四川省渠县崇德实验学校2021年九年级中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题

四川省渠县崇德实验学校2021中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题1、如图，已知(2,1)=+的图象上，并且直线交x轴于点A--，(1,3)B两点在一次函数y kx bC，交y轴于点D．（1）求出C，D两点的坐标；（2）求AOB∆的面积．2、如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，//AB OC，-．∠=︒，BC=C的坐标为(18,0)BCO∠=︒，45AOC90（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且4∠=︒，求直OFEOE=，45线DE的解析式；（3）求点D的坐标．3、在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线:=交OC y x于C．（1）如图1若直线AB的解析式：212=-+y x①求点C的坐标；②求OAC∆的面积；（2）如图2，作AOC⊥，垂足为E，且4OA=，P、Q分别为∠的平分线ON，若AB ON线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，是探索AQ PQ+是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．4、如图，直线1:4l y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点D ，点A ，直线21:12l y x =+与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B ，连AC ． （1）求点B 的坐标和直线AC 的解析式； （2）求ABC ∆的面积．5、如图，已知直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，再将△0A B 沿直钱CD折叠，使点A 与点B 重合．折痕CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 ；点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度，并求出此时直线BC 的表达式；（3）直线BC 上是否存在一点M ，使得ABM ∆的面积与ABO ∆的面积相等？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(,3)C m ．（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =，直线22:l y k x b =+经过点(1,C ，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线1l 的解析式；（2）如图①：若EC ED =，求点D 的坐标和BFD ∆的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使PCD ∆是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图直线:6-，点A =+与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是(8,0) l y kx的坐标为(6,0)-．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，PAC∆的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得BCM∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、如图，平面直角坐标系中，Q（0，6），直线y＝x﹣4交y轴、x轴于A、B两点，P为直线AB上一动点．（1）求证：以PQ为直径的圆过定点，并求定点坐标；（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．10、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)B，点P是x轴正半轴上一动点．给出A、点(4,1)4个结论：①线段AB的长为5；②在APB∆中，若AP APB∆的面积是③使APB∆为等腰三角形的点P有3个；④设点P的坐标为(,0)x其中正确的结论有．11、如图1，直线3y x=-+交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且30CAO∠=︒．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与ACB∆重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点(1,0)Q，点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．12、如图1，已知直线22y x=+与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt ABC∆（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD AC=，求证：BE DE=．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，5(2P-，)k是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使BPN∆面积等于BCM∆面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13、如图1，直线y ＝x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以A 为顶点，以AB 为腰在第二象限内作等腰直角△ABC ． （1）求点C 的坐标；（2）如图2，若M 为x 轴上的一个动点，N 为直线AB 上的一个动点，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M 点、N 点坐标；（3）如图3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当P 点沿y 轴负方向向下运动时，以P 为顶点，以AP 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求证：OP ﹣DE 为定值．