人教版数学九年级上圆中动点问题的解法探解
人教版初三数学上册动点运动路径解析
• （ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过 的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
题型展示
1）(南京2005）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动， 在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。 设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。 (1) 当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
• 4如图，把圆心角为30°，半径为6的扇形OAB 在直线l上向右作无滑动翻滚一周，则圆心O所经 过的路径长为
• 5如图，一根粗细均匀、长为2米的钢管AB，靠 在一面与水平地面垂直的墙上，此时钢管与水平 面所成的锐角为75°；当A点向下滑动到A′点时， 测得钢管与水平面所成的锐角为45°．在此过程 中，钢管的中点M所走的路径长是 _________ 米（结果用无理数表示）
•14等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一 点E，F，连接AF，BE相交于点P．
• （1）若AE=CF；
• ①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
• ②若AE=2，试求AP•AF的值；
• （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P 经过的路径长．
• 7如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°， AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折 叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对 应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是
• 8．如图，在△ABC纸片中，∠B=30°， AB=AC=，点D在AB上运动，将纸片沿CD折 叠，得到点B的对应点B′（D在A点时，点D的 对应点是本身），则折叠过程对应点B′的路径 长是（ ）
(完整版)九年级数学动圆问题
动 圆 问 题圆心动，半径不变1．如图，△ABC 为等边三角形，AB =6，动点O 在△ABC 的边上从点A 出发沿A →C →B →A 的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O 为圆心、3为半径的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次相切时是出发后第_______秒．2（北海）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了 （ ）周， 圆心O 所经路线的路程是_______ 。
3 如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上， 点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上， ∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速 度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀 速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时， 以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？4、. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 ( ) A. 3次 B. 5次C. 6次D. 7次圆心动，半径变1、如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为ts ．（1）当P 异于A ．C 时，请说明PQ∥BC；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？分析如图：ABCO第22题图xy A BPC DA BCOD2. 如图9，已知直线l 的解析式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n l ∥，直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C 、D 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．（1） 求A 、B 两点的坐标；（2） 求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3） 直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S =梯形？若存在，求出t 值，若不存在，说明理由．动圆与定圆相切【解题技巧】当两圆相切时，把握d=R ＋r 与d=R －r 是解决问题的关键。
初中数学中关于动点问题的试题探究
初中数学中关于动点问题的试题探究1. 引言1.1 初中数学中关于动点问题的试题探究在初中数学中，动点问题是一个重要的主题，涉及到点在平面或空间中的运动轨迹和位置变化。
动点问题不仅要求我们了解点的位置随时间的变化规律，还需要我们掌握如何利用几何知识和代数知识解决问题。
在动点问题中，我们需要了解动点的基本概念。
动点通常用字母表示，表示点的位置在平面或空间中的坐标。
动点的运动轨迹可以是直线、曲线或其他形状，我们需要通过分析问题的条件，确定动点的运动规律。
为了解决动点问题，我们需要掌握一些解题方法。
我们需要建立合适的坐标系，确定动点的起始位置和运动方向；我们可以利用方程或几何方法推导出动点的运动规律；我们需要根据问题的需求，求解动点在某一时刻的位置或运动轨迹。
常见的动点问题类型包括直线运动、圆周运动、相遇问题等。
在解决这些问题时，我们需要灵活运用几何和代数知识，将问题转化为方程求解，从而得到问题的答案。
通过实例分析，我们可以更好地理解动点问题的解题思路和方法。
在解决动点问题时，我们需要注意问题的条件，合理利用已知信息，通过推理和计算得出结论。
