建立二次函数模型
第十二课时建立二次函数模型
第十二课时教学内容:建立二次函数模型(P21-22)教学目标1、通过探索得出二次函数的概念。
2、熟练地把二次函数化成一般式，并分清二次项、一次项及其系数和常数。
教学重点和难点教学重点：二次函数的概念。
教学难点：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的隐含条件a≠0的应用。
教学方法启发式。
教学手段投影仪、投影片。
教学过程一、创设问题情境，探索建立二次函数模型。
（出示投影1）动脑筋：问题一：植物园的面积随着砌法的不同怎样变化？学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图2—1所示，现在已备足可以砌100m长的墙的材料，大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生什么样的变化。
有没有一种统一的以包括一切可能砌法的探讨方法呢？学生独立思考上述问题，并把结果与同伴交流。
教师针对学生存在的问题予以指正并板书：设与围墙相邻的每一面墙的长度为xm，则与围墙相对的一面墙的长度为（100－2x）m，于是矩形植物园的面积s为s＝x（100－2x），0＜x＜50，即 s＝－2x2＋100x，0＜x＜50，①有了公式①，我们对植物园的面积s随着砌法的不同而变化的情况就了如指掌了。
（出示投影2）动脑筋：电脑的价格。
一种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现在的售价为y元，如果每年的平均降价率为x，那么降价率变化时，电脑的售价怎样变化呢？学生独立思考上述问题，并把结果与同伴交流。
教师针对学生存在的问题予以指正并边讲边在黑板上板书：y＝6000（1－x）2，0＜x＜1即y＝6000x2－12000x＋6000，0＜x＜1。
②教师引入：在上面的两个例子吕，矩形植物园的面积s与相邻于围墙面的每一面墙的长度x的关系式①，电脑价格y与平均降价率x的关系式②有什么共同点？像关系式①、②那样，如果函数的解析式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数，它的一般形式是：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），其中a、b、c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。
浅谈二次函数建模方法
评注： 经过对 解析式 的分析 ， 画上 图 像 ，并通过 图像将生活与数学联系起来 ， 要知晓这样几个条件 ：１）排球运行 的最 （
方法二 ： 分析 解析式入 手 ， 从 探讨 图 本题是这类 题中最具代表性 的． 解决本题
在二次函数有关的实际问题 中，有些 大高度 即为 函数 的最大值 ；２ （ ）运动员扣
１ Ｏ２ Ｏ ｍ．
解得 ： —０３ ｚ ． ｔ ． １ ｔ 一１７
有 ：Ｏ－ ｔ ２ ． １ ｔ５ ＝ ． ２ ５
（ ）计算 距 离桥 两 端 主塔 分 别 为 ２
１ Ｏ 、０ Ｏ ｍ ５ ｍ处垂直钢 索的长 （ 精确到 ｍ） ． 分析 ： 本题看似 复杂 ， 只要仔细 理 但
像（ 如上 图 ） 可以看 出抛物线开 口向下 ， 当
ｘｌ ＝ ０时 ， 有最大值 １ ０ 即围成 矩形 的长 。， 是 １ ｍ时 ，围成矩 形 水面 面积最 大 ， ０ 是
函数模 型 ， 析解决实际 问题 的能力 ， 分 因 而往往 存在一个共 同的特征 ，就是 题 目 的 条件 并非传统地给 出 ，解题时总是 需 要我们通过 图像或解析式 的观 察 、 析 ， 分 学会联 系实际 ， 住 问题 中的数量关系 ， 抓 把 实际 问题转 化为 数学 问题来 解决 ， 这 个过程实际上也就是我们说的 “ 模”下 建 ．
垒
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浅谈二次函数建模方法
翻安徽省枞阳县义津初级中学 汪东一
关键 词 ：二次 函数 形结合 二次 函数是反映现 实世界 中变量问 的关系和变化规律 的一种 常见的数 学模
型 ，也是近年来 中考考查的热点题型． 这 类题型侧重考查学生 应用数学知 识建立
建模方 法
数
寻 找等 量关 系的能 力． 有这样 ， 只 才能 建 立正确 的数学模型． 像 性质 ， 解决实际问题 ．
二次函数弓形模型
二次函数弓形模型二次函数是一种常见的数学模型，它的图像形状可以是一条抛物线，也可以是一个弓形。
二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，且a不等于0。
本文将探讨二次函数弓形模型的特点、应用以及解析方法。
首先，我们来讨论二次函数弓形模型的特点。
当a大于0时，二次函数的图像开口朝上，形状为一个弓形。
当a小于0时，二次函数的图像开口朝下，形状也是一个弓形。
无论开口朝上还是朝下，二次函数的图像都具有对称轴，对称轴的方程为x=-b/2a。
对称轴将图像分为两个对称的部分，称为左半部分和右半部分。
弓形模型的顶点是二次函数图像的最低点（当a大于0时）或最高点（当a小于0时），顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
其次，我们来探讨二次函数弓形模型的应用。
弓形模型常用于描述一些现实生活中的问题，例如抛物线的轨迹、物体的运动轨迹等。
