长春市数学中考一模试卷
长春市数学中考一模试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2020·淄博) 若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）
A . 2
B . ﹣2
C .
D . 0
2. （2分）比a的2倍少3的数的相反数用代数式表示为（）
A . a－2a
B . 3-2a
C . a+2a
D . －a+3a
3. （2分） (2019八上·兰州期末) 已知点A（a，2013）与点B（2014，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）
A . ﹣1
B . 1
C . 2
D . 3
4. （2分）若，则的值是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019九上·新蔡期末) 已知函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是（）
A . x≥2
C . x≥2且x≠3
D . x＞2
6. （2分）端午节前夕，某超市用元购进A，B两种商品共，其中A型商品每件元，B型商品每件36元.设购买A型商品件、B型商品件，依题意列方程组正确的是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2020·重庆模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）
A . 或
B .
C .
D . 或
8. （2分）(2020·重庆模拟) 如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知tan∠CDB＝，BD＝10，则OH的长度为（）
A .
B . 1
C .
9. （2分）(2020·重庆模拟) 关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且
，则m的值为（）
A .
B .
C .
D . 0
10. （2分）(2020·重庆模拟) 如图，点A在反比例函数y= 的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在x轴上，且CO：OB=2：1．△ABC的面积为6，则k的值为（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
11. （2分）(2020·重庆模拟) 我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900 ，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（）（图中所有点在同一平面内≈1.41，≈1.73）
A . 60分钟
B . 70分钟
C . 80分钟
12. （2分）(2020·重庆模拟) 使关于x的二次函数y＝﹣x2+（a﹣2）x﹣3在y轴右侧y随x的增大而减小，且使得关于x的分式方程有整数解的整数a的和为（）
A . ﹣1
B . ﹣2
C . 8
D . 10
二、填空题 (共6题；共10分)
13. （1分） (2018八上·太原期中) 计算（ +1）（ -1）的结果为________．
14. （1分） (2020七下·思明月考) 如图，点表示的实数是________．
15. （1分）(2020·重庆模拟) 从﹣2，﹣1，1，2四个数中任取两数，分别记为a、b，则关于x的不等式组
有解的概率是________．
16. （5分） (2020·重庆模拟) 如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分別以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是________．
17. （1分）(2020·重庆模拟) 已知A、B、C三地顺次在同一直线上，甲、乙两人均骑车从A地出发，向C 地匀速行驶．甲比乙早出发5分钟，甲到达B地并休息了2分钟后，乙追上了甲．甲、乙同时从B地以各自原速继续向C地行驶．当乙到达C地后，乙立即掉头并提速为原速的倍按原路返回A地，而甲也立即提速为原速的
倍继续向C地行驶，到达C地就停止．若甲、乙间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的函数关系如图所示，则当甲到达C地时，乙距A地________米．
18. （1分）(2020·重庆模拟) 如图，正方形ABCD中，AB＝2 ，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为________．
三、解答题 (共3题；共28分)
19. （10分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
20. （16分）(2020·重庆模拟) 根据学习函数的经验，探究函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的图象和性质：
（1）下表给出了部分x，y的取值；
由上表可知，a＝________，b＝________；
（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象；
（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；
（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．
21. （2分）(2016·漳州) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共10分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共3题；共28分)
19-1、
19-2、
19-3、20-1、
20-2、20-3、
20-4、21-1、
21-2、
21-3、。
2024年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷及答案解析
2024年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（）A．B．﹣1C．0.5D．42．（3分）国家统计局2024年2月29日发布了《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》．初步核算，全年国内生产总值为1260582亿元.1260582这个数用科学记数法表示为（）A．0.1260582×107B．1.260582×106C．12.60582×105D．126.0582×1043．（3分）榫卯是我国古代木制建筑、家具等的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）已知a≠0，下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a5B．a6﹣a3＝a3C．（﹣2a2）3＝6a6D．a﹣1＝﹣a5．（3分）如图，A、B、C、D四点均在⊙O上，若∠BOD＝100°，则∠C的度数为（）A．100°B．110°C．130°D．140°6．（3分）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆的半径OA长为6米，∠OAB＝42°，则筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB的距离是（）米．A．6sin42°B．6+6sin42°C．6+6cos42°D．6+6tan42°7．（3分）如图，在△ABC中，若∠BAC＝60°，∠B＝75°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAD＝30°B．EG＝EC C．AB＝AD D．∠EFD＝25°8．（3分）如图，矩形ABCD的AB边在x轴正半轴上，CD边在第一象限，AB＝3，BC＝4．当点D在反比例函数的图象上时，BC的中点E也恰好在的图象上．则k的值是（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）因式分解：x2+2x＝．10．（3分）位于天定山的长春冰雪新天地2023年底普通成人票价为150元/位，大学生票价为50元/位，则m位普通成人和n位大学生的总票价为元．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，则m的值是．12．（3分）如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数为．13．（3分）我国木雕艺术历史悠久，如图的实物木雕图可以看作扇环形，其中OC＝0.2m，OA＝0.8m，∠COD＝100°，则此木雕所用扇环形木板材的面积为m2．（结果用分数表示，保留π）14．（3分）掷实心球是中考体育考试项目之一．小明在训练馆试掷时，鹰眼系统记录了他掷出的实心球在空中运动的轨迹，运动轨迹是抛物线的一部分（如图）．根据运动的轨迹得到实心球运动的水平距离x （米）与竖直高度y（米）的数据如表①：表①水平距离x（米）024567竖直高度y（米） 2.25 5.25 6.256 5.254表②等级单项得分中考得分掷实心球（米）优秀1008.09.6957.69.3907.29良好85 6.88.780 6.48.4长春市中考体育考试评分标准（男生版）如表②，依此标准小明此次试掷的中考得分是．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值；2（a2﹣3）﹣（a+2）（a﹣2），其中．16．（6分）今年是甲辰龙年，同时也是中国红十字会成立120周年，为此中国邮政发行了特种含龙图案的邮票2枚和纪念邮票1枚．如图，现有三张正面印有这三枚邮票图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小宇从中随机抽取两张卡片．请用画树形图或列表的方法，求小宇抽出的两张卡片都是龙图案的概率．17．（6分）刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为289km，比返回时大巴车行驶的路程多17km，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多11km，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E是AC的中点．过点A作AG∥BC，作射线DE交AG于点F，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是矩形．（2）若BC＝12，，直接写出矩形ADCF的面积．19．（7分）3月11日邯郸3名初中生杀人埋尸案发生后，为加强学生法治观念，某校开展了“普法知识”竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：七年级C组同学的分数分别为：94，91，93，90；八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：年级平均数中位数众数优秀率七91a95m八9193b65%（1）填空：a＝，b＝，m＝．（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“普法知识”竞赛中，哪个年级学生成绩更好？请说明理由．（至少写出两条理由）（3）该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数．20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中画△ABC的中线CD．（2）在图②BC边上找一点E，连结AE，使AE平分△ABC的面积．（3）在图③中△ABC的内部找一点F，使，21．（8分）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如表：碗的个数x（个）12345这摞碗的总高度y（厘米） 5.578.51011.5【建立模型】（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．（2）求y与x的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？22．（9分）【问题提出】如图①，在正方形ABCD中，M、N分别是边AB和对角线BD上的点，∠MCN ＝45°．从而△ACM∽△DCN，＝．【思考探究】如图②，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，AB＝3，M、N分别是边DC和对角线BD上的点，∠MAN＝60°，若DM＝1，求BN的长．【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线AC＝10，DE⊥BC交BC的延长线于点E，M、N分别是菱形高DE和对角线AC上的点，，AN＝3，直接写出DM的长．23．（10分）如图，O为菱形ABCD对角线的交点，，．动点P从点A出发，先沿AD 以每秒5个单位长度的速度运动，然后沿DB以每秒个单位长度的速度继续运动．当点P不与点A、D、O重合时，过点P作PQ∥DC交AC于点Q，分别过点P、Q作AD、PQ的垂线，这两垂线相交于点M．设点P的运动时间为t秒．（1）求点D到BC的距离并写出∠DCB的正弦值．（2）用含t的代数式表示PQ的长．（3）当点O在△PQM的内部时，求t的取值范围．（4）当点M在菱形ABCD的一边上时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c是常数）经过点A（﹣3，﹣1）、B（0，2），点P（m，y1）在该抛物线上．（1）求该抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标．（2）当点P关于x轴的对称点在直线AB上时，求m的值．（3）过点P作PQ⊥x轴于点Q，当m＞﹣2时，在线段AB上取点M，点N坐标为（0，1），当△QMN的周长最小时，求这个最小值以及点M的坐标．数最大值与最小值差为时，直接写出所有满足条件的m的值．2024年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】先估算的大小，然后根据绝对值的意义判断即可．【解答】解：∵，∴|0.5|＜|﹣1|＜＜|﹣4|，∴在数轴上表示的点距离原点最近的是0.5，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，绝对值的意义，实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1260582用科学记数法表示为1.260582×106．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：故选：A．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．4．【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；B．先判断a6，a3是不是同类项，能否合并，然后判断即可；C．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；D．根据负整数指数幂的性质进行计算，然后判断即可．【解答】解：A．∵a3•a2＝a5，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；B．∵a6，a3不是同类项，不能合并，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；C．∵（﹣2a2）3＝﹣8a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；D．∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方法则、负整数指数幂的性质和幂的乘方法则．5．【分析】根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠C．【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝∠BOD＝×100°＝50°，则∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣50°＝130°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．【分析】连接CO交AB于点D，根据题意可得：CD⊥AB，然后在Rt△AOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：连接CO交AB于点D，由题意得：CD⊥AB，在Rt△AOD中，∠OAB＝42°，OA＝6米，∴OD＝AO•sin42°＝6sin42°（米），∵OC＝6米，∴CD＝OC+OD＝（6+6sin42°）米，∴筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB的距离是（6+6sin42°）米，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．【解答】解：A．由作图可知，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，GE是BC的垂直平分线，∴∠GEC＝90°，∵∠BAC＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴EG＝EC，故选项B正确，不符合题意；C．∵∠B＝75°，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝75°，∴∠B＝∠ADB，∴AB＝AD，故选项C正确，不符合题意；D．∵∠FDE＝∠ADB＝75°，∠FED＝90°，∴∠EFD＝90°﹣75°＝15°，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．8．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．【解答】解：设D点坐标为（m，4），则C（m+3，4），B（m+3，0），∵E是BC的中点，∴E（m+3，2），∴4m＝2（m+3），解得m＝3，∴D（3，4），∴k＝12．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．【分析】直接提取公因式x即可．【解答】解：原式＝x（x+2），故答案为：x（x+2）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式，找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．10．【分析】根据题意列出代数式即可．【解答】解：∵普通成人票价为150元/位，大学生票价为50元/位，∴m位普通成人和n位大学生的总票价为（150m+50n）元．故答案为：（150m+50n）．【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解题意列出代数式．11．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）＝0，即4﹣m＝0，解得m＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0，此题难度不大．12．【分析】先利用平行线的性质可得∠A＝∠2＝45°，然后利用三角形的外角性质可得∠DCF＝15°，从而利用平角定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵AB∥DE，∴∠A＝∠2＝45°，∵∠2是△DCF的一个外角，∴∠DCF＝∠2﹣∠D＝45°﹣30°＝15°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ACB﹣∠DCF＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故答案为：75°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．13．【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵OC＝0.2m，OA＝0.8m，∠COD＝100°，∴S木雕＝S扇形AOB﹣S扇形COD＝＝（R2﹣r2）＝×（0.82﹣0.22）＝．故答案为：．【点评】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是本题的关键．14．【分析】依据题意，根据表①所给信息可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝4，从而可得顶点为（4，6.25），故可设抛物线为y＝a（x﹣4）2+6.25，抛物线过（0，2.25），从而求出a后可得解析式，再令y＝0，进而可以判断得解．【解答】解：由题意，根据表①所给信息可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝4，∴顶点为（4，6.25）．∴可设抛物线为y＝a（x﹣4）2+6.25．又抛物线过（0，2.25），∴16a+6.25＝2.25．∴a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+6.25．又令y＝0，∴0＝﹣（x﹣4）2+6.25．∴x＝9或x＝﹣1（舍去）．∴实心球的水平距离为9米．∴小明此次试掷的中考得分是7.2．故答案为：7.2．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，函数的图表和关系式，解题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．【分析】根据乘法分配律和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：2（a2﹣3）﹣（a+2）（a﹣2）＝2a2﹣6﹣a2+4＝a2﹣2，当a＝时，原式＝（）2﹣2＝3．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．16．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小宇抽出的两张卡片都是龙图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：A B CA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）共有6种等可能的结果，其中小宇抽出的两张卡片都是龙图案的结果有：（A，B），（B，A），共2种，∴小宇抽出的两张卡片都是龙图案的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．17．【分析】设大巴车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度为（2x+11）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设大巴车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度为（2x+11）km/h，根据题意得：＝×2，解得：x＝88，经检验，x＝88是所列方程的解，且符合题意．答：大巴车的平均速度为88km/h．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18．