动点问题的解题技巧包括灵活运用几何知识、代数知识和逻辑推理能力。
通过练习和探究，我们可以提升动点问题的解题能力，提高数学思维水平。
初中数学中关于动点问题的探究不仅有助于提高我们的数学解题能力，还可以锻炼我们的逻辑思维和推理能力。
动点问题在数学学习中具有重要的意义，也具有广泛的拓展应用和思维训练价值。
2. 正文2.1 动点问题的基本概念动点问题是初中数学中的重要内容，通过研究动点问题，可以帮助学生理解数学知识，并培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
动点问题是指空间中某个点或物体在一定条件下随着时间或其他因素的变化而进行运动的问题。
1. 动点：动点是指在空间中可以移动的点，通常用字母表示，如点A、B、C等。
动点的运动可以是直线运动、曲线运动或者混合运动。
2. 运动轨迹：动点在运动过程中所经过的路径称为运动轨迹。
九上数学1.3用一元二次方程解决问题(4)动点问题
D
C
Q
A
P
B
才艺展示
1.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，
AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C
出发，点P以3cm/s的速度
A
D
向点B移动,一直到达B为止； P
E
点Q以2cm/s的速度向点D移动. Q
经过多长时间P、Q两点之间的 B
C
距离是10cm？
才艺展示
2.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，
点D从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向B点移
动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，
问：点D出发多少秒后，四边形DFCE的面积为
20cm2？
C
F
E
AD
B
拓展延伸
3.如图，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A点 开始ＡＢ边向点Ｂ以1cm/s速度移动，点Ｑ从Ｂ点 开始沿ＢＣ边向点Ｃ以2cm/s的速度移动.如果P、Q 分别从A、B同时出发， (1)经过几秒，△ PBQ的面积等于8cm2 ？ (2)P到B点后又继续在BC边上前进， Q到C点后又继续在CA边上前进. 经几秒钟S△PCQ=12.6cm²？
x(11 x) 30
整理得 x2 11x 30 0
解得 x1 5, x2 6
当 x1 5 时， 11 x 6;
当 x2 6 时， 11 x 5;
答：长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。
(2) 如果矩形的面积是32cm2,那么
x(11 x) 32
整理得 x2 11x 32 0
一元二次方程的应用（4）
情景创设 一根长为4m的绳子能否围成一个
面积是1m2的矩形？
初中数学中关于动点问题的试题探究
初中数学中关于动点问题的试题探究动点问题是初中数学中的一个重要内容，其涉及到动点的运动、坐标和几何变换等知识。
动点问题能够培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，提高他们的空间想象力和逻辑推理能力。
下面我们将通过一些试题来探究初中数学中关于动点问题的一些内容。
【试题一】若点A(-3,2)是一个动点，且点B(5,4)是该动点沿直线y=x+3运动而来,求点A的坐标。
解：设点A的坐标为(x,y)，根据题意可知点A到点B的所在直线y=x+3的距离不变，所以有：d(A,B) = d(A,(x,x+3))利用点之间的距离公式：d(A,B) = √((5-x)^2+(4-(x+3))^2)由于点A到线l的距离不变，所以有：即 (5-x)^2+(x+1)^2=9+(y-4)^2即 2x^2-12x-11=y^2-8y-11解得 x=1 或者 x=-1若 x=1 , 代入原等式得到 y=6若 x=-1, 代入原等式得到 y=2所以点A的坐标可以为 (1, 6) 或者 (-1, 2)。
【试题二】过点A (2, -5)和点B (1, 3)的动点C, 使得线段AC与线段BC的斜率之积为 -1，请求点C的坐标。
解：设点C的坐标为(x, y)，则AC的斜率为 (y-(-5))/(x-2) = (y+5)/(x-2)；BC的斜率为 (y-3)/(x-1)。
根据题意，该两直线的斜率之积为 -1，即：(y+5)/(x-2) * (y-3)/(x-1) = -1化简后得到：y^2 - 2x - 33 = 0将该方程式化为标准的二次方程形式：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2通过以上两个试题，我们可以看到在动点问题中，通过设定点的坐标，利用数学知识解决问题是一种常见的方法。
在解决问题过程中，我们可以灵活运用点之间的距离公式、斜率的概念以及二次方程等知识。
动点问题的解决可以培养学生的数学思维，同时也能提高他们对空间的感知能力和逻辑推理能力。
初中数学中关于动点问题的试题探究
初中数学中关于动点问题的试题探究
动点问题是初中数学中常见的一类问题，它涉及到物体或点在空间或平面上的位置和
运动。
这类问题通常需要我们根据已知条件，通过计算或推理，确定物体或点的位置、速度、时间等。
动点问题可以分为平面问题和空间问题两种类型。
平面问题是指物体或点在平面上的
运动问题，其中最简单的是直线运动问题。
空间问题是指物体或点在空间中的运动问题，
其中包括直线运动、曲线运动等不同类型。
在解决动点问题时，通常需要先分析已知条件，然后根据问题所求目标，选择合适的
解法。
以下是一些常见的动点问题的类型和解题思路：
1.直线运动问题：已知物体或点在直线上的位置和速度，求其运动过程中的位置、速
度变化等。
通常使用速度=位移÷时间的公式求解。
4.交点问题：已知两条直线或曲线的方程，求其交点的坐标。
通常使用联立方程、解
方程等知识求解。
5.面积或体积问题：已知动点绕某个固定点或轴旋转的轨迹，求其所围成的面积或体积。
通常使用几何图形的面积公式、体积公式求解。
以上只是动点问题中的一部分常见类型，实际问题中可能还会有其他类型的动点问题。
解决动点问题需要灵活运用数学知识和方法，通过理解问题、分析问题、策略求解等步骤
来完成。
动点问题是初中数学中的一类重要问题，通过学习和解决这类问题，可以帮助我们提
高数学思维和解决问题的能力。
希望以上内容对你理解和掌握动点问题有所帮助！。
初中数学动点问题解题思路
∵P、Q同时同速出 ∴AP=BQ
设AP=BQ= x ，则PC=6- x ， QC=6+ x
即6-x= 1（6+x）解得x=2 2
∴AP的长是2.
