二次函数常见模型精编版
专题01 二次函数的定义五种模型全攻略(解析版)
专题01 二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二次函数的识别】 (1)【考点二二次函数中各项的系数】 (2)【考点三利用二次函数的定义求参数】 (3)【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 (5)【考点五列二次函数的关系式】 (6)【过关检测】 (8)【典型例题】【考点一二次函数的识别】【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）以下函数式二次函数的是（）【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数221y x x =--+的二次项系数是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数221y x x =--+的二次项系数是1-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数()32-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A ．2B ．2-C ．1-D ．4-【答案】D 【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：()23622x y x x x --==，∴二次项系数是2，一次项系数是6-，∴264-=-，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数2(1)y x x =-的二次项系数是________．【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．【详解】解：y =2x （x -1）=2x 2-2x ．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数()2231y m x mx =+++是二次函数，则（ ）A ．2m ³-B ．2m ¹C ．2m ¹-D ．2m =-【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得20m +¹，解得2m ¹-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数是解题的关键．【变式训练】【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数2y ax bx c =++的定义条件是：a 、b 、c 为常数，0a ¹，自变量最高次数为2．【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线223y ax x =-+经过点(1,2)P ，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．【详解】解：将(1,2)P 代入223y ax x =-+中，得：22=121+3a -´´，解得：=1a ，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线23y ax bx =+-过点（2，4），则代数式84a b +的值为（ ）A ．14B ．2C ．－2D ．－14【答案】A【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax 2+bx -3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax 2+bx -3得4a +2b -3=4，整理得8a +4b =14.故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．20【答案】B【分析】先把点()2,3-代入解析式，得到2=7c b -，然后化简247=2c b --（c-4b ）-7，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点()2,3-代入2y x bx c =-++，得：2=7c b -，∵247=2c b --（c-2b ）-7277=7=´-；故选择：B .【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为_____．【答案】()2501y x =-【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，∴y 与x 之间的函数关系式为()2501y x =-．故答案为：()2501y x =-．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价()21x ´-．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当60x =时，8050y x ==；时，100y =．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．【答案】(1)2200y x =-+(3070x ££)；(2)222606450w x x =-+-(3070x ££)【分析】（1）根据y 与x 写成一次函数解析式，设为y kx b =+，把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出y 与x 的解析式，并求出x 的范围即可；（2）根据利润=单价´销售量列出w 关于x 的二次函数解析式即可．【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+．60x =Q 时，80y =，50x =时，100y =，608050100k b k b +=ì\í+=î，解得2200k b =-ìí=î，2200y x \=-+，根据部门规定，得3070x ££．（2）22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题二、填空题6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数2=23y x x --中，当=1x -时，y 的值是________．【答案】0【分析】把=1x -代入2=23y x x --计算即可．【详解】解：当=1x -时，2=23=123=0y x x ---+，故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把=1x -代入2=23y x x --计算．7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】23x - －16 12【解析】略8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数||1(1)45m y m x x +=++-是关于x 的二次函数，则一次函；【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得()()2302050600y x x x x =++=++，∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题。
《一题可破万题——二次函数压轴题常见模型小结》
——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。
DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。
DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。
二次函数(一)——常见二次函数模型
二次函数（一）——所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数一、 知识点回顾1.函数概念小结2.待定系数法求函数解析式3.图像平移法则二、 典例剖析考点1【二次函数的相关概念】例1下列函数中，哪些是二次函数？y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=21x x- (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²随堂练习11.下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).3．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2 B ．y C ．y =21x D ．y =a 2x考点2【二次函数的一般式】例2-1若y=（m ＋1）x 267m m --是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对例2-2．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.随堂练习21．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠02.已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？3．如果函数y=x 232k k -++kx+1是二次函数，则k 的值一定是______考点3【常见的二次函数模型】例3-1【面积问题】如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.例3-2【密植问题】某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式.例3-3【利率问题】人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本息合计自动转存，到支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税，我如果将10000元存入银行，请写出两年后支取时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式。
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
中考二次函数线段最值问题-几何模型总结 (无答案)
二次函数线段最值问题模型一：在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P例题1如图，抛物线4212+−−=x x y 与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；【变式练习】1、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结0A ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120。
，得到线段OB.（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）xyBAOC2、已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C 在x 轴的正半轴上．关于yCE D G A x yO B F A'BPA l轴对称的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、D(3，－2)、P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上． (1)求直线BC 的解析式；(2)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标； (3)设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围．xy CBAO3、如图，抛物线经过了点A （4,0），B （-4，-4），C （0,2），连接AB,BC,AC,（1）求抛物线解析式。
（2）点P 是抛物线对称轴上的一点，求△PBC 周长的最小值及此时P 点的坐标。
4、如图，抛物线与x 轴交与A （1,0）,B （- 3，0）两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.5、如图,一元二次方程的0322=−+x x 二根）（，2121x x x x <,是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交yFOBCADE点B 、C 的横坐标,且此抛物线过点A （3，6）. （1）求此二次函数的解析式;（2）设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC 相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标; （3）在x 轴上有一动点M,当MQ+MA 取得最小值时,求点M 的坐标.6、如图，抛物线y=x 2+bx-2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．模型二：直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB ∆的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12PP ，与12l l 、分别交于AB 、两点，即为所求．例题1已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =−−与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。
中职数学3.2.3二次函数-模型
在[
b 2a
，+∞）上是减函数
2a
2a
例3 已知二次函数 y = x2－x－6 ，说出： (1) x 取哪些值时，y＝0；
解：(1) 求使 y = 0的 x 的值，即求二次方程
x2－x－6 = 0的所有根．
y
方程的判别式 = (-1)2-4×1×(-6) = 25＞0，
-2 O
-2 O
3x
当 x(-∞，-2)∪(3，+∞)时，y＞0.
