空间解析几何基础知识
7.1空间解析几何基本知识
由以上规定知道: 坐标原点O的坐标为(0, 0, 0)
z
x轴上点的坐标为(x , 0, 0)
y轴上点的坐标为(0, y, 0)
z轴上点的坐标为(0, 0, z) xy面上点的坐标为(x, y, 0) yz面上点的坐标为(0, y, z) xz面上点的坐标为(x, 0, z)
9
y x
二. 空间两点间的距离
给定空间两点 M1 ( x1 , y1 , z1 )与 M2 ( x2 , y2 , z2 )， 可证明这两点 间的距离 d 为
d M1 M 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的. 过 M1 , M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 这六个平面围成一个以 M1 M 2 为对角线的长方体; (如下图)
F ( x, y, z ) 0或z f ( x, y)
……(7.1.3)
有如下关系： (1) 曲面
Σ 上的任意点 的坐标都满足方程
(7.1.3);
(2) 不在曲面
Σ 上的点的坐标都不满足方程 (7.1.3);
则称方程(7.1.3)是曲面 Σ的一般方程,而曲面 Σ 是方程(7.1.3) 的图形. (如图7.1.5）
从而所求平面方程为 得 消去D，
x y z 1 a b c
该方程称为平面的截距式， 其中 a、b 和 c 分别称为平面在 z x 轴、y 轴和 z 轴上的截距。 c 如图7.1.9 ： x
O o
b
图7.1.9
y
23
a
2) 常见二次曲面及方程 (1) 球面 以定点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 为球心,半径为R的球面,可以看作是 动点 M ( x , y , z ) 与球心 M0 ( x0 , y0 , z的距离相等的点的轨迹 ,即 0)
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
空间解析几何初步
空间解析几何初步空间解析几何是高中数学的重要内容之一，它是二维几何向三维空间的扩展和推广，通过直角坐标系中的点、线、面等几何元素的分析和运算，研究空间中的几何性质和相互关系。
本文将对空间解析几何的基本概念、方程、性质以及应用进行初步探讨。
一、空间直角坐标系空间解析几何的基础是空间直角坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴构成，分别用x、y、z表示。
通过在坐标轴上取定单位长度，并将原点确定为三条坐标轴的交点，就能够建立起空间直角坐标系。
在此坐标系下，空间中的任意一点都可以用有序数组(x, y, z)来表示。
二、空间点和向量在空间解析几何中，点是最基本的几何元素。
空间中的任意一点都可以用坐标表示，例如点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)。
两点之间的距离可以通过勾股定理求得。
向量也是空间解析几何的重要概念之一。
空间中的向量由有向线段表示，它有大小和方向，可以进行加减和数乘运算。
向量的坐标表示为AB→ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
三、空间直线和平面空间直线是通过两点之间的连续移动形成的轨迹。
直线的方程有多种形式，其中最常用的是点向式方程和两点式方程。
例如，点P(x, y, z)在直线l上的方程可以表示为：[x - x0, y - y0, z - z0]∥n→。
空间平面是由三个不共线的点或者由一条直线和一个不与直线共面的点决定的。
平面的方程可以通过点法式方程或者截距式方程来表示。
例如，平面的点法式方程为A(x0, y0, z0)和n→与平面上一点P(x, y, z)的向量垂直，可以表示为：n→·[x - x0, y - y0, z - z0] = 0。
四、空间曲线和曲面空间曲线是二维曲线在三维空间中的扩展。
常见的空间曲线有直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
空间曲线的方程可以通过参数方程或者隐函数方程来表示。
空间曲面是二维曲面在三维空间中的扩展。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何基础
空间解析几何基础空间解析几何是数学中一个重要的分支，它研究了在三维空间中点、直线、平面和曲线的性质和相互关系。
本文将介绍空间解析几何的基础概念和常见问题的解决方法，帮助读者掌握这一领域的基本知识。
一、点的表示和坐标系在空间解析几何中，点的位置通常通过坐标来表示。
我们常用的坐标系是三维直角坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴组成，分别记为x 轴、y轴和z轴。
一个点的坐标可以用一个有序数对(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影，z表示点在z轴上的投影。
二、直线的表示和性质在空间解析几何中，直线可以通过两点或者一点和方向向量来表示。
假设直线上有两点A和B，我们可以通过将这两点的坐标代入参数方程：x = xA + t(xB - xA)y = yA + t(yB - yA)z = zA + t(zB - zA)其中t为参数，可以取任意实数。
由参数方程可以得到直线的一些性质，比如两点确定一条直线以及直线上所有点的坐标满足参数方程。
三、平面的表示和性质与直线类似，平面可以通过三点或者一个点和两个方向向量来表示。
假设平面上有三点A、B和C，我们可以通过将这三点的坐标代入方程：Ax(x - xA) + Ay(y - yA) + Az(z - zA) = 0其中Ax、Ay和Az分别表示平面的法向量的分量，(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
