空间解析几何知识点资料讲解
空间解析几何知识点

空间解析几何知识点在数学中,解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中,空间解析几何是其中的一个重要分支,它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中,平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说,如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC,那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合,即P=A+x(AB)+y(AC),其中x、y为实数。
而对于直线来说,如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u,那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu,其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中,平面与平面的位置关系有三种情况:相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行,那么它们一定相交于一条直线;如果两个平面的法向量平行但不重合,那么它们一定平行;如果两个平面的法向量相等,那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中,直线与直线的位置关系也有三种情况:相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行,那么它们一定相交于一个点;如果两条直线的方向向量平行但不重合,那么它们一定平行;如果两条直线的方向向量相等,并且经过它们的一点也相等,那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中,平面与直线的位置关系也有三种情况:相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系,我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点,那么它们相交;如果平面与直线没有交点,那么它们平行;如果平面包含直线,那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中,球面与直线的位置关系也有三种情况:相交、不相交和切线。
空间解析几何知识点

空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义:由三条互相垂直的直线(x轴、y轴、z轴)确定的坐标系。
- 坐标表示:任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式:两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义:具有大小和方向的量。
- 向量表示:向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法:a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘:k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积:a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积:a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模:|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦:向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式:A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0,其中A、B、C为平面的法向量,(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式:(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1),表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式:Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式:x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct,其中(x0,y0, z0)为直线上一点,(a, b, c)为直线的方向向量,t为参数。
- 一般式:Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式:(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c,其中(x0, y0, z0)为直线上一点,(a, b, c)为直线的方向向量。
空间解析几何

空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具,可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质,并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中,我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点:点是空间中最基本的几何对象,用坐标表示。
在三维空间中,一个点可以由三个坐标确定,分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线:直线是由无数个点组成的,在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定,或者由两个不重合的点确定。
3. 平面:平面是由无数个点组成的,在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定,或者由三个不共线的点确定。
4. 空间:空间是由所有的点组成的,是点的集合。
在空间中,我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算,在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系:直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成,分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中,点的坐标表示为(x, y, z),它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系:柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离,极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角,高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中,向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量,也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示:在空间解析几何中,向量通常用有序数组表示,如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中,a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算:空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
高等数学中的空间解析几何

高等数学中的空间解析几何一、引言空间解析几何是高等数学中的重要分支之一,它研究的是空间中的点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
在实际应用中,空间解析几何广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
本教案将从基本概念入手,逐步展开论述空间解析几何的相关内容。
二、点与向量1. 点的坐标表示- 在直角坐标系中,点的坐标表示为(x, y, z),其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴、z轴上的投影。
- 点的坐标可以用向量表示,即P = x*i + y*j + z*k,其中i、j、k分别是x轴、y轴、z轴的单位向量。
2. 向量的基本性质- 向量的模:向量AB的模表示为|AB|,定义为AB的长度。
- 向量的方向角:向量AB的方向角表示为(α, β, γ),其中α、β、γ分别表示向量AB与x轴、y轴、z轴的夹角。
- 向量的共线性:若向量AB与向量CD平行或共线,则存在实数k,使得AB = kCD。
三、直线与平面1. 直线的方程- 点向式方程:直线L上一点P的坐标为(x0, y0, z0),且向量v = (a, b, c) 与直线L平行,则直线L的点向式方程为(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c),其中t为实数。
- 参数方程:直线L上一点P的坐标为(x0, y0, z0),且向量v = (a, b, c) 与直线L平行,则直线L的参数方程为x = x0 + at,y = y0 + bt,z = z0 + ct,其中t为参数。
- 一般方程:直线L的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0,其中A、B、C、D为常数。
2. 平面的方程- 点法式方程:平面π上一点P的坐标为(x0, y0, z0),且法向量n = (A, B, C)垂直于平面π,则平面π的点法式方程为Ax + By + Cz + D = 0,其中D = -Ax0 -By0 - Cz0。
- 一般方程:平面π的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0,其中A、B、C、D为常数。
空间解析几何

空 间
证
将直线 L1 化为参数方程
y z
2t t
2
5,
L1
L2
解 析 几 何
代入方程又Ls21解 得1,
t 1,故两直线相交于点(1,3,1).
2,1,
s2
3,1,1,
故所求平面的 法向量 可取
i jk
n s1 s2 1
2
1 1,2, 5 ,
311
所求平面的方程为 x 2 y 5z 0.
几 何
(4 )若b,c 不是共线向量, a 是 b,c 平面上的一个
向量当且仅当存在 , 使得 a b c
杨建新
空间解析几何
1 已知 a,b,c 都是单位向量,且 a b c 0, 求 ab bc ca
解 由于 a b c 0, 于是 (a b c) (a b c) 0,
a
xb |2 xb
| a |2 | | a |)
2
1 |a
|
lim
x0
2xa
b
x
x2
|
b
|2
a b | b | cos(a ^ b) 1 |a|
杨建新
空间解析几何
6、设向量 p、q、r 两两垂直,且 | p | 1,| q | 2,
|r |
3,求向量
s
p
q
r
的模及
s
(1)向量 (2) 向量 a
a
的模为
| a |
的方向角的余弦为
x2 a
y2 z2 的方向余弦。
cos cos
x
,
x2 zy2 z2 .
x2 y2 z2
cos
y ,
x2 y2 z2
空间解析几何基础