-6
下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值 大于0、小于0或等于0．
(1) y x2 7x 8； (2) y x2 2x 8.
一元二次方程，二次不等式与二次函数的关系
＞0
＝0
＜0
y
y
y
y 抛ax物2 线bx c
3 9 9
33
所以
ym in
f
1 3
2 3
,函数图象的对称轴是直线 x 1 ， 3
它在区间
,
1 3
上是减函数，在区间
1 3
,
上是增函数.
例2 研讨二次函数 f (x) x2 4x 3 的图象与性质．
x
y=-x^2-4x+3
1 2 x 4. 在(-∞，-4]上是减函数. 在[-4 ，+∞)上是增函数．
抛物线
y 1 (x 4)2 2 2
开口方向
对称轴
顶点坐标
最
值
y
ox
向上 直 线 x = -４
(- 4， - 2 ) 当x = -４时,最小值为- 2
二次函数知识框架
例1，二次函数与方程结合问题
2、由一元二次方程的根的情况判断二次函数和直线相交情况
例2，二次函数与x轴相交问题
例3，二次函数与y=kx+b相交问题
3、利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
例4，根据图像求近似根（选择题）
模块5： 二次函数与坐标轴相交及围成图像面积问题
1、图像与x轴相交，交点与顶点构成三角形
例1，图像与x轴相交，求两交点间距离，及与顶点围成图形面积
2、图像与直线相交，围成图形面积
例2，直线与抛物线围成面积（2小题）
模块6：二次函数的应用问题
1、利润问题
例1，商品利润问题，求售价，最大利润时的售价
2、面积问题
例2，几何动点面积问题
3、最值问题
例3，二次函数最值问题
3、二次函数解析式的求法
例4，利用待定系数法求二次函数解析式（至少3道不同类型小题）
模块2：二次函数的图像和性质
1、二次函数图像特点
例1，求二次函数的对称轴和顶点坐标（至少2道不同类型小题）
例2，图像的增减性
例3，利用图像求最值（不给定区间和给定区间）
2、图像的平移，对称
例4，二次函数平移题
例5，二次函数对称题
二次函数知识框架
课程体系
模块划分
知识架构
对应例题选取
Байду номын сангаас预计课时
二次函数
模块1：二次函数的概念及解析式
1、二次函数定义
例1，判断二次函数（选取至少8个不同类型的函数）
例2，含有字母的函数为二次函数，判断字母取值
2、二次函数的基本形式
例3，把下列函数化为一般形式（至少4个不同类型小题），指出二次项、一次项系数，常数。
二次函数十大解题模型汇总(模型+例题+练习题)
角线 a 的关系．
2、已知：一等腰直角三角形的面积为 S，请写出 S 与其斜边长 a 的关系表达式，并分别求出 a=1，a= 2 ，
a=2 时三角形的面积．
1 3、在物理学内容中，如果某一物体质量为 m，它运动时的能量 E 与它的运动速度 v 之间的关系是 E= 2 mv2
（m 为定值）．（1）若物体质量为 1，填表表示物体在 v 取下列值时，E 的取值：
例 2、如果人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存， 到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和 y（元）与年利率 x 的 函数表达式．
例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服 装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表 达式．
二次函数十大解题模型汇总（模型+例题+练习题）
模型 1：根据二次函数的定义求字母的值
例 1：函数 y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 是二次函数，则 m=
．
对象：y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 角度：二次函数的稀疏，次数
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中考数学二次函数压轴题基本题型
在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于
面积型：（4）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由
变式：点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，使△ACP 的面积为整数的点P 有几个，并说明理由；
（5）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使10ACQ
S =？若存在，求出点Q 的坐标；若
不存在，说明理由
（6）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使32ACQ
ACO
S S
=？若存在，求出点Q 的坐
标；若不存在，说明理由
变式：抛物线上是否存在点P ，使OPC
OPA
S
S
=，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由
特殊三角形存在性：（7）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由
（8）在抛物线的对称轴上是否存在点Q 使△BCQ 是等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（等腰三角形：两圆一线）
（9）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为直角三角形；若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
几何最值型：（10）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△BCQ 的周长最小；若存在，求出点Q 的坐标与周长最小值；若不存在，说明理由
（11的坐标；若不存在，说明理由；
（12）若D 为OC 的中点，P 是抛物线对称轴上一动点，Q 是x 轴上一动点，当P 、Q 两点的坐标为多少时四边形CPQD 的周长最小？并直接写出四边形CPQD 周长的最小值；
D
D P
Q
相似存在性：（13）点Q是坐标轴上一动点，是否存在点Q，使以点B、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（14）点Q是抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
角度问题：（15）抛物线上是否存在的点Q，使∠QCA=45°，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；
（16）抛物线上是否存在的点Q，使∠QCA=∠OCB，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；
*变式：抛物线上是否存在的点Q ，使∠QCA +∠OCB =45°， 若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由；
特殊四边形存在性问题：（18）点M 为抛物线上一动点，过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N ,当以O 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
（19）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；
（20）点Q是抛物线上一动点，点M为抛物线对称轴上一动点，当以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？，求出点Q的坐标；
（21）Q为抛物线的对称轴上一动点，点P在坐标平面内，若以A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，求Q 点的坐标；以A、C、P、Q为顶点的四边形能为正方形吗？若能，请直接写出此时Q点的坐标；（矩形存在性问题转化成直角三角形存在性问题）
（22）Q为抛物线上一动点，点P在坐标平面内，若四边形APCQ为菱形，求Q点的坐标；
（23）Q为抛物线的对称轴上一动点，点P在坐标平面内，若以A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，求Q 点的坐标；（菱形存在性问题转化成等腰三角形存在性问题）。