【分析】（1）先证明△EAF≌△ECD（ASA），得AF＝CD，再证明四边形ADCF是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝6，再由锐角三角函数的定义求出AD的长，然后由矩形的面积公式即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAF＝∠ECD，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，在△EAF和△ECD中，，∴△EAF≌△ECD（ASA），∴AF＝CD，∵AG∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝×12＝6，∵tan∠B＝＝，∴AD＝BD＝×6＝10，＝AD•CD＝10×6＝60．∴S矩形ADCF【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．19．【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出a、b的值，用优秀的人数除以总人数即可得m的值；（2）根据中位数和优秀率进行判断即可；（3）用样本估计总体可得结果．【解答】解：（1）中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在C组，∴a＝＝92，观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得众数b＝94，m＝×100%＝60%，故答案为：92，94，60%；（2）八年级的学生成绩更好，理由如下：因为八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好；（3）400×60%+500×65%＝565（人），答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数为565人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形即可；（2）作线段BC的垂直平分线MN，交BC于E，连接AE即可；（3）取格点D，作BC的垂直平分线交BC于K，连接AK，CD交于F，则，【解答】解：（1）如图①，取格点F、G，连接FG交AB于点D，连接CD，点D及△ACD就是所求的图形．理由：连接AF，则AF∥BG，AF＝BG，∴∠AFD＝∠BGD，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（AAS），∴AD＝BD＝AB；（2）线段BC的垂直平分线MN，交BC于E，连接AE，线段AE即为所求；理由：如图②，过A作AH⊥BC于H，∵MN垂直平分BC，∴BE＝CE，＝，S△ACH＝，∵S△ABE＝S△ACE，∴S△ABE∴AE平分△ABC的面积．（3）如图③，取AB的中点D及格点K，连接CD、AK交于点F，连接BF，点F及△BCF就是所求的图形．理由：如图①，∵△ADF≌△BDG，∴FD＝GD，∴点D为格点，取格点I，连接DI，则DI∥CK，∴△DFI∽△CFK，∵DI＝1，CK＝2，IK＝AK，∴，∴FK＝IK＝AK＝AK，＝BC•FK＝BC×AK＝BC•AK＝S△ABC．∴S△BCF【点评】此题是三角形的综合题，重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．21．【分析】（1）描点并连线，观察这些点的分布特点；（2）利用待定系数法求出y与x的函数关系式，将x＝12代入函数关系式，求出对应y的值即可；（3）将函数关系式代入y≤35，求出x的最大值即可．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中描点如图所示：用光滑的曲线将这些点连起来，发现它们分布在同一条直线上．（2）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将x＝1，y＝5.5和x＝2，y＝7代入y＝kx+b，得，解得，∴y＝1.5x+4，当x＝12时，y＝1.5×12+4＝22．∴y与x的函数关系式为y＝1.5x+4，当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度为22cm．（3）若能将碗一次性放进柜子里，则1.5x+4≤35，解得x≤，∵x为正整数，∴x的最大值为20，∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．22．【分析】（1）由正方形的性质得AD＝DC＝AB＝CB，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，则AC＝DC，∠MAC＝∠NDC＝∠ACD＝45°，而∠MCN＝45°，所以∠ACM＝∠DCN＝45°﹣∠ACN，可证明△ACM∽△DCN，得＝＝，于是得到问题的答案；（2）设AC交BD于点O，由矩形的性质得∠BAC＝60°，CD＝AB＝3，CD∥AB，∠ABC＝90°，OA＝OC，则OB＝OA＝AC，∠ACM＝∠BAC＝60°，＝cos60°＝，可证明△BAN∽△CAM，得＝＝，求得BN＝CM＝1；（3）连接DB交AC于点P，由菱形的性质是CB＝AB，DB⊥AC，AP＝CP＝AC＝5，BP＝DP，则∠ABP＝∠DBE，BP＝＝12，求得DB＝24，再证明∠BAN＝∠BDM，由tan∠ABP＝tan∠MBN＝，推导出∠ABP＝∠MBN，则∠ABN＝∠DBM，即可证明△ABN∽△DBM，得＝，求得DM＝＝．【解答】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝CB，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝DC，∠MAC＝∠NDC＝∠ACD＝45°，∵∠MCN＝45°，∴∠ACM＝∠DCN＝45°﹣∠ACN，∴△ACM∽△DCN，∴＝＝，故答案为：．（2）如图②，设AC交BD于点O，∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝60°，AB＝3，∴CD＝AB＝3，CD∥AB，∠ABC＝90°，OA＝OC，∴OB＝OA＝AC，∠ACM＝∠BAC＝60°，＝cos60°＝，∴∠ABN＝∠BAC＝60°，∴∠ABN＝∠ACM，∵∠MAN＝60°，DM＝1，∴∠BAN＝∠CAM＝60°﹣∠CAN，CM＝CD﹣DM＝3﹣1＝2，∴△BAN∽△CAM，∴＝＝，∴BN＝CM＝×2＝1，∴BN的长为1．（3）如图③，连接DB交AC于点P，∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，AC＝10，AN＝3，∴CB＝AB，DB⊥AC，AP＝CP＝AC＝×10＝5，BP＝DP，∴∠ABP＝∠DBE，BP＝＝＝12，∴DB＝2BP＝2×12＝24，∵DE⊥BC交BC的延长线于点E，∴∠APB＝∠E＝90°，∵∠BAN+∠ABP＝90°，∠BDM+∠DBE＝90°，∴∠BAN＝∠BDM，∵tan∠ABP＝＝，tan∠MBN＝，∴tan∠ABP＝tan∠MBN，∴∠ABP ＝∠MBN ，∴∠ABP ﹣∠PBN ＝∠MBN ﹣∠PBN ，∴∠ABN ＝∠DBM ，∴△ABN ∽△DBM ，∴＝，∴DM ＝＝＝，∴DM 的长是．【点评】此题重点考查正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．23．【分析】（1）如图1，过点D 作DN ⊥BC 于N ，先根据勾股定理得：BC ＝5，最后利用面积法和正弦的定义可得结论；（2）分两种情况：①当点P 在边AD 上时，如图2，根据等腰三角形的性质，判定和平行线的性质可得PQ ＝AP ＝5t ；②当点P 在对角线BD 上时，如图3，利用平行线分线段成比例定理可得PQ 的长；（3）先计算分界点时t 的值，当P 在边AD 上，且Q 与O 重合时，如图4，根据AP ＝PD 可得t ＝；当P 在边AD 上，且点O 在PM 上，如图5，根据三角函数的定义可得t 的值，从而得结论；（4）存在三种情况：如图7，点M 在边BC 上，延长PQ 交BC 于K ；如图8，点M 在边AD 上，延长PQ 交AD 于K ；如图9，点M 在边BC 上，延长PQ 交BC 于K ；分别根据三角函数列式可解答．【解答】解：（1）如图1，过点D 作DN ⊥BC 于N ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OC ＝AC ＝2，OB ＝BD ＝，DC ＝BC ＝AD ，由勾股定理得：BC ＝＝5，∴DC＝5，＝•AC•BD＝BC•DN，∵S菱形ABCD∴×4×＝5DN，∴DN＝4，即点D到BC的距离是4，在Rt△DCN中，sin∠DCB＝＝；（2）分两种情况：①当点P在边AD上时，如图2，∴AP＝5t，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∵PQ∥CD，∴∠AQP＝∠DCA，∴∠DAC＝∠AQP，∴PQ＝AP＝5t；②当点P在对角线OD上时，如图3，∴DP＝（t﹣1），∵OD＝，∴OP＝OD﹣DP＝﹣（t﹣1）＝2﹣t，∵PQ∥AC，∴＝，即＝，∴PQ＝10﹣5t；当点P在对角线OB上时，如图4，同理得：PQ＝5t﹣10，综上，PQ＝；（3）当P在边AD上，且Q与O重合时，如图5，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∵PQ∥CD，∴AP＝PD＝＝5t，∴t＝；当P在边AD上，且点O在PM上，如图6，∵OP⊥AD，∴∠APO＝90°，∴cos∠DAO＝＝，∴＝，∴t＝，综上，当点O在△PQM的内部时，t的取值范围是：＜t＜；（4）如图7，点M在边BC上，延长PQ交BC于K，∵PQ∥CD，AD∥BC，∴四边形DPKC是平行四边形，∴PK＝CD，∵AP＝PQ＝5t，∴KQ＝5﹣5t，由（1）可知：tan∠QMK＝，∴＝＝，∴MQ＝，∵PM⊥AD，∴∠DPQ+∠MPQ＝90°，∵PQ⊥MQ，∴∠MQK＝90°＝∠QMK+∠MKQ，∵AD∥BC，∴∠DPQ＝∠MKQ，∴∠MPQ＝∠QMK，∴tan∠MPQ＝tan∠QMK，∴＝，即＝，∴t＝；如图8，点M在边AD上，延长PQ交AD于K，∵PQ∥CD∥AB，∴＝，即＝，∴DK＝，∴AK＝KQ＝5﹣KD＝5﹣＝，同理得：tan∠KMQ＝＝，∴MQ＝KQ＝，∵∠MPQ＝∠KMQ，∴tan∠MPQ＝＝，∴＝，解得：t＝；如图9，点M在边BC上，延长PQ交BC于K，∵PQ∥CD，∴＝，即＝，∴CK＝，∴CK＝KQ＝，同理得：tan∠KMQ＝＝，∴MQ＝KQ＝，∴tan∠MPQ＝＝，∴＝，解得：t＝；综上，t的值为或或．【点评】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的面积等知识，以及分类讨论的数学思想，根据题意分类并作出对应的图形是解题关键．24．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）将点P关于x轴的对称点为（m，m2+2m﹣2）代入直线AB的解析式即可；（3）点N关于直线AB的对称点为E（﹣1，2），关于x轴的对称点F（0，﹣1），EF与AB的交点为M，与x轴的交点为Q时，△QMN的周长最小，最小值为MN+MQ+NQ＝EF＝，直线EF与直线AB的交点为M；（4）①当m≤﹣2时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣2m+2，可得m＝；②当﹣2＜m＜﹣时，最大值为﹣m2﹣m+2，最小值为﹣m2﹣2m+2，此时m不存在；③当﹣＜m＜﹣1时，最大值为﹣m2﹣2m+2，最小值为﹣m2﹣m+2，此时m不存在；④当﹣1≤m＜0时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣m+2，解得m＝；⑤当m≥0时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣2m+2，此时m无解．【解答】解：（1）将点A（﹣3，﹣1）、B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+2，∵y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，∴顶点为（﹣1，3）；（2）∵点P（m，y1）在该抛物线上，∴y1＝﹣m2﹣2m+2，∴P（m，﹣m2﹣2m+2），设直线AB的解析式为y＝kx+2，∴﹣3k+2＝﹣1，解得k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x+2，∵点P关于x轴的对称点为（m，m2+2m﹣2），∴m2+2m﹣2＝m+2，解得m＝；（3）点N关于直线AB的对称点为E（﹣1，2），关于x轴的对称点F（0，﹣1），EF与AB的交点为M，与x轴的交点为Q时，△QMN的周长最小，最小值为MN+MQ+NQ＝EF＝，直线EF的解析式为y＝3x﹣1，当3x﹣1＝x+2时，解得x＝﹣，∴M（﹣，）；（4）∵P、R在抛物线上，∴P（m，﹣m2﹣2m+2），R（﹣m﹣2，﹣m2﹣m+2），当P、R重合时，m＝﹣m﹣2，解得m＝﹣，当P点与抛物线顶点重合时，m＝﹣1，当R点与抛物线顶点重合时，﹣m﹣2＝﹣1，解得m＝﹣2，①当m≤﹣2时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣2m+2，∴﹣m＝3﹣（﹣m2﹣2m+2），解得m＝或m＝（舍）；②当﹣2＜m＜﹣时，最大值为﹣m2﹣m+2，最小值为﹣m2﹣2m+2，∴﹣m＝﹣m2﹣m+2﹣（﹣m2﹣2m+2），解得m＝0（舍）或m＝﹣（舍）；③当﹣＜m＜﹣1时，最大值为﹣m2﹣2m+2，最小值为﹣m2﹣m+2，∴﹣m＝（﹣m2﹣2m+2）﹣（﹣m2﹣m+2），解得m＝0（舍）或m＝﹣（舍）；④当﹣1≤m＜0时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣m+2，∴﹣m＝3﹣（﹣m2﹣m+2），解得m＝或m＝（舍）；⑤当m≥0时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣2m+2，∴m＝3﹣（﹣m2﹣2m+2），此时方程无解；综上所述：m的值为或．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键。
长春市初三一模考试卷数学
长春市初三一模考试卷数学选择题：1. 若a + b = 10，a - b = 4，则a的值是：A) 5B) 7C) 6D) 42. 下列哪个是一个无理数？A) √16B) 0.5C) πD) 4/33. 若一个等腰三角形的顶角是60°，底边长度为6cm，则等腰边的长度是：A) 6cmB) 4cmC) 8cmD) 10cm4. 一个矩形的周长是28cm，长比宽多8cm，那么矩形的长和宽分别是多少？A) 长16cm，宽6cmB) 长12cm，宽8cmC) 长14cm，宽6cmD) 长10cm，宽8cm5. 若两个角的和为180°，一个角是60°，则另一个角是：A) 60°B) 90°C) 120°D) 30°填空题：1. 5的阶乘是多少？2. 若一个数的1/5等于15，这个数是多少？3. 若一个正方体的表面积是54平方厘米，其体积是多少立方厘米？4. 一个三角形的三条边长分别是6cm、8cm和10cm，它是一个________三角形。
5. 若正方体的体积为64立方厘米，其边长是多少厘米？应用题：1. 某班有40名学生，男生占总人数的60%，求女生人数。
2. 一直方体的表面积是96平方厘米，求其体积。
3. 一个等边三角形的周长是24cm，求边长和面积。
4. 某地一栋楼高240米，从楼顶往下看，视角向下俯视45°角，计算楼顶到视线投影的距离。
5. 水桶里装满水的容积是36升，将水倒入一个长方体容器中，长12厘米，宽8厘米，求水深。
2023年吉林省长春市中考一模数学试题(含答案解析)
2023年吉林省长春市中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．AB B．BC5．如图，某游乐场有一个长180cmO为AB的中点，当AB的一端AA．90cmcos28︒B．90sin28︒6．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转少为（）A ．36︒B ．72︒7．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，为()A ．100︒B ．70︒8．如图，在平面直角坐标系中，ABC 反比例函数k y x =的图像绕着原点值范围是（）A ．23k ≤≤B ．2k ≤≤二、填空题9．分解因式a 2b +ab 2＝______．10．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为_____．11．建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，你能说明其中的原理是________．12．如图，在一块长为10米，宽为5米的矩形土地中间铺一条弯曲的石子路，石子路的左边线向右平移x 米就是它的右边线，其余部分种草，则草地面积为________平方米．（用含x 的式子表示）13．两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放，将两个三角板抽象成如图②所示的ABC 和ADE ，点B 、C 、D 依次在同一条直线上，连结CE ．若1CD =，3CE =，则点A 到直线BC 的距离为________．14．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分，且石块在离发射点水平距离50米处达到最大高度25米．现将该投石机放置在水平地面上的点O 处，如图②，石块从投石机竖直方向上的点A 处被投出，投向远处的防御墙BC ，BC 垂直于水平地面且与OA 之间的距离超过50米．已知OA 高5米，BC 高20米，若石块正好能打中防御墙BC ，设投石机离防御墙的水平距离OB 为x 米，则x 的取值范围是________．三、解答题18．小爱和小春两位同学参加学校举行的电脑汉字输入比赛，小爱比小春多输入200字；第二轮两人均输入花时间的67(假设两人在比赛中各自输入汉字的平均速度不变汉字超过120字，则有资格参加市里举办的比赛，请通过计算说明小爱是否有资格参加市里的比赛．19．为了解本校学生的视力情况，数学兴趣小组对该校对相关数据收集整理如下：【收集数据】（1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：方案①：随机抽取60名戴眼镜的学生进行调查．这60名学生视力值的中位数为________；【分析数据】（3）若视力值大于4.8属于“视力良好”，请估计该校900名学生达到20．图①、图②、图③均是22 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点B、C、D、E、F、G、H、O均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．的对称轴；(1)在图①中，画出ABC(2)在图②中，点P是线段DE上的一点，画出点P关于直线(3)在图③中，点M是线段OG上一点，在线段OH上确定一点21．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，有10吨积水，并立即开始一边排水一边修船，1分钟后，船内不再进水，此时船内仍有8吨积水，2分钟后积水排空，船的进水速度和排水速度始终不变．与触礁后的时间x（分钟）的函数图像如图所示．(1)求船内不再进水后y与x之间的函数关系式，并写出自变量(2)如果船员提前2分钟发现船身进水并立即排水与修船，水速度也不变，请在图中画出新的表示y与x函数关系的图像，并由图像可得轮船将会提前________分钟排空积水．22．【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：AD FE=．这就是如下的基本事实：DB EC两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．【问题原型】如图①，【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R 在边BC 上（不与点连结PR 交EF 于点N ．（1）若MN ＝4，则线段QR 的长为________；（2）当点Q 与点B 重合，点R 与点C 重合时，如图③，若BC ＝10，且PMN 最小值为12，则边AB 的长为________．23．如图，AB 为O 的直径，3OA =．动点P 在O 上且位于直线AB 上方，点A 关于直线PO 的对称点A '，连结A P A B ''、．(1)当点A '与点B 重合时，AOP ∠的大小为________度；(2)当PA AB '∥时，求 AP的长；(3)当AB 平分线段PA '时，求扇形(4)连接AP ，当4A B '=时，直接写出线段24．在平面直角坐标系中，点A 的横坐标为m ，点B 作y 轴的垂线交该抛物线于点(1)求抛物线2y x bx =+的函数表达式；(2)当32m =时，求tan OCA ∠(3)当抛物线y ＝2x bx +的对称轴将(4)连接OA 、OB 、OC 、范围．参考答案：将,A B 旋转90︒，得到()1,2A '，(3,2C '当反比例函数k y x =的图像经过点(1,A '当反比例函数k y x=的图像经过点(3,2C '∴26k ≤≤，故选：B ．共有8种等可能结果，符合题意的有2种，∴经过3次传球后球回到甲手中的概率21=84【点睛】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．17．见解析【分析】根据AB CD ∥，AD BC ∥，得出四边形()AAS ADE CDF △≌△得出AD DC =，即可证明四边形【详解】证明：∵AB CD ∥，AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点与轴对称的性质画出对称轴即可求解；（2）根据轴对称的性质，过PF 与l 的交点，作射线EQ 交DF 于点Q ，则点Q 即为所求；（3）根据网格的特点作大正方形的对角线，连接MH ，过MH 与对角线的交点，作射线GN ，交网格于点N ，OM ON =，点N 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，（2）解：如图所示，点Q 即为所求；（3）解：如图所示，点N 即为所求．【点睛】本题考查了画轴对称，画轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．21．(1)432(68)y x x =-+<≤(2)图见解析；3【分析】（1）设船内不再进水后y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠根据函数图象可得当5x =时，0y =，85=3-故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数的应用，画一次函数图象，根据题意求得一次函数解析式，数形结合是解题的关键．22．[问题原型]见解析；[结论应用]（1）8；（【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证；[结论应用]（1）根据平行线分线段成比例得出是PQR 的中位线，即可求解；（2）根据（1）的结论得出MN 是是PQR 的中位线，当小值为24，进而勾股定理即可求解．作点C 关于AD 的对称点，连接∴PB PC PB PG +=+≥当P 在BG 上时，取得最小值，又∵,PD BC D ∥是CG ∴PD 是BC 的中位线，∴P 是AD 的中点，则PB 即当P 顶点是AD 中点时，三角形∵根据（1）的结论得出∴PBC 的周长为24，∴1122PA PD AD BC ===∴7PB =，∵AB 平分PA '，∴2A OP POB '∠=∠，由轴对称的性质可得A '∠∴2AOP POB∠=∠∵180AOP POB ︒∠+∠=，∴120A O P ∠=︒，∴212033360AOP S ππ⨯==扇形（4）解：如图所示，连接∴AA OP '⊥，且12AC =∵4A B '=，3OA =，∴226425AA '=-=，∴5AC =，在Rt ACO 中，CO AO =∴1PC =，∴225AP PC AC =+=如图所示，连接AA '交PO在Rt APC △中，AP =∴AP 的长为6或30【点睛】本题考查了轴对称的性质，求弧长，求扇形面积，勾股定理，垂径定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．24．(1)24y x x=-(2)32(3)2或6(4)5013m m m <<<>，，【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）根据对称轴求得C （3）根据平行四边形的性质，可得对称轴经过平行四边形的顶点，然后分情况讨论即可求解．（4）①根据题意画出图形，①当点A 在x 轴上方时且分别求得()2,4A m m m -根据AOB AEO BEO S S S =- 积和为()(21122m m ---同理可得OAB 与OCD②当点B 落在对称轴直线2x =上时，12m -=，∴3m =∴()3,3A -,()2,4B -，∴()2342S =⨯---=⎡⎤⎣⎦，综上，S 的值为2或6；（4）解：①如图所示，当点A 在x 轴上方时且,A B 在对称轴的左侧，设直线AB 交x 轴于点E ，CD 交x 轴于点F ，∵点A 的横坐标为m ，点B 的横坐标为1m -，∴()2,4A m m m -，()()()21,141B m m m ----即()21,65B m m m --+，∴,A B 的纵坐标之差为()2265425m m m m m -+--=-∵,A C 关于2x =对称轴，∴()2242AC m m=-⨯=-∴()()2254241820S m m m m =-⨯-=-+-；设直线AB 的解析式为y kx b=+③当B 点在x 轴下方时，且,A B ∵直线AB 的解析式为()25y m x =-+∴225m m OE m -=-∴AOB AEO BEOS S S =- ()(2251225122m m m m m m -=-=--⨯--⨯∵CD AB ∥，()2242AC m =-⨯=-即将直线AB 平移()42m -个单位，当420m ->。
