高考数学(理)二轮复习 专题整合突破课件1-7-2坐标系与参数方程(选修4-4)
π (0,1)，将(0,1)转化为极坐标为1， ，即为所求． 2
则直线 l 的直角坐标方程为：x－y＋1＝0. ②由①知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程，
x2＋ y2－x－ y＝0 x＝0 将两方程联立得 ，解得 ， x－y＋1＝0 y＝1
2
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O， 以极轴为 x 轴的正半轴， 建立直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为
2 2 ρ ＋2 2ρ sinθ－ cosθ－4＝0， 2 2
2
化简，得 ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ －4＝0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2＋ y2－2x＋2y－4＝0， 即 (x－1)2＋ (y＋1)2＝6， 所以圆 C 的半径为 6.
主干知识整合
[必记公式] 直角坐标与极坐标的互化公式
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设 M 是平 ρ ＝x ＋y ， x＝ρcosθ， 面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则 y y＝ρsinθ， tanθ＝xx≠0.
2 .(ρ≥0,0≤θ＜2π) 2 ①求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； ②当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标． [解] ①圆 O：ρ＝cosθ＋ sinθ，即 ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， 即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为
故圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2－x－ y＝0，
；
2．直线的极坐标方程 (1)若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π－θ0； ②直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：
ρcosθ＝a
；
π ③直线过 M b， 且平行于极轴：ρsinθ＝b. 2
(3)直线
x＝x0＋tcosα， 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程是 其中 t 是参数． y ＝ y ＋ t sin α ， 0
热点探究悟道
热点一 极坐标方程及其应用
例1
x＝1＋cosφ (1)[2015· 山西四校联考]在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 (φ 为参数)．以 O y ＝ sin φ
为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ①求圆 C 的极坐标方程；
π π ②直线 l 的极坐标方程是 2ρsinθ＋ ＝3 3，射线 OM：θ＝ 与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点 3 3
为 Q，求线段 PQ 的长．
[解] ①圆 C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，又 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ ＝2cosθ.
求解极坐标方程的题应注意两点 (1)曲线的极坐标方程化为直角坐标方程时，如果不容易直接转化，要先变形． (2)已知两曲线的极坐标方程，求交点时可首先化为直角坐标方程，求出直角坐标交点再化为极坐标．
π 1．[2015· 江苏高考]已知圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2 2ρsinθ－ －4＝0，求圆 C 的半径． 4
2 2 2
[重要结论] 1．圆的极坐标方程
2 (1)若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； ②当圆心位于 M(a,0)，半径为 a： ρ＝2acosθ
π ③当圆心位于 Ma， ，半径为 a：ρ＝2asinθ. 2
2．[2015· 课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积． 4
3．几种常见曲线的参数方程 (1)圆
x＝a＋rcosα， ①以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是 其中 α 是参数． y＝b＋rsinα， x＝rcosα， ②当圆心在(0,0)时，方程为 其中 α 是参数． y ＝ r sin α ，
(2)椭圆
x＝acosφ， x2 y2 ①椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程是 其中 φ 是参数． a b y ＝ b sin φ ， x＝bcosφ， x2 y2 ②椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的参数方程是 其中 φ 是参数． b a y ＝ a sin φ ，
ρ＝ 2cosθ π ②设 P(ρ1，θ1)，则由 π 解得 ρ1＝1，θ1＝ . 3 θ＝ 3 ρsinθ＋ 3cosθ＝ 3 3 π 设 Q(ρ2， θ2)，则由 π 解得 ρ2＝3， θ2＝ . 3 θ＝ 3
所以 |PQ|＝ 2.