由方程可以得到平面的一些性质，比如平面上的所有点的坐标满足平面方程。
四、空间图形的距离和角度在空间解析几何中，我们常常需要计算点到点、点到直线、点到平面和直线间的距离，以及直线与平面的夹角。
这些计算可以通过向量的方法进行。
点P到直线L的距离可以通过向量PA与直线的方向向量的叉乘来计算，即：d = |PA × n| / |n|其中n为直线L的方向向量，|·|表示向量的模。
类似地，点P到平面的距离可以通过向量PA与平面的法向量的点积来计算，即：d = |PA · n| / |n|两条直线的夹角可以通过它们的方向向量的夹角来计算，即：cosθ = |n₁ · n₂| / (|n₁| |n₂|)其中n₁和n₂分别为两条直线的方向向量，θ为夹角。
第一节 空间解析几何的基本知识.
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
空间解析几何基础知识
∫
b
a
f ( x )dx = [ F ( x )]b a.
牛顿—莱布尼茨公式
表明 : 一个连续函数在区间 [a , b] 上的定积分等于 它的任一原函数在区间 [a , b] 上的增量 .
定积分的计算法
（1）换元法
∫a f ( x )dx = ∫α
（2）分部积分法
b
β
f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
y
f ( x)
(9) 引力
Fy = ∫ dFy = ∫
−l l l
y
Gaρdx (a + x )
2 3 2 2
A
θ
−l
−l
l
o x x + dx
Fx = 0. ( G 为引力系数 )
x
1 b f ( x )dx (10) 函数的平均值 y = ∫ b−a a
(11) 均方根
1 b 2 y= f ( x )dx ∫ b−a a
其中 m 、 n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 ≠ 0，b0 ≠ 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
Adx A Adx = + C; = A ln x − a + C ; 2.∫ 1. ∫ n n −1 ( x − a) (1 − n)( x − a ) x−a Mx + N M dx = 3.∫ 2 ln x 2 + px + q x + px + q 2
c −ε
f ( x )dx
b
f ( x )dx + lim
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一个分量为零: 点在坐标面上. 两个分量为零: 点在坐标轴上.
C ( x , o, z )
o
P ( x ,0,0)
M ( x, y, z )
Q(0, y ,0)
y
x
A( x , y ,0)
O ( 0, 0, 0 )
6
2、简单的几何问题
1º 两点间的距离
设 M1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 )
即
M0 R M
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R ，
所求方程为 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2 .
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
15
例3 方 程 x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0 表 示 怎 么样的曲面？ 解
当B 0时， Ax Cz D 0表示平行于y轴的平面； 当C 0时， Ax By D 0表示平行于z轴的平面；
1) 这是为什啊？
2) 平行xoy面的平面怎么写？
12
下面是几种特殊的平面方程：
(3) y y 表示垂直于y轴的平面，即 //xoz面 0
x x0表示垂直于x轴的平面，即 //yoz面 z z0表示垂直于z轴的平面，即 //xoy面
亲们：从今天开始我们又要进 入新的一章了！
第七章
1
第七章 多元函数微分学
第一节 空间解析几何基础知识
空间直角坐标系 平面方程 曲面方程
一、空间直角坐标系
1、坐标系的建立
在空间中取定一点O， 过O点作三条相互垂直 的数轴Ox, Oy, Oz, 定点 o 横轴 x
z
竖轴
y 纵轴
各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成 了一个空间直角坐标系。 称由两 称数轴Ox, Oy, Oz为坐标轴， 称O为坐标原点，
y2 z2 x2 z2 2 2 1 2 2 1 . , a b c c y 0 x 0
23
二次曲面
(2) 椭圆抛物面
x y 2z p q
z x
2 2
( p与q同号)
z o y
x
o
y
p0,q0
p0,q0
24
(3) 双曲抛物面(马鞍面)
(4)平面的截距式方程：
z (0,0,c)
x yz 2
x y z 1, a b c
o
x (a,0,0)
y (0,b,0)
13
例2 求平行于z轴且过 M1 (1,0,0)， M 2 (0,1,0) 两点的 平面方程. 解 因所求平面平行于z轴，故可设其方程为
Ax By D 0 又点 M1 (1,0,0), M 2 (0,1,0) 都在平面上
27
制作团队：
28
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6z 2 ( x 1) ( y 2) ( z 3) 14 2 0 ,
2 2 2
即
( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 16 ,
因此，该方程表示球心为(1,-2,3)，半径为R = 4 的球面.