14、如图，在平面直角坐标系中，直线1:l y x 2:l y b =+相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ．（1）求ABC ∆的面积；（2）点E 坐标为(5,0)，点F 为直线1l 上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF CF +最小时，点F 的坐标，并求出此时PF 的最小值； （3）将OBC ∆沿直线1l 平移，平移后记为△111O B C ，直线11O B 交2l 于点M ，直线11B C 交x 轴于点N ，当△1B MN 为等腰三角形时，请直接写出点1C 的横坐标．15、已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA ＝OB ，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为y ＝x ，过点C 作CM ⊥y 轴，垂足为M ，OM ＝9．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC ＝OM ，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．16、如图1，在直角坐标系中，过A（2，0），B（0，﹣4）两点的直线与直线y＝﹣x+5交于点E，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于C，D两点，（1）求直线AB的解析式和点E的坐标；（2）在射线EB上有一点M，使得点M到直线DC的距离为3，求点M的坐标；（3）在（1）的基础上，过点O，A，P，Q（0，2）作正方形OAPQ如图2，将正方形OAPQ沿x轴正方向平移，得到正方形O′A′P′Q′，当点A与点C重合时停止移动．设点A'的坐标为（t，0），正方形O′A′P′Q′与△ACE重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应t的取值范围．参考答案四川省渠县崇德实验学校2021中考数学压轴题专题复习：一次函数综合题1、如图，已知(2,1)=+的图象上，并且直线交x轴于点B两点在一次函数y kx bA--，(1,3)C，交y轴于点D．（1）求出C，D两点的坐标；（2）求AOB∆的面积．【解答】解：（1）将(2,1)A --、(1,3)B 代入y kx b =+，得：213k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， 解得4353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以4533y x =+， 当0x =时53y =，则5(0,)3D ； 当0y =时，45033x +=，解得54x =-，则5(4C -，0)； （2）AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+1||(||||)2C A B x y y =+ 15(13)24=⨯⨯+ 52=． 2、如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴上，//AB OC ，90AOC ∠=︒，45BCO ∠=︒，BC =C 的坐标为(18,0)-．（1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且4OE =，45OFE ∠=︒，求直线DE 的解析式；（3）求点D 的坐标．【解答】解：（1）过B 作BG x ⊥轴，交x 轴于点G ，在Rt BCG ∆中，45BCO ∠=︒，BC =12BG CG ∴==，(18,0)C -，即18OC =，18126OG OC CG ∴=-=-=，则(6,12)B =-；（2）90EOF ∠=︒，45OFE ∠=︒，OEF ∴∆为等腰直角三角形，4OE OF ∴==，即(0,4)E ，(4,0)F ，设直线DE 解析式为y kx b =+，把E 与F 坐标代入得：440b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：1k =-，4b =，∴直线DE 解析式为4y x =-+；（3）设直线OB 解析式为y mx =，把(6,12)B -代入得：2m =-，∴直线OB 解析式为2y x =-，联立得：42y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得：48x y =-⎧⎨=⎩， 则(4,8)D -．3、在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线:OC y x =交于C ．（1）如图1若直线AB 的解析式：212y x =-+①求点C 的坐标；②求OAC ∆的面积；（2）如图2，作AOC ∠的平分线ON ，若AB ON ⊥，垂足为E ，且4OA =，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连接AQ 与PQ ，是探索AQ PQ +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①联立AB 、OC 的函数表达式得：212y x y x =⎧⎨=-+⎩，44x y =⎧⎨=⎩， 点(4,4)C ；②直线AB 的解析式：212y x =-+令0y =，则6x =，即6OA =，11641222OAC C S OA y ∆=⨯⨯=⨯⨯=； （2）ON 是AOC ∠的平分线，且AB ON ⊥，则点A 关于ON 的对称点为点C ，4AO OC ==，当C 、Q 、P 在同一直线上，且垂直于x 轴时，AQ PQ +有最小值CP ， 设：CP OP x ==，则222416x ==，解得：x CP =．4、如图，直线1:4l y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点D ，点A ，直线21:12l y x =+与x 轴交于点C ，两直线1l ，2l 相交于点B ，连AC ．