π (2)[2015· 郑州第二次质量预测 ] 在极坐标系下，已知圆 O ： ρ ＝ cosθ ＋ sinθ 和直线 l ： ρsin θ－ ＝ 4
大二轮· 理Biblioteka 第一编专题整合突破
专题七
选修4－1、4－4、4－5
第二讲
坐标系与参数方程(选修4－4)
命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 2.交汇点 交汇考查． 3.常用方法 求轨迹方程的方法，求曲线交点的方法，求弦长的方法，求函数最值的方法． 极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，参数方程及参数方程化为普通方程． 常与轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，曲线的交点，弦长问题，最值问题等知识
解 (1)因为 x＝ ρcosθ， y＝ ρsinθ，所以 C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝－2，
高三数学一轮复习课件之选修4-4(2)参数方程
解析答案
14
课堂 题型全突破
15
参数方程与普通方程的互化
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ (θ 为参数)．
答案
6
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝_r_c_o_s_θ___， y＝__rs_i_n_θ___
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
x＝_a_c_o_s_φ__， y＝_b_s_i_n_φ__
由|AB|＝
10得
cos2α＝38，tan
α＝±
15 3.
所以 l 的斜率为
315或－
15 3.
35
[规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分 别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特 点，确定选择何种方程. 2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义， 或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
对应参数 t＝π3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3. ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
10
x＝－1＋cos θ，
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件理选修4_4
[方法技巧] 1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减 消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋ tan2θ＝co1s2θ. 2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简 捷方便，是我们解决这类问题的好方法．
[易错防范] 在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的 x， y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参 数方程的等价性．
(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]．
[典题 2] 已知曲线 C1：xy＝＝3－＋4s＋inctos t， (t 为参数)，曲线 C2：
答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2))
3．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别
为
x＝ y＝
5cos θ， 5sin θ
θ为参数，0≤θ≤π2
和
x＝1－ 22t， y＝－ 22t
(t 为参
数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________．
[听前试做] (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y ＝0，
曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x＝0. 联立xx22＋＋yy22－－22y＝3x0＝，0，
解得yx＝＝00，
x＝ 或
23，
y＝32.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 23，32.
当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相 等的实根，即 Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，
2018高考数学理二轮复习课件：1-7-2 坐标系与参数方程选修4-4 精品
由|AP|＝d 得 3sinθ－4cosθ＝5，
又 sin2θ＋cos2θ＝1，得 sinθ＝53，cosθ＝－54.
故
P－85，3
5
3.
(2)[2015·沈阳质监]在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为xy＝＝44csoinsθθ (θ 为参数)，直线 l 经过点
P(1,2)，倾斜角 α＝6π. ①写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程； ②设直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA|·|PB|的值．
所以t1＋t2＝3 2 t1·t2＝4
，又直线 l 过点 P(3，
5)，A、B 两点对应的参数分别为 t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|
＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
x＝3＋12t，
2．[2015·陕西高考]在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为 y＝
3 2t
(t 为参数)．以原点为极
1．[2015·江苏高考]已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2 2ρsinθ－π4－4＝0，求圆 C 的半径． 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.
圆 C 的极坐标方程为
ρ2＋2
2ρ
22sinθ－
22cosθ－4＝0，
化简，得 ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ －4＝0.
[解] ①椭圆 C：xy＝ ＝2c3ossiθnθ (θ 为参数)，直线 l：x－ 3y＋9＝0. ②设 P(2cosθ， 3sinθ)， 则|AP|＝ 2cosθ－12＋ 3sinθ2＝2－cosθ，
点 P 到直线 l 的距离 d＝|2cosθ－23sinθ＋9|＝2cosθ－23sinθ＋9.
2019届高考数学二轮复习坐标系与参数方程(选修4—4)课件(28张)(全国通用)
消元法, 转化思 想
专题探究
-8-
1.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点 O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐 标系.
