混沌阈值确定
基于过零周期技术的混沌检测系统状态阈值判据研究
动力系统中的混沌控制策略评价指标
动力系统中的混沌控制策略评价指标动力系统中的混沌控制策略评价指标混沌控制是指通过引入外部控制信号来抑制或控制混沌现象的一种方法。
在动力系统中，混沌控制策略的评价指标对于理解系统的稳定性和控制性能具有重要意义。
本文将介绍动力系统中的混沌控制策略评价指标，并探讨其应用。
一、Lyapunov指数Lyapunov指数是一种常用的混沌控制策略评价指标，它用于衡量混沌系统的稳定性。
Lyapunov指数的计算方法需要基于Lyapunov指数定理，通过对系统状态的微小扰动进行分析，确定系统的稳定性和敏感性。
通过计算Lyapunov指数，可以评估混沌控制策略对系统的控制效果。
二、收敛速度收敛速度是评价混沌控制策略效果的重要指标之一。
混沌系统通常具有较长的转动周期和不可预测性，因此控制策略应能够快速使系统转移到期望的状态。
收敛速度可以通过测量系统状态变化的速度来评估，较快的收敛速度意味着控制策略对系统的控制能力更强。
三、控制幅度控制幅度是指控制策略在系统中引入的控制信号的幅度大小。
混沌控制策略应该通过调节控制幅度来抑制系统中的混沌行为，使系统进入到期望的运动模式。
控制幅度的调节需要考虑到系统的特性和稳定性，过小的控制幅度可能无法有效控制混沌现象，过大的控制幅度可能导致系统不稳定。
四、控制延迟控制延迟是指控制策略引入控制信号到系统实际响应的时间延迟。
混沌系统对外部干扰非常敏感，因此控制延迟应尽可能小，以保证控制策略的实时性和有效性。
评估控制延迟的方法可以通过测量控制信号作用到系统的时间和系统响应的时间之间的差值。
五、鲁棒性鲁棒性是指混沌控制策略对系统参数变化和外部干扰的稳定性。
在实际应用中，系统参数可能存在不确定性和波动性，外部干扰可能导致系统产生不可预测的行为。
混沌控制策略的鲁棒性能够保证系统能够稳定地运行并抵抗外部干扰，具有较好的控制效果。
六、能耗能耗是评价混沌控制策略的另一个重要指标。
在实际应用中，混沌控制策略可能需要引入额外的能量来控制系统的行为。
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统是一种描述流体动力学中对流现象的数学模型。
它包含三个非线性微分方程，描述了三个变量（速度、温度和密度）随时间的变化。
这个系统的一个显著特征是混沌现象，即微小的扰动会导致系统进入不可预测的状态。
通过数值模拟和理论分析，研究者们发现洛伦兹系统的混沌区间是由两个分别称为“鞍点”和“极限环”的不稳定结构组成的。
在这个区间内，系统的状态会随时间不断变化，但又不会无限趋向于某一特定状态。
这种不可预测的行为在气象学、物理学和工程学等领域都具有重要的应用价值。
除了理论分析，实验研究也对洛伦兹系统的混沌现象进行了深入探究。
在实验室中，研究者们使用了各种方法来模拟和控制洛伦兹系统，包括电路模拟、光学实验等。
这些实验结果不仅验证了理论模型中的混沌现象，还为进一步研究天气预测、流体控制等应用提供了重要的实验基础。
总之，洛伦兹系统的混沌现象是一个具有重要理论和实际应用价值的研究领域，它不仅挑战了传统物理学对于“确定性”的理解，也为我们深入了解自然界的复杂性提供了新的视角和思路。
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微分方程中的混沌理论研究
微分方程中的混沌理论研究混沌理论是20世纪70年代后期发展起来的重要学科，它主要研究非线性系统中的混沌现象。
而微分方程作为数学中一门重要的分支，也渗透了混沌理论的探索与研究。
本文将着重探讨微分方程中的混沌理论研究。
一、混沌现象的起源和定义混沌现象最早可以追溯到1800年代的天体力学领域。
之后，其他领域也发现了类似的混沌现象，比如流体力学、电路分析和生物学等。
混沌现象的定义可以简单地理解为对初始条件的微小扰动会引发系统近乎无法预测的行为。
混沌系统具备无序性、不可预测性和敏感依赖于初始条件等特征。
二、微分方程中的混沌现象微分方程是研究变化率和求解变化率的数学工具。
在微分方程中，一阶微分方程、二阶微分方程以及其他高阶微分方程的研究中，混沌现象被发现并引起了学者们的浓厚兴趣。
例如，一个简单的非线性微分方程可以描述一个摆的运动情况。
当摆的角度小于某个阈值时，系统表现为有序的周期运动；而当摆的角度超出这个阈值时，系统将表现出混沌行为，摆动的轨迹变得无法预测和重复。
三、混沌理论在微分方程中的应用混沌理论在微分方程中的应用十分广泛，涵盖了许多领域，比如机械振动、电路理论、流体力学、生物系统和经济学等。
在机械振动方面，混沌理论可以用于研究非线性振动系统的运动规律。
通过对非线性微分方程进行建模和仿真，可以揭示系统运动的混沌行为，进而对系统进行优化和控制。
在电路理论领域，混沌电路的设计和分析是一个重要研究方向。
