3.1 导数的概念及其运算导学案

§3.1 导数的概念及其运算2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科&(1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4． 基本初等函数的导数公式5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源]1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1． f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．答案 3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.2. 如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 答案 2解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 答案 －2解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.4． 已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于3x －y ＝0，则点P 的坐标为________． 答案 (1,0)解析 由题意知，函数f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)．5． 曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________________________．答案 y ＝2x ＋1解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且f ′(x )＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴切线斜率f ′(－1)＝21＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．探究提高 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →ΔfΔx. 利用导数的定义，求：(1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数； (2)f (x )＝1x ＋2的导数．解 (1)∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx )＝－11＋Δx ＋1＋Δx，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx ＋1＋Δx ＝－12.(2)∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，∴f ′(x )＝lim Δx →Δy Δx＝lim Δx →－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2. 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 学科解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 Z.xx.k ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列各函数的导数：(1)y ＝11－x ＋11＋x ；(2)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(3)y ＝(1＋sin x )2； (4)y ＝ln x 2＋1.解 (1)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (2)∵y ＝cos 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .(3)设u ＝1＋sin x ，则y ＝(1＋sin x )2， 由y ＝u 2与u ＝1＋sin x 复合而成．因此y ′＝f ′(u )·u ′＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )． (4)y ′＝(lnx 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝x x 2＋1. 题型三 导数的几何意义例3 已知曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43上，且f ′(x )＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝f (x )＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为f ′(x 0)＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为x 20＝1，x 0＝±1. 切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．已知抛物线y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为k ＝f ′(2)＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1.① 又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1， ② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含学*科*网Z*X*X*K]典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) Z_xx_k 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧 ZXXK]1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f ′(x 0)与(f (x 0))′是不一样的，f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，不一定为0；而(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x 与Δx 的区别，这里的x 是常量，Δx 是变量． 2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 2． 已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C. D ．ln 2 答案 B解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.3． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0. 4． (2011·大纲全国)曲线y ＝f (x )＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1答案 A解析 ∵f ′(x )＝－2e －2x ， k ＝f ′(0)＝－2e 0＝－2， ∴切线方程为y －2＝－2(x －0)，即y ＝－2x ＋2.如图，∵y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标为(23，23)，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)，∴S ＝12×1×23＝13.二、填空题(每小题5分，共15分) Z §xx §k 5． 若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为__________． 答案 [－2,2]解析 y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2.6． 设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ， 所以f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2， 即f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ， 故f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 7． 已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝f (x )＋2g (x )的图像在x ＝5处的切线方程为____________． 答案 5x －16y ＋3＝0 解析 由y ＝f (x )＋2g (x )＝h (x )知y ′＝h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )，得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.9． (12分)已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋94与l 平行，求f (x )的图像上的点到直线g (x )的最短距离． 解 因为f (x )＝x ，所以f ′(x )＝12x . 所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝⎛⎭⎫14＝1，切点为T ⎝⎛⎭⎫14，12.所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. ZXXK]因为切线l 与直线g (x )＝kx ＋94平行，所以k ＝1，即g (x )＝x ＋94.f (x )的图像上的点到直线g (x )＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) Z,xx,k 1． 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b24＋c ， 由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b2>0，∴b <0.又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.2． (2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B.12C ．－22D.22答案 B解析 ∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2.∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 3． 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ， 则k ＝y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x ＋1e x ＋2.因为e x >0，所以由基本不等式可得 k ≥－42e x·1ex ＋2＝－1.又k <0，所以－1≤k <0，即－1≤tan α<0. 所以3π4≤α<π.故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若函数f (x )＝－13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋5，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线l 的方程为________． 答案 x －y ＋5＝0解析 f ′(x )＝－x 2＋f ′(1)·x －f ′(2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋f ′(1)－f ′(2)f ′(2)＝－4＋2f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝－1，f ′(1)＝1.∴f (x )＝－13x 3＋12x 2＋x ＋5，f ′(x )＝－x 2＋x ＋1.∴f ′(0)＝1，f (0)＝5.∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋5.5. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________． 答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.6． 曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1，x ∈[1,2]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，134解析 设P (x 0，x 20＋1)，x ∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，令y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1＝g (x )，由g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)， 得S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134， 所以当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大． 三、解答题7． (13分)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。