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
全 求曲线的普通方程; 国 求曲线与直线交点
Ⅲ 的极径
参数方程,极坐 标,双曲线,直线
题目类 解题思
型
想方法
消元法, 参数 方程思
方程 想,转化 思想
极坐 标
消元法, 代入法, 转化思
想
参数 消元法, 方程, 代入法, 极坐 方程思
标想
专题探究
-7-
年份
卷 别
设问特点
涉及知识点
全 极坐标方程化为直
2015 全 国
Ⅱ
求两极坐标方程交 点的直角坐标;求两 点距离的最值
参数方程,极坐 标,圆,三角函数 化简,最值
参数 方程, 极坐 标
方程思 想,消元 法,转化 思想
专题探究
-5-
年份
卷 别
设问特点
涉及知识点
题目类 解题思
型
想方法
全 国
Ⅰ
求参数方程的极坐 标方程;求半径
参数方程,极坐 标,直线,圆,交点
2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴 重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可 以互化.
考向一 考向二 考向三 考向四
2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十七坐标系与参数方程讲义理(选修4_4)
专题十七坐标系与参数方程卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值纵向把握趋势考题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、曲线方程的求解及点到直线距离的应用．预计2019年会以直线与圆为载体考查直线与圆参数方程和极坐标方程的应用考题主要涉及直角坐标方程与参数方程和极坐标方程的互化、轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题、直线与圆位置关系的应用，难度适中．预计2019年会以极坐标或参数方程为载体，考查直线与圆的方程及性质横向把握重点1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2.全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用极坐标方程及应用[由题知法]1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r 2＝0.20几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ，半径为a ：ρ＝2a sin θ.(a ，π2)2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M 且平行于极轴：ρsin θ＝b .(b ，π2) (2019届高三·广州七校第一次联考)已知曲线C 的参数方程为Error!(α为参[典例]数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝，l 2：θ＝，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点A ，B ，求△AOB π6π3的面积．[解] (1)∵曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.将Error!代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(2)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，由Error!得|OA |＝2＋1.3同理可得|OB |＝2＋.3又∠AOB ＝，π6∴S △AOB ＝|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝.128＋534∴△AOB 的面积为.8＋534[类题通法]1．极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[应用通关]1．(2019届高三·南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ，直(θ＋π3)线l 的直角坐标方程为y ＝x .33(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1、曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解：(1)由曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.易知直线l 过原点，且倾斜角为，π6故直线l 的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．π6(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 的极坐标方程为θ＝，π6将θ＝代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1，π6将θ＝代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4，π6∴|ρ2－ρ1|＝3.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以＝2，故k ＝－|－k ＋2|k 2＋1或k ＝0.43经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．43当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以＝2，故k ＝0|k ＋2|k 2＋1或k ＝.43经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝时，l 2与C 2没有公共点．43综上，所求C 1的方程为y ＝－|x |＋2.43参数方程及应用[由题知法]常见的几种曲线的普通方程和参数方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x－x 0)Error!(t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2Error!(φ为参数)抛物线y 2＝2pxError!(t 为参数) 已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，圆C 的参数方程为Error!(α[典例]为参数)．(1)若直线l 与圆C 的相交弦长不小于，求实数m 的取值范围；2(2)若点A 的坐标为(2,0)，动点P 在圆C 上，试求线段PA 的中点Q 的轨迹方程．[解] (1)由直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，得直线l 的普通方程为y ＝mx ，由圆C 的参数方程为Error!(α为参数)，得圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.则圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝，1m 2＋1故相交弦长为2 ，1－1m 2＋1所以2 ≥，1－1m 2＋12解得m ≤－1或m ≥1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)设P (cos α，1＋sin α)，Q(x ，y )，则x ＝(cos α＋2)，y ＝(1＋sin α)，1212消去α，整理可得线段PA 的中点Q 的轨迹方程为(x －1)2＋2＝.(y －12)14[类题通法]1．