空间解析几何基础空间解析几何是数学中一个重要的分支,它研究了在三维空间中点、直线、平面和曲线的性质和相互关系。
本文将介绍空间解析几何的基础概念和常见问题的解决方法,帮助读者掌握这一领域的基本知识。
一、点的表示和坐标系在空间解析几何中,点的位置通常通过坐标来表示。
我们常用的坐标系是三维直角坐标系,它由三个相互垂直的坐标轴组成,分别记为x 轴、y轴和z轴。
一个点的坐标可以用一个有序数对(x, y, z)来表示,其中x表示点在x轴上的投影,y表示点在y轴上的投影,z表示点在z轴上的投影。
二、直线的表示和性质在空间解析几何中,直线可以通过两点或者一点和方向向量来表示。
假设直线上有两点A和B,我们可以通过将这两点的坐标代入参数方程:x = xA + t(xB - xA)y = yA + t(yB - yA)z = zA + t(zB - zA)其中t为参数,可以取任意实数。
由参数方程可以得到直线的一些性质,比如两点确定一条直线以及直线上所有点的坐标满足参数方程。
三、平面的表示和性质与直线类似,平面可以通过三点或者一个点和两个方向向量来表示。
假设平面上有三点A、B和C,我们可以通过将这三点的坐标代入方程:Ax(x - xA) + Ay(y - yA) + Az(z - zA) = 0其中Ax、Ay和Az分别表示平面的法向量的分量,(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
由方程可以得到平面的一些性质,比如平面上的所有点的坐标满足平面方程。
四、空间图形的距离和角度在空间解析几何中,我们常常需要计算点到点、点到直线、点到平面和直线间的距离,以及直线与平面的夹角。
这些计算可以通过向量的方法进行。
点P到直线L的距离可以通过向量PA与直线的方向向量的叉乘来计算,即:d = |PA × n| / |n|其中n为直线L的方向向量,|·|表示向量的模。
类似地,点P到平面的距离可以通过向量PA与平面的法向量的点积来计算,即:d = |PA · n| / |n|两条直线的夹角可以通过它们的方向向量的夹角来计算,即:cosθ = |n₁ · n₂| / (|n₁| |n₂|)其中n₁和n₂分别为两条直线的方向向量,θ为夹角。
第一节 空间解析几何的基本知识.

曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点,我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地:若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点,
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地:球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点M 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
第一节空间解析几何基础知识

(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当 a=b=d=0, 而 c≠0 时 , 得平面方程 z=0, 也就是 xOy 平 面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平 面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
11
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定直线l平行的
界点的集合,称为D的边界.
30
开区域、闭区域 设D为一开集,P1和P2为D内任 意两点,若在D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将P1和P2连接起来,则称D为连通区域,简 称为区域或开区域;区域与区域的边界点构成的 集合称为闭区域.
31
有界区域、无界区域 若存在正数R,使得
D DR (O)则称D为有界区域;否则,称D为无界区
16
3.二次曲面 三元二次方程 a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 所表示的空间曲面称为二
次
曲
面
,
其
中
ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
17
(1)球面 球心在原点,半径为R的球面: x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
( x 2) ( y 3) ( z 4) ( 29)
2 2 2
2
所以球心坐标为(2,-3,-4),半径 R 29 .
25
二次曲面用三元二次方程表示: a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 而 x2+y2+z2-4x+6y+8z=0 表示一个圆. 因此,由(7.5)式所表示的曲面方程是球面方 程的必要条件是:
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方程的形式
相关系数的意义
参数式方程
为直线上一点, 为直线的方向向量
标准方程(对称式)
同上
一般式方程
直线的方向向量为
两点式方程
, 为直线上两点,直线的方向向量为
双曲柱面
, , ( 为正数)
圆锥面
,由直线 或 绕 轴旋转而成
椭圆抛物面
, , ( 为正数)
双曲抛物面
, , ( 为正数)
单叶双曲面
, ,
双叶双曲面
,
四、平面的表示
方程的形式
相关系数的意义
点法式
方程
为平面上一点, 为平面的法向量
一般式
为平面的法向量
三点式
方程
,
为平面上的三点
截距式
分别为平面在 轴上的截距
空间解析几何知识点
第七章空间解析几何与向量代数
一、向量的有关定义和性质
定义
坐标表示
备注
向量
(矢量)
具有大小和方向的量
将 的起点放原点,其终点坐标为 ,则 =
=
①向量:
②零向量:
③设
,
则
向量
的模
向量的大小(或长度)
设 , 则
向量的方向余弦
设 与三坐标轴正向的夹角为 、 、 ,则 、 、 为 的方向余弦
设向量 = ,则
, , }
二、向量的运算
定义
坐标表示
备注
向量的数量积
向量的向量积
方向与 、 都垂直,且 、 与 成右手系
=
与 平行
三、几类常见的二次曲面及其标准方程
曲面名称
方程
旋转曲面
曲线 绕 轴旋转构成
绕 轴旋转构成
球面
,半径 ,球心
椭球面
, 为椭球面的半径
圆柱面
, ,椭圆柱面源自, ,抛物柱面, ; , ; , ( 为正数)