【中考专题】2022年吉林省长春市中考数学一模试题(含答案详解)
2022年吉林省长春市中考数学一模试题 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列计算中，正确的是（ ）A ．a 2+a 3＝a 5B ．a •a ＝2aC ．a •3a 2＝3a 3D ．2a 3﹣a ＝2a 2 2、若23m a b +和()31n a b -是同类项，且它们的和为0，则mn 的值是（ ） A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．43、已知反比例函数1y x =经过平移后可以得到函数11y x =-，关于新函数11y x =-，下列结论正确的是（ ） A ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 B ．该函数的图象与y 轴有交点 C ．该函数图象与x 轴的交点为（1，0） D ．当102x <≤时，y 的取值范围是01y <≤4、如图，OE 为AOB ∠的角平分线，30AOB ∠=︒，6OB =，点P ，C 分别为射线OE ，OB 上的动点，则PC PB +的最小值是（ ） ·线○封○密○外A ．3B ．4C ．5D ．65、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点,E F ，下列结论中，错误的是（ ）A ．AE OE FC OF =B ．AE BF DE FC = C ．AD OE BC OF = D ．AD BC DE BF= 6、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米D ．12米7、如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，D 是BC 的中点，ED BC ⊥垂足为D ，交AB 于点E ，连接CE ．若1AE =，3AC =，则BE 的长为（ ）A ．3 B．C ．4 D8、如图，边长为a 的等边△ABC 中，BF 是AC 上中线且BF ＝b ，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，则△AEF 周长的最小值是（ ） A ．12a 23+ b B ．12a +b C ．a 12+ b D ．23a 9、如图，有三块菜地△ACD 、△ABD 、△BDE 分别种植三种蔬菜，点D 为AE 与BC 的交点，AD 平分∠BAC ，AD =DE ，AB =3AC ，菜地△BDE 的面积为96，则菜地△ACD 的面积是（ ）A ．24B ．27C ．32D ．3610、下列几何体中，截面不可能是长方形的是（ ） A ．长方体 B ．圆柱体C ．球体D ．三棱柱·线○封○密○外第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛．甲同学被选中的概率是______．2、如图所示，已知直线m n ∥，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P 为直线n 上一定点，以P 为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m 于A 、B 两点．再分别以点A 、B 为圆心、大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点Q ，作直线PQ ，交直线m 于点O ．点H 为射线OB 上一动点，作点O 关于直线PH 的对称点O '，当点O '到直线n 的距离为4个单位时，线段PH 的长度为______．3、定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图，在Rt PBC △中，90PCB ∠=︒，点A 在边BP 上，点D 在边CP 上，如果11BC =，12tan 5PBC ∠=，13AB =，四边形ABCD 为“对等四边形”，那么CD 的长为_____________．4、若最简二次根式2a -2a ﹣b ＝___．5、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD 为12米时，球移动的水平距离PD 为9米．已知山坡PA 的坡度为1：2（即:AC PC ），洞口A 离点P 的水平距离PC 为12米，则小明这一杆球移动到洞口A 正上方时离洞口A 的距离AE 为______米． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、某校准备从八年级1班、2班的团员中选取两名同学作为运动会的志愿者，已知1班有4名团员（其中男生2人，女生2人）．2班有3名团员（其中男生1人，女生2人）． (1)如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为______； (2)如果分别从1班、2班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率． 2、看图列式计算 (1)列式计算__________ ·线○封○密·○外(2)求阴影部分面积（单位：分米，结果保留π）；列式计算__________3、如图，直线3y x =-+与反比例函数()20=>y x x的图象交于A ，B 两点． (1)求点A ，B 的坐标；(2)如图1，点E 是线段AC 上一点，连接OE ，OA ，若45AOE ∠=︒，求AE EC 的值；(3)如图2，将直线AB 沿x 轴向右平移m 个单位长度后，交反比例函数()20=>y x x的图象于点P ，Q ，连接AP ，BQ ，若四边形ABQP 的面积恰好等于2m ，求m 的值．4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，过点D 作DF BC ∥，分别交AC 、AB 点E 、F ，且满足AB AF DF BC ⋅=⋅．(1)求证：AEF DAF ∠∠= (2)求证：22AF DE AB CD = 5、已知关于x 的一元二次方程x 2−(2m −2)x +(m 2−2m )=0． (1)请说明该方程实数根的个数情况； (2)如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且(x 1+1)⋅(x 2+1)=8，求m 的值． -参考答案- 一、单选题 1、C 【解析】 【分析】 根据整式的加减及幂的运算法则即可依次判断． 【详解】 A. a 2+a 3不能计算，故错误； B. a •a ＝a 2，故错误； C. a •3a 2＝3a 3，正确； D. 2a 3﹣a ＝2a 2不能计算，故错误； ·线○封○密○外故选C ．【点睛】此题主要考查幂的运算即整式的加减，解题的关键是熟知其运算法则．2、B【解析】【分析】根据同类项的定义得到2+m =3，n -1=-3， 求出m 、n 的值代入计算即可．【详解】解：∵23m a b +和()31n a b -是同类项，且它们的和为0， ∴2+m =3，n -1=-3，解得m =1，n =-2，∴mn =-2，故选：B ．【点睛】此题考查了同类项的定义：含有相同的字母，且相同字母的指数分别相等，熟记定义是解题的关键．3、C【解析】【分析】 函数11y x=-的图象是由函数1y x =的图象向下平移1个单位长度后得到的，根据两个函数的图像，可排除A ，B ，C 选项，将y =0代入函数11y x =-可得到函数与x 轴交点坐标为（1,0），故C 选项正确． 【详解】解：函数1y x =与函数11y x =-的图象如下图所示： 函数11y x=-的图象是由函数1y x =的图象向下平移1个单位长度后得到的， A 、由图象可知函数11y x =-，当0x >时，y 随x 的增大而减小，选项说法错误，与题意不符； B 、函数11y x=-的图象是由函数1y x =的图象向下平移一个单位后得到的，所以函数与y 轴无交点，选项说法错误，与题意不符；C 、将y =0代入函数11y x =-中得，101x =-，解得1x =，故函数与x 轴交点坐标为（1,0），选项说法正确，与题意相符；D 、当12x =时， 11112y =÷-=，有图像可知当102x <≤时，y 的取值范围是1y ≥，故选项说法错误，与题意不符； 故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的图象，以及函数图象的平移，函数与数轴的交点求法，能够画出图象，并掌握数形结合的方法是解决本题的关键． 4、A 【解析】 【分析】 ·线○封○密○外过点B作BD⊥OA于D，交OE于P，过P作PC⊥OB于C，此时PC PB+的值最小，根据角平分线的性质得到，PD=PC，由此得到PC PB+=BD，利用直角三角形30度角的性质得到BD的长，即可得到答案．【详解】解：过点B作BD⊥OA于D，交OE于P，过P作PC⊥OB于C，此时PC PB+的值最小，∵OE为AOB∠的角平分线，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，∴PC PB+=BD，∵30AOB∠=︒，6OB=，∴132BD OB==，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，最短路径问题，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．5、B【解析】【分析】根据AD∥BC，可得△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，再利用相似三角形的性质逐项判断即可求解．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴△AOE ∽△COF ，△AOD ∽△COB ，△DOE ∽△BOF ， ∴AE AO OE FC CO OF ==，故A 正确，不符合题意； ∵AD ∥BC ， ∴△DOE ∽△BOF ， ∴DE OE DO BF OF BO ==， ∴AE DE FC BF =， ∴AE FC DE BF =，故B 错误，符合题意； ∵AD ∥BC ， ∴△AOD ∽△COB ， ∴AD AO DO BC CO BO ==， ∴AD OE BC OF =，故C 正确，不符合题意； ∴DE AD BF BC = ， ∴AD BC DE BF =，故D 正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 6、B ·线○封○密·○外【解析】【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣125x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，∵O点到水面AB的距离为4米，∴A、B点的纵坐标为﹣4，∵水面AB宽为20米，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），将A代入y＝ax2，﹣4＝100a，∴a＝﹣125，∴y＝﹣125x2，∵水位上升3米就达到警戒水位CD，∴C点的纵坐标为﹣1，∴﹣1＝﹣125x2，∴x＝±5，∴CD＝10，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键．7、D【解析】【分析】 勾股定理求出CE 长，再根据垂直平分线的性质得出BE =CE 即可． 【详解】 解：∵1AE =，3AC =，90A ∠=︒，∴EC =∵，D 是BC 的中点，ED BC ⊥垂足为D ， ∴BE =CE = 故选：D ． 【点睛】 本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，解题关键是熟练运用勾股定理求出CE 长． 8、B 【解析】 【分析】 先证明点E 在射线CE 上运动，由AF 为定值，所以当AE+E F 最小时，△AEF 周长的最小， 作点A 关于直线CE 的对称点M ，连接FM 交CE 于E '，此时AE+FE 的最小值为MF ，根据等边三角形的判定和性质求出答案． 【详解】·线○封○密·○外解：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E ，此时AE+FE的值最小，此时AE+FE=MF，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∴△ACM≌△ACB，∴FM=FB=b，a+b，∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12故选：B．【点睛】此题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，图形中的动点问题，正确掌握各知识点作轴对称图形解决问题是解题的关键．9、C【解析】【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S △ABD =S △BDE =96，利用角平分线的性质得到△ACD 与△ABD 的高相等，进一步求解即可． 【详解】 解：∵AD =DE ，S △BDE =96， ∴S △ABD =S △BDE =96， 过点D 作DG ⊥AC 于点G ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵AD 平分∠BAC ， ∴DG=DF ， ∴△ACD 与△ABD 的高相等，又∵AB =3AC ，∴S △ACD =13S △ABD =196323⨯=． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． ·线○封○密·○外10、C【解析】【分析】根据长方体、圆柱体、球体、三棱柱的特征，找到用一个平面截一个几何体得到的形状不是长方形的几何体解答即可．【详解】解：长方体、圆柱体、三棱柱的截面都可能出现长方形，只有球体的截面只与圆有关，故选：C．【点睛】此题考查了截立体图形，正确掌握各几何体的特征是解题的关键．二、填空题1、14或0.25【解析】【分析】由题意得出从4位同学中选取1位共有4种等可能结果，其中选中甲同学的只有1种结果，根据概率公式可得．【详解】解：从4位同学中选取1位共有4种等可能结果，其中选中甲同学的只有1种结果，∴恰好选中乙同学的概率为14，故答案为：14．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n ． 2、【解析】【分析】根据勾股定理求出PE =3，设OH =x ，可知，DH =(x -3)或(3- x )，勾股定理列出方程，求出x 值即可．【详解】解：如图所示，过点O '作直线n 的垂线，交m 、n 于点D 、E ，连接O H '，由作图可知，PO m ⊥，5PO PO '==，点O '到直线n 的距离为4个单位，即4EO '=，3PE ， 则3OD PE ==，1O D DE O E ''=-=， 设OH =x ，可知，DH =（3- x ）， 222(3)1x x -+= 解得，53x =，3PH =；如图所示，过点O '作直线n 的垂线，交m 、n 于点D 、E ，连接O H '，·线○封○密○外由作图可知，PO m ⊥，5PO PO '==，点O '到直线n 的距离为4个单位，即4EO '=，3PE ，则3OD PE ==，9O D DE O E ''=+=，设OH =x ，可知，DH =（x -3），222(3)9x x -+=解得，15x =，PH故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理和轴对称，解题关键是画出正确图形，会分类讨论，设未知数，根据勾股定理列方程．3、13或【解析】【分析】根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD =AB ，此时点D 在D 1的位置，CD 1=AB =13；②若AD =BC =11，此时点D 在D 2、D 3的位置，AD 2=AD 3=BC =11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答． 【详解】 解：如图，点D 的位置如图所示： ①若CD =AB ，此时点D 在D 1的位置，CD 1=AB =13；②若AD =BC =11，此时点D 在D 2、D 3的位置，AD 2=AD 3=BC =11， 过点A 分别作AE ⊥BC ，AF ⊥PC ，垂足为E ，F ， 设BE =x ， ∵12tan 5PBC ∠=， ∴AE =125x ， 在Rt △ABE 中，AE 2+BE 2=AB 2，即x 2+(125x )2=132， 解得：x 1=5，x 2=-5（舍去）， ∴BE =5，AE =12， ∴CE =BC -BE =6，·线○封○密○外由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，FD2∴CD2=CF-FD2CD3=CF+FD2综上所述，CD的长度为13、故答案为：13、【点睛】本题主要考查了新定义，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（2）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．4、9【解析】【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【详解】a-解：∵最简二次根式2∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，解得：a＝3，b＝﹣3．∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．5、143##243【解析】【分析】分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式，在Rt△PAC中，利用PA的坡度为1：2求出AC的长度，把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，求出CE，最后利用AE=CE-AC得出结果．【详解】解：以P为原点，PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B（9，12），抛物线经过原点，设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，将点P（0，0）的坐标代入可得：0=a（0-9）2+12，求得a＝−427，故抛物线的解析式为：y=-427(x−9)²+12，∵PC=12，:AC PC=1：2，∴点C的坐标为（12，0），AC＝6，即可得点A的坐标为(12，6)，当x=12时，y＝−427(12−9)²+12＝323=CE，·线○封○密·○外∵E在A的正上方，∴AE=CE-AC=323-6=143，故答案为：143．【点睛】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．三、解答题1、 (1)37(2)两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为：12【解析】【分析】（1）两个班一共有7名学生，其中男生有3人，随机选一名学生选出为男生的概率为：男生人数除以总人数；（2）先根据题意画出树状图，第一层列出从1班选出的所有可能情况，第二层列出从二班选出的所有可能情况，根据树状图可知一共有12种等可能事件，其中选出的恰好是一名男生和一名女生的情况有6种，所以两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为12．(1)解：恰好选出的同学是男生的概=33+4=37，故答案为：37．(2)画树状图如图：，共有12个等可能事件，其中恰好两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为：612=12， 故答案为：12．【点睛】 本题考查简单的概率计算，以及列表法或列树状图法求概率，能够将根据题意列表，或列树状图，并根据列表或树状图求出概率． 2、 (1)80×14=20（棵） (2)π(3+2)2−π×32=16π（平方分米）【解析】 【分析】 （1）把苹果树的数量看作单位“1”，梨树的数量比苹果树少14，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答； （2）大圆面积减小圆面积即为所求圆环面积.(1)解：80×14=20（棵），故答案为：80×14=20（棵） (2)解：π(3+2)2−π×32=16π（平方分米） ·线○封○密○外故答案为：π(3+2)2−π×32=16π（平方分米）【点睛】此题考查分数乘法应用题和求圆环的面积.解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答．3、 (1)A (1,2)，A (2,1)(2)53(3)103【解析】【分析】（1）联立得{A =−A +3A =2A ，再解方程组即可；（2）先求出A (3,0)，再证△AAA ∽△AAA ，求出AA =√22+22=√8=2√2，再得出AA =AA 2AA =5√24，AA =3√24，即可得到答案； （3）设平移后A AA =−A +3+A ，由四边形ABQP 的面积恰好等于m 2，得到PQ=2√2A{A =−A +3+A A =A 2，得到AA =√2√A 2+6A +1，列方程A 2+6A +1=4A 2−4A +1求解即可.(1)解：有题意得，{A =−A +3A =2A∴−A +3=2A解得A 1=1，A 2=2 A 1=2，A 2=1， ∴A (1,2)，A (2,1)·线(2)解：∵3y x =-+交x 轴于点C∴A (3,0)，∵∠AAA =∠AAA =45°， ∠AAA =∠AAA∴△AAA ∽△AAA ，∴AA AA =AA AA∴AA 2=AA ⋅AA∵A (1,2)，A (3,0)，∴AA =√22+12=√5，AA =√22+22=√8=2√2，∴AA =AA 2AA =5√24，AA =3√24，∴AA AA =53(3)解：设平移后A AA =−A +3+A ，如图，过点D作DF⊥PQ于点F,则ED=m,DF=√2A2A AAAA=(AA+AA)⋅√2A22=√2A(√2+AA)4=A2∴√2+AA=2√2A，∴PQ=2√2A有题意得，{A=−A+3+AA=A2解得，A1=A+3+√A2+6A+12，A2=A+3−√A2+6A+12，∴QH=x1-x2=√A2+6A+1,∴AA=√2√A2+6A+1,∴√2√A2+6A+1=2√2A∴A2+6A+1=4A2−4A+1，∴解得A1=0（舍），A2=103，即A=103【点睛】本题主要考查了反比例函数，一次函数，三角形的相似，列方程组求解等知识，解题的关键是证明三角形相似和列出方程组求解. 4、 (1)答案见解析 (2)答案见解析 【解析】 【分析】 （1）根据DF ∥BC ，得AA AA =AA AA ，由AB ⋅AF =DF ⋅BC ，得AA AA =AA AA ，∠AFE =∠DFA ，可证△AEF ∽△DAF ，即可得答案； （2）根据AB ∥CD ，得AA AA =AA AA ，由AA AA =AA AA ，得AA 2AA 2=AA AA ，再证四边形DFBC 是平行四边形，得AA 2AA 2=AA AA ，最后根据DF ∥BC ，即可得答案．(1) 解：∵DF ∥BC ， ∴AA AA =AA AA ， ∴AA AA =AA AA ， ∵AB ⋅AF =DF ⋅BC ， ∴AA AA =AA AA ， ∴AA AA =AA AA ， ∵∠AFE =∠DFA ， ∴△AEF ∽△DAF ， ∴∠AEF =∠DAF ； ·线○封○密○外(2)∵AB∥CD，∴AAAA=AAAA，∴AAAA=AAAA，∵AAAA=AAAA，∴AAAA=AAAA，∴AA2AA2=AAAA×AAAA=AAAA，∵DF∥BC，AB∥CD，∴四边形DFBC是平行四边形，∴DF=BC，∴AA2AA2=AAAA=AAAA，∵DF∥BC，∴AAAA=AAAA，∴22 AF DEAB CD．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，做题的关键是相似三角形性质的灵活运用．5、 (1)方程有两个不相等的实数根(2)m=3或-3【解析】【分析】（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再判断即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2m -2，x 1•x 2=m 2-2m ，代入计算即可求出答案．(1) 解：∵a =1，b =−(2m −2)，c = m 2−2m ， ∴24b ac =- =()22m ⎡⎤--⎣⎦2-4(m 2-2m )=4m 2-8m +4-4m 2+8m =4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； (2)解：∵(x 1+1)⋅(x 2+1)=8，整理得x 1x 2+(x 1+x 2)+1=8，∵x 1+x 2=2m -2，x 1x 2=m 2-2m ，∴m 2-2m +2m -2+1=8，∴m 2=9，∴m =3或m =-3．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法． ·线○封○密·○外。