参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t ·＝1；1t②2－2＝4；(t ＋1t )(t －1t )③2＋2＝1.(2t 1＋t 2)(1－t 21＋t 2)2．与参数方程有关问题的求解方法(1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为Error!(t 为参数)，|t |等于直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的距离．若直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为(t 1＋t 2)．12(2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝x 24y 216tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－，4 2cos α＋sin α1＋3cos 2α故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos＝－.(θ＋π4)2(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由Error!消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos ＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，(θ＋π4)2所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ，(2，π2)设点P 的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t )，22则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝.|－6＋2cos (t ＋π4)|2所以d min ＝＝2，又|AB |＝2.4222所以△PAB 面积的最小值是S ＝×2×2＝4.1222极坐标方程与参数方程的综合问题[由题知法] (2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点[典例](1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝.8cos θ1－cos 2θ(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α＝，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．π4[解] (1)由题意可得直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．∵曲线C 的极坐标方程为ρ＝，8cos θ1－cos 2θ∴ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)法一：当α＝时，直线l 的参数方程为π4Error!(t 为参数)，代入y 2＝8x 可得t 2－8t －16＝0，2设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝－16，2∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝8. t 1＋t 2 2－4t 1t 23又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin ＝，π422∴S △AOB ＝×|AB |×d ＝×8×＝2.12123226法二：当α＝时，直线l 的方程为y ＝x －1，π4设M (1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得y 2－8y －8＝0，则y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8，∴S △AOB ＝|OM ||y 1－y 2|＝×1×＝×＝×41212 y 1＋y 2 2－4y 1y 21282－4× －8 12＝2.66[类题通法] 解极坐标方程与参数方程综合问题的策略(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[应用通关]1．(2018·合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(θ为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值．解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1.设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)，由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1.∵|MC 2|＝ 3cos θ－1 2＋4sin 2θ＝，5cos 2θ－6cos θ＋5∴当cos θ＝时，|MC 2|min ＝，35455∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝－1.4552．(2018·陕西质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为Error!(t ＞0，α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝3.2(θ＋π4)(1)当t ＝1时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围．解：(1)由ρsin ＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3，2(θ＋π4)把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －3＝0，当t ＝1时，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1，∴曲线C 为圆，且圆心为O ，半径r ＝1，则点O 到直线l 的距离d ＝＝，|0＋0－3|2322∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋.322(2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对任意的α∈R ，t cos α＋sin α－3＜0恒成立，即cos(α－φ)＜3恒成立，t 2＋1(其中tan φ＝1t)∴ ＜3，t 2＋1又t ＞0，∴0＜t ＜2.2∴实数t 的取值范围为(0,2)．2[专题跟踪检测](对应配套卷P207)1．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为Error!(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．2(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝时，l 与⊙O 交于两点．π2当α≠时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －.π22l 与⊙O 交于两点需满足<1，21＋k 2解得k <－1或k >1，即α∈或α∈.(π2，3π4)(π4，π2)综上，α的取值范围是.(π4，3π4)(2)l 的参数方程为Error!（t 为参数，<α<）.