（1）求点B 的坐标和直线AC 的解析式；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）4112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得，22x y =⎧⎨=⎩， ∴点B 的坐标为(2,2)，将0y =代入112y x =+，得2x =-，即点C 的坐标为(2,0)-， 将0x =代入4y x =-+，得4y =，即点A 的坐标为(0,4)，设过点A 和点C 的直线的解析式为y kx b =+，204k b b -+=⎧⎨=⎩，得24k b =⎧⎨=⎩， 即直线AC 的解析式为24y x =+；（2）将0y =代入4y x =-+得，4x =，即点D 的坐标为(4,0)， A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,2)，点C 的坐标为(2,0)-，点D 的坐标为(4,0)， 6462622ABC ACD CBD S S S ∆∆∆⨯⨯∴=-=-=， 即ABC ∆的面积的是6．5、如图，已知直线334y x=-+与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将△0A B沿直钱CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）点A的坐标为(4,0)；点B的坐标为；（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；（3）直线BC上是否存在一点M，使得ABM∆的面积与ABO∆的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令0y=，则4x=；令0x=，则3y=，故点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)．故答案为(4,0)，(0,3)；（2）设OC x=，直线CD垂直平分线段AB，4AC CB x∴==-，90BOA ∠=︒，222OB OC CB ∴+=，2223(4)x x +=-， 解得78x =， 78OC ∴=， 7(8C ∴，0)，设直线BC 的解析式为y kx b =+， 则有3708b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得2473k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为2437y x =-+．（3）过点O 作//OM AB 交直线BC 于M ．//OM AB ，AOB ABM S S ∆∆∴=，直线AB 的解析式为334y x =-+，//OM AB ， ∴直线OM 的解析式为34y x =-， 由342437y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得28252125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 28(25M ∴，21)25-， 根据对称性可知，经过点(0,6)O '与直线AB 平行的直线与直线BC 的交点M '，也满足条件，易知BM BM '=，设(,)M m n '，则有282502m +=，212532n -=， 2825m ∴=-，17125n =， 28(25M ∴'-，171)25， 综上所述，满足条件的点M 坐标为28(25，21)25-或28(25-，171)25．6、如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(,3)C m ．（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．【解答】解：（1）把(,3)C m 代入一次函数152y x =-+，可得 1352m =-+， 解得4m =，(4,3)C ∴，设2l 的解析式为y ax =，则34a =， 解得34a =， 2l ∴的解析式为34y x =； （2）如图，过C 作CD AO ⊥于D ，CE BO ⊥于E ，则3CD =，4CE =，152y x =-+，令0x =，则5y =；令0y =，则10x =， (10,0)A ∴，(0,5)B ，10AO ∴=，5BO =，11103541510522AOC BOC S S ∆∆∴-=⨯⨯-⨯⨯=-=；（3）一次函数1y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，∴当3l 经过点(4,3)C 时，12k =； 当2l ，3l 平行时，34k =； 当1l ，3l 平行时，12k =-； 故k 的值为12或34或12-．7、在平面直角坐标系xOy 中，直线11:l y k x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =，直线22:l y k x b =+经过点(1,C ，与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线1l 的解析式；（2）如图①：若EC ED =，求点D 的坐标和BFD ∆的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使PCD ∆是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线1y k x =+y 轴B 点，(0B ∴，，OB ∴=，36OA ==，(6,0)A ∴，把(6,0)A 代入1y k x =+1k =，∴直线1l 的解析式为y =+（2）如图1中，作CM OA ⊥于M ，DN CA ⊥于N ．90CME DNE ∠=∠=︒，MEC NED ∠=∠，EC DE =，()CME DNE AAS ∴∆≅∆，CM DN ∴=(1,3)C -，CM DN ∴=当y =x =+ 解得3x =，D ∴，把(1,C，D 代入2y k x b =+，得到223k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴直线CD的解析式为y -(0,F ∴-，132BFD S ∆∴=⨯=（3）①如图③1-中，当PC PD =，90CPD ∠=︒时，作DM OB ⊥于M ，CN y ⊥轴于N ．设(0,)P m ．90DMP CNP CPD ∠=∠=∠=︒，90CPN PCN ∴∠+∠=︒，90CPN DPM ∠+∠=︒，PCN DPM ∴∠=∠，PD PC =，()DMP NPC AAS ∴∆≅∆，1CN PM ∴==，PN DM m ==(D m ∴+1)m +，把D点坐标代入y=+1+=++m m解得6m=，P∴，6)．