圆心动，半径变1、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ．（1）当P 异于A ．C 时，请说明PQ∥BC；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？分析如图：ABCO第22题图xy A BPC DA BCOD2. 如图9，已知直线l 的解析式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n l ∥，直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C 、D 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．（1） 求A 、B 两点的坐标；（2） 求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3） 直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S =梯形？若存在，求出t 值，若不存在，说明理由．动圆与定圆相切【解题技巧】当两圆相切时，把握d=R ＋r 与d=R －r 是解决问题的关键。
人教版初中数学知识点总结
人教版初中数学知识点总结人教版初中数学知识点总结1①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙O相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的间隔 )平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程假如b2-4ac>0，那么圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
假如b2-4ac=0，那么圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
假如b2-4ac人教版初中数学知识点总结2诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin(2k)=sin kzcos(2k)=cos kztan(2k)=tan kzcot(2k)=cot kz公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin=-sincos=-costan=tancot=cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四：利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：sin=sincos=-costan=-tancot=-cot人教版初中数学知识点总结3相关的角：1、对顶角：一个角的'两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
2、互为补角：假如两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。
3、互为余角：假如两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
九上 圆 动点、暗动点、最值问题 拔高提优 知识点+例题+练习 (分类全面)
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°, AD＝13cm，BC＝16cm，CD ＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；4（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）s=2t+26T=3分之19S=3分之116（3）PQ=16-tH=43t-16T=4-根号14或 T=4+根号14相切，说明理由。
O ADBCE F二、最值问题1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是平面内的一个动点，且AD=4，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 ． 2分之3,2分之72、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则PQ 长的最小值为 ．13分之603、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=10，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．2倍跟24、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为．10.55、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．2倍根号26、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．247、如图，90MON ∠=︒ , Rt ABC ∆的顶点,A B 分别在,OM ON 上，90ACB ∠=︒，点A 从点O 出发沿射线OM 运动，同时点B 从点O 出发沿射线ON 运动，连接OC .若AB = 10，则OC 长的最大值是 .58、如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=10，则PM 的最大值是 ．49、如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 410、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .100P（x,y）PA2=(X+1)2+y2PB2=(x-1)2+y2PA2+PB2 =2（x2+y2）+2x2+y2最大值为72=4911、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；根号6（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．2分之3倍根号3PQ2=OQ2-OP2OP最小，PQ最大12、如图，圆O的半径为1，A，P，B，C是圆O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断三角形ABC的形状：；等边（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；PA+PB=PC （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．中点，根号313、如图，已知圆O的直径AB=12cm，AC是圆O的弦，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当三角形ABQ与三角形ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．3分之5π3分之13π3分之23π三、暗动点、隐圆1、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上的两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是___.π2、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ． 2（分之根号3+1）a3．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）AA 、21B 、5C 、1455D 、524、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，点D 是斜边AB 上的一个动点(不与点A 重合)，AED ∆为等边三角形.过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是 . 2分之35、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，过点A 作AH BE ⊥于点H . 若正方形的边长为4，则线段DH 的最小值是多少? 2分之根号5-26、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，解决下列问题： （1）求证：BE ⊥AG ；（2）求线段DH 的长度的最小值．2分之根号5-27、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________根号5-18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求线段PM 的最大值39、如图,以y轴上一点M为圆心作M,分别与坐标轴交于点A,B,C,其中A(0,3),B(1,0),动点P在劣弧BC上由点B运动到C,过点B作BQ⊥AP于点Q,求垂足Q在此过程中经过的路径。
人教版九年级数学上册中考《动点问题》
F
E
改 一变类为三角a厘形米？/（秒，按经角的过
(P)
(P)
D (Q)
3大秒小后分，类P、）Q分别到达E、
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， (F) C 综上:当a=2或6或12时,
试求a的值.
△BEF与△APQ相似
开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C
开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别从点A、
C同时出发,当其中一个圆心到达D点时,另一圆也随之停止
运动.设运动时间为t（秒）. （2）如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值时
,⊙P和⊙Q相外切?