吉林省长春市(市命题)中考数学一模试卷(含解析)
中考数学一模试卷、选择题（每小题3分，共24分15的绝对值是（）A. —B . 5 C. - 5 D. 土552.据国家统计局公布，2015年我国国内生产总值约676700亿元，676700亿元用科学记数法表示为（）A. 6.767 X 103亿元C. 6.767 X 105亿元B. 6.767 X 104亿元D. 6.767 X 106亿元3•如图所示的几何体的俯视图是（）正面4. 如图，/ A=70°, O是AB上一点，直线OD与AB所夹的/ BOD=82，要使OD/ AC,直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（）A. 8°B. 10°C. 12°D. 18°5. 使二次根式婕-二'丄有意义的x的取值范围是（）A. x >2 B . x> 2 C . x v 2 D . x> - 26. 一元二次方程x2- 4x+2=0的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D.没有实数根7. 如图，△ ABC的边AC与O O相交于C, D两点，且经过圆心O,边AB与O O相切，切点为B. 如果/ A=34°，那么/ C等于（）A. 28°B. 33°C. 34°D. 56° &已知将二次函数y=x 2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2- 4x - 5,则b, c的值为（）13. 如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D,且AB=2CD=414. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，a>0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根X1的取值范围是2v X1v 3，则它的另一个根X2的取值范围是A. b=0, c=6B. b=0, c= - 5C. b=0, c= - 6D. b=0. c=5二、填空题（每小题3分，共18 分）9.计算:吐”二= _________ .气的解集为[2x>6 ——11.如图，在正五边形ABCDE中，以BC为一边，在形内作等边厶BCF连结10.不等式组・AF.则/ AFB12. 一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是元.的大小是度.则图中阴影部分的面积为三、解答题(本大题共10小题，共78分)15. 计算：—14-( 1 - 0.5 )X X [2 -( - 3) 2].316. 先化简，再求值：2x2- [3 (-丄x2+Zxy) - 2y2] —2 (x2- xy+2y2),其中x—, y= —1.3 3 217. 如图，按要求涂阴影：(1)将图形①平移到图形②；(2 )将图形②沿图中虚线翻折到图形③；(3)将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④.18. 把大小完全相同的6个乒乓球分成两组，每组3个，每组乒乓球上面分别标有数字1, 2, 3，将这两组乒乓球分别放入两个盒子中搅匀，再从每个盒子中各随机取出1个乒乓球，请用画树状图(或列表)的方法，求取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率.19. 已知：如图，在△ ABC中，D, E分别是AB, AC上一点，且/ AEDN B.若AE=5, AB=9,CB=6求ED的长.20. 某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(最后结果保留整数，参考数据：sin 15 °~ 0.25 ,cos15°~ 0.97 ,tan15 °~ 0.27，门人. -)21. 某学校九年级学生举行朗诵比赛，全年级学生都参加，学校对表现优异的学生进行表彰，设置一、二、三等奖各进步奖共四个奖项，赛后将九年级（1）班的获奖情况绘制成如图所（2 ）将条形图补充完整：在扇形统计图中，“二等奖”对应的扇形的圆心角度数是_；（3）如果该九年级共有1250名学生，请估计荣获一、二、三等奖的学生共有多少名.22. 为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米.若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1 ）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米.如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年我市能否完成计划目标？23. 如图1,0为直线AB上一点，过点O作射线OC /AOC=30 ,将一直角三角板（/M=30 ）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周•如图2,经过t 秒后，OM恰好平分/ BOC①求t的值；②此时ON是否平分/ AOC请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分/ MON请说明理由;图1 图2 图324.如图，在平面直角坐标系中，直线 y= - x+4与x 轴、y轴分别交于点 A 、B.抛物线y=BC 为边作矩形BCDE 且CD=2点P 、D 在y 轴的同侧. (1) n= (用含m 的代数式表示)，点C 的纵坐标是(2)当点P 在矩形BCDE 的边DE 上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式. (3) 设矩形BCDE 的周长为d (d >0),求d 与m 之间的函数表达式.-L - ； +n 的顶点P 在直线y= - x+4上，与y 轴交于点 C (点P 、C 不与点B 重合)，以(用含m 的代数式表示)m 的值.参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3分，共24分 15的绝对值是（ ）A. — B . 5C. - 5D. 土 55【考点】绝对值.【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； o的绝对值是0.【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得 I - 5|=5 .故选B.2015年我国国内生产总值约 676700亿元，676700亿元用科学记数 【考点】科学记数法一表示较大的数.【分析】 科学记数法的表示形式为 a x I0n 的形式，其中1w |a| v 10, n 为整数.确定 n 的 值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值〉1时，n 是正数；当原数的绝对值v 1时，n 是负数.【解答】 解：将676700亿用科学记数法表示为： 676700亿=6.767 X 105亿. 故选：C.3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）正面2.据国家统计局公布, 法表示为（ ） A. 6.767 X 103 亿元 C. 6.767 X 105 亿元B. 6.767 X 104亿元 D. 6.767 X 106亿元C.C.只有一个实数根D.没有实数根【考点】简单组合体的三视图.找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.故选D.4. 如图，/ A=70, O 是AB 上一点，直线 0D 与AB 所夹的/ BOD=82，要使 OD/ AC,直线 0D 绕点0按逆时针方向至少旋转（）A. 8°B. 10° C . 12° D . 18° 【考点】旋转的性质；平行线的性质.【分析】根据平行线的性质，求得/ BOD 的度数，即可确定旋转的角度， 即/ DOD 的大小. 【解答】解：I AC / OD ,•••/ BOD =Z A=70° ,•••/ DOD =Z BOD-Z BOD =82°- 70° =12°,故选C.5. 使二次根式，有意义的x 的取值范围是（）A. x >2 B . x > 2 C . x v 2 D . x > - 2 【考点】 二次根式有意义的条件.【分析】根据被开方数大于等于 0列不等式求解即可. 【解答】解：由题意得，x - 2> 0, 解得x > 2. 故选B.6. —元二次方程 x 2- 4x+2=0的根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根【分析】 【解答】 解：从上往下看，得两个长方形的组合体.【考点】根的判别式.【分析】把a=1, b=- 4, c=2代入判别式△ =b2- 4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况.【解答】解：T a=1, b= - 4, c=2代，2 2/•△=b - 4ac= (- 4) - 4 X 1 X 2=8> 0,•••方程有两个不相等的实数根.故选：B.7. 如图，△ ABC的边AC与O O相交于C, D两点，且经过圆心0,边AB与O O相切，切点为C. 34°D. 56°连结0B如图，根据切线的性质得/ ABO=90，则利用互余可计算出/ AOB=90-Z A=56°,再利用三角形外角性质得/ C+Z OBC=56，加上/ C=Z 0BC于是有/ C=：X56° =28°.【解答】解：连结0B如图,••• AB与O 0相切,•0B丄AB,•Z AB0=90 ,•Z A0B=90 -Z A=90°- 34°=56°,T Z AOB Z C+Z 0BC•Z C+Z 0BC=56 ,而0B=0C•Z C=Z 0BC【考点】切线的性质.【分析】A.28°B .33°•Z C~ X 56°=28°.故选A.&已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2- 4x - 5,则b, c的值为（）A. b=0, c=6 B . b=0, c= - 5 C. b=0, c= - 6 D. b=0. c=5【考点】二次函数图象与几何变换.【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式.【解答】解：T y=x2- 4x - 5=x2- 4x+4 - 9= （x - 2）2- 9,顶点坐标为（2, - 9）,•••向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（0,- 6）,则原抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（0,- 6）,•••平移不改变a的值，a=1,•••原抛物线y=ax2+bx+c=x2- 6,• b=0, c= - 6.故选C.二、填空题（每小题3分，共18分）9 .计算：宀一』「=-二.【考点】二次根式的加减法.【分析】先化成最简二次根式，再合并即可.【解答】解：原式=一 -2 -=-故答案为：:.由①得，x > 2, 由②得，x > 3,故不等式组的解集为 x > 3. 故答案为x >3.11. 如图，在正五边形 ABCDE 中，以BC 为一边，在形内作等边厶 BCF 连结 AF .则/ AFB 的大小是 66 度.R ------- 力【考点】多边形内角与外角；等边三角形的性质. 【分析】根据等边三角形的性质得到BF=BC / FBC=60，由正五边形的性质得到AB=BC/ ABC=108，等量代换得到 AB=BF , / ABF=48，根据三角形的内角和即可得到结论. 【解答】解：•••△ BCF 是等边三角形， ••• BF=BC / FBC=60 ,•••在正五边形 ABCDE 中, AB=BC / ABC=108 , • AB=BF , / ABF=48 ,丄 AF B=Z BL'：、故答案为：66.12. 一件衣服先按成本提高 50%标价，再以8折（标价的80%出售，结果获利28元，那么 这件衣服的成本是140元.【考点】一元一次方程的应用.【分析】设这件夹克的成本是 x 元，则标价就为1.5x 元，售价就为1.5x X 0.8元，由利润=10.不等式组的解集为x > 32x>6---------【考点】 解一元一次不等式组.【分析】 【解答】 先求出两个不等式的解集，然后求其公共部分. 解：化汐解:售价-进价建立方程求出其解即可.【解答】解：设这件衣服的成本是x元，根据题意得：x（1+50% X 80%- x=28,解得：x=140.答：这件衣服的成本是140元；故答案为：140.13. 如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D,且AB=2CD=4则图中阴影部分的面积为一一【考点】切线的性质；扇形面积的计算.【分析】根据已知条件证得三角形ODC是等腰直角三角形，得到/ DOB=45 ,然后根据扇形的面积公式计算即可.【解答】解：I AB为半圆O的直径，••• AB=2OD•/ AB=2CD=4• OD=CD=2•••CD与半圆O相切于点D,•••/ ODC=90 ,•••/ DOB=45 ,2•••阴影部分的面积="’=.,14. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c （a, b, c是常360 2数，a>0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根x i 的取值范围是 2v X iv 3，则它的另一个根 X 2的取值范围是 -1 v X 2V 0 .【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与 x 轴的交点.【分析】利用对称轴及二次函数的图象性质， 可以把图象与x 轴另一个交点的取值范围确定. 【解答】 解：由图象可知x=2时，y v 0； x=3时，y >0; 由于直线x=1是它的对称轴，则由二次函数图象的对称性可知： x=0时，y v 0； x=- 1时，y> 0 ；所以另一个根X 2的取值范围为-1 v X 2V 0. 故答案为：-1 v X 2< 0.三、解答题(本大题共 10小题，共78分)15.计算：- -14-( 1 -°5 )X '[2 -(-心【考点】 有理数的混合运算.【分析】先算乘方和括号里面的，再算乘法，由此顺序计算即可.=2x 2 - [ - x 2+2xy - 2y 2] -( 2x 2 - 2xy+4y 2)2 2 2 2 21 9 116.先化简，再求值：2x 2- [3 (-石x 2+石xy ) - 2y 2] - 2 (x 2- xy+2y 2),其中 x^-, y= - 1. 【考点】整式的加减一化简求值.【分析】先去小括号，再去中括号，合并同类项，最后代入求出即可. 【解答】 解：2x 2 - [3 (- ..X 2+ xy ) - 2y 2] - 2 (x 2- xy+2y 2)O 0解：原式=-1 - 0.5 X —X(2 - 9)【解=2x +x - 2xy+2y - 2x +2xy - 4y2 2=x - 2y ,当x= , y= - 1时，原式=-—2 417•如图，按要求涂阴影：(1) 将图形①平移到图形②；(2 )将图形②沿图中虚线翻折到图形③；(3)将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④.【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案.【分析】(1)利用平移的性质直接得出平移后的图形；(2) 利用轴对称图形的性质直接得出翻折后的图形；(3 )利用中心对称图形的性质直接得出旋转后的图形.【解答】解：(1)如图②所示:(2)如图③所示:(3)如图④所示:18•把大小完全相同的6个乒乓球分成两组，每组3个，每组乒乓球上面分别标有数字1，2, 3，将这两组乒乓球分别放入两个盒子中搅匀，再从每个盒子中各随机取出请用画树状图（或列表）的方法，求取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率.【考点】列表法与树状图法.【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解.【解答】解：画树状图为：1 2 3/N /N /T\1 2 3 1 2 3 1 ? 3共有9种等可能的结果数，其中取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的结果数为5, 所以取出的2个乒乓球上面数字之和为偶数的概率」.919. 已知：如图，在△ ABC中，D, E分别是AB, AC上一点，且/ AEDN B.若AE=5, AB=9,CB=6求ED的长.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】首先判定三角形ABC与三角形AED相似，然后利用相似三角形的性质得到比例式即可求得ED的长.【解答】解：•••/ AED=/ B,Z A=Z A,•••△ AED^A ABC._ :'…J ；，•/ AE=5, AB=9, CB=6.5 DE….-,解得：DE=F.1个乒乓球,20. 某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A B、C、D 四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上, D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向, C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin 15 °~ 0.25 ,cos15°~ 0.97 ,tan15 °~ 0.27，门亠一. ..)【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】求出/ DCA的度数，再判断出BC=CD据此即可判断出厶BCD是等边三角形.过点B 作BEL AD,垂足为E,求出/ DAQ的度数，禾U用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD 的长.【解答】解：由题意可知/ DCA=180 - 75°- 45° =60°,•/ BC=CD•••△ BCD是等边三角形.过点B作BE! AD,垂足为E,如图所示:由题意可知/ DAC=75 - 30° =45°,•/△ BCD是等边三角形，•••/ DB(=60° BD=BC=CD=20km•••/ ADB=/ DBC-Z DAC=15 ,•BE=sin15°BD^ 0.25 X 20~5m,BE 县•AB=「=「7m2• AB+BC+CID 7+20+20~ 47m.D地的路程约为47m答：从A地跑到21.某学校九年级学生举行朗诵比赛，全年级学生都参加，学校对表现优异的学生进行表彰,设置一、二、三等奖各进步奖共四个奖项，赛后将九年级（示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题:（2）将条形图补充完整：在扇形统计图中，“二等奖”对应的扇形的圆心角度数是57.6 °；（3）如果该九年级共有1250名学生，请估计荣获一、二、三等奖的学生共有多少名.【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图.【分析】（1）根据“不得奖”人数及其百分比可得总人数；（2）总人数乘以一等奖所占百分比可得其人数，补全图形，根据各项目百分比之和等于1求得二等奖所占百分比，再乘以360。
长春市初三中考数学一模模拟试题