通过巧妙构造非线性电路模型，可以实现具有混沌行为的电路系统。
这种电路系统对于信息加密等应用有着重要的作用。
流体力学是混沌理论应用最为广泛的领域之一。
在流体力学中，混沌现象的研究可以帮助解释流体运动的复杂性，并揭示其中的规律性。
例如，通过对湍流流动的混沌特性进行研究，可以改善天然气输送管道和空气动力学领域中的气流控制等问题。
此外，混沌理论还可以应用于生物系统和经济学等领域。
在生物系统中，混沌现象的研究有助于理解生命的底层机制，并促进对疾病等问题的诊断和治疗。
应用数值积分法计算电力系统混沌阈值
电力 系统 是典 型 的 非 线 性 动 力 系统 ， 在 着 存
它 给 出了一类 非 线 性 动 力 系 统 Ｓ ｌ 蹄 变化 意 ｍａｅ马
义 下 出现混 沌 现 象 的判 据ｌ 。 析 的 Ｍｅｎｋ ｖ函 ３ 解 ］ ｌｉｏ 数 是研 究 Ｈａ ｌ ｎ系统 在弱 周期 策动力 激励 下混 ｍｉｏ ｔ 沌 运动 的最 实用 和 简便 的方法 ， 于 自治可 积系统 对
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周 期扰 动 的混沌 性 质 的研究 是少 有 的精 确 方法 之
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单 机 无 穷大 电力 系 统在 周 期 性 负荷 扰 动 下 的 数 学模 型是研 究 混 沌 现象 的 主要 模 型 之 一［ ］ 该 ５ ，
解 无 扰 系 统 的 同宿 轨 道 参 数 解 析 式 ， 且 ， 需 将 系 统 输 人 的机 械 功 率 设 定 为 小 量 。 虽 然 不 能 得 到 Ｍｅｎｋ ｖ 并 无 ｌｉｏ
函数 的解 析 式 ， 阈值 曲 线 显 示 出 了可 能 产 生 的混 沌 区域 。 但 关 键 词 ：电力 系统 ； 沌 阈值 ；同 宿 轨 道 ；数 值 积 分 法 混
Ｍｅｎｋ ｖ函数 、 ｏｎ ａ６ ｌｉｏ Ｐ ｉｃｒ 映射 、 ｙ ｐ ｎ ｖ指数 和频 Ｌ ａｕｏ
谱 分 析等 。
Ｍｅｎｋ ｖ函数 是 研 究 混 沌 现 象 的解 析 方 法 ， ｌｉｏ
收稿 日期 ：０ ０ ０ — ８ 修 回 日期 ：００ ０ — ８ ２ １— ８ １ ； ２ １— ９ ０ 基金 项 目 ： 江苏 省 高校 自然 科 学 基 金 资 助项 目（９ Ｂ ７０ ２ ０ ＫＪ ４ ０ ０ ）
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统的混沌区间
洛伦兹系统是一种非线性动力学系统，由爱德华·洛伦兹于1963年提出。
它是一种描述流体力学中对流现象的数学模型，也可以用于描述天气预测、心脏跳动等现象。
洛伦兹系统的方程组包括三个变量：x、y、z，它们随时间的变化受到彼此之间的相互作用影响。
在洛伦兹系统中，当参数值超过某个临界值时，系统将进入混沌状态。
这种状态表现出明显的不可预测性，即使微小的初始条件差异也会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌区间是指参数值范围内的一段区间，使得系统处于该区间内时表现出的行为是混沌的。
混沌区间的存在使得洛伦兹系统具有了深刻的意义，它不仅揭示了自然界中普遍存在的混沌现象，也为混沌学的发展提供了重要的理论基础。
研究洛伦兹系统的混沌区间是一个非常重要的问题，其涉及到非线性动力学、混沌现象、复杂系统等领域。
许多学者和研究人员通过实验、数值模拟等方法，对洛伦兹系统的混沌区间进行了深入的研究，取得了许多重要的成果。
这些研究成果不仅有助于深入理解洛伦兹系统的混沌现象，还为其他领域的研究提供了有益的启示。
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honen混沌le指数
honen混沌le指数一、引言混沌理论是近年来在数学和物理学领域中备受关注的研究方向。
混沌系统不同于稳定系统，因为其初始状态的微小变化将引起系统的不可预测性。
这种系统与人类生活息息相关，如气象系统，股票市场，甚至我们自己的大脑等等。
其中，Hoenen混沌指数被广泛运用于衡量混沌程度的指标之一，在本文中我们将会详细探讨其定义和计算方法。
二、Hoenen混沌指数的定义Hoenen混沌指数是由德国物理学家Hoenen在1992年提出的，是一种用来度量混沌程度的指数，通常用于时间序列的分析。
它是混沌理论的重要成果之一，由于其计算简单、直观、可靠，越来越广泛地应用于各个领域。
三、计算Hoenen混沌指数的步骤1. 首先需要收集所研究的时间序列数据，并进行预处理，比如去除噪声、平滑处理等。
2. 在获得经过预处理的时间序列数据后，需要选择一个延迟时间τ，该参数值要视所研究的问题而定。
如果τ太小，将会得到一个高度相关的时间序列，而τ太大则会失去相应的信息。