20
D
QC
4
A
B
P
当t=4秒、20秒、28秒时20，⊙P和⊙Q相外切
A
的等边三角形，质点P从点A沿AB—BD作
匀速运动，质点Q从点D同时出发沿DC— 3a Q
CB—BA作匀速运动.源自3a（12）如果质问点题（P、1Q）运中 B F
的 动质的点速度P、分Q分别是别同4厘时米沿/
原 秒、路5返厘回米，/秒质点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QAP的Q速 是度哪 3a
防风暴指挥中心发现在O处的热带风暴中心正以100 千米/时的速度沿北偏东30°的OC方向运动，风暴中 心周围200千米内要受影响，现知在O处正北方向320 千米有一城市A，你能否帮指挥中心预测一下：A市 受影响吗？若受影响，受影响的时间为多长 ？
A
C
O
中考专题之——
动态问题探究（一）
例１如图，边长为10cm的正方形ABCD,有一点P 从A出发沿A→B→C→D作匀速运动。求△ADP面 积y与点P移动的距离x之间的函数关系式。
人教版数学九年级圆上的动态问题探析
人教版数学九年级圆上的动态问题探析动态问题依然是中考数学的重量级的题型。
是体现学生创造性解题能力的代表。
也是学生综合数学素质的体现。
下面就谈一谈圆中的动态问题以及解答的策略，供同学们学习时参考。
一 动点在圆的直径上，探求线段和的最小值例1 如图1所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( ) (A)22 (B) 2 (C)1 (D)2分析： 要求求出线段和的最小值，关键是要明白当点P 运动到何位置时才能存在最小值。
这个问题实际上就是一个对称性作图问题。
具体的解答过程如下：过点A 作AC ⊥MN 交圆O 于点C ，连接CB 交MN 于点P ，则线段BC 就是PA+PB 的最小值。
如图2所示，连接OB ，OC ，因为∠AMN ＝30°，所以AN 弧的度数为60°。
因为B 为AN 弧的中点，所以∠BON ＝30°。
因为AC ⊥MN ，MN 是圆的直径，所以AN 弧等于CN 弧，所以CN 弧的度数为为60°。
所以∠CON ＝60°。
所以∠BOC ＝90°。
在直角三角形BOC 中，OC=OB=1，所以BC=2211+=2。
解：选B 。
点评：利用对称性确定出线段和最小位置是解题的关键所在。
只要确定好了，求就变得简单多了。
二 动点圆上走，探求三角形面积最小值例2 如图3，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．222- D ．22-分析： 确定好点D 运动到何时位置时，点E 到直线AB 的距离最短，是解题的关键。
原因是：线段AB 是一个定值，所以三角形ABE 的面积大小就只取决于点E 到AB 的距离了。
初三数学圆动点问题
初三数学圆动点问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初三数学圆动点问题
[ 标签：初三数学 ]
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm,BC=5cm,AB为圆O的直径，动点P沿AD从点A开始向点D以1m/s,的速度运动，动点Q沿CB从点C 开始向点B以2cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
是否存在某一时刻t,使直线PQ与圆O相切？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由。
满意答案
好评率：0%
设经过t秒，PQ与圆O且于点E，此时：AP = t CQ = 2t BQ = 15 - 2t PD = 13 - t
根据切线长定理可得：PE = PA QE = QB
∴ PQ = 15 - t
过A点作PQ的平行线，交BQ于F，则：BF = 15 - 3t
于是，根据 AB² +BF² = PQ²可以列出关于 t的方程。
【AB的长应该告诉了的吧】
2011-11-20 19:27
满意答案
好评率：0%
存在．
若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）
作PH⊥BC于H．
∴PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）一t=16-3t
PQ=QB+AP=16一t．
在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2，即（16一t）2=16+（16-3t）2∴t2-8t+2=0．
解得t1=4+，t2=4- ，
∵0≤t≤8，
∴当t=4± 时，PQ与圆相切．
图示。
以圆为载体的动点问题
以圆为载体的动点问题
• （1）当点P在△ABC外接圆外时， • 如图5，连结BD，根据外角大于任何一 个与它不相邻的内角，∠BPC＜∠BDC • 又因为∠BDC＝∠BAC， • 所以∠BPC＜∠BAC； • （2）当点P在△ABC外接圆上时，如图6， 根据同弧所对的圆周角相等， • ∠BPC＝∠BAC；