②用含30°角的直角三角形的性质及 等边三角形性质进行解答（在
Rt△QCP中）
∵△ABC是边长为6的等边 三角形，
∴AC=BC=6，∠C=60° 又∵∠BQD=30° ∴△QCP是含有30°角的Rt△ ∴CQ=2PC ∵P、Q同时同速出发， ∴AP=BQ ∵AP+PC+BC=2AC=12
而△APF是等边三角形， PE⊥AF,
∴AE=EF ∴BD+AE=FD+EF 又(FD+EF)+(BD+AE)=AB
=6, 即ED+ED=6
∴ ED=3为定值，即ED的 长不变
(2) 解法二：构造三角形与 △APE全等
过点Q作QF⊥AB的延长 线于点F
先证△APE≌△BQF ∴AE=BF，PE=QF 又∵∠QDF=∠PDE 再证△QDF≌△PDE ∴FD=DE ∵AB=AE+DE+BD=BF+
二、问题引入 遵义市2012年中考第26题：
• 26．如图，△ABC是边长 为6的等边三角形，P 是 AC边上一动点，由A向C 运动（与A、C不重
• 合），Q是CB延长线上一 动点，与点P同时以相同 的速度由B向CB延长线方 向运动（Q不与B重合） ，过P作PE⊥AB于E，连 接PQ交AB于D.
• （1）当∠BQD=30°时， 求AP的长；
又∵∠A=∠C=60° ∴△APE∽△CQE
利用 AE AP 即 PC CQ
x
1
x 2
x
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
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人教版数学九年级上圆中动点问题的解法探解
—、动点在弦上
1.1圆心与弦上一点构成动线段，求圆的半径
例1、如图1所示，C ）O 的弦AB=6, M 是AB 上任意一点,且OM 最小值为4,则00的半 分析：
根据前而所学的知识，知道点到直线的距离以垂线段为最短，即当OM 与弦AB 垂直时，OM 最小，如图2所示，此时，恰好又符合了垂径左理的条件，在直角三角形AoM 中，AM 二3, 001, 根据勾股定理，非常轻松地求得圆的半径是5.
解：选A.
1.2圆心与弦上一点构成动线段，求动线段的范围
例2、如图1所示，OO 的半径为5,弦AB=8, M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（
）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
分析： 点M 在弦AB 上移动时，线段OM 的长度是这样变化的，当与点A 重合时，OM 最长，等 于圆的半径5,向B 运动时，逐渐变小，当点M 运动到如图8所示的位苣时，OM 的值达 到最小值，根据垂径左理，易知道此时的最小值是3,接着再继续运动，线段OM 的长度就 逐渐增大，当与点B 重合时，又变成最大，等于圆的半径5,
这样，线段OiVI 的变化范围是：3WOMW5,根据我们所确左的范羽，就比较轻松的找出答 案来了.
解：选A.
二、动点在弧上
2.1动点在弧上求周长的最大值
例3、如图3所示，弧AD 是以等边三角形ABC-边AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧AD 上任意一点，若AC 二5,则四边形ACBP 周长的最大值是（）
分析： 连接AP, BP, 则四边形的周长为：AC+CB-BP+AP.
A. 15
B. 20
C. 15+5√2
D. 15+5√5
由于弧AD是以等边三角形ABC 一边AB为半径的四分之一圆周，
所以，AC=CB=BP=5,
因此，四边形的最大值就有AP的值来决定，显然当点P与点D重合时，AP有最大值. 同学们可以利用勾股定理求得这个最大值.
在直角三角形APB中，
AP=√AB2 +BP2= √52 +52=5√2 ,
所以，四边形的最大值为15+5v z2 .
解:选C.
2.2动点在弧上，求角的度数
例4、如图5所示，正方形ABCD是C）O的内接正方形，点P是劣弧AB上不同于点B的任意一点，则ZBPC= ______________ 度.
分析：
（1）确定所求角的属性
根据图形知道，ZBPC是一个圆周角，其所对的弧是BC弧.
（2）确定圆周角所对的圆心角
BC弧所对的圆心角是ZBOC,即ZBPC、ZBoC构成同弧上的圆周角和圆心角.
（3）求出圆心角的度数
根据正方形ABCD是C）O的内接正方形，我们就得到ZBOC=90c .
（4）根据同弧上圆周角与圆心角的关系，求圆周角圆周角等于圆心角的一半，ZBPC=
=ZBOC,
2
所以，ZBPC=45° .
解:ZBPC=45° .
三、动点在半圆上，用图像刻画距离与时间的函数关系
例5、如图6所示，AB是半圆O的直径，点P从点O岀发，沿04 —弧O的路径运动一周.设OP为s ,运动时间为/，则下列图形能大致地刻画S与f之间关系的是（）
分析：在这里，起点是0,此时，点O与点P重合，且此时OP=O,所以，在函数的图像上就表现
为图像一左要经过原点，这样，我们就可以排除A选项：
运动中的第一个拐点是点A,在OA段上运动时，OP是逐渐增大的，当点P与点A重合时，达到最大，等于圆的的半径，所以，在图像上的表现为上升趋势；
在第一个拐点A,与第二个拐点B之间运动时，即在弧AB上运动，根据同圆的半径相等，知道OP的长一直是等于圆的半径的，所以，在图像上的表现为水平直线；这样，就可以排除B、D 两个选项了：
第二个拐点是点B,在BO段上运动时，OP是逐渐减小的，所以，在图像上的表现为下降趋势：根据分析，只有C是符合题意的.
解：选C.。