高三第一次教学质量检测数学试题(理科)

—江苏省靖江市高三调研试卷 数 学 试 题(选物理方向) 第Ⅰ卷（必做题 共160分）一、 填空题(每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上） 1.集合{3,2},{,},{2},aA B a b AB A B ====若则 ▲ ．2.“1x >”是“2x x >”的 ▲ 条件．3.在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）(b ＋c －a ）＝3bc ，则A 等于_____▲_______．4.已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =___▲____.5.已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =_____▲_______.6.设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ▲ ．7.已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t=____▲____.8.已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________▲______.9.如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于_____▲______. 10.定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为▲.11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =_____▲_____. 12. 设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则数列{}n a 的通项公式n a = ▲ .13.若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点1M 、2M 与点1N 、2N ，则三角形面积之比为：A BC D A21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆. 若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点1P 、2P 与点1Q 、2Q 和1R 、2R ，则类似的结论为：__ ▲14.的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为__________▲___________. 填空题答案填写区域:1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内）15. （本小题满分14分）已知向量(sin a θ=,(1,cos )b θ=,(,)22ππθ∈-.（1）若a b ⊥,求θ；（2）求||a b +的最大值.16.(本小题满分14分）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． ⑴求这条抛物线的解析式； ⑵在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，17．（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中,DB=BC,DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点. （1）求证：//11D B 面BD A 1； （2）求证：MD AC ⊥；（3）试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面D D CC 11.MA 1B 1C 1D 118.（本小题满分15分）已知圆O:x2+y2=2交x轴于A，B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线PQ与圆O相切；（3）试探究:当点P在圆O上运动时（不与A、B重合）,直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.19.(本小题满分16分)已知a 是实数，函数())f x x a =-.⑴求函数f(x)的单调区间；⑵设g(x)为f(x)在区间[]2,0上的最小值.（i ）写出g(a)的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g .f(1,1) f(1,2) … f(1,n －1) f(1,n)f(2,1) f(2,2) … f(2,n －1)f(3,1) … f(3,n －2)…f(n,1)20.(本小题满分16分)一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n ≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i 行的第j 个数为f(i,j)． (1)若数表中第i (1≤i ≤n －3)行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列； (2)已知f(1,j)=4j ，求f(i,1)关于i 的表达式； (3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(a i －1)，b i =1a i a i+1，试求一个函数g(x)，使得 S n =b 1g(1)+b 2g(2)+…+b n g(n )＜13 ，且对于任意的m ∈(14 ,13)，均存在实数λ ，使得当n ＞λ时，都有S n >m..第Ⅱ卷（附加题 共40分）1. (本小题满分10分) 从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ,在OM 上取一点P ,使（1）求点P 的轨迹方程；（2）设R 为l 上的任意一点,试求RP 的最小值.2. (本小题满分10分) 设f (x)= x 2－x +l ，实数a 满足|x －a |＜l ，求证：| f (x )－f (a )|＜2(| a |+1)．3. (本小题满分10分)已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且2,1====AB DC AD PA ,M 是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成的角余弦值； （2）求二面角A MC B --的余弦值．4.(本小题满分16分)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sin x，f5(x)=cos x，f6(x)=2．（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望．江苏省靖江市—高三联考试卷 数学参考答案与评分建议第Ⅰ卷一、填空题:1. {1,2,3};2.充分非必要;3.3π; 4.1+ 5. 8; 6. (历史) 5049; (物理) 3215; 7. 1; 8.114⎛⎫- ⎪⎝⎭， 9.9π2;10.154; 11.2133+a b ; 12.21n +;13.222111R Q P O R Q P O V V --212121OR OR OQ OQ OP OP ⋅⋅=;14. 4.二、解答题：15. 解：（1）因为a b ⊥,所以sin 0θθ+=…………（3分）得tan θ= （用辅助角得到0)3sin(=π+θ同样给分） ………（5分）又(,)22ππθ∈-,所以θ=3π- ……………………………………（7分）（2）因为222||(sin 1)(cos a b θθ+=+++ ………………………（9分）=54sin()3πθ++…………………………………………（11分）所以当θ=6π时, 2||a b +的最大值为5＋4=9 …………………（13分）故||a b +的最大值为3………………………………………（14分）16. (选历史方向) 解: （1）表格为:…… （3分）（说明:黑框内的三个数据每个1分,黑框外合计数据有错误的暂不扣分）（2）提出假设H 0: 人的脚的大小与身高之间没有关系. …………………………… （4分）根据上述列联表可以求得2220(51212)8.802614713χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.…………………… （7分） 当H 0成立时,27.879χ>的概率约为0.005,而这里8.802>7.879,（3） ①抽到12号的概率为141369P ==………………………………… （11分） ②抽到“无效序号（超过20号）”的概率为261366P ==…………………… （14分）(选物理方向) 解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ， 抛物线的解析式为2y ax bx c =++． …………………………… 2′ 由题意，知O （0，0），B （2，－10），且顶点A 的纵坐标为23．…………… 4′ 22506421043342100a c ac b b a a b c c ⎧=-⎪=⎧⎪⎪-⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪++=-=⎪⎪⎩⎪⎩或3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩ …………………………… 8′ ∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴02ba->,又∵抛物线开口向下，∴a ＜0, 从而b ＞0,故有2510,,063a b c =-== ……………………………9′ ∴抛物线的解析式为2251063y x x =-+. ……………………………10′（Ⅱ）当运动员在空中距池边的水平距离为335米时，即3332155x =-=时，225810816()65353y =-⨯+⨯=-， ……………………………12′∴此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5，因此，此次跳水会失误.