通常可以采用自相关函数法、估计互信息法等方式来选择合适的τ。
3. 求出每一个延迟τ的数据之间的欧几里得距离，即d_i=√((x_(i+τ)-x_i )^2)。
4. 对于每一个延迟τ，计算d(n,τ)，该公式为d(n,τ)=1/nΣd_i(n,τ)，其中n为样本长度。
5. 同时计算δ(n,τ)=1/n Σ|d_i(n,τ)-d(n,τ)|，其中|.|为绝对值。
6. 最后，我们可以根据以下公式来计算Hoenen混沌指数：C(n,τ)=(1/δ(n,τ)) Σi=1^n-τ (C^T-i+1,C^T-i)其中，C^T-i和C^T-i+1为分别位于时间t和t+τ的两个状态点在相空间上对应的点。
四、结论通过对Hoenen混沌指数的探讨，我们可以得出如下结论：1. Hoenen混沌指数是用来量化混沌程度的一种方法，该方法可以用于时间序列的分析。
2. 计算Hoenen混沌指数的过程需要经过预处理、选择延迟时间、计算欧几里得距离、计算δ值以及计算C(n,τ)等步骤。
基于GPU的混沌弱信号检测临界阈值确定
（ 海军航 空工程 学 院 ａ ． 信号 与信 息处理 山东省重 点 实验 室；ｂ ． 电子信 息工程 系，山 东 烟 台 ２ ６ ４ ０ ０ １ ）
摘 要 ：混沌检 测 系统临界 阈值 的确 定是 建立 混沌检 测 系统的核 心 问题 ， 临界 阈值 的精度 决定 了可检 测信 号 的
计； 系统相轨迹过零周期数相变判别算法在检测相同精度 阈值情况下较 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 指数算法有相 同的检测精度 ，
同时更 易于利 用现代 高性 能计 算工具 Ｇ Ｐ Ｕ 实现 并 行程 序 设 计。 因此 ， 在 系统相轨 迹 过 零 周期 数 阈值 判 别 算法
的基础上提 出了 基于Ｇ Ｐ Ｕ的混沌弱信号检测临界 阈值并行检测算法， 实验显示，前 相轨迹 图观 察 法 已经无 法满足 快速 确 定精 确 的 系统 临 界 阈值 的 需 求 ， 利用 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 指 数 等 量化 指 标检 测临界 阈值 的方 法计 算量 大、 算 法复 杂 、 时 间消耗 大 ， 且 消耗 大量 计 算 资源 ， 无 法在 Ｇ Ｐ Ｕ上 实现 并行 程序 设
ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｔ ｏ ｏ ｋ ａ ｌ ｏ ｔ ｏ ｆ ｔ ｉ ｍｅ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ ｒ ｅ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ ． ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｗａ ｓ ｎ ｏ ｔ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｎ ｉ ｅ ｎ ｔ ｔ ｏ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ＧＰ Ｕ ｐ ｌ ａ ｔ ｆ ｏ ｍ ．Ｃｏ ｒ ｍ． ｐ ａ ｒ ａ ｂ ｌ ｙ，ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｚ ｅ ｒ ｏ ｃ ｒ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ｃ ｏ ｕ ｌ ｄ ａ ｃ ｈ ｉ ｅ ｖ ｅ ａ ｎ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｗ ｉ ｔ ｈ ｌ ｏ ｗ ｅ ｒ ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ
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基于Melnikov 方法的混沌阈值确定学院:通信工程学院 学生姓名:程远林 指导教师:李月教授中文摘要: 本文介绍了混沌理论及其研究历史。
混沌系统对噪声免疫，对小信号敏感的特性，这使得混沌系统在微弱信号检测领域具有很大的应有潜力。
混沌振子检测微弱信号具有传统检测方法无法比拟的优越性，取得了很大的成就。
如何准确的确定混沌系统的阈值成为混沌振子检测微弱信号的关键问题。
在众多的混沌系统中，本文主要研究的是Duffing 方程所描述的混沌系统。
本文应用相轨迹图法和功率谱熵的方法来确定混沌系统的阈值，并对两种方法的效率和实际效果进行了比较。