长春市初三中考数学一模模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（）元．A．9×1011B．9×104C．9×1012D．9×10103．（3分）下列说法正确的是（）A．2的相反数是2B．2的绝对值是2C．2的倒数是2D．2的平方根是24．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（）A．75°B．85°C．60°D．65°7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（）A．﹣B．﹣2C．2D．310．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）方程x2＝x的解是．12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝．13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD ＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是．15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）证明：△ABC∽△BDC．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为，m的值为；（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；（3）在（2）的条件下中，如图②，△P A1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2，求图中阴影部分的面积；（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM ＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．【解答】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．故选：C．【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形．2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（）元．A．9×1011B．9×104C．9×1012D．9×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：90000亿＝9×1012，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列说法正确的是（）A．2的相反数是2B．2的绝对值是2C．2的倒数是2D．2的平方根是2【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可．【解答】解：A、2的相反数是﹣2，错误；B、2的绝对值是2，正确；C、2的倒数是，错误；D、2的平方根是±，错误；故选：B．【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝a6，不符合题意；C、原式＝a，符合题意；D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（）A．B．C．D．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可．【解答】解：由数轴可得：﹣2＜x≤1，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（）A．75°B．85°C．60°D．65°【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可．【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3＝115°，又∵∠3是△ABC的外角，∴∠1＝∠3﹣∠A＝115°﹣30°＝85°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解．【解答】解：∵OC∥AB，∴∠C＝∠A＝20°，又∵∠O＝2∠A＝40°，∴∠1＝∠O+∠C＝20°+40°＝60°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠O的度数是关键．8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中点（a，b）在第二象限的有2种结果，所以点（a，b）在第二象限的概率为＝，故选：B．【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（）A．﹣B．﹣2C．2D．3【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据tan∠AOE＝＝，构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．由题意：tan∠AOE＝＝，∵A（t，2），∴AE＝2，OE＝﹣t，∴＝，∴t＝﹣，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知QE＝QP，从而可表示出QF、EF、EQ的长度，然后在△EFQ中利用勾股定理可得到函数的关系式．【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知：EQ＝QP＝y．∵∠EAP＝∠APF＝∠PFE＝90°，∴四边形EAPF是矩形．∴EF＝AP＝x，PF＝EA＝1．∴QF＝QP﹣PF＝y﹣1．在Rt△EFQ中，由勾股定理可知：EQ2＝QF2+EF2，即y2＝（y﹣1）2+x2．整理得：y＝．故选：D．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用，表示出QF、EF、EQ的长度，在△EFQ中利用勾股定理列出函数关系式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝3（x+1）2．【分析】原式提取3，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2+2x+1）＝3（x+1）2，故答案为：3（x+1）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为y＝2x2．【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加1即可得新函数解析式y＝2x2．【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度，∴新抛物线为y＝2x2．故答案为y＝2x2．【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD ＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是17cm．【分析】根据平行四边形的对边相等以及对角线互相平分进而求出即可．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，∴CO＝AC＝7cm，BO＝BD＝4cm，BC＝AD＝6cm，∴△OBC的周长＝BC+BO+CO＝6+7+4＝17（cm）．故答案为：17cm．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练根据平行四边形的性质得出BO，BC，CO的长是解题关键．15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2．【分析】由根的判别式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，∴△＝16﹣4b＝0，∴AC＝b＝4，∵BC＝2，AB＝2，∴BC2+AB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长＝AC＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为．【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2＝＝＝＝3×；OA3＝＝＝3×（）2；OA4＝＝＝3×（）3，…，于是可得到OA2016＝3×（）2015，OA2018＝3×（）2017，代入，化简即可．【解答】解：∵∠A2OC2＝30°，OA1＝OC2＝3，∴OA2＝＝＝＝3×；OA3＝＝＝3×（）2；OA4＝＝＝3×（）3，…，∴OA2016＝3×（）2015，OA2018＝3×（）2017，∴＝＝（）2＝．故答案为．【点评】本题考查了规律型，点的坐标，坐标与图形性质，通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系及三角函数．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4﹣3+2018﹣4×＝4﹣3+2018﹣2＝2015+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．【分析】先计算括号内减法、同时将除法转化为乘法，再约分即可化简，最后代入求值即可．【解答】解：原式＝×＝×＝，当x＝2+时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键．19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）证明：△ABC∽△BDC．【分析】（1）利用角平分线的作法作出线段BD即可；（2）先根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝72°，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，故可得出∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，据此可得出结论．【解答】解：（1）如图，线段BD为所求出；（2）∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝72°÷2＝36°．∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△ABD∽△BDC．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是120人；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为30°，m的值为25；（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．【分析】（1）根据了解很少的人数以及百分比，求出总人数即可．（2）求出不了解的人数，画出折线图即可．（3）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：（1）总人数＝60÷50%＝120（人）．（2）不了解的人数＝120﹣60﹣30﹣10＝20（人），折线图如图所示：（3）了解的圆心角＝×360°＝30°，基本了解的百分比＝＝25%，∴m＝25．故答案为：30，25．（4）3000×＝500（人），答：估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为500人．【点评】本题考查折线统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【分析】（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x﹣5个月，根据题意列出关系式，求出x的值即可；（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可．【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要（x﹣5）个月，由题意得，x（x﹣5）＝6（x+x﹣5），解得x1＝15，x2＝2（不合题意，舍去），则x﹣5＝10．答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，由题意得，100y+（100+50）≤1500，解不等式得y≤8.57，∵施工时间按月取整数，∴y≤8，答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．【分析】（1）过点F作FG⊥BC于点G，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB＝EG，BE＝FG，由此可得到∠FCG＝∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF 的长．【解答】（1）证明：过点F作FG⊥BC于点G．∵∠AEF＝∠B＝∠90°，∴∠1＝∠2．在△ABE和△EGF中，∴△ABE≌△EGF（AAS）．∴AB＝EG，BE＝FG．又∵AB＝BC，∴BE＝CG，∴FG＝CG，∴∠FCG＝∠45°，即CF平分∠DCG，∴CF是正方形ABCD外角的平分线．（2）∵AB＝3，∠BAE＝30°，tan30°＝，BE＝AB•tan30°＝3×，即CG＝．在Rt△CFG中，cos45°＝，∴CF＝．【点评】主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；（3）在（2）的条件下中，如图②，△P A1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．【分析】（1）如图①，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：OC＝AC＝OA，所以OC＝AC＝3，根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，代入解析式可得B的坐标，再利用待定系数法可得直线AB的解析式；（2）如图①，根据△AOB是等腰直角三角形，得BC＝OC＝OA，设点B（a，a）（a ＞0），列方程可得a的值，从而得A的坐标；（3）如图②，作辅助线，根据△P A1A是等腰直角三角形，得PD＝AD，设AD＝m（m ＞0），则点P的坐标为（4+m，m），列方程可得结论．【解答】解：（1）如图①，过B作BC⊥x轴于C，∵OB＝AB，BC⊥x轴，∴OC＝AC＝OA，∵点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，∴OC＝AC＝3，∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴y＝＝4，∴B（3，4），∵点A（6，0），点B（3，4）在y＝kx+b的图象上，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8；（2）如图①，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴BC＝OC＝OA，设点B（a，a）（a＞0），∵顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a＝，解得：a＝（负值舍），∴OC＝2，∴OA＝2OC＝4，∴A（4，0）；（3）如图②，过P作PD⊥x轴于点D，∵△P A1A是等腰直角三角形，∴PD＝AD，设AD＝m（m＞0），则点P的坐标为（4+m，m），∴m（4+m）＝12，解得：x1＝2﹣2，m2＝﹣2﹣2（负值舍去），∴A1A＝2m＝4﹣4，∴OA1＝OA+AA1＝4，∴点A1的坐标是（4，0）．【点评】此题是反比例函数与一次函数的综合题，难度适中，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）根据点B在反比例函数图象上列方程；（3）设AD＝m，表示P的坐标并列方程．解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数解析式列方程是关键．24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2，求图中阴影部分的面积；（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM ＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．【分析】（1）过D作DQ⊥BC于Q'，连接DE．证明DE＝DQ，即BC是⊙D的切线；（2）过F作FN⊥DH于N．先证明△ABD为等边三角形，所以∠DAB＝60°，AD＝BD ＝AB，再证明△DHF为等边三角形，在Rt△DFN中，FN⊥DH，∠BDC＝60°，sin∠BDC＝sin60°＝，FN＝，S阴影＝S扇形FDH﹣S△FDH；（3）假设点M运动到某个位置时，符合题意，连接DM、DF，过M作NZ⊥DF于Z，当M运动到离弧最近时，DE＝DH＝DF＝DM＝r，证明∠MDC＝60°，此时，动点M 经过的弧长为πr．【解答】解：（1）证明：过D作DQ⊥BC于Q'，连接DE．∵⊙D且AB于E，∴DE⊥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∴DE＝DQ，∴BC是⊙D的切线；（2）过F作FN⊥DH于N．∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴AD＝AB＝2，DC∥AB，∵在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠A＝60°，∴sin A＝sin60°＝，∴DE＝3，DH＝DF＝DE＝3∵AD＝AB＝2，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝60°，AD＝BD＝AB，∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠DBA＝60°，∵DH＝DF＝3，∴△DHF为等边三角形，在Rt△DFN中，FN⊥DH，∠BDC＝60°，∴sin∠BDC＝sin60°＝，∴FN＝，∴S阴影＝S扇形FDH﹣S△FDH＝＝；（3）假设点M运动到某个位置时，符合题意，连接DM、DF，过M作NZ⊥DF于Z，当M运动到离弧最近时，DE＝DH＝DF＝DM＝r，由（2）在Rt△DFN中，sin∠BDC＝sin60°＝，∴FN＝，S△HDF＝＝，在Rt△ADE中，sin A＝sin60°＝，∴AD＝r，AB＝AD＝r，∴S菱形ABCD＝AB•DE＝＝，∵当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4，∴S四边形DFHM＝，∴S△DFM＝S四边形DFHM﹣S△HDF＝＝DF•MZ＝rMZ，∴MZ＝，在Rt△DMF中，MF⊥CD，sin∠MDC＝＝，∴∠MDC＝60°，此时，动点M经过的弧长为πr．【点评】本题考查了圆综合知识，熟练掌握圆的相关知识与菱形的性质以及特殊三角函数值是解题的关键．25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？【分析】（1）：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），求出a、c的值；（2）由（1）得抛物线解析式：y＝，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），所以D（2，），DH＝，再证明△ACO∽△EAH，于是＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝＝，m＝时，△MPF面积有最大值．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），，∴a＝﹣，c＝（2）由（1）得抛物线解析式：y＝∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，）∴D（2，），∴DH＝，令y＝0，即﹣x2+x+＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，∴直线GN的解析式：y＝x﹣，由（2）得E（2，﹣），A（﹣1，0），∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，联立解得∴F（0，﹣），∵DH⊥x轴，∴将x＝2代入直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，∴P（2，）∴F（0，﹣）与P（2，）的水平距离为2过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣）（＜m＜）；∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣m2+m+）﹣（m﹣），S△MFP＝＝∵对称轴为：直线m＝，∵开口向下，＜m，∴m＝时，△MPF面积有最大值为..【点评】本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．中学数学一模模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（）元．A．9×1011B．9×104C．9×1012D．9×10103．（3分）下列说法正确的是（）A．2的相反数是2B．2的绝对值是2C．2的倒数是2D．2的平方根是24．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（）A．75°B．85°C．60°D．65°7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（）A．﹣B．﹣2C．2D．310．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）方程x2＝x的解是．12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝．13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD ＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是．15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）证明：△ABC∽△BDC．。
长春市初三中考数学第一次模拟试题【含答案】
长春市初三中考数学第一次模拟试题【含答案】一、选择题（每小题4分，共40分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分. 1．（4分）﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．0D．12．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）A．B．C．D．3．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3D．太阳每天从东方升起4．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×1085．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞06．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3的度数等于（）A．20°B．25°C．30°D．55°7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．1D．28．（4分）平面直角坐标系中，直线1：y＝3x﹣1平移后得到新直线y＝3x+1．则直线l的平移方式是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位9．（4分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或310．（4分）如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．（4分）计算：（）﹣1+20190＝．12．（4分）已知a2﹣b2＝8，且a﹣b＝﹣4，则a+b＝．13．（4分）如图，已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是．14．（4分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是万步．15．（4分）若整数a使关于x的分式方程+＝的解为正数，使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是．三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17．（8分）解不等式：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝4．19．（8分）如图，已知△ABC．（1）用圆规和直尺作∠A的平分线AD（保留作图痕迹，不必证明）．（2）在（1）的条件下，E是AB边上一点，连结DE，若∠AED＝∠C．求证：AC＝AE．20．（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3．a）和B（b，﹣2）两点．（1）求a，b的值；（2）结合图象，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．22．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：①小杰共调查统计了人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．23．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x﹣2）2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点，点A 的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点P（2，m）是线段EF上一动点，Q（n，0）在x轴上，且n＜2，若∠QPC＝90°，求n的最小值．24．