7.1空间解析几何基础知识
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点在数学中，解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中，空间解析几何是其中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中，平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说，如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC，那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合，即P=A+x(AB)+y(AC)，其中x、y为实数。
而对于直线来说，如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u，那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu，其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中，平面与平面的位置关系有三种情况：相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行，那么它们一定相交于一条直线；如果两个平面的法向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两个平面的法向量相等，那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中，直线与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们一定相交于一个点；如果两条直线的方向向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两条直线的方向向量相等，并且经过它们的一点也相等，那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中，平面与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系，我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点，那么它们相交；如果平面与直线没有交点，那么它们平行；如果平面包含直线，那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中，球面与直线的位置关系也有三种情况：相交、不相交和切线。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它通过坐标系和向量的概念来研究空间中的几何关系和性质。
本文将会介绍空间解析几何的基本概念、特点以及应用，以便读者对此有更深入的了解。
一、坐标系的建立在研究空间解析几何之前，我们首先需要建立合适的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
直角坐标系是最常见的坐标系，可以通过三个相互垂直的坐标轴来描述空间中的点。
柱坐标系和球坐标系较为常用于对称性较强的问题。
通过建立坐标系，我们可以将空间中的点与数值进行对应，进而进行进一步的分析与计算。
二、向量的表示和运算向量是空间解析几何中非常重要的一个概念，它可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
向量具有长度和方向两个特点，可以用有向线段或坐标表示。
在解析几何中，我们常常使用坐标表示向量。
例如，在直角坐标系中，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别表示在x、y、z轴上的分量。
在解析几何中，向量的运算有加法、减法、数量乘法和点乘法等。
向量的加法与减法可以通过对应分量相加或相减来进行，数量乘法可以将向量的每个分量与一个实数相乘，而点乘法可以通过两个向量的对应分量相乘再相加得到。
三、直线和平面的方程在空间解析几何中，直线和平面是重要的几何基本要素。
直线可以通过一点和一个方向向量来表示，方程通常为(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) +t(a, b, c)，其中(x₁, y₁, z₁)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
平面可以通过一个点和两个不共线的向量来表示，方程通常为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为常数项。
四、空间曲线和曲面除了直线和平面，空间解析几何还研究了各种曲线和曲面的性质。
空间曲线可以通过参数方程、一般方程或者向量函数来表示，例如，圆柱面的参数方程可以表示为x = a cosθ，y = a sinθ，z = hθ，其中a为圆柱的半径，h为圆柱的高度，θ为参数。
解析几何的基本知识点总结
解析几何的基本知识点总结解析几何是几何学的一个分支，它利用坐标系和代数方法研究几何问题。
通过对解析几何的基本知识点的总结，我们可以更好地理解和应用解析几何的方法。
本文将就解析几何的基本概念、坐标系、直线和曲线等知识点进行详细阐述。
一、基本概念1. 点：解析几何中的基本单位，用坐标表示，通常用大写字母表示，如点A(x₁, y₁)。
2. 线段：由两点确定的有限线段，在解析几何中用两点的坐标表示，如线段AB：AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。
3. 中点：线段的中点即为线段两端点的均值，设线段AB的中点为M，则M的坐标为[(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2]。
4. 斜率：表示直线斜率的概念，在解析几何中常用字母k表示，直线的斜率为k＝(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
5. 角度：两条直线之间的旋转角度，用度数或弧度表示。
二、坐标系1. 笛卡尔坐标系：由水平的x轴和垂直的y轴组成，交点为原点O(0,0)。
在这个坐标系下，点的位置可以用有序数对(x, y)表示。
2. 极坐标系：由原点O和极径、极角两个坐标轴组成，极径表示点到原点的距离，极角表示点与x轴正半轴的夹角。
三、直线与曲线1. 直线：由一次方程表示的线段，在解析几何中用方程的形式表示，如直线方程为y=kx＋b。
2. 曲线：不是直线的线段，在解析几何中的表示较为复杂，可以通过方程、参数方程或极坐标方程表示，常见的曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
四、常见图形的解析几何表示1. 圆：圆心为(h, k)，半径为r，其方程表示为(x-h)²+(y-k)²=r²。
2. 椭圆：椭圆的中心为(h, k)，长轴为2a，短轴为2b，其方程表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
3. 双曲线：双曲线的中心为(h, k)，两支曲线的焦点分别为(f₁, k)和(-f₂, k)，其方程表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1。