(0②如图③2-中，当PC PCP n．⊥于M，CN OA⊥于N．设(,0)CPD=，90∠=时，作DM OA同法可证：DMP PNC∆≅∆，∴==，1PM CN==-，DM PN n∴1)D n(n-，把D点坐标代入y=+1-=+n n解得n=∴0)．P综上所述，满足条件的点P坐标为(0，6)或0)8、如图直线:6=+与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是(8,0)-，点A l y kx的坐标为(6,0)-．（1）求k的值．（2）若点P 是直线l 在第二象限内一个动点，当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积为3，求出此时直线AP 的解析式．（3）在x 轴上是否存在一点M ，使得BCM ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线:6l y kx =+过点(8,0)B -，086k ∴=-+，34k ∴=． （2）当0x =时，3664y x =+=， ∴点C 的坐标为(0,6)．依照题意画出图形，如图1所示，设点P 的坐标为3(,6)4x x +， PAC BOC BAP AOC S S S S ∆∆∆∆∴=--，1131862(6)662242x =⨯⨯-⨯+-⨯⨯， 334x =-=， 4x ∴=-，∴点P 的坐标为(4,3)-．设此时直线AP 的解析式为(0)y ax b a =+≠，将(6,0)A -，(4,3)P -代入y ax b =+，得：6043a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：329a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴当点P 的坐标为(4,3)-时，PAC ∆的面积为3，此时直线AP 的解析式为392y x =+． （3）在Rt BOC ∆中，8OB =，6OC =，10BC ∴==．分三种情况考虑（如图2所示）:①当CB CM =时，18OM OB ==，∴点1M 的坐标为(8,0)；②当BC BM =时，2310BM BM BC ===，点B 的坐标为(8,0)-，∴点2M 的坐标为(2,0)，点3M 的坐标为(18,0)-；③当MB MC =时，设OM t =，则448M B M C t ==-，22244CM OM OC ∴=+，即222(8)6t t -=+， 解得：74t =， ∴点4M 的坐标为7(4-，0)．综上所述：在x 轴上存在一点M ，使得BCM ∆为等腰三角形，点M 的坐标为(18,0)-，7(4-，0)，(2,0)或(8,0)．9、如图，平面直角坐标系中，Q（0，6），直线y＝x﹣4交y轴、x轴于A、B两点，P为直线AB上一动点．（1）求证：以PQ为直径的圆过定点，并求定点坐标；（2）记（1）中的定点为D，把∠AQD绕点Q顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到∠A'QD'，射线QA'交x轴于E，作EF⊥QD'于F，求AF的最小值．【解答】（1）证明：证法一：如图1，过Q作QD⊥AB于D，过D作DM⊥y轴于M，∴∠PDQ＝90°，∵以PQ为直径的圆过定点D，∵∠MAD+∠ADM＝∠ADM+∠QDM＝90°，∴∠MAD＝∠QDM，∵∠AMD＝∠DMQ＝90°，∴△DMQ∽△AMD，∴，即DM2＝AM•MQ，设D（m，m﹣4），∴m2＝（m﹣4+4）（6﹣m+4），m2＝m（10﹣m），5m2﹣20m＝0，m1＝0（舍），m2＝4，∴定点D（4，﹣2）；证法二：如图2，连接BQ，直线y＝x﹣4，当y＝0时，x﹣4＝0，∴x＝8，∴OB＝8，当x＝0时，y＝﹣4，∴OA＝4，∵Q（0，6），∴AQ＝6+4＝10，BQ＝＝10，∴AQ＝BQ，取AB的中点D，连接DQ，则QD⊥AB，∴以PQ为直径的圆过定点D，∵A（0，﹣4），B（8，0），∴定点D（4，﹣2）；（2）解：∵△AQD旋转得到△A'QD'，∴∠A'QD'＝∠AQD，由图1知：tan∠AQD＝＝＝，∴tan∠A'QD'＝tan∠AQD＝，∴＝，过F作GH∥y轴，交y轴于H，过E作EG⊥GH于G，∵EF⊥FQ，∴∠EFG+∠QFH＝∠EFQ＝90°，∵∠EFG+∠FEG＝90°，∴∠QFH＝∠FEG，∵∠EGF＝∠FHQ＝90°，∴△EGF∽△FHQ，∴，设EG＝n，则，∴FH＝2n，∴F（﹣2n，﹣n），∴F在直线y＝x上，∴AF的最小值即是A到直线y＝x的距离，如图4，过F作FM⊥y轴于M，∵F（﹣2n，﹣n），∴OF＝n，∴tan∠MOF＝，∵∠MOF+∠AOF＝∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠MOF＝∠OAF，∴tan∠OAF＝，∴sin∠OAF＝＝，∴，OF＝，∴AF＝2OF＝．10、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)B，点P是x轴正半轴上一动点．给出A、点(4,1)4个结论：①线段AB的长为5；②在APB∆中，若AP APB∆的面积是③使APB∆为等腰三角形的点P有3个；④设点P的坐标为(,0)x其中正确的结论有③④．【解答】解：①如图1，过B作BC OA⊥于C，点(0,3)B，A、点(4,1)312∴=-=，4BC=，AC在Rt ABC∆中，由勾股定理得：AB=，故①结论不正确；②如图2，在Rt APO ∆中，3AO =，AP =2OP ∴=， 过B 作BD x ⊥轴于D ，1BD ∴=，422PD =-=，APB AOP PDB AODB S S S S ∆∆∆∴=--梯形，111()222OD BD AO AO OP PD BD =⨯⨯+--， 1114(13)3221222=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯， 831=--，4=，故②结论不正确； ③如图3，)i 以A 为圆心，以AB 为半径画圆与x 轴的正半轴有一交点1P ，得△1APB 是等腰三角形；)ii 作AB 的中垂线，交x 轴的正半轴有一交点2P ，得△2AP B 是等腰三角形；)iii 以B 为圆心，以AB 为半径画圆与x 轴的正半轴有一交点3P ，得△3AP B 是等腰三角形； 综上所述，使APB ∆为等腰三角形的点P 有3个； 故③结论正确；④如图4，过B 作BD x ⊥轴于D ， (,0)P x ，OP x ∴=，4PD x =-，由勾股定理得：AP =，PB 作A 关于x 轴的对称点A '，连接A B '交x 轴于P ，则PA PA '=，AP PB A P PB A B ''∴+=+=，此时AP PB +的值最小， 过B 作BC OA ⊥于C ， 则3324A C '=+-=，4BC =，由勾股定理得：A B '=AP PB ∴+的最小值是即设点P 的坐标为(,0)x 故④结论正确；综上所述，其中正确的结论有：③④； 故答案为：③④．