………………14′17. （1）证明：由直四棱柱,得1111//,BB DD BB DD =且, 所以11BB D D 是平行四边形,所以11//B D BD…………………（3分）而1BD A BD ⊂平面,111B D A BD ⊄平面,所以//11D B 面BD A 1 ………（4分） （2）证明：因为1BB ⊥⊂面ABCD,AC 面ABCD , 所以1BB ⊥AC ……（6分） 又因为BD ⊥AC ,且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥1面BB D ……… ……（8分）而MD ⊂1面BB D ，所以MD AC ⊥…………………………（9分）（3）当点M 为棱1BB 的中点时,平面1DMC ⊥平面D D CC 11…………………（10分） 取DC 的中点N,11D C 1的中点N ,连结1NN 交1DC 于O ,连结OM . 因为N 是DC 中点,BD=BC,所以BN DC ⊥；又因为DC 是面ABCD与面11DCC D 的交线,而面ABCD ⊥面11DCC D , A 1B 1C 1D 1 N 1O又可证得,O 是1NN 的中点,所以BM ∥ON 且BM=ON,即BMON 是平行四边形,所以BN ∥OM,所以OM ⊥平面D D CC 11,因为OM 面DMC 1,所以平面1DMC ⊥平面D D CC 11………………………（14分） 18. 解：（1）因为22,2a e ==,所以c=1……………………（2分） 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2212x y +=…………………………（4分） （2）因为P （1,1）,所以12PF k =,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x （6分） 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q （－2,4） …………………………（7分） 所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 与圆O 相切……………………………………………………（9分） （3）当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切………（10分）证明:设00(,)P x y （02x ≠±）,则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-……………（12分）所以点Q （－2,0022x y +）……………… （13分）所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++,又0OP y k x =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切……（15分） 19.⑴解：函数的定义域为[0)+∞，，()22f x x x x'==（0x >）…… （2分） 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，． ……………… （3分） 若0a >，令()0f x '=，得3ax =， 当03ax <<时，()0f x '<， 当3ax >时，()0f x '>． ……………… （5分）()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． ……………… （6分） ⑵解:(i)若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增，所以()(0)0g a f ==． ……… （7分）若06a <<，()f x 在03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在23a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，所以()3a g a f ⎛⎫==⎪⎝⎭……………… （9分）若6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减，所以()(2))g a f a ==-．………… （10分）综上所述，00()06)6a g a a a a ⎧⎪⎪=<<⎨-，≤，，，≥． ……………… （12分） （ii ）令6()2g a --≤≤．若0a ≤，无解．……………… （13分）若06a <<，解得36a <≤． ……………… （14分） 若6a ≥，解得62a +≤≤ ……………… （15分） 故a的取值范围为32a +≤≤ ……………… （16分）20. (1)数表中第1i +行的数依次所组成数列的通项为()1,f i j +，则由题意可得()()()()()1,11,,1,2,(,1)f i j f i j f i j f i j f i j f i j ++-+=+++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦… （2分）()(),2,f i j f i j =+-2d =(其中d 为第i 行数所组成的数列的公差) (4分) (2)()1,4f j j =∴第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列. ……………… （5分）设第i 行的数公差为i d ,则12i i d d +=，则11112422i i i i d d --+=⨯=⨯=…………… （6分）所以()()()(),11,11,221,12if i f i f i f i =-+-=-+()1222,122i if i -⎡⎤=-++⎣⎦()222,122i f i =-+⨯()()121,112i i f i -=⋅⋅⋅=+-⨯()12412i i i -=⨯+-⨯()()121212i i i i i +=+-⨯=+⨯ (10 分)(3)由()()(),111i f i i a =+-，可得(),11211i i f i a i =+=++所以11i i i b a a +=()()112121i i +=++=111122121i i i +⎛⎫- ⎪++⎝⎭……………… （11分） 令()2ig i =,则()1112121i i i b g i +=-++,所以 111321n n S +=-+13< ………… （13分） 要使得n S m >，即111321n m +->+，只要111213n m +<-+=133m-， 11,34m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10134m ∴<-<，所以只要132113n m ++>-, 即只要23log 1113n m ⎛⎫>--⎪-⎝⎭,所以可以令23log 1113m λ⎛⎫=--⎪-⎝⎭ 则当n λ>时，都有n S m >.所以适合题设的一个函数为()2xg x = (16分)第Ⅱ卷（附加题 共40分）1. （1）设动点P 的坐标为(,)ρθ,M 的坐标为0(,)ρθ,则0012.cos 4,3cos ρρρθρθ==∴=即为所求的轨迹方程. …………（6分）（2）由（1）知P 的轨迹是以（0,23）为圆心，半径为23的圆，易得RP 的最小值为1 .……（10分）2.2()1f x x x =-+，|x －a |＜l ，22()()f x f a x x a a ∴-=--+1=-⋅+-x a x a 1<+-x a ， …………………………………………………5分=()21x a a -+-21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ………………………10分 3. 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M ．（1）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC10||2,||5,2,cos ,||||AC PB AC PB AC PB AC PB AC PB ⋅==⋅=<>==⋅故所以所以，AC 与PB …………………………………5分 （2）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x要使14,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角A MC B --的平面角．30304||,||,.555AN BN AN BN ===- 2cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ∴==-⋅ 2.3-故所求的二面角的余弦值为…………………………………10分另解：可以计算两个平面的法向量分别为：平面ＡＭＣ的法向量1(1,1,2)n =-，平面ＢＭＣ的法向量为)2,1,1(2=n ，><21,cos n n =32， 所求二面角A MC B --的余弦值为－32．4. （1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.51)(2623==C C A P ………………………………4分（2）ξ可取1，2，3，4．103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；………………8分 故ξ的分布列为.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 答：ξ的数学期望为.47………………………………10分。