高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
空间解析几何的基本概念与性质
空间解析几何的基本概念与性质空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了空间内点、直线、平面等几何元素之间的位置关系和运动规律。
本文将介绍空间解析几何的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
1. 点的坐标表示在空间解析几何中，我们通常使用直角坐标系来表示点的位置。
一般来说，直角坐标系可以由三条相互垂直的坐标轴构成，分别是X轴、Y轴和Z轴。
点的位置可以通过它在坐标系内的横坐标、纵坐标和纵深坐标来表示，记作P(x,y,z)。
2. 向量的定义与性质在空间解析几何中，向量是一个既有大小又有方向的量，它可以用来表示两点之间的位移或者运动的方向。
向量通常用有向线段表示，记作AB→，其中A、B分别表示向量的起点和终点。
向量有一些重要的性质，包括平行、垂直和共线。
对于两个向量来说，如果它们的方向相同或者相反，那么它们是平行的；如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是垂直的；如果两个向量的起点和终点共线，那么它们是共线的。
3. 点与直线的位置关系在空间解析几何中，点和直线之间有一些特殊的位置关系。
对于给定的点P(x,y,z)和直线l：{A(x₁,y₁,z₁)+t[AB]→}，其中A(x₁,y₁,z₁)是直线上的一点，[AB]→表示直线的方向向量，t是一个实数。
当且仅当点P和直线上有一点A使得向量AP→与直线的方向向量[AB]→共线时，点P在直线上；当且仅当点P与直线上的任意两个不同点A、B的向量都垂直时，点P在直线上的垂足。
4. 平面的方程与性质在空间解析几何中，平面是空间内的一个二维几何图形，它由无数个互不重叠的直线组成。
我们通常使用平面的法线方程或者点法式方程来表示一个平面。
平面的法线方程形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是平面的法向量的坐标，D是一个常数。
平面的点法式方程形式为N→·(P-P₀) = 0，其中N→是平面的法向量，P是平面上的任意一点，P₀是平面上的一个已知点。
7.1空间解析几何基本知识
由以上规定知道: 坐标原点O的坐标为(0, 0, 0)
z
x轴上点的坐标为(x , 0, 0)
y轴上点的坐标为(0, y, 0)
z轴上点的坐标为(0, 0, z) xy面上点的坐标为(x, y, 0) yz面上点的坐标为(0, y, z) xz面上点的坐标为(x, 0, z)
9
y x
二. 空间两点间的距离
给定空间两点 M1 ( x1 , y1 , z1 )与 M2 ( x2 , y2 , z2 )， 可证明这两点 间的距离 d 为
d M1 M 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的. 过 M1 , M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 这六个平面围成一个以 M1 M 2 为对角线的长方体; (如下图)
F ( x, y, z ) 0或z f ( x, y)
……(7.1.3)
有如下关系： (1) 曲面
Σ 上的任意点 的坐标都满足方程
(7.1.3);
(2) 不在曲面
Σ 上的点的坐标都不满足方程 (7.1.3);
则称方程(7.1.3)是曲面 Σ的一般方程,而曲面 Σ 是方程(7.1.3) 的图形. (如图7.1.5）
从而所求平面方程为 得 消去D，
x y z 1 a b c
该方程称为平面的截距式， 其中 a、b 和 c 分别称为平面在 z x 轴、y 轴和 z 轴上的截距。 c 如图7.1.9 ： x
O o
b
图7.1.9
y
23
a
2) 常见二次曲面及方程 (1) 球面 以定点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 为球心,半径为R的球面,可以看作是 动点 M ( x , y , z ) 与球心 M0 ( x0 , y0 , z的距离相等的点的轨迹 ,即 0)
空间解析几何基本概念
空间解析几何基本概念空间解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的对象是三维空间中的几何图形和几何问题。
在进行空间解析几何的学习和研究之前，我们需要先了解一些基本概念。
一、坐标系空间解析几何中常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。
直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
极坐标系则由原点、极径和极角组成，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正x轴的夹角。
二、点、直线和平面在空间解析几何中，点是最基本的图形概念，用坐标表示为(x,y,z)。
直线可以通过两点或参数方程表示，例如直线L可以表示为：L: {(x,y,z) | x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct}，其中a、b、c为实数，(x0,y0,z0)为直线上的一点。
平面可以通过三点或参数方程表示，例如平面P可以表示为：P: { (x,y,z) | Ax+By+Cz+D=0 }，其中A、B、C、D为实数。
三、距离和中点在空间解析几何中，点与点之间的距离可以通过勾股定理计算：d(P_1, P_2) = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)，其中P_1(x_1, y_1, z_1)和P_2(x_2, y_2, z_2)为两点的坐标。
直线上的两点的中点可以通过坐标的平均值计算得到。
四、向量向量是空间解析几何中的重要概念，它可以表示有方向和大小的量。
向量由起点和终点表示，可以用坐标表示为一个有序三元组。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
两个向量的加法等于它们对应坐标的相加，减法等于相减。
数量乘法将向量的大小与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
点乘法可以用来判断两个向量是否垂直，它的结果为零表示两个向量垂直。
五、投影在空间解析几何中，投影是指点在坐标轴或平面上的影子。
点在坐标轴上的投影可以通过坐标的部分表示，例如点P的x轴投影为(x, 0,0)。
点在平面上的投影可以通过垂直于平面的直线与平面的交点来表示。
空间解析几何基本知识优秀课件
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动
直线L 叫柱面的
母线.
观察柱面的形
C
成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
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例1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几 何中分别表示什么图形？
(1)x2; (2) x2y24; (3) yx1.