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，π43π4t P ，则t P ＝，且t A ，t B 满足t 2－2t sin α＋1＝0.t A ＋t B22于是t A ＋t B ＝2sin α，t P ＝sin α.22又点P 的坐标(x ，y )满足Error!所以点P 的轨迹的参数方程是Error!（α为参数，<α<）.π43π42．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为Error!(t 为参数)，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程和交点A 的坐标(非坐标原点)；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为B (非坐标原点)，求△π4OAB 的最大面积．解：(1)由Error!(t 为参数)，得曲线C 1的普通方程为y ＝x tan α，故曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2)2＋y 2＝4，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.故交点A 的坐标为(4cos α，α)(也可写出直角坐标)．(2)由题意知，点B 的极坐标为.(22，π4)∴S △OAB＝＝|12×22×4cos α×sin (π4－α)|，|22sin (2α－π4)－2|当sin ＝－1时，(S △OAB )max＝2＋2，(2α－π4)2故△OAB 的最大面积是2＋2.23．(2018·辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.[0，2π](1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：Error!(t 为参数)的距离最短，写出D 点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)由直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，消去t 得l 的普通方程为x ＋y －5＝0，3由(1)得曲线C 的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l 的距离为＝2＞1，|1－5|1＋3所以曲线C 与l 相离．因为点D 在曲线C 上，所以可设D (cos α，1＋sin α)，则点D 到直线l 的距离d ＝＝，|3cos α＋1＋sin α－5|2|2sin (α＋π3)－4|2当sin ＝1时，点D 到直线l 的距离d 最短，此时α＝，故点D 的直角坐标为(α＋π3)π6.(32，32)4．(2019届高三·昆明调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A (2,1)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|P Q|2＝|AP |·|A Q|，求直线l 的斜率k .解：(1)直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3＝0，由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos 2α＞，34则t 1＋t 2＝－4cos α，t 1·t 2＝3，由参数的几何意义知，|AP |＝|t 1|，|A Q|＝|t 2|，|P Q|＝|t 1－t 2|，由题意知，(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，则(t 1＋t 2)2＝5t 1·t 2，得(－4cos α)2＝5×3，解得cos 2α＝，满足cos 2α＞，151634所以sin 2α＝，tan 2α＝，116115所以直线l 的斜率k ＝tan α＝±.15155．已知曲线C ：Error!(α为参数)和定点A (0，)，F 1，F 2是此曲线的左、右焦点，3以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．解：(1)曲线C ：Error!可化为＋＝1，x 24y 23故曲线C 为椭圆，则焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)．所以经过点A (0，)和F 2(1,0)的直线AF 2的方程为x ＋＝1，即x ＋y －＝0，3y333所以直线AF 2的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝.33(2)由(1)知，直线AF 2的斜率为－，因为l ⊥AF 2，所以直线l 的斜率为，即倾斜角333为30°，所以直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，代入椭圆C 的方程中，得13t 2－12t －36＝0.3则t 1＋t 2＝.12313因为点M ，N 在点F 1的两侧，所以||MF 1|－|NF 1||＝|t 1＋t 2|＝.123136．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标；(2)射线θ＝β与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (A ，B 异于原点)，求(π6≤β≤π3)|OA ||OB |的取值范围．解：(1)由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立Error!得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ＜π，①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝，得cos θ＝±，1412当cos θ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，12π33(23，π3)当cos θ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，122π33(23，2π3)∴C 1与C 2交点的极坐标为(0,0)，，.(23，π3)(23，2π3)(2)将θ＝β代入C 1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β，代入C 2的极坐标方程中，得ρ2＝，sin βcos 2β∴＝＝4cos 2β.|OA ||OB |4sin βsin βcos 2β∵≤β≤，∴1≤4cos 2β≤3，π6π3∴的取值范围为[1,3]．|OA ||OB |7．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：Error!(α为参数，t ＞0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos (θ－π4)＝.2(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为＋，求t 的值．622解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，(θ－π4)2所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为Error!(α为参数，t ＞0)，所以曲线C 的普通方程为＋y 2＝1(t ＞0)，x 2t2由Error!消去x ，得(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)＜0，又t ＞0，所以0＜t ＜，3故t 的取值范围为(0，)．