在物理学中，二次函数弓形模型可以用来描述自由落体运动中物体的高度随时间的变化，以及抛体的轨迹。
在经济学中，二次函数弓形模型可以用来描述成本、收益、供求关系等。
在工程学中，二次函数弓形模型可以用来描述一些曲线的形状，例如拱桥的形状等。
最后，我们来介绍二次函数弓形模型的解析方法。
对于给定的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过以下步骤来解析该函数的图像：1.计算对称轴的坐标：对称轴的方程为x=-b/2a，计算得到对称轴的x坐标为-b/2a。
2.计算顶点的坐标：将对称轴的x坐标代入二次函数的表达式中，计算得到顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.计算y轴截距：将x=0代入二次函数的表达式中，计算得到y轴截距为c。
4.根据对称轴、顶点和y轴截距的坐标，绘制二次函数的图像。
当我们了解了二次函数弓形模型的特点、应用和解析方法后，就可以更好地理解和应用这一数学模型。
无论是在学术研究中还是在实际应用中，二次函数弓形模型都具有重要的地位和作用。
它不仅可以帮助我们理解自然界和社会现象中的规律，还可以用于解决一些实际问题，为我们的生活和工作带来便利和效益。
二次函数解析式和表达式的区别
二次函数解析式和表达式的区别摘要：1.二次函数解析式的定义和表达式的定义2.二次函数解析式和表达式之间的区别3.二次函数解析式和表达式在实际问题中的应用4.如何从实际问题中得出二次函数的解析式和表达式正文：在数学中，二次函数解析式和表达式是常用的表示二次函数的方式，但它们之间存在着明显的区别。
首先，我们来了解一下二次函数解析式和表达式的定义。
二次函数解析式是指用字母表示二次函数的关系式，通常形式为y=ax+bx+c（a、b、c为常数），它直接揭示了自变量x与因变量y之间的关系。
而二次函数表达式则是指用数值表示二次函数的方式，它通常是通过将二次函数解析式中的字母换成数值来实现的。
其次，二次函数解析式和表达式之间的区别在于，解析式强调的是函数的关系，而表达式强调的是函数的值。
例如，对于二次函数y=ax+bx+c，当我们知道a、b、c的值后，就可以通过解析式计算出y与x的关系。
而表达式则直接给出了函数在不同x值下的y值，便于我们进行数值计算和图形绘制。
在实际问题中，二次函数解析式和表达式都有广泛的应用。
例如，在物理中，二次函数解析式可以用来表示物体的运动轨迹，而表达式则可以用来计算物体的位置、速度和加速度等物理量。
在工程中，二次函数解析式和表达式常用于建模和优化问题，如曲线拟合、参数估计等。
那么，如何从实际问题中得出二次函数的解析式和表达式呢？一般来说，我们可以通过以下步骤：1.分析实际问题，找出其中的数学关系。
例如，在物体运动问题中，我们可以通过测量物体的位移、时间等数据，找出位移与时间的关系。
2.建立二次函数模型。
根据实际问题中的数学关系，我们可以建立二次函数模型，如y=ax+bx+c。
3.利用已知数据求解二次函数参数。
将实际问题中的数据代入二次函数模型，通过最小二乘法等方法求解出a、b、c等参数。
4.得出二次函数的解析式和表达式。
在求解出二次函数参数后，我们就可以得到二次函数的解析式和表达式。
总之，二次函数解析式和表达式是表示二次函数两种常见的方式，它们在实际问题中有着广泛的应用。
利用二次函数解决问题步骤
利用二次函数解决问题步骤正文：
二次函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。
利用二次函数解决问题的步骤可以帮助我们更好地理解和解决各种实际情况中的数学难题。
下面将介绍利用二次函数解决问题的一般步骤。
1. 确定问题，首先，需要明确问题的背景和要求，明确所要解决的具体问题是什么，例如寻找最大值、最小值，或者确定某个变量的取值范围等。
2. 建立二次函数模型，根据问题的特点，建立二次函数模型。
二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
根据问题的特点，确定二次函数的具体形式。
3. 求解问题，利用二次函数的性质和相关知识，对建立的二次函数模型进行分析和求解。
可以通过求导数、配方法、公式法等方式，找到函数的极值点、零点等关键信息。
4. 验证和解释，在求解出结果后，需要对结果进行验证和解释，确保结果符合实际情况，并能够清晰地解释结果的意义和影响。
5. 应用实际问题，最后，将得到的结果应用到实际问题中，解
决实际情况中的数学难题，验证二次函数的有效性和实用性。
通过以上步骤，我们可以利用二次函数解决各种实际问题，提
高数学建模和问题解决能力，为实际生活和工程技术提供有效的数
学支持。
同时也可以更好地理解和掌握二次函数的性质和应用，为
进一步深入学习数学打下坚实的基础。
二次函数建立二次函数模型课件
确定实际问题中的自变量和因变量。
转化条件
将实际问题中的条件转化为数学方程中的 限制条件。
建立方程
根据实际问题中的条件和规律，建立二次 函数方程。
求解模型
利用数学知识和计算方法，求解二次函数 模型，得到解或最优解。
04
求解二次函数模型
利用公式求解二次函数模型
了解二次函数的标准形式 理解二次函数系数a、b、c的含义及其对函数图像的影响
二次函数建立二次函数模型 课件
2023-11-05
目录
• 引言 • 二次函数的概念及表达式 • 建立二次函数模型 • 求解二次函数模型 • 案例分析