本文用这两种方法对非线性项含3x 和53x x +的Duffing 方程进行分析,并确定了在频率)200,5.0(∈ω上系统对应的的阈值。
实验表明，两种方法所得出的结果基本吻合。
从实验过程和最后的结果中,我们可以看出:功率谱熵的方法作为判别混沌系统运动状态的方法，具有较高的精度和效率。
关键词: 混沌系统 阈值 duffing 方程 功率谱熵Abstract: The paper introduces the research history and theory of chaos. The immunity to noiseand the sensibility to weak signal make the chaos system very useful in weak signal detecting. Comparing to traditional methods, the chaos system has its capacity in weak signal detection, and also has get great achievement. But h ow to determine the accuracy threshold of chaos system is the key problems of the use of chaos oscillator in weak signal detection. In many chaos systems, this paper mainly studied the chaos systems described by Duffing equation. In this paper, we use phase track and power spectral entropy to detect the threshold of the chaos system, and make a comparison between the two methods. We use the two methods to study the Duffing equation that the nonlinear term include 3x or53xx+, and get the threshold of the chaos systemwhen the frequency )200,5.0(∈ω. From the test, we get the conclusion that the results of two methods are coincident. From the process of the test and the final data, we learn that the power spectral entropy is e ffective and accurate in distinguishing the state of motion of the chaos system.Keyword: Chaos system Threshold Duffing equation Power Spectral Entropy1前言混沌是一种非线性的确定性行为，揭示了某些复杂系统中貌似不规则的、异常现象的本质,最早发现于气象模型中。
混沌系统具有对初始条件敏感，遍历性，随机性等性质。
本文主要研究duffing 方程所描述的混沌系统的阈值。
阈值分为进入混沌状态的阈值c a 和由混沌状态进入大尺度周期状态的阈值d a 。
本文讨论的是由混沌状态进入大尺度周期状态的阈值d a 。
本文用相轨迹图法和功率谱熵的方法分别讨论了混沌系统的阈值d a ，并对两种方法的性能做了比较。
实验发现功率谱熵方法比相轨迹图法具有更高的精度和更快的运算速度。
2混沌判据的推导本文主要研究Duffing 方程的如下两种形式:)c o s (3t a x x x k x ωεε∙∙=+-'∙+'' (2.1))c o s (53t a x x x k x ωεε∙∙=+-'∙+'' (2.2) 2.1非线性项含3x 的系统式（2. 1）可以等价为如下形式⎩⎨⎧∙+∙--==)c o s (3''t a ky x x y yx ωεε (2.3)当0=ε时，方程（2.1）为哈密顿系统，哈密顿量为4/2/2/422x x y H +-= (2.4)当0=H 时，可得同宿轨道的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧∙=±=t h tht t y htt x sec 2)(sec 2)((2.5)用Melnikov 函数计算可得：)2/cosh()sin(234)](cos )()[()(000ωπωπωω∙∙∙∙±-=+∙+-=⎰∞∞-t a k dt t t a t ky t y t M (2.6)令0)(0=t