解 方程 平面解析几何中 空间解析几何中
x2 平行于y轴的直线平 行 于yo面 z的 平 面
圆心在(0,0)，
x2y2 4
半径为2的圆
以z 轴为中心轴的圆
柱面
yx1 斜率为1的直线
C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
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曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就 会得出曲面S的全貌——这种方法称为 “平行截口”法. 例 考察下列的图形方程:
(1) x2 y2 R2
2020年8月11日星期二
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(1) z x2 y2
解 用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆 x2 y2 c
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称由两坐标轴决定的平面为坐标平面,简称 xOy,yOz,zOx平面.
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对于空间直角坐标系,我们采用右手系.所谓 右手系是指将右手的拇指、食指和中指伸成相 互垂直的形状,若拇指、食指分别指向x轴、y轴 正向时,中指正好指向z轴方向.
2020年8月11日星期二
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开区域、闭区域 设D为一开集,P1和P2为D内任 意两点,若在D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将P1和P2连接起来,则称D为连通区域,简 称为区域或开区域;区域与区域的边界点构成的 集合称为闭区域.
2020年8月11日星期二
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下面来解决关于曲面的两个基本问题:
1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
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例1 求球心在点 M0 (x0, y0, z0 ), 半径为R的球面方程. 解 设球面上任意一点为M (x, y, z),则动点M (x, y, z)与 定点M0 (x0 , y0 , z0 )之 间的长度为 MM0 R,则
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例2 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程. 解 因 MA MB
(x 1)2 y2 (z 4)2 (x 1)2 （y 2）2 (z 1)2
4x 4y 10z 11 0
我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面. 设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲 线L可以用联立方程组
f (x, y) 0 z 0 表示.
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例如x2+y2=R2表示空间的一个圆柱面,它的母 线平行于Oz轴,准线是xOy平面上的圆.
x2 y2 R2 z 0
故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A、B两点连线的垂直平分
面的方程)为 4x 4y 10z 11 0 因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0；而凡满足z = 0的
点又都在 x y平面上；故坐标平面的方程分别为
xo y面的方程为 z = 0 yo z面的方程为 x = 0 xo z面的方程为 y = 0
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为
x2 y2 z2 R2 则z R2 x2 y2 是此球面的上半部;
z R2 x2 y2 是此球面的下半部.
(7.7)
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(3)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
(7.8)
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(4)双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
(7.9)
2示的空间曲面称为二
次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
(1)球面 x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
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(2)椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
当a=b=c=R时,即为球面.
δ
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x
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内点、开集 设D为xOy平面上一点集,点 P0(x0,y0)∈D,若存在δ>0,使得 D (P0 ) D.则称P0为 D的内点;若D的点都是内点,则称D为开集.
P0(x0,y0)
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边界、边界点 设P0(x0,y0)为xOy平面上的一点, 若对任意δ>0,总存在点P1,P2∈Dδ(P0),使得 P1∈D,P2 D ,则称点P0为D的边界点;D的全体边 界点的集合,称为D的边界.
有界区域、无界区域 若存在正数R,使得
D DR (O)则称D为有界区域;否则,称D为无界区
域.这里DR(O)表示O(0,0)为圆心,R为半径的开圆,
即
DR(O)={(x,y)|x2+y2<R2}
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例7.3 画出下列区域D的图形:
D1={(x,y)|2≤x2+y2<3}
第七章 多元函数微积分
（Multidimension Differential and Integrate）
2020年8月11日星期二
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主要内容
第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念 第三节 偏导数与全微分 第四节 多元复合函数与隐函数微分法
第五节 多元函数极值与最值
| AB | d d12 (z2 z1)2 (x2 x1)2 ( y22 y12 ) (z22 z12 ) (7.1)
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特别地,空间中任意一点M(x,y,z)到原点O的 距离为
| OM | x2 y2 z2
(7.2)
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D2 D3
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空间平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0
其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.
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2. 已知曲面的方程, 研究方程的图形
通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于 一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.
一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.
当c=0时,只有原点(0, 0, 0)满足此方程；
当c>0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,以 c 半径为R的圆.
显然c越大，其截痕圆越大.
z
若用平面x=a或y=b去截曲面,其 截痕为 抛物线.
x
故曲面 z x2 y2 是 一个旋转抛物面(如图).
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面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
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2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定动直线l沿曲
线L平行的移动所得的空间曲面称为柱面,L称为 柱面的准线,动直线l称为柱面的母线.
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柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线 都相交的曲线都可作为准线.
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(5)二次锥面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0
(6)椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b,c 0) (a,b 0)
(7.10) (7.11)
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(7)双曲抛物面(马鞍面)
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b 0)
(7.12)
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方程x2－y2=1表示母线平行于Oz轴,准线为
双曲线 x2 y2 1 z 0
的双曲柱面.
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方程y2=2px表示抛物柱面.
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3.二次曲面 三元二次方程
a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5)
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例7.1 求球面方程x2+y2+z2－4x+6y+8z=0的球心 和半径. 解 用配方法将原方程改写为
(x－2)2+(y+3)2+(z+4)2－29=0 即 (x 2)2 ( y 3)2 (z 4)2 ( 29)2 所以球心坐标为(2,－3,－4),半径 R 29 .