11、如图1，直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且30y x∠=︒．CAO（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与ACB∆重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点(1,0)Q，点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．【解答】解：（1）直线3=-+交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为(3,0)、y x(0,3)，∠=︒，则26==，则OA=AC OCCAO30将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y kx b=+并解得：直线AC的表达式为：3y=+；（2）如图2所示：①当03t 时，（左侧图），正方形的DA 边交AC 于点H ，点A 运动到点M 处，则点(M t -，0)，则点(H t -)，21122AHM S S AM HM t ∆==⨯⨯=⨯，②当333t <时，（右侧图），正方形的DA 边交AC 于点H ，点A 运动到点G 处，E 、F 交直线AC 于点R 、S ，AG t =，则3AS t =-，则3)RS t =-，同理HG =，同理可得：132RSHG S S ==⨯⨯+-⎝梯形；故：2(03)33)t S t =⎨<；（3）点M 为线段AC 上一动点，经画图，MQN ∠分别为90︒时，点M 不在线段AC 上， ①90NMQ =︒时，三角形QMN 为等腰直角三角形，过点M 作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点N 作x 轴的平行线交MG 于点R 、交y 轴于点H ，设点M 、N 的坐标分别为(3)m +、(,3)n n -， 90NMR RNM ∠+∠=︒，90MNR GMQ ∠+∠=︒，GMQ RNM ∴∠=∠，90NRM MGO ∠=∠=︒，MR MQ =，()NRM MGO AAS ∴∆≅∆，则MG RN =，GQ RM =，即：3n m -=+，33)1n m --+=-，解得：m =-故点M 的坐标为(-1)； ②当90MNQ ∠=︒时，同理可得：点(M 2)；综上，点M 的坐标为：(-1)或(，2)．12、如图1，已知直线22y x =+与y 轴，x 轴分别交于A ，B 两点，以B 为直角顶点在第二象限作等腰Rt ABC ∆（1）求点C 的坐标，并求出直线AC 的关系式；（2）如图2，直线CB 交y 轴于E ，在直线CB 上取一点D ，连接AD ，若AD AC =，求证：BE DE =．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC 交x 轴于点M ，5(2P -，)k 是线段BC 上一点，在x 轴上是否存在一点N ，使BPN ∆面积等于BCM ∆面积的一半？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-，则点A 、B 的坐标分别为：(0,2)、(1,0)-，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，90HCB CBH ∠+∠=︒，90CBH ABO ∠+∠=︒，ABO BCH ∴∠=∠， 90CHB BOA ∠=∠=︒，BC BA =，()CHB BOA AAS ∴∆≅∆，2BH OA ∴==，CH OB =，则点(3,1)C -，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx b =+得：213b m b =⎧⎨=-+⎩，解得：132m b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故直线AC 的表达式为：123y x =+；（2）同理可得直线CD 的表达式为：1122y x =--⋯①，则点1(0,)2E -，直线AD 的表达式为：32y x =-+⋯②， 联立①②并解得：1x =，即点(1,1)D -，点B 、E 、D 的坐标分别为(1,0)-、1(0,)2-、(1,1)-，故点E 是BD 的中点，即BE DE =；（3）将点BC 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC 的表达式为：1122y x =--，将点P 坐标代入直线BC 的表达式得：34k =， 直线AC 的表达式为：123y x =+，则点(6,0)M -，11551222BMC C S MB y ∆=⨯=⨯⨯=，15132428BPN BCM S S NB k NB ∆∆===⨯=，解得：103NB =， 故点13(3N -，0)或7(3，0)． 13、如图1，直线y ＝x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以A 为顶点，以AB 为腰在第二象限内作等腰直角△ABC ． （1）求点C 的坐标；（2）如图2，若M 为x 轴上的一个动点，N 为直线AB 上的一个动点，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的M 点、N 点坐标；（3）如图3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当P 点沿y 轴负方向向下运动时，以P 为顶点，以AP为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求证：OP﹣DE为定值．【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）则CM＝OA＝3，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣7，3）．（2）如图2中，当点N在x轴上方时，CN∥x轴，此时N（﹣，3），可得M（﹣，0）或M′（，0）．