（13分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点O是边AB 上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC交于点M．（1）如图1，当⊙O经过点C时，⊙O的直径是；（2）如图2，当⊙O与边BC相切时，切点为点N，试求⊙O与△ABC重合部分的面积；（3）如图3，当⊙O与边BC相交时，交点为E、F，设CM＝x，就判断AE•AF是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含x的代数式表示．25．（13分）矩形ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO，得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFEO的对角线A任交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE．若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式．（3）如图3，当a＝4时，矩形ABCD的对称中心为点M，△MED的面积为s，求s的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分. 1．（4分）﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．0D．1【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）A．B．C．D．【分析】先得到相应的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，符合题意；B、球体的主视图为圆，不合题意；C、圆锥的主视图为三角形，不合题意；D、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3D．太阳每天从东方升起【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数，属于随机事件；B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下，属于随机事件；C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3，属于随机事件；D．太阳每天从东方升起，属于必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0.000 000 04＝4×10﹣8，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣3≠0，解得：x≥0且x≠3．故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．6．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3的度数等于（）A．20°B．25°C．30°D．55°【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠4＝∠2＝55°，又∵∠4＝∠1+∠3，∴∠3＝∠4﹣∠1＝55°﹣30°＝25°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac＝0即可求解【解答】解：依题意，方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8a＝0，得a＝2故选：D．【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．8．（4分）平面直角坐标系中，直线1：y＝3x﹣1平移后得到新直线y＝3x+1．则直线l的平移方式是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解答】解：∵将直线l：y＝3x﹣1平移后，得到直线：y＝3x+1，∴3x﹣1+a＝3x+1，解得：a＝2，故将l向上平移2个单位长度．故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．9．（4分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．10．（4分）如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（）A．B．C．D．【分析】设AB＝3a＝CD，AD＝BC＝5a，可求CF＝2a＝BE，EC＝AB＝3a，由“SAS”可证△ABE≌△ECF，可得AE＝EF，∠1＝∠FEC，可求∠EAF＝45°，即可求cos（∠1+∠2）的值．【解答】解：连接EF∵矩形ABCD长与宽的比为5：3，∴设AB＝3a＝CD，AD＝BC＝5a，∵tan∠1＝＝，tan∠2＝＝，∴BE＝2a，DF＝a，∴CF＝2a＝BE，EC＝AB＝3a，且∠B＝∠C＝90°∴△ABE≌△ECF（SAS）∴AE＝EF，∠1＝∠FEC∵∠1+∠AEB＝90°∴∠AEB+∠FEC＝90°∴∠AEF＝90°，且AE＝EF∴∠EAF＝45°∴∠1+∠2＝45°∴cos（∠1+∠2）＝故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，证明△ABE ≌△ECF是本题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．（4分）计算：（）﹣1+20190＝4．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3+1＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（4分）已知a2﹣b2＝8，且a﹣b＝﹣4，则a+b＝﹣2．【分析】已知第一个等于左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，且a﹣b＝﹣4，∴a+b＝﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．13．（4分）如图，已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是21．【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2，即＝，解得，S△ABC＝25，∴四边形DBCE的面积＝25﹣4＝21，故答案为：21．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14．（4分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是 1.4万步．【分析】根据众数的定义求解可得．【解答】解：这组数据的众数是1.4万步，故答案为：1.4．【点评】本题考查的是众数的定义及其求法，牢记定义是关键．15．（4分）若整数a使关于x的分式方程+＝的解为正数，使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是7．【分析】表示出分式方程的解，由分式方程解为正数，得到a的取值范围；不等式组变形后，根据不等式组无解，确定出a的范围，进而求出a的值，得到所有满足条件的整数a的值之和．【解答】解：分式方程去分母得：2a﹣4＝x﹣2解得：x＝2a﹣2由分式方程的解为正数，得到：2a﹣2＞0，2a﹣2≠2∴a＞1且a≠2不等式组整理得：∵不等式组无解，∴3﹣2a≥﹣5∴a≤4∴综上，a的范围为1＜a≤4且a≠2∴整数a＝3，4∴所有满足条件的整数a的值之和是7故答案为：7【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解题时注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是．【分析】连接EC，由∠COE＝90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径，求出OE 和OC，根据勾股定理求出EC，解直角三角形求出即可．【解答】解：过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，∵∠COE＝90°，∴EC是⊙A的直径，即EC过O，∵A（﹣2，1），∴OM＝2，ON＝1，∵AM⊥x轴，x轴⊥y轴，∴AM∥OC，同理AN∥OE，∴N为OC中点，M为OE中点，∴OE＝2AN＝4，OC＝2AM＝2，由勾股定理得：EC＝＝2，∵∠OBC＝∠OEC，∴sin∠OBC＝sin∠OEC＝＝＝．故答案为．【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17．（8分）解不等式：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），8﹣x+3≤2x+2﹣3x≤﹣9∴原不等式的解集为：x≥3，在数轴上表示不等式的解集：【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝4．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当a＝4时，原式＝＝4．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（8分）如图，已知△ABC．（1）用圆规和直尺作∠A的平分线AD（保留作图痕迹，不必证明）．（2）在（1）的条件下，E是AB边上一点，连结DE，若∠AED＝∠C．求证：AC＝AE．【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC；（2）利用“ASA”证明△ACD≌△AED得到AC＝AE．【解答】解：（1）如图，AD为求作；（2）如图，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（ASA），∴AC＝AE．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形全等的判定与性质．20．（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？【分析】设有x人，物品价值y元，根据题意可得，8×人数﹣3＝物品价值，7×人数+4＝物品价值，据此列方程组求解．【解答】解：设共有x人，每件物品的价格为y元，依题意得：解得答：共有7人，每件物品的价格为53元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3．a）和B（b，﹣2）两点．（1）求a，b的值；（2）结合图象，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．【分析】（1）将A、B点坐标代入y1＝﹣x+2即可求得a、b的值；（2）根据解得A、B的坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）把A（﹣3．a）和B（b，﹣2）代入y1＝﹣x+2得，a＝﹣×（﹣3）+2＝4，﹣2＝﹣b+2，则b＝6；（2）∵A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞6．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．22．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：①小杰共调查统计了160人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是45°；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．【分析】（1）①用参与B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；②用总人数乘以参加A项目的人数的百分比得到参与A项目的人数，然后补全条形统计图；③用360度乘参与C项目的百分比得到以图2中C所占的圆心角的度数；（2）画树状图展示9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个选择“A”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）①40÷25%＝160，所以小杰共调查统计了160人；②参加A项目的人数为160×62.5%＝100（人），图1补充完整为：③图2中C所占的圆心角的度数＝360°×＝45°；故答案为160；45°；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个选择“A”的结果数为5，所以两人中至少有一个选择“A”的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．23．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x﹣2）2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点，点A 的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点P（2，m）是线段EF上一动点，Q（n，0）在x轴上，且n＜2，若∠QPC＝90°，求n的最小值．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）利用tan∠MCP＝tan∠QPF，则，即可求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入二次函数表达式得：0＝﹣（﹣1﹣2）2+b，解得：b＝9；（2）过点C作CM⊥EF，垂足为M，∴∠CMP＝∠CPQ＝∠PFQ＝90°∴∠MCP＝∠QPF，∴tan∠MCP＝tan∠QPF，∴，∴n＝m2﹣m+2＝（m﹣）2﹣，∵n＜2，∴0≤m＜5，∴当时，n的最小值为﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数最值、解直角三角形等知识，难度不大．24．（13分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点O是边AB 上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC交于点M．（1）如图1，当⊙O经过点C时，⊙O的直径是4；（2）如图2，当⊙O与边BC相切时，切点为点N，试求⊙O与△ABC重合部分的面积；（3）如图3，当⊙O与边BC相交时，交点为E、F，设CM＝x，就判断AE•AF是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含x的代数式表示．【分析】（1）由AB是圆的直径知∠C＝90°，再根据勾股定理求解可得；（2）连结ON，OM，先证tan∠B＝＝知∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，设ON＝OA＝r，证△OBN∽△ABC得＝，据此求出r的值，再计算出2S扇形MON和S△AOM，从而得出答案；（3）设⊙O与AB的另一交点为G，连结GE，OM，证△AGE∽△AFC得＝，由AC＝2，CM＝x知AM＝2﹣x，再证∠AOM＝60°得OA＝AM＝2﹣x，AG＝2AO＝4﹣2x，从而知AE•AF＝AC•AG＝8﹣4x，据此得出答案．【解答】解：（1）∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝2，BC＝2，∴AB＝4故答案为4；（2）如图2，连结ON，OM，∵⊙O与边BC相切于点N，∴ON⊥BC在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，∴tan∠B＝＝，∴∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，∵OA＝OM，∴∠OMA＝∠A＝60°，∴∠AOM＝60°，∠MON＝60°，设ON＝OA＝r，∵∠BNO＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△OBN∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝，∴2S扇形MON＝2×＝，∵S△AOM＝×（）2＝，∴⊙O与△ABC重合部分的面积是+．（3）AE•AF不为定值，理由如下：如图3，设⊙O与AB的另一交点为G，连结GE，OM，∵AG是⊙O的直径，∴∠GEA＝90°＝∠C，在圆内接四边形AGEF中，∠AGE+∠AFE＝180°，∵∠AFC+∠AFE＝180°，∴∠AGE＝∠AFC，∴△AGE∽△AFC，∴＝，∵AC＝2，CM＝x，∴AM＝2﹣x，∵∠OMA＝∠OAM＝60°，∴∠AOM＝60°，∴OA＝AM＝2﹣x，AG＝2AO＝4﹣2x，∴AE•AF＝AC•AG＝8﹣4x，∵x不是定值∴AE•AF不是定值．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、勾股定理、三角函数的运用、相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识点．25．（13分）矩形ABCO，O（0，0），C（0.3），A（a.0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO，得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFEO的对角线A任交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE．若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式．（3）如图3，当a＝4时，矩形ABCD的对称中心为点M，△MED的面积为s，求s的取值范围．【分析】（1）如图1，当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，即可求解；（2）分CG＝EG、CE＝GE、CE＝CG三种情况分别求解；（3）MN≤MA+AD，当射线DA经过点M时，MN＝MA+AD＝，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，MN＝PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，即可求解．【解答】解：（1）如图1，在矩形ABCO中，∠B＝90°当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，∵C（0，3），A（a，0）∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，∴BD＝；（2）如图2，连结AC，∵a＝3，∴OA＝OC＝3，∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，设∠ECG的度数为x，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，①当CG＝EG时，x＝45°+x，解得x＝0，不合题意，舍去；②当CE＝GE时，如图2，∠ECG＝∠EGC＝x∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE，∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°∴四边形EHQB是矩形∴BE∥AC，设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；（3）如图4，∵a＝4，点M是矩形ABCO的对称中心∴AO＝4，AM＝，以A为圆心，分别以AO、AM为半径作圆，AD交小圆于P，过M作MN⊥ED于N∴DE切大圆于D∴MN≥PD根据“垂线段最短”，MN≤MA+AD，如图5，当射线DA经过点M时，MN＝MA+AD＝，∴s的最大值是ED×（MA+AD）＝；如图6，当边AD经过点M，即P与M重合时，MN＝PD，MN＝PD＝AD﹣AP＝4﹣＝，∴s的最小值是ED×PD＝，s的取值范围是．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形和等腰三角形性质、圆的基本知识，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．中学数学一模模拟试卷一、选择题（每小题4分，共40分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正侧的，请往答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分. 1．（4分）﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．0D．12．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）A．B．C．D．3．（4分）下列事件是必然事件的是（）A．随意翻到一本书的某页，页码是奇数B．抛掷一枚普通硬币，正面朝下C．抛得一枚普通正方体般子所得点数大于3D．太阳每天从东方升起4．（4分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×1085．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0且x≠3C．x≥0且x≠3D．x＞06．（4分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3的度数等于（）A．20°B．25°C．30°D．55°7．（4分）关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．1D．28．（4分）平面直角坐标系中，直线1：y＝3x﹣1平移后得到新直线y＝3x+1．则直线l的平移方式是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位9．（4分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或310．（4分）如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．（4分）计算：（）﹣1+20190＝．12．（4分）已知a2﹣b2＝8，且a﹣b＝﹣4，则a+b＝．13．（4分）如图，已知△ABC，D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，AD＝2，DB＝3，△ADE面积是4，则四边形DBCE的面积是．14．（4分）生命在于运动，小张同学用手机软件记录了4月份每天行走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如下图所示的统计图．在这组数据中，众数是万步．15．（4分）若整数a使关于x的分式方程+＝的解为正数，使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙A经过点E、B、0、C，点C在y轴上，点E在x轴上，点A的坐标为（﹣2，1），则sin∠OBC的值是．三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17．（8分）解不等式：8﹣（x﹣3）≤2（x+1），并把解集在数轴上表示出来；18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝4．19．（8分）如图，已知△ABC．（1）用圆规和直尺作∠A的平分线AD（保留作图痕迹，不必证明）．（2）在（1）的条件下，E是AB边上一点，连结DE，若∠AED＝∠C．求证：AC＝AE．20．（8分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为y1＝﹣x+2与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣3．a）和B（b，﹣2）两点．（1）求a，b的值；（2）结合图象，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．22．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动．（1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题：①小杰共调查统计了人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是；（2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率．23．（10分）如图，二次函数y＝﹣（x﹣2）2+b的图象与x轴分别相交于A、B两点，点A 的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，点P（2，m）是线段EF上一动点，Q（n，0）在x轴上，且n＜2，若∠QPC＝90°，求n的最小值．。