以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考 察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆 有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用 圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题 方法巧妙，耐人寻味。
以圆为载体的动点问题
• 例1. 在中，AC＝5，BC ＝12，∠ACB＝90°，P 是AB边上的动点（与点A、 B不重合），Q是BC边上 的动点（与点B、C不重 合），当PQ与AC不平行 时，△CPQ可能为直角三 角形吗？若有可能，请求 出线段CQ的长的取值范围； 若不可能，请说明理由。
以圆为载体的动点问题
• 例3. 如图5，△ABC的外部有一动点P（在 直线BC上方），分别连结PB、PC，试确 定∠BPC与∠BAC的大小关系。 • 分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要 确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找 恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道 桥梁就是圆，通过构造△ABC的外接圆， 问题就会迎刃而解。
以圆为载体的动点问题
• 以CQ为直径做半圆D。 • ①当半圆D与AB相切时，设切点为M， 连结DM，则 • DM⊥AB，且AC＝AM＝5 • 所以 设，则 在中，，即 • 解得：，所以 即当且点P运动到切 点M的位置时，△CPQ为直角三角形。
以圆为载体的动点问题
• ②当时，半圆D与直线AB有两个交点，当 点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为 直角三角形。 • ③当时，半圆D与直线AB相离，即点P在 半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，此时， △CPQ不可能为直角三角形。 • 所以，当时，△CPQ可能为直角三角形。
数学人教版九年级上册以圆为载体的动点问题.PPT
A1C1的不可能值. gsp
• 应用2：（2015武汉市元月调考数学选择第十题）在⊙A / 中，弦AB等于圆的半径1cm，C为优弧AB上一动点，等 / / 长的 腰△ACC / 的底边CC / 所在的直线经过B点，求 AC 取值范围
/ • 应用3：等边△A / AB的边长为4cm,过 B 点作 A A 的平行 / 线BM，在BM上任取一点C，作△A BC的外接圆，AC交 圆于E点，求BE的最小值。
动点定圆问题
以圆为载体的动点问题
五公中学
袁红平
• 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察， 有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只 要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆和三角形的 有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙， 耐人寻味。 • 知识点：一：两点之间，线段最短 • 二：唯一确定圆的条件
边及其所对的角是定值，则这个三角形的 外接圆是定圆。
知识应用与反馈
△ABC中，BC=3cm，AB= 4 2 ，∠CBA=45°过C 点作CF∥AB,D为CF上一动点，经过 A、B、D三点 的圆交AD于H点，求CH得最小值。
应用例题.gsp
△ABC中，BC=3cm，AB= 4 2 ，∠CBA=45°过C点作 CF∥AB,D为CF上一动点，经过 A、B、D三点的圆交AD于 H点，求CH得最小值。
等边三角形中BE 的最值问题.gsp
/ A 的平行 • 应用3：等边△ AB的边长为4cm,过 B 点作 A / 线BM，在BM上任取一点C，作△ A BC的外接圆，AC交 圆于E点，求BE的最小值。
本课小结
• 与圆有关的动点问题是动态问题中的一类问题， 它以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中 的位置关系和数量关系。而做这种题就是要抓住 图形运动的本质规律，用“静态”的方法来分解图 形的运动的过程。而我们所用的是三角形的一
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∴PQ长的最大值为＝ 9 (3)2 3 3 2 .
2
2
方法总结：
1.动中求静，找出题中不变的数量关系
2.判断何种特殊情况下有最值，并画出特 殊情况下的图形
3.代入求出最值
3.(2016年安徽中考第10题）如图，Rt△ABC中，
AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，
合 且满足∠PAB＝∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
第六单元 圆
复习课 圆中的动点问题
淮南九中 庄昌霞
考ห้องสมุดไป่ตู้分析
圆中的动点问题近两年在选择题 和解答题中分别考查了一次，考查 的内容为利用勾股定理求线段长或 线段的最值.
