二次函数常见模型
函数模型及其应用
函数模型及其应用‖知识梳理‖1．几种常见的函数模型| 微点提醒|1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．充分理解题意，并熟悉掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(×)(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(√)(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)(4)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.(×)‖自主测评‖1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527A.一次函数模型 C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：选A 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．(教材改编题)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >1005．(教材改编题)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. x ＝1 024(万元) 答案：1 024…………考点一 函数模型的选择…………………|自主练透型|……………|典题练全|1．下表是在某个投资方案中，整理到的投入资金x (万元)与收益y (万元)的统计表.投入资金x (万元) 1 2 3 4 5 6 收益y (万元)0.40.81.63.16.212.3A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝a ·b xC ．y ＝ax 2＋bx ＋cD ．y ＝b log a x ＋c解析：选B 画出大致散点图如图所示，根据散点图可知选B.2．某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x (岁)与身高y (米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为( )A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝a ＋log b xC ．y ＝a ·b xD ．y ＝ax 2＋b解析：选B 根据散点图可知，较适宜的函数模型为y ＝a ＋log b x ，故选B.3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )的影响。
《一题可破万题——二次函数压轴题常见模型小结》
——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。
DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。
DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。
二次函数(一)——常见二次函数模型
二次函数（一）——所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数一、 知识点回顾1.函数概念小结2.待定系数法求函数解析式3.图像平移法则二、 典例剖析考点1【二次函数的相关概念】例1下列函数中，哪些是二次函数？y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=21x x- (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²随堂练习11.下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).3．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2 B ．y C ．y =21x D ．y =a 2x考点2【二次函数的一般式】例2-1若y=（m ＋1）x 267m m --是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对例2-2．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.随堂练习21．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠02.已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？3．如果函数y=x 232k k -++kx+1是二次函数，则k 的值一定是______考点3【常见的二次函数模型】例3-1【面积问题】如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.例3-2【密植问题】某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？如果果园橙子的总产量为y 个,那么请你写出y 与x 之间的关系式.例3-3【利率问题】人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本息合计自动转存，到支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税，我如果将10000元存入银行，请写出两年后支取时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式。
二次函数入门
二次函数入门二次函数是高中数学中较为重要的一种函数类型，也是一种常见的数学模型。
它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数，而且a不等于0。
二次函数的图像为一条开口向上或向下的抛物线，具有很多有趣的性质和应用。
在本文中，我们将初步介绍二次函数的定义、图像、性质以及解题方法。
首先，我们来了解二次函数的图像特点。
当a大于0时，抛物线开口向上，形状像一个U，称为顶点向上的抛物线；当a小于0时，抛物线开口向下，形状像一个倒置的U，称为顶点向下的抛物线。
抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。
在二次函数图像中，顶点是抛物线的最低点或最高点，是抛物线的一个特殊点。
除了顶点外，二次函数图像还可以通过x轴与y轴相交，交点称为零点和纵截距。
零点是函数的解，即函数值为0的x坐标；纵截距是函数与y轴的交点坐标。
从图像上看，二次函数图像关于顶点对称，即关于x=-b/2a对称。
接下来，我们了解一些二次函数的性质。
首先是二次函数的单调性。
对于开口向上的二次函数，a大于0，图像右侧的值大于左侧的值，因此函数是上升的；对于开口向下的二次函数，a小于0，图像右侧的值小于左侧的值，因此函数是下降的。
其次，二次函数的最值。
对于开口向上的二次函数，最小值就是顶点的y坐标；对于开口向下的二次函数，最大值就是顶点的y坐标。
最后，二次函数的零点。
二次函数的零点可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来得到，可以使用公式法、因式分解法或配方法来求解。
在解决实际问题时，我们可以利用二次函数的性质和解题方法来建立数学模型。
例如，我们可以使用二次函数来描述抛射物体的运动轨迹、汽车的运动距离与时间的关系等等。
通过观察问题的特点，我们可以建立二次函数模型，然后利用数学方法求解问题。
对于一些简单的模型，可以通过计算顶点、零点和纵截距来得到具体的解。
总之，二次函数是高中数学中的一个重要知识点。
通过了解二次函数的定义、图像、性质以及解题方法，我们可以更好地理解和应用这一概念。
《一题可破万题山——二次函数压轴题常见模型小结》
y
y
x=-1
A
OB
C D
x
A
OB
x
M
C N
25
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题22：在对称轴上有一点M，在抛物线上有一点N，若以A、B、M、N为顶点 的四边形为平行四边形，求M、N的坐标
y
y
y
A
OB
x
C D
A
OB
x
C
D
A
OB
x
C D
问题14：抛物线上是否存在点H，使得S△BCH= S△ABC,若存在，求出点H的坐标；
若不存在，请说明理由
H
y y
A
OB
x
C D
A
OB
x
DC
18
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题15：抛物线上是否存在点Q，使得S△AOQ= S△COQ,若存在，求出点Q的坐标；
问题23：点E是抛物线上一动点，点F在抛物线的对称轴上，若以C、D、E、F为顶 点的四边形为菱形，求点E的坐标
y
y
x=-1
A
B
x
A
OB
x
C D
O C
D
28
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
问题24：在线段AC上是否存在点M，使得三角形AOM与△ABC相似？若存在， 求出点M的坐标，若不能，请说明理由
A
OB
x
C D
30
已知抛物线y x 2 bx c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
二次函数十大解题模型汇总(模型+例题+练习题)
角线 a 的关系．
2、已知：一等腰直角三角形的面积为 S，请写出 S 与其斜边长 a 的关系表达式，并分别求出 a=1，a= 2 ，
a=2 时三角形的面积．
1 3、在物理学内容中，如果某一物体质量为 m，它运动时的能量 E 与它的运动速度 v 之间的关系是 E= 2 mv2
（m 为定值）．（1）若物体质量为 1，填表表示物体在 v 取下列值时，E 的取值：
例 2、如果人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存， 到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和 y（元）与年利率 x 的 函数表达式．
例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服 装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表 达式．
二次函数十大解题模型汇总（模型+例题+练习题）
模型 1：根据二次函数的定义求字母的值
例 1：函数 y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 是二次函数，则 m=
．
对象：y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 角度：二次函数的稀疏，次数