吉林省长春市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)
数学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 如图，数轴上表示数的点所在的线段是（）A. B. C. D.答案：A解析：由数轴可知，数轴上表示数的点所在的线段是，故选：A．2. 三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（）A. 两点之间，线段最短B. 三角形的稳定性C. 三角形的任意两边之和大于第三边D. 三角形的内角和等于答案：B解析：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性故选：B．3. 下图是几个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A B. C. D.答案：A解析：由几何体的俯视图，可知从正面看这个几何体，左边有2个小正方形，右边有1个小正方形．故选A ． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）A. B.C.D.答案：C 解析：A ．，不一定成立，B ．，则，不成立，C ．，一定成立，D ．即，不成立，故选：C ．5. 如图，一束太阳光线平行照射在正六边形上．若，则的大小为（ ）A. B. C. D.答案：D解析：如图所示，作，则，∵正六边形的每个内角为∴则∵太阳光线是平行的，∴依题意，∴故选：D．6. 如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点D，米．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为（）A. 米B. 米C. 米D. 米答案：B解析：∵，∴米故选：B．7. 综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种方案：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（）A. ①②③B. ③①②C. ②③①D. ②①③答案：D解析：由作图方法可知，图2对应的是已知底边长和腰长；图1对应的是已知底边长和一个底角；图3对应的是已知底边长和底边上的高，故选：D．8. 在温度不变的条件下，通过多次对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由增压至，则气缸内气体体积的变化情况是（）A. 减小，减小了B. 增大，增大了C. 减小，减小了D. 增大，增大了答案：A解析：设，把代入中得：，解得，∴，当时，，当时，，∴若压强由增压至，则气缸内气体体积的变化情况是减少了，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 计算：= __________.答案：解析：原式= .10. 若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，则a的值为____________．答案：0解析：∵抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，∴，∴．故答案为：011. 已知两组数据，甲组：、、、、，乙组：、、、、．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则____________．（填“>”、“<”或“=”）答案：<解析：甲组：、、、、，平均数为乙组：、、、、．平均数为∴．故答案为：<．12. 如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为____________平方米．（结果保留）答案：解析：当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大，∴叶片扫过的扇形圆心角度数最少为，∴叶片扫过的面积至少为平方米，故答案为：．13. 如图①，将三个边长为1的正方形并排放在直线l上，两侧正方形不动，把中间的正方形抽出并重新摆放，形成一个轴对称图形，如图②，则中间正方形的中心O到直线l的距离为____________．答案：解析：如图所示，连接，过点O作于E，交于D，∵图②是一个轴对称图形，∴一定共线，且，在中，，∴，由正方形的性质可得，∴，又∵（平行线间间距相等），∴，∴中间正方形的中心O到直线l的距离为，故答案为：．14. 如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①四边形是矩形；②平分四边形的周长；③；④当时，四边形的面积为2．上述结论中，所有正确结论的序号是____________．答案：①②④解析：，四边形是矩形，故①正确；矩形中，又，四边形是平行四边形，，如图，设分别交于点，，,又，四边形是矩形，平分四边形的周长故②正确；四边形是矩形，，同理可证，故③错误；在中，，，，，由题意可得，，，，，四边形的面积为．故④正确，故答案为：①②④三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简，再求值：，其中．答案：，解析：，当时，原式．16. 小淇参加一个抽奖活动，活动规则是：抽奖者手里预先持有一张标有数字7的卡片，然后从分别标有数字6，7，8的三张卡片中随机抽取一张（卡片除数字不同外，其余均相同），记录数字后放回，再从中随机抽取一张，并记录数字，若两次抽取的数字与手中持有的数字能组成3个连续整数或者是3个相同的数字，则为中奖．用画树状图（或列表）的方法求小淇参加这个抽奖活动中奖的概率．答案：解析：画树状图如下：由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中小淇中奖的结果数有3种，∴小淇参加这个抽奖活动中奖的概率为．17. 2024年10月1日，中华人民共和国将迎来75周岁的生日．为喜迎国庆，某学校举办了一场历史知识竞赛，竞赛共20道题，评分规则为：对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，其中九年级代表队最终得分为86分，求九年级代表队答对了多少道题？答案：九年级代表队答对了18道题解析：设九年级代表队答对了x到题，则答错或者不答了道题，由题意得，，解得，答：九年级代表队答对了18道题．18. 如图，在中，，是的角平分线，作交于点E，作交于点F．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，则的值为 ．答案：（1）见解析（2）【小问1详解】证明：，，，．四边形是平行四边形．，平分，．四边形是菱形．小问2详解】∵四边形是菱形，∴∴∵∴又∵，∴19. 图1、图2、图3均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，点在上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中，画出线段的中点；（2）在图②中，在线段上确定一点，连接，使；（3）在图③中，在线段上确定一点，连接，使．答案：（1）见解析（2）见解析（3）见解析【小问1详解】如图所示，点即为所求；【小问2详解】如图所示，点即为所求；【小问3详解】如图所示，点即为所求；20. 加强青少年体育锻炼，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事．某校八年级开展了两次体育综合水平测试，每次测试满分均为20分，从中随机抽取10名学生的成绩，整理如下：学生每周增加锻炼时间计划表两次平均成绩（分）每周增加时间（小时）42根据以上信息，回答下列问题：（1）图中圈出了甲、乙两名学生成绩对应的点，在甲、乙两名学生中，第一次成绩较高的学生是 ，两次平均成绩较低的学生是 ；（2）抽取的10名学生第二次成绩的中位数m所在的范围是 ；A．B．C．D．（3）在抽取的10名学生中，第二次成绩高于第一次成绩的学生有 人；（4）请根据学生每周增加锻炼时间计划表，利用样本估计该校八年级1000名学生每周共需增加多少小时锻炼时间？答案：（1）乙；乙（2）C（3）7 （4）估计该校八年级1000名学生每周共需增加2600小时锻炼时间【小问1详解】由统计图可知，第一次成绩较高的学生是乙；由统计图可知，甲同学的两次成绩和大于22分，则平均成绩大于11分，而乙同学的两次成绩和小于20分，则平均成绩小于10分，∴两次平均成绩较低的学生是乙故答案为：乙；乙；【小问2详解】把这10名学生第二次的成绩从低到高排列，处在第5和第6的成绩都在14分到16分之间，∴中位数在C租，故答案为：C．【小问3详解】由统计图可知，在抽取的10名学生中，第二次成绩高于第一次成绩的学生有7人，故答案为：7；【小问4详解】小时，∴估计该校八年级1000名学生每周共需增加2600小时锻炼时间．21. 甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示．（1） ；（2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度．答案：（1）（2）（3）厘米【小问1详解】∵甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．当时，，故答案为：．【小问2详解】设所求函数关系式为.将点代入，得解得所以，与之间的函数关系式为【小问3详解】根据题意，得，解得.因为(千克)，所以，当时，．答：此时乙弹簧的长度为厘米．22. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程：证明：在线段上截取，连接、．1°当点P在直线外时，证明过程缺失2°当点P在直线上时，易知．综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为 ．【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则 ．答案：问题解决：见解析；结论应用：；拓展提升：解析：问题解决：证明：线段上截取，连接、．当点P在直线外时，由平移性质可得，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．结论应用：如图所示，在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，∴点P在上运动一周，则点M的运动路径长为；拓展提升：如图所示，在上截取，连接，同理可证明，∴点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，∵，∴当点N固定时，当点M运动到上时，有最小值，最小值为，∴在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，，在中，，∴，∴，∴．23. 如图①，是边长为等边三角形．动点从点出发，沿折线向终点运动．当点不与的顶点重合时，以为边作等边，使点和点在的同侧，再作．（1）当点在边上运动时，若，则的值为 ；（2）如图②，当点在边上运动时，求证：；（3）当的周长最小时，求的长；（4）当点在边上运动时，设线段与线段交于点．在不添加辅助线的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长．答案：（1）（2）见解析（3）当或时，的周长最小（4）；或【小问1详解】∵是边长为的等边三角形，是等边三角形∴∴∴又∴过点作于点，则之间的距离为的长∴【小问2详解】证明：和均为等边三角形，，，，，，，【小问3详解】①当点在边上时，的周长当时周长最小，最小值为，此时；②当点在边上时，同理可得的周长当时的周长最小，最小值为，此时综上，当或时，的周长最小，最小值均为【小问4详解】∵和均为等边三角形，∴∴∴由（2）可得∴∴又∵∴∴图中始终与相似的三角形有个，∵，当，且时，当，且时，设，则∵∴，过点作于点，如图所示∴，则在中，试题解得：（负值舍去）∴综上所述，或24. 在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为．（1）当时，求点的纵坐标；（2）若点的纵坐标为，求点的坐标；（3）当点不在轴上时，过点作轴于点．①当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标；②当点在抛物线对称轴右侧时，直线交直线于点，点是点关于轴的对称点．若的周长是周长的倍，直接写出的值．答案：（1）6 （2）或（3）①或②或【小问1详解】当时，点的纵坐标为，点的纵坐标为；【小问2详解】若点的纵坐标为，则点的纵坐标为，令，得解得：∴或【小问3详解】①设点的横坐标为，情形一，如图所示，∴，解得(舍去).此时点的坐标为;情形二：如图所示，则为最低点，为最低点，∴，即，解得，(舍).此时点的坐标为；综上，点的坐标为或②如图所示，当在轴的上方时，∵∴又∵，∴，∴∴∵的周长是周长的倍，∴，依题意，，∴∴∵，∴∴又∵∴解得：（舍去）或当点在轴下方时，如图所示，同理可得，则又∵∴解得：（舍去）或综上所述，或。
2024年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校中考数学一模试卷及答案解析
2024年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上点A表示的数是2024，OA＝OB，则点B表示的数是（）A．2024B．﹣2024C．D．2．（3分）作为冰雪旅游城市之一，春节期间长春旅游市场持续火爆，据统计，仅2024年2月10日至2月13日四天，长春冰雪新天地接待旅游总人数就达到了680000人次，将680000用科学记数法表示应为（）A．68×104B．6.8×105C．6.8×106D．0.68×1063．（3分）用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．“堑堵”的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式5﹣x≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，O、B是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A点到B点的距离为40米，A点到B点的俯角为24°，则无人机上升的高度AO为（）A．40sin24°米B．40tan24°米C．40cos24°米D．米6．（3分）如图，已知AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OB交⊙O于点C，∠B＝38°，点D是⊙O 上一点，连接CD，AD．则∠D等于（）A．76°B．38°C．30°D．26°7．（3分）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点A、B在y轴上，BC∥x轴，对角线AC、BD交于点E，BC＝6，CD＝3，反比例函数经过C、E两点，则k的值为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）因式分解：b2﹣16＝．10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．11．（3分）如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝130°，则∠1＝度．12．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝3，GD＝1，DF＝6，那么的值为．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D．则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）小致以二次函数的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款抛物线形的葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，杯口宽，杯柄高DE＝7cm，当葡萄酒液面宽FG＝2cm时，液面与杯口的距离CH＝14cm，则杯子的高CE为cm．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y），其中x＝2，y＝﹣1．16．（6分）近几年，参加长春市体育中考考生需进行三个项目测试：①必考项目：男生1000米，女生800米；②选考项目：考生须在以下两类选考项目中，分别选择一项作为考试项目．请用树状图或列表法求一名同学参与“选考项目”时选择“A：一分钟跳绳和C：立定跳远”的概率（“选考项目”用字母代替即可，每个项目被选择的可能性相同）．17．（6分）长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风景线，它的设计和造型每年都有变化．在2021年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取600吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了20%，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？18．（7分）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）．（1）图①中，在边AD上画点E，使AE＝DE；（2）图②中，画∠BCD的角平分线CF，交AD于F；（3）图③中，点O在格点上，⊙O与AB相切，切点为A，⊙O交AD于G，BC与⊙O相切，切点为M，CD与⊙O相切，切点为N，画出点M、N．19．（7分）如图，矩形AEBO的对角线AB、OE交于点F，延长AO到点C，使OC＝OA，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD、DC、BC．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若OE＝20，∠BCD＝60°，则菱形ABCD的面积为．20．（7分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m 根据以上信息，回答下列问题．（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（写出推断过程）（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀，据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是（填“甲”“乙”或“丙”）．（写出推断过程）21．（8分）一辆轿车和一辆货车同时从长春出发，以各自的速度沿同一高速公路匀速向辽阳行驶，当轿车到达辽阳后，休息30分钟，立即按原速原路匀速返回长春，直至与货车相遇．已知货车的速度为80km/h．两车之间的距离y（km）与货车行驶的时间x（h）的函数图象如图所示．（1）轿车速度为km/h，长春与辽阳间高速公路的距离为km；（2）求出图中线段AB所表示的函数表达式；（3）直接写出图中C点的横坐标．22．（9分）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝2，，PC＝1，求∠BPC的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP'、PP'，则△BPC≌△BP′A，然后利用△BPP'和△APP'形状的特殊性求出∠BP′A的度数，就可以解决这道问题．下面是小明的部分解答过程：解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP'，连结AP'、PP'，∵BP＝BP'，∠P'BP＝60°，∴△PBP'是等边三角形，∴∠BP'P＝60°，PP′＝PB＝．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝BA，∴∠ABC﹣∠ABP＝∠P'BP﹣∠ABP，即∠PBC＝∠P′BA．请你补全余下的解答过程．【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且，，PC＝1，则∠BPC＝度．【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在直线AD上方有一点P，PA ＝4，PD＝2，连结PO，则线段PO的最大值为．23．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点M是CD的中点，动点N从点C出发，以每秒π个单位的速度绕点D顺时针旋转180°后停止，连结DN，作点M关于直线DN的对称点M'，作点C关于直线AD的对称点C'，连结DC'、M'C'．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点N运动到终点时，求t的值；（2）当点M'落在正方形ABCD内部时，求t的取值范围；（3）当△M′DC′是锐角三角形时，直接写出t的取值范围；（4）当M′C′＝3时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点Q（﹣2，3），点P在该抛物线上，它的横坐标为m，设点A坐标为（1，m+2）．（1）求该抛物线对应的函数表达式．（2）过点A作直线AB⊥y轴于点B．①当直线AB与抛物线有两个交点时，设这两个交点的横坐标分别为x1、x2（x1＜x2）．若x2﹣x1＝6，求m的值．②将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．当图象G与直线AB只有一个公共点时，求m的取值范围．（3）当点P、Q不重合时，以PA和PQ为边构造▱APQM，当抛物线的对称轴分▱APOM的面积为3：5的两部分时，直接写出m的值．2024年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】根据OA＝OB，求出OB，继而可以求出点B表示的数．【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2024，∴OB＝2024，∵点B在O点左侧，∴点B表示的数为：0﹣2024＝﹣2024．故选：B．【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．2．【分析】学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：680000＝6.8×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：“堑堵”的俯视图是一个矩形，故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．4．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵5﹣x≥3，∴﹣x≥3﹣5，﹣x≥﹣2，则x≤2，故选：A．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．