根据题意有 | MA || MB |,
( x 1) ( y 2) ( z 3)
2 2
2
2
2
( x 2) ( y 1) ( z 4) ,
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0 .
10
2
1.平面的一般方程
可以证明，空间任一个平面方程均可表示为
z R2 R1 P Q1 P1 P2 O R M1 M2 Q
N Q2
y
为空间两点, 两点间的距离公式：
2
x
2 2
7
| M1 M 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
例1 在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点. 解 设该点为M(0, 0, z) ,
16
3.柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线， 动直线L叫柱面的母线.
例如：
L
C
17
例如: 考虑方程 x2 + y2 = R2 所表示的曲面.
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以 原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线 L 沿 xoy 面上的 圆 x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
代入方程得 即
A B D
14
Dx Dy D 0
显然D≠0,消去D并整理可得所求的平面方程为
x y 1 0
2.球面方程
建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、 半径为 R 的球面方程.
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R ，
z
F (x, y, z) = 0 S o
x
y
那么, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
9
下列是几种常见的空间曲面： 引例 已知 A(1,2,3) ，B( 2,1,4) ，求线段AB 的垂直 平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
方程F (x, y) = 0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy 面上的曲线
F ( x , y ) 0 C : z 0
类似: 方程F (x, z) =0 表示:
z
母线平行于 y 轴的柱面, 准线 为xoz面上的曲线 C: F (x, z) x =0,y=0.
方程F (y, z) =0 表示:
x y 2 z ( p与q同号) p q
2 2
二次曲面
z o x
y
25
(4) 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z
(5) 双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
o
x
y x
o
y
26
例子
许多发电厂的冷却塔结构是单叶双曲面形状。由于单叶双曲面是一种 双重直纹曲面 (RULED SURFACE) ，它可以用直的钢梁建造。这样会 减少风的阻力．同时也可以用最少的材料来维持结构的完整。
所表示的曲面称为二次曲面， 其中 ai , bi 不全为零。 二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐 标系后，可以化成如下几种标准形式.
22
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
用坐标面z = 0 , x = 0和y = 0 去截割,分别得椭圆
x
O
y
x2 y2 2 2 1 a b z 0
由题设 |MA| = |MB| ,
即
( 4 0)2 (1 0)2 (7 z )2 ( 3 0 ) 2 ( 5 0 ) 2 ( 2 z ) 2
14 14 解得 z ，即所求点为 M (0, 0, ) . 9 9
8
二、空间曲面及其方程
定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系: (1) S上任一点的坐标都满足 方程F (x, y, z)点都在S上;
o
y
母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 , x = 0 .
21
4.几种常见的二次曲面
三元二次方程
a1 x 2 a2 y 2 a3 z 2 b1 xy b2 xz b3 yz c1 x c2 y c3 z d 0
坐标轴确定的平面为坐标平面，简称xoy, yoz, xoz 平 3 面.
一、空间直角坐标系
1、坐标系的建立
三个坐标轴的正方 向符合右手系.
定点 o 横轴 x
z
竖轴
y 纵轴
即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指 从 x 轴正向以
空间直角坐标系
2 大拇指的指向就是 z 轴的正向. 度转向 y 轴正向时，
z
l o o
y
x
同一个方程，在二维和三维下 表示的图形不一样噢！
18
还有三种常见的柱面：
x2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
2 x 2 py ( p 0) 抛物柱面
双曲柱面
x2 y2 2 1 2 a b
19
画出下列柱面的图形:
yx
z
2
y x
z
o
y
x
o
y
x
抛物柱面
平面
20
4
角
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
5
为什么叫做卦限呢？
1 1 有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
坐标面上的点 A, B , C ,
z
R(0,0, z )
B(0, y , z )
Ax By Cz D 0
其中 A,B,C 不全为零. 上式为平面的一般方程。 下面是几种特殊的平面方程： (1)当 D 0时，