例题解析
1.（２０１５陕西）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，ＡＢ＝６，
点Ｃ是⊙Ｏ上的一个动点，且∠ＡＣＢ＝45°．若点Ｍ、
Ｎ分别是ＡＢ、ＢＣ的中点，则ＭＮ长的最大值是
6
2
∴P到AB的距离的最小值
8
PH＝FH－FP＝
16 5
2
6 5
5.已知，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在⊙O的半径 OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，PT为⊙O的切 线，切点为T.
练 (1)如图①，当C点运动到O点时，求PT的长； (2)如图②，设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出 y的最小值．
∵ＡＢ＝６
2
∴ ＯＡ＝ＯＢ＝６×2 ∴ＭＮ长的最大值是
1 2
＝３ 2 ． AC＝OA=３
2
2. (2015安徽20题10分)在⊙O中，直径AB＝6，BC 是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且 OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
试 一 试
解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB. 在Rt△OPB中， OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan30°＝ . 3 连接OQ，在Rt△OPQ中，
习
解：(1)如解图①，连接OT， ∵PC＝5，OT＝4， ∴在Rt△OTP中，由勾股定理 P T P C 2 O T 25 2 4 2 3 (2)如解图②，连接PO，OT， ∵AB是⊙O的直径，AB＝8， AC＝x，∴CO＝4－x，
又∵PC⊥AB， ∴PO＝ P C 2O C 252(4x)2， 又∵PT为⊙O的切线
y P T P O 2 O T 2 5 2 ( 4 x ) 2 4 2 x 2 8 x 2 5 ( 4 x ) 2 9
Q0x4
∴要使y最小，x要取最大值4 ym ax (44)293
课堂小结
你觉得解决圆中的动点问题，方法是 什么？
P Q O Q 2 O P 23 2 (3 )26
3
3 30o
3
(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：连接OQ，∵OP⊥PQ， 垂线段最短
∴△OPQ为直角三角形，
∴ P Q O Q 2O P 29O P 2，
3
30o
3
∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC.
OP＝OB·sin∠ABC＝3·sin30°＝ . 3
固定不变，即PF＝CF＝2， ∴点P在以点F为圆心，以2为半径的圆上运 动． 2
过点F作FH⊥AB交⊙F于P，垂足为 H，此 2
习 时PH的长最短. 则△AFH∽△ABC，
∴ FH AF
BC AB
∵AF＝4，AB＝10，BC＝8，
∴ F H 4 ，即 F H 1 6 .
8 10
5
4
2
10
A. 1
B. 2 C8 . 3
D1 2 .3
2
13
13
作 探 究
解：如解图，∵∠PAB＝∠PBC，∠ABC＝90°，
6
∴∠BAP＋∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°，
∴点P始终在以AB的中点O为圆心，以OA＝OB＝
3 33
由P在OC解RP的＝t图△长1知O/最2B，A小CB只中．＝有，3O 为当C 半在 ∠的 动径点AO 量 轨的PPB 在， 迹B圆2O＝ 你 是上CB 9觉 什，C 与0°2 得 么⊙ 是点 ？O不P的3 2 的变交 运4 点2处 5 时，，
解决此类问题，需把动态问题转化为静态 问题求解，先对点在运动变化过程中相伴 的数量关系、图形位置关系等进行观察， 然后画出大致图形，数形结合，找出运动 过程中的特殊点，代入求解即可。
_解__：__∵_．Ｍ、Ｎ 分别是ＡＢ、ＢＣ 的中点，
∴ ＭＮ 是△ＡＢＣ的中位线，
∴ＭＮ＝
1 2
ＡＣ，
C
要使ＭＮ最大，即ＡＣ最大，而ＡＣ是⊙Ｏ的
弦，故ＡＣ是⊙Ｏ的直径时，ＡＣ的值最大.
作直径AC,连接BC,ＯＢ，
N
∵ 又∵∠ＯＡＡＣ＝ＢＯ＝Ｂ４，５°点，C∴在∠动ＡＯ，Ｂ题＝中９０有°没， ∴△ＡＯＢ是等腰直角有三不角变形，的数量关系？
4
∴P′C＝OC－OP′＝5－3＝2， ∴线段CP长的最小值为2.
题中无圆，心中有圆
4.(2016淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC
＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边
练 BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P 处，则点P到边AB距离的最小值是________． 解：如解图，当点E在BC上运动时，PF的长