当点N′在x轴下方时，可得N′（﹣，﹣3），此时M（﹣，0）．综上所述，满足条件的点N（﹣，3），M（﹣，0）或N（﹣，3），M（，0）或N（﹣，﹣3），M（﹣，0）．（3）如图3中，过点D作DQ⊥OP于Q点，则OP﹣DE＝PQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD ＝∠OAP ， 在△AOP 和△PDQ 中，，∴△AOP ≌△PDQ （AAS ） ∴OP ﹣DE ＝PQ ＝OA ＝3．14、如图，在平面直角坐标系中，直线1:l y x 2:l y b =+相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ． （1）求ABC ∆的面积；（2）点E 坐标为(5,0)，点F 为直线1l 上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF CF +最小时，点F 的坐标，并求出此时PF 的最小值； （3）将OBC ∆沿直线1l 平移，平移后记为△111O B C ，直线11O B 交2l 于点M ，直线11B C 交x 轴于点N ，当△1B MN 为等腰三角形时，请直接写出点1C 的横坐标．【解答】解：（1）由题意知：b =∴直线2:l y =+当0y =时，1x =3(1,0)C ∴直线1:l y =+∴当0y =0=， 3x ∴=-(3,0)A ∴-1[1(3)]2ABC S ∆∴=⨯--=（2）在Rt ABO ∆中，22222312AB AO BO =+=+=在Rt BOC ∆中，2222214BC OC OB =+=+= 在ABC ∆中，22212416AB BC AC +=+== ABC ∴∆是直角三角形，AB BC ∴⊥作C 点关于直线AB 的对称点(1C '-，，连接C E '交直线1l 于F ，(1C '-， (5,0)E∴直线:C E y x '=y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩F ∴ 作二、四象限的角平分线3l ，过点P 作3PQ l ⊥于Q ，则2PQ =，PF FP PQ ∴+=+， 当F ，P ，Q 三点共线时最小，即过F 作3PQ l ⊥于Q 交y 轴于P ，作//FG OB 交直线3l 于G ．此时FQG ∆为等腰直角三角形，斜边1FG =+，PF ∴的最小值为：FQ ==+（3）①如图2中，当11B M B N =时，点1C 中直线y =-上运动，设1(C m ，11B O 交x 轴于E ，则1EB ， 2133OE m ==+，1142233MB NB OE m ===+，42()33M m m ∴-++，把点M 坐标代入直线y =421)33m m ++=-+，解得m =．②如图3中当1MN MB =时，同法可得()M m -，把点M 代入y =1)m =-解得，85m =．③如图4中，当11B M B N =时，同法可得42()33M m m -+-，把点M 代入y =421)33m m +-=-解得m =．④如图5中，当1NM NB =时，同法可得()M m -，把点M 代入y =1)m =- 解得1m =（舍弃），综上所述，1C 或85．15、已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG＝AF，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，∴y＝9时，9＝x，解得x＝12，∴C（12，9），∵AC⊥x轴，∴A（12，0），∵OA＝OB，∴B（0，﹣12），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．（2）如图2中，∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACM是矩形，∴AO＝CM＝12，∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，∴N（3，9），∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），∴OD＝4a，把x＝4a，代入y＝x中，得到y＝3a，∴E（4a，3a），∴DE＝3a，把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，∴P（4a，12a），∴PD＝12a，∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，∴＝．（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．∵GF∥x轴，∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，∴四边形OSRA是矩形，∴OS＝AR，∴SR＝OA＝12，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠F AR＝90°﹣45°＝45°，∴∠F AR＝∠AFR，∴FR＝AR＝OS，∵OF⊥FQ，∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，∴∠OFS+∠QFR＝90°，∵∠QFR+∠FQR＝90°，∴∠OFS＝∠FQR，∴△OFS≌△FQR（AAS），∴SF＝QR，∵∠SFB＝∠AFR＝45°，∴∠SBF＝∠SFB＝45°，∴SF＝SB＝QR，∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，∴△BSG≌△QRG（AAS），∴SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF＝m，QR＝SF＝12﹣m，∵GQ﹣FG＝AF，∴GQ＝×m+6﹣m＝m+6，∵GQ2＝GR2+QR2，∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，∴FS＝8，AR＝4，∵∠OAB＝∠F AR，FT⊥OA，FR⊥AR，∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，∴四边形OSFT是矩形，∴OT＝SF＝8，∵∠DHE＝∠DPH，∴tan∠DHE＝tan∠DPH，∴＝，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，∴＝，∴DH＝6a，∴tan∠PHD＝＝＝2，∵∠PHD＝∠FHT，∴tan∠FHT＝＝2，。