【分析】根据题意可得：AO⊥OB，AC∥OB，从而可得∠CAB＝∠ABO＝24°，然后在Rt△AOB中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AO⊥OB，AC∥OB，∴∠CAB＝∠ABO＝24°，在Rt△AOB中，AB＝40m，∴AO＝AB•sin24°＝40sin24°（米），∴无人机上升的高度AO为40sin24°米，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．【分析】先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，再利用互余计算出∠AOB＝52°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝38°，∴∠AOB＝90°﹣38°＝52°，∴∠D＝∠AOB＝26°．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理的运用．7．【分析】利用PA+PC＝AC，PB+PC＝AC得到PA＝PB，则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上，于是可判断C正确．【解答】解：∵点P在AC上，∴PA+PC＝AC，而PB+PC＝AC，∴PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：结合了几何图形的性质和基本作图方法解决问题．8．【分析】设C（6，n），则B（0，n），D（6，n+3），由矩形的性质得出E（3，n+），然后关键k＝xy 列出等式，即可求出k的值．【解答】解：设C（6，n），则B（0，n），D（6，n+3），在矩形ABCD中，点A、B在y轴上，BC∥x轴，对角线AC、BD交于点E，∴点E是BD的中点，∴E（3，n+），∵四边形ABCD是矩形，反反比例函数经过C、E两点，∴6n＝3（n+），解得n＝，∴k＝6n＝9，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示出点的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：原式＝（b+4）（b﹣4），故答案为：（b+4）（b﹣4）．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是熟练掌握平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．10．【分析】利用一元二次方程根的判别式列式计算即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，解得：k＜9，故答案为：k＜9．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得（﹣6）2﹣4k＞0是解题的关键．11．【分析】先利用两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠SRQ＝130°，再利用两直线平行，同旁内角互补可得∠PRQ＝80°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵QR∥ST，∴∠3＝∠SRQ＝130°，∵OP∥QR，∴∠PRQ＝180°﹣∠2＝80°，∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．【分析】由AG，GD的长，可得出AD的长，由AB∥CD∥EF，再利用“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，即可求出的值．【解答】解：∵AG＝3，GD＝1，∴AD＝AG+GD＝3+1＝4．∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．13．【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCD与扇形ACE的面积之和与Rt△ABC的面积之差．【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，∴∠B＝30°，BC＝AC＝3，+S扇形ACE﹣S△ACB＝+﹣＝∴阴影部分的面积S＝S扇形BCD．故答案为：．【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．【分析】根据函数图象设出函数解析式为y＝ax2+c，设G点坐标为（1，7+a），则B点坐标为（2，21+a），将G点和B点代入函数解析式，解答即可．【解答】解：设该二次函数的解析式为y＝ax2+c，∵，DE＝7cm，CH＝14cm，∴CB＝2，HG＝1，∴设G点坐标为（1，7+a），则B点坐标为（2，21+a），将G点和B点代入函数解析式得：，解得：，∴二次函数解析式为y＝2x2+7，当x＝1时，y＝9，∴HE＝9cm，∴CE＝9+14＝23cm．故答案为：23．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的相关性质是解答本题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．【分析】先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）＝x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2＝﹣4xy+5y2，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝﹣4×2×（﹣1）+5×（﹣1）2＝8+5×1＝8+5＝13．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及选择A和C的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中选择A和C的结果有1种，∴选择“A：一分钟跳绳和C：立定跳远”的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．17．【分析】设公司原计划每天取冰块m吨，则实际每天取冰（1+20%）m吨，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前1天完成任务，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设公司原计划每天取冰块m吨，则实际每天取冰（1+20%）m吨，依题意得：﹣＝1，解得：m＝100，经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意．答：公司原计划每天取冰块100吨．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18．【分析】（1）利用相似三角形的性质解答即可；（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可；（3）利用全等三角形的性质和平行四边形的性质解答即可．【解答】解：（1）取格点F，G，连接GF与AD交于点E，如图，则点E为所画的点，使AE＝2DE；（2）由于BC＝＝5，所以取格点G，使CG＝5，连接BG，得到BG的中点格点F，作射线CF，如图，则射线CF为∠BCD的角平分线；（3）AO所在的格线与圆的交点为点M，取格点G，连接OG交圆O于点N，如图，∵OM＝OA＝2，OM⊥CD，∴DC与⊙O相切于点M，则点M为所画；在△OFG和△EMA中，，∴△OFG≌△EMA（SAS），∴∠FOG＝∠AEM，∵∠MAE+∠MEA＝90°，∴∠MAE+∠FOG＝90°，∴OG⊥AE，∵AB＝EC＝1，AB∥EC，∴四边形AECB为平行四边形，∴AE∥BC，∴OG⊥BC，∴点M为所画的切点．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，圆的切线的判定，平行四边形的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．19．【分析】（1）先由对角线互相平分的四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的性质得出BD⊥AC，即可得出结论；（2）由矩形的性质得出AB＝OE＝20，由菱形的性质得出OB＝OD，∠AOB＝90°，OC、OB的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果．【解答】（1）证明：∵CO＝AO，DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形AEBO是矩形，∴∠AOB＝90°，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形AEBO是矩形，∴AB＝BC＝OE＝20，∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，∴∠BCO＝30°，∠AOB＝90°，∴OB＝BC＝×20＝10，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC＝，∴BD＝2OB＝2×10＝20，AC＝2OC＝2×10，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×20×20＝200．故答案为：200．【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20．【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算即可；（2）根据方差的定义和意义求解即可；（3）根据平均数的定义求解即可．【解答】解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；（2）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，∵S2甲＜S2乙，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲；（3）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙，故答案为：丙．【点评】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．21．【分析】（1）根据和函数图象中的数据和货车的速度求出桥车速度，再根据轿车的速度和桥车到达辽阳所用时间求出长春与辽阳间高速公路的距离；（2）先求出点B坐标，再用待定系数法求函数解析式；（3）根据路程、速度、时间的关系求出点C横坐标．【解答】解：（1）轿车的速度为+80＝120（km/h），长春与辽阳间高速公路的距离为：120×3＝360（km），故答案为：120，360；（2）图中点B的横坐标为：3+＝3.5，纵坐标为：120﹣80×＝80，则图中点B的坐标为（3.5，80），设线段AB所在直线的解析式为y＝kx+b，把A，B坐标代入y＝kx+b得：，解得，∴线段AB所在直线的解析式为y＝﹣80x+360；（3）BC段所用时间为：＝0.4（h），∴C点的横坐标为：3+0.5+0.4＝3.9．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】【探究发现】证明△BPP′为等边三角形和△BPC≌△BP'A，利用勾股定理求得∠AP′P＝90°，则∠AP′B＝∠BP′P+∠AP′P，则结论可求；【类比迁移】将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连结AP'，PP′，通过证明△BPP′为等腰直角三角形和△BPC≌△BP'A，利用勾股定理求得∠AP′P＝90°，则∠AP′B＝∠BP′P+∠AP′P，则结论可求；【拓展延伸】将△POD绕点B逆时针旋转90°得到△EOA，当PE有最大值时，PO有最大值，由PE ≤PA+AE可得出PE的长，则可得出答案．【解答】解：【探究发现】补全过程如下：在△PBC和△P′BA中，，∴△PBC≌△P′BA（SAS），∴PC＝P′A＝1．∵P′P2+P′A2＝3+1＝4，PA2＝22＝4，∴P′P2+P′A2＝PA2，∴∠AP′P＝90°，∴∠AP′B＝∠BP′P+∠AP′P＝90°+60°＝150°．∴∠BPC＝150°；【类比迁移】将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连结AP'，连接AP'，PP′，如图②，则BP＝BP′＝2，∠PBP′＝90°．∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，P′P＝BP＝4．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC．∴∠PBC+∠ABP＝∠ABP+∠P′BA＝90°，∴∠PBC＝∠P′BA．在△PBC和△P′BA中，，∴△PBC≌△P′BA（SAS），∴PC＝P′A＝1，∠BPC＝∠BP'A，∵P′P2+P′A2＝42+12＝，＝17，∴P′P2+P′A2＝PA2，∴∠AP′P＝90°，∴∠AP′B＝∠BP′P+∠AP′P＝90°+45°＝135°，∴∠BPC＝135°；【拓展延伸】将△POD绕点B逆时针旋转90°得到△EOA，∴PD＝AE＝2，∠POE＝90°，当PE有最大值时，PO有最大值，∵PE≤PA+AE，即PE≤6，∴PE有最大值为6，∴PO＝PE＝3，故答案为：3．【点评】此题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，正确掌握各知识点是解题的关键．23．【分析】（1）根据正方形的性质和对称可得：C'D＝CD＝6，最后由t＝可解答；（2）先算边界点时t的值，从而可得结论；（3）由（2）知：当M'在AD上时，△M'DC'是直角三角形，以C'D为直径画圆，当M'在圆上时，∠C'M'D＝90°，再分别计算分界点时t的值，从而可得结论；（4）先计算当M'在AD上时C'M'＝＝3，而已知中M′C′＝3，所以M'直线CD的上方和下方，作辅助线构建直角三角形，利用勾股定理列方程可解答．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且AB＝6，∴∠ADC＝90°，CD＝6，∵C与C'关于AD对称，∴C'D＝CD＝6，∴当点N运动到终点时，t＝＝6；（2）如图1，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDB＝∠ADB＝45°，∴当点N在BD上时，M'在边AD上，此时，t＝＝，∴当点M'落在正方形ABCD内部时，t的取值范围是：0＜t＜；（3）由（2）知：当M'在AD上时，△M'DC'是直角三角形，如图，当∠C'M'D＝90°时，CD＝6，DM'＝3，∴∠DC'M'＝30°，∴∠C'DM'＝60°，∴∠CDM'＝120°，此时t＝÷π＝2；当＜t＜2时，△M'DC'是锐角三角形；如图，M'在直线CD的上方，当∠C'M'D＝90°时，同理得：t＝÷π＝4，如图，∠C'DM＝90°，此时M'在AD的延长线上，此时t＝÷π＝，当4＜t＜时，△M'DC'是锐角三角形；综上，t的取值范围是：＜t＜2或4＜t＜；（4）分两种情况：①如图2，点M'在直线CD的下方，过点M'作M'E⊥CD于E，设DE＝x，由勾股定理得：M'E2＝32﹣x2＝（3）2﹣（6+x）2，解得：x＝，∴DE＝，在Rt△DM'E中，DM'＝DM＝3，∴∠DM'E＝30°，∴∠MDM'＝60°，由折叠得：∠CDN＝∠M'DN＝30°，∴t＝＝1；如图3，点M'在直线CD的上方，过点M'作M'E⊥CD于E，同理得：t＝＝5；综上，t＝1或5．【点评】本题属于四边形综合题，考查了轴对称，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确画图，利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．24．【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再将点Q代入函数的解析式即可求解；（2）①利用根与系数的关系可得方程＝＝6，求出m即可；②当﹣m2﹣2m+3＝m+2时，解得m＝或m＝，再结合函数图象求解即可；（3）当m＜﹣2时，则QE＝GF＝AH，S1＝S5，S2＝S3＝S4，则＝＝或＝＝，解得m＝﹣3或m＝5（舍）；当m＞0时，＝或＝，解得m＝2或m＝﹣6（舍）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴b＝﹣2，将点Q（﹣2，3）代入y＝﹣x2﹣2x+c中，∴﹣4+4+c＝3，解得c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①∵点A坐标为（1，m+2），AB⊥y轴，∴B（0，m+2），当y＝m+2时，﹣x2﹣2x+3＝m+2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝m﹣1，∴x2﹣x1＝＝6，解得m＝﹣7；②∵P点横坐标为m，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），当﹣m2﹣2m+3＝m+2时，解得m＝或m＝，当3＝m+2时，解得m＝1，∴m≤或≤m＜1或m＝2时，图象G与直线AB只有一个公共点；（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点为（1，4），当m＜﹣2时，则QE＝GF＝AH，∴S1＝S5，S2＝S3＝S4，∴＝＝或＝＝，解得m＝﹣3或m＝5（舍）；当m＞0时，＝或＝，解得m＝2或m＝﹣6（舍）；综上所述：m＝﹣3或m＝2．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键。
吉林省长春市中考数学一模试卷
吉林省长春市中考数学一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020八上·醴陵期末) 下列各数中比3大比4小的无理数是（）A .B .C . 3.1D .2. （2分） (2019七下·峄城月考) 若，那么m2－2n的值是（）A . 10B . 52C . 20D . 323. （2分） (2017八上·黄梅期中) 下面四个QQ表情图案中，不是轴对称图形的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·江苏模拟) 下列事件是随机事件的是（）A . 画一个三角形，其内角和是B . 射击运动员射击一次，命中靶心C . 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于D . 在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球5. （2分） (2018八上·柳州期末) 若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（）A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 等边三角形6. （2分）如图，两条抛物线y1=－x2＋1、y2=－x2－1 与分别经过点（－2，0），（2，0）且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）A . 8B . 6C . 10D . 47. （2分）(2017·深圳模拟) 如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为36，则PD+PE+PF=（）A . 12B . 8C . 4D . 38. （2分）不等式组的整数解的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 59. （2分）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A . 45°B . 60°C . 75°D . 90°10. （2分） (2020八下·合肥月考) 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直三角形，若正方形的面积分别是9、25、1、9，则最大正方形的边长是（）A . 12B . 44C .D . 无法确定二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2017七上·醴陵期末) 已知多项式是完全平方式，则m的值为 ________12. （1分）关于x，y的方程组的解是，则|m+n|的值是________．13. （1分）如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是________ ．14. （1分） (2017八上·北部湾期中) 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于________．15. （1分） (2018八上·江阴期中) 如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为________.16. （1分）(2020·铁西模拟) 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大.⑤ （m 为任意实数）其中正确的结论有________.（填序号）三、解答题 (共9题；共82分)17. （5分） (2019八上·海淀月考) 计算：（1）（﹣）3 ．（2）．（3）．18. （5分） (2018七下·浦东期中) 如图,BE∥AO,∠1=∠2,OE⊥OA于点O,EH⊥CO于点H,那么∠5=∠6,为什么？19. （15分）某中学为了解九年级学习体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学九年级共有1000名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名．20. （10分）(2017·汉阳模拟) 已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根为x1 ， x2 ，且x12+x22=10，求实数a的值．21. （10分）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1=kx（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）的一个交点．（1）求正比例函数及反比例函数的表达式;（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？22. （2分）(2020·绍兴模拟) 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D 不与A、C重合，ED⊥AC.（1）当sinB＝时，①求证：BE＝2CD；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）.BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.（2）当sinB＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2 ，求线段CD的长.23. （10分） (2019九上·罗湖期中) 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．24. （10分） (2016九上·海门期末) 如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若AB=8，sin∠E= ，求⊙O的半径．25. （15分） (2019九上·遵义月考) 如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l上找一点P，使PA+PC的值最小，求出点P的坐标（3）在第二象限内的抛物线上，是否存在点M，使△MBC的面积是△ABC面积的？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共9题；共82分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、。