学生们已经学习了一次函数，对于函数的图像、性质及表达 式有了初步的了解。
在此基础上，进一步学习二次函数，掌握其图像、性质及表 达式的特点和规律。
案例二：交通流量问题
总结词
二次函数模型可以用来描述交通流量的变 化。
VS
详细描述
在交通工程中，二次函数模型可以用来描 述交通流量与时间的关系。例如，假设初 始流量为Q0，流量变化率为k，那么交通 流量Q可以通过二次函数模型表示为 Q=Q0-kt^2。这个模型可以帮助交通工 程师更好地规划交通网络，提高交通效率 。
转化条件
将实际问题中的条件转化为数学方 程中的限制条件。
利用二次函数解决实际问题
01
02
03
分析实际问题
分析实际问题的特点，确 定需要解决的问题和目标 。
建立数学模型
根据实际问题的特点，建 立二次函数模型。
求解模型
利用数学知识和计算方法 ，求解二次函数模型，得 到解或最优解。
建立二次函数模型的步骤
案例三：房屋按揭贷款问题
二次函数模型
函数模型一二次函数模型一价格竞争[问题提出]：甲乙两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈。
一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利。
我们知道，利润是受销售价和销售量的影响及控制的，乙站为挽回损失，必须采取降价销售这一对策来争取顾客。
那么，乙站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润呢？[分析]：在这场“价格战”中，我们将站在乙站的立场上为其制定价格对策，因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙站销售量的变化情况，从而得到乙站的销售利润。
[引入参数]：为描述汽油价格和销售量间的关系，引入指标：1）价格战前，甲、乙两站汽油的正常销售价格为P（元/升）；2）降价前乙站的销售量均为L(升)；3）汽油的成本价格为W（元/升）；4）降价后乙站的销售价格为x(元/升)，这是变量；5）降价后甲站的销售价格为y(元/升)。
[模型假设]：影响乙站汽油销售量的因素，主要有以下几个：1)甲站汽油降价的幅度；2)乙站汽油降价的幅度；3)甲乙两站之间汽油销售价格之差（x-y）。
我们知道，随着甲站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之减小；而随着乙站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之增大；同时，随着两站之间汽油销售价格之差（x-y）的增加，乙站汽油销售量也随之减小。
假设1：在这场价格战中，假设汽油的正常销售价格保持不变；假设2：以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的,比例系数分别为a,b,c（均为正常数）。
[建立模型]：由假设2，乙站的汽油销售量为L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)，所以，乙站的利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]。
[模型求解]：当y确定时，利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]是关于x的二次函数。
求出R(x,y)的最大值点为x*=[L+(a+c)y-P(a-b)+W(b+c)]/2(b+c)。
二次函数的最值与优化应用题的解决思路
二次函数的最值与优化应用题的解决思路在解决二次函数的最值与优化应用题时，我们需要遵循一定的解决思路。
本文将介绍如何分析和求解这类问题，并提供一些实际应用的例子。
1. 分析问题：首先，我们需要理解问题陈述，并将其转化为数学语言。
通常，这种问题会涉及到二次函数的具体形式以及限制条件。
我们可以通过以下步骤进行分析：- 确定变量和目标：明确问题中涉及的变量，以及我们希望优化的目标。
- 建立模型：利用已知条件建立二次函数模型，并将目标函数化为数学表达式。
- 分析限制条件：将限制条件翻译为数学不等式或等式，并将其添加到模型中。
- 确定求解范围：确定函数的定义域和最值可能出现的范围。
2. 求解问题：有了正确的分析，我们可以使用以下方法来求解二次函数的最值和优化问题：- 求导法：对二次函数进行求导，找到导数等于零的点，并分析这些点的性质以确定最值的位置。
- 完成平方法：通过将二次函数转化为完全平方形式，从而直接得到最值点的位置。
- 利用性质法：利用二次函数的性质，如对称性、平移等，来简化求解过程。
- 图像分析法：通过绘制函数的图像，直观地找到最值点的位置。
3. 应用实例：下面是一些二次函数最值与优化应用题的解决示例：题目1：围墙建造某人想围建一个矩形花园，但他只有50米的围墙材料。
问他能建造的最大花园面积是多少？解决思路：设矩形长为x米，宽为y米。
建立问题的模型：- 目标：最大化花园的面积A，即A = x*y。
- 限制条件：围墙总长度不能超过50米，即2x + 2y <= 50。
通过求解目标函数的最值，我们可以得到最大化花园面积的解。
题目2：喷水装置一个花坛的形状是一个长为12米、宽为8米的矩形，需要在花坛中央安装一台喷水装置。
装置的效果范围是一个以装置为中心，半径为r米的圆形区域。
求喷水装置的半径，使得覆盖的花坛面积最大。
解决思路：设喷水装置的半径为r米。