3(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离d ＝，|t cos α＋sin α－2|2故d 的最大值为，t 2＋1＋22由题设得＝＋，t 2＋1＋22622解得t ＝±.2又t ＞0，所以t ＝.28．(2019届高三·成都诊断)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.3(π2，π)(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.由ρ＝2，得sin θ＝，332∵θ∈，∴θ＝.(π2，π)2π3(2)易知直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0，33∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.33又射线OA 的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，2π3联立Error!解得ρ＝4.3∴点B 的极坐标为，(43，2π3)∴|AB |＝|ρB －ρA |＝4－2＝2.333。
高考数学冲刺讲义选修4-4坐标系与参数方程(选考)
(1 t ) (1 t ) 4,
2 2
因此t1 1, t2 1
t 1
2
x1 0 分别代入直线方程，得 y1 2 交点为A(0，2)和B(2，0)。
x2 2 y2 0
选修4-4
六.圆锥曲线的参数方程
x x0 lt ,t R y y0 mt
例10:直线过点A(1，3)，且与向量(2，-4)共线: (1)求出直线的参数方程；(2)练习:求点P(-2，-1) 到此直线的距离。
x 1 2t y 3 4t
解:(1)
(2)解第二问的方法很多，最简单的方法就是把直线才 参数方程转换为直线的一般方程，然后利用点到直线 的距离公式求解。 答案: 2 2
又因为(t以s为单位)，得参数方程
x 2 cos 60 t ,t 0 y 2 sin t 60
O
A 2 x
曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程，转化的 关键是找到一个适当的参数。
曲线的普通方程和参数方程之间有些容易转化，有些则 较困难，有些无法转化。
由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系。这是极 坐标与直角坐标的 0 ，此时极坐标 ( , ) 对应的点M 的位置下面规则确定:点M在与极轴成 角的射线的反向 延长线上， 它到极点O的距离为 ，即规定当 0 时，点
M ( , ) 就是点M ( , ) 。
选修4-4
坐标系 与 参数方程
选修4-4
一.坐标系 在生产实践中，随着活动范围的扩大和对精度要 求的提高，为了更快，更准确的表述物体的位置， 我们通常要建立新的坐标系，叫做极坐标。
2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材数学(理) 坐标系与参数方程(选修4—4)(含解析)
考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。
人教A版高三理科数学二轮模块三重点专题专题七 选修4系列选讲 第一讲 坐标系与参数方程(选修4-4)
3．几个特殊位置的直线的极坐标方程
高
(1)直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π＋θ0.
考
真 题
(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝A．
体 验
(3)直线过 Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝B．
第9页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
【例 1】 (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点 M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线 C：
体
验
＝ |
2sin2θ4＋π4＋1|，所以||OOMN||的最小值为
24＋1＝4(
2－1)．
第22页
与名师对话·系列丛书
角度 2：直线参数方程中参数几何意义的应用
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
核 心
【例 3】 (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为yx＝＝42scionsθθ，
(t 为参数)．
真
题
体
验
第20页
与名师对话·系列丛书
大二轮专题辅导与增分攻略•数学 （理）
(1)求曲线 C1 和曲线 C2 的普通方程；
核 心
(2)过坐标原点 O 作直线交曲线 C1 于点 M(异于点 O)，交曲线 C2 于点 N，求||OOMN||的
考 点
最小值．
突
破
[解题指导] (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 求曲线 C1 的普通方程→利用代换消去参数 t
考 点
当 cosα＝0 时，l 的普通方程为 x＝1.
突
破
(2)将 l 的参数方程代入 C 的普通方程，整理得关于 t 的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋
【人教版】数学(理)一轮复习：选修4-4《坐标系与参数方程》(第2节)ppt课件 公开课一等奖课件PPT
选修4-4 坐标系与参数方程
2．(2013·陕
西
高考
)圆
锥曲线
x＝t2， y＝2t
(t 为参数)的焦点坐标是
________．
解析 代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2＝4x，
则焦点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
选修4-4 坐标系与参数方程
3．(2012·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴
选修4-4 坐标系与参数方程
直线的参数方程 [典题导入]
(2014·东北三省三校第二次联考)在直角坐标系 xOy 中，已
知点 P(0， 3)，曲线 C 的参数方程为xy＝ ＝
5cos φ， 15sin φ
(φ 为参数)．以
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标
方程为 ρ＝2cosθ3－π6.
解析 直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋y2 ＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为
12＋|2|－12＝ 2. 答案 2
选修4-4 坐标系与参数方程
5．(2013·广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点
为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的
参数分别为 t1，t2.线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0. 注意以下几个常用的结论：
(1)t0＝t1＋2 t2；(2)|PM|＝|t0|＝|t1＋2 t2|；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|
＝|t1t2|.
选修4-4 坐标系与参数方程