M ，又1)sin(0≤t ω所以，若式（2.6）对0t 有解，则必须满足一下条件123)2/c o s h (4≤∙∙∙±πωπωa k(2.7)根据Melnikov 函数的相关定理可得： 当0/>k a 时,解得πωπω∙>23)2/cosh(4ka ,阈值为πωπωω∙=23)2/cosh(4)(R (2.8)当0/<k a 时,解得πωπωπωπω∙<<∙-23)2/cosh(423)2/cosh(4k a (2.9)由于0/<k a ,所以此时解得区域应在X 轴以下,即πωπω∙->23)2/cosh(4k a ，πωπωω∙-=23)2/cosh(4)(R2.2非线性项含53x x +的系统式(2.2)可等价为⎩⎨⎧∙∙+∙∙--==)cos(''53t a y k x x y yx ωεε (2.10)由2.1的推导过程可得本系统的同宿轨道表达式如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+±=232020)43(63)(,436)(t t t y t t x (2.11)混沌阈值范围：当0>ka 时，可得ωπωπ256)16(322322+>ka (2.12)即阈值ωπωπω256)16(32)R(2322+=(2.13)当0<ka 时，得ωπωπωπωπ256)16(32256)16(32-23222322+<<+ka (2.14)由于0<ka 时，所以此时解得区域应在x 轴以下，即ωπωπ256)16(32-2322+>ka (2.15)此时阈值为ωπωπω256)16(32-)R(2322+= (2.16)综合推导，得到混沌区域如下：I 区：不等式混沌解（2.12）；Ⅱ区：不等式混沌解（2.15）3实验结果及分析在确定出的混沌阈值区域内，我们用相轨迹图和功率谱熵方法分别确定混沌的阈值。
3.1相轨迹图所确定的阈值方程：)cos(5.03ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表格1 πϕ5.0,5.0=-=k表格2 0,5.0=-=ϕkw 频率a 阈值图3-1 πϕϕ5.00==和时，阈值比较图从表1、表2，以及图3-1可以看出，在(0.5,220)∈ω上，随ω的变化，a 呈现出无规律变化，这表明：混沌运动是一个类周期的随机运动。
但是在(0.5,220)∈ω上，a 大体上稳定在一定的范围内。
随着ϕ值的增大，阈值a 的取值会略微变大。
方程：)cos(5.053ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表3 5.0-=k ，πϕ5.0=表4 5.0-=k ，πϕ4.0=表5 5.0-=k ，πϕ3.0=w 频率a 阈值图3-2 当ϕ取不同值时的阈值a /频率ω曲线图从上面的表格和曲线图中，我们可以看出随着相位ϕ的减小，阈值a 也会逐渐增大。
每个相位ϕ所对应的阈值a 大致稳定在一个范围内，且呈现出不规律分布，这体现了混沌运动的内在随机性。
3.2 用功率谱熵判别得到的阈值方程：)cos(5.03ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表6 0,5.0=-=ϕk表7 πϕ5.0,5.0=-=kw 频率a 阈值图3-3两种方法确定的阈值比较图从上图中我们可以看出，用功率谱熵的方法确定的阈值大体上与用相轨迹图法确定的阈值相同，一些频率点上的阈值比相轨迹法得出的阈值稍小。
这可能是由于在使用相轨迹图法进行测量的时候，产生的观察误差造成的。
方程：)cos(5.053ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表8 5.0-=k ，5.0=4.0=表105.0-=k，πϕ3.0=w 频率a 阈值图3-4 两种方法确定的阈值比较图从上图中可以看出，两种方法所得出的阈值几乎完全吻合。
3.3两种方法比较相轨迹图法：直观法简单易行,可直接观察相轨迹图，从而确定阈值。
操作简单，不需要编写复杂的程序。
但耗时长，且容易出现误判。
功率谱熵的方法：该方法属于定量分析的方法,准确性高,任何时域微小的变化都能通过功率管谱熵反应出来，所以具有较高的准确性。
且用功率谱熵的方法，进行仿真时，我们可以把一些含相同参数的模块集成，这样便于修改参数，提高仿真效率。
由于在用simulink 模块进行仿真时，无需复杂的计算和画图，所以仿真运行速度比直观法提高了数倍。
用此方法需要注意的是：对功率谱进行N点的FFT变换的时候，N的取值应当适当的大一些。
（a）集成后的系统框图图3-5图3-6 相轨迹图法框图从图3-5和3-6中可以看出，3-5所示模型，即用功率谱熵方法的模型，比用相轨迹方法的模型更便于修改参数。
设置图3-5中的示波器，使其输出相应的仿真数据到workspace。