建立问题的模型：- 目标：最大化喷水装置覆盖的花坛面积A，即A = πr²。
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例1答图
有一座抛物线形状的拱桥，正常水位时桥下水面宽度 为20 m，拱顶距离水面4ห้องสมุดไป่ตู้m.
图 1－ 5－ 2 (1)在如图1－5－2所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解
析式．
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽
度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式．
(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航 行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少时就会影响
系式中的一种；
(3)求解问题时防止正、负弄错，能合理地将点的坐标 正确地转化为距离或高度．
类型
建立二次函数模型解决实际问题
如图1－5－1所示，公园要建
造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面 处安装一个高1.25 m的柱子OA，水流在各
个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为
图 1－ 5 － 1 使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到
1.5 二次函数的应用
第1课时
建立二次函数模型
知识管理
知识管理
建立二次函数模型解决简单实际问题 步 骤：(1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题．
注
意：(1)将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标 的关系； (2)设函数关系式应根据题目条件合理选择3种函数关
距水面最大高度2.25 m．若不计其他因素，那么水池的半径至少 要达到多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
解：以O为原点，OA为y轴建立直角坐标系，
设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C (如例1答图所示)，
由题意，得A(0，1.25)，B(1，2.25)，因此，
设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25. 将A(0，1.25)代入上式， 得1.25＝a(0－1)2＋2.25， 解得a＝－1. 所以，抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25. 当y＝0时，解得x1＝－0.5(不合题意，舍去)，x2＝2.5， 所以C(2.5，0)，即水池的半径至少要2.5 m. 【点悟】 结合所给图形，恰当建立坐标系是解这类题的关键．
图 1－ 5－ 3
2．图1－5－4(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l
时，拱桥(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m．如图1－5
－4(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式 ( C )
图 1－ 5－ 4
A．y＝－2x2 1 2 C．y＝－ x 2 B．y＝2x2 1 2 D．y＝ x 2
【解析】 设抛物线的关系式为：y＝ ax2(a≠0)， 1 由 (2，－2)在抛物线上，得－2＝ 4a，∴ a＝－ ， 2 1 2 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x .故选 C. 2
1．如图 1－ 5－ 3 所示，桥拱是抛物线形，其函数 1 2 的表达式为 y＝－ x ， 当水位线在 AB 位置时， 4 水面宽 12 m， 这时水面离桥顶的高度为( D ) A． 3 m B． 2 6 m C． 4 3 m D． 9 m
【解析】 由 AB＝ 12 m 可知点 B 的横坐标为 6. 1 把 x＝ 6 代入 y＝－ x2，得 y＝－ 9.即水面离桥顶 4 的高度为 9 m，故选 D.
过往船只在桥下顺利航行．
解： (1)设抛物线的解析式为 y＝ ax2. ∵在正常水位时， B 点坐标为(10，－ 4)， 1 ∴－4＝ a× 10 ，∴a＝－ . 25
2
1 ∴该抛物线的解析式为 y＝－ x2. 25
(2)当水位上升 h m 时， D 点的纵坐标为－ (4－ h)． 1 2 设 D 点的横坐标为 x(x>0)，则有－ (4－ h)＝－ x ， 25 ∴ x＝ 5 4－ h， x＝－ 5 4－ h(舍去 )． ∴ d＝ 2x＝ 10 4－ h. (3)当桥下水面宽为 18 m 时，得 18＝ 10 4－ h， 81 ∴ h＝ 4－ ＝ 0.76. 25 又 ∵ 2＋ 0.76＝ 2.76 m， ∴桥下水深超过 2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．