【高中数学】函数模型及其应用
函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。
二次函数的定义压轴题四种模型全攻略(解析版)
专题01 二次函数的定义压轴题四种模型全攻略考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项 考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式考点一 二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．231y x =-C ．2y x =D ．323y x x =+-【答案】B【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：A 、31y x =-，是一次函数，故此选项不符合题意；B 、231y x =-，是二次函数，故此选项符合题意；C 、2y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；D 、323y x x =+-，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式2y ax bx c =++(0a ≠)，是解题的关键．【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数的定义判断即可．典型例题【详解】①26y x =是二次函数；②235y x =-+是二次函数；③2200400y x x =+是二次函数；④32y x x =-不是二次函数；⑤213y x x=-+不是二次函数； ⑥()22121y x x x =+-=+不是二次函数；这六个式子中二次函数有①②③故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的定义，即一般地，形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①55y x =-；②231y x =-；③3243y x x =-；④2221y x x =-+；⑤21y x =．其中是二次函数的是____________． 【答案】②④##④②【解析】【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①y =5x -5为一次函数；②y =3x 2-1为二次函数；③y =4x 3-3x 2自变量次数为3，不是二次函数；④y =2x 2-2x +1为二次函数；⑤y =21x 函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项作答．【详解】解：二次函数y =x 2－2x +3的一次项系数是－2；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a ，b ，c 分别是二次函数y ＝﹣x 2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ） A ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝0B ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝3C ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝3D ．a ＝1，b ＝0，c ＝3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．【详解】解：二次函数y ＝﹣x 2+3的二次项系数是a ＝﹣1，一次项系数是b ＝0，常数项是c ＝3；故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．【答案】 3 -5 1【解析】【分析】形如：()20y ax bx c a =++≠这样的函数是二次函数，其中二次项系数为,a 一次项系数为,b 常数项为,c 根据定义逐一作答即可．【详解】解：二次函数y ＝1﹣5x +3x 2，则二次项系数a ＝3，一次项系数b ＝﹣5，常数项c ＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．考点三 根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．【答案】-1【解析】【分析】若y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；【详解】 解：由题意得：21012m m -≠⎧⎨+=⎩， 解得：m =-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，那么m 的值____．【答案】2-【解析】 【分析】根据二次函数的定义，(2)m m x -中，未知数x 的指数为2，系数不为0，列式计算即可． 【详解】解：∵(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，∵2m =且20m -≠，∵2m =-．故答案为：2-．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于x 的函数()21m m y m x -=+是二次函数，则m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，求出m 的值即可解决问题．【详解】解：∵()21m m y m x -=+是关于x 的二次函数，∵m 2-m =2，m +1≠0，解得：m =2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．考点四 列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，第一季度的总产值为y （亿元），则y 关于x 的函数解析式为________________．【答案】233y x x =++【解析】【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，∵二月份的为()111x x +⨯=+三月份的为()()()2111x x x +⨯+=+第一季度的总产值为y （亿元），则()2211133y x x x x =++++=++ 故答案为：233y x x =++【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为【答案】2105607350y x x =-+-【解析】【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：()21x -元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：()21x -元，所以：()()2135010y x x =--2102103507350x x x =-++-2105607350x x =-+-故答案为：2105607350y x x =-+-【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键. 2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形ABCD 中，8cm AB =，6cm AD =，点M ，N 从A 点出发，点M 沿线段AB 运动，点N 沿线段AD 运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设cm AM AN x ==，阴影部分的面积为2cm y ，则y 与x 之间的关系式为______．【答案】y =-212x +48 【解析】【分析】先求出212AMN S x =，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：21122AMN S AM AN x =⋅=， ∵阴影部分的面积=6×8-212x ，即：y =-212x +48． 故答案是：y =-212x +48．本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．一、选择题1．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y =2x +1B ．22y x =-C ．y =-8xD ．3y x = 【答案】B【分析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：A 、该函数是一次函数，不是二次函数，故本选项错误；B 、该函数是二次函数，故本选项正确；C 、该函数是反比例函数，故本选项错误；D 、该函数是三次函数，故本选项错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．2．（2020·北京房山·九年级期中）二次函数24+3y x x =-的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．1，4，3B ．0，4，3C ．1，-4，3D ．0，-4，3【答案】C【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如()2,,0y ax bx c a b c a =++≠是常数，的函数，叫做二次函数．其中x ，y 是变量，,,a b c 是常量， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项作答．【详解】解：解:二次函数24+3y x x =-的二次项系数是1，一次项系数是4-，常数项是3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏课后训练3．（2022·江苏·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝100（1﹣x ）B ．y ＝100﹣x 2C ．y ＝100（1+x ）2D ．y ＝100（1﹣x ）2【答案】D【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【详解】解：根据题意知y ＝100（1﹣x ）2，故选：D ．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．4．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）若函数24(m 2)3m m y x mx +-=++-是关于x 的二次函数，则m 的取值为（ ）A ．3-B ．2C ．3D ．3-或2 【答案】D【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【详解】解：由二次函数的定义可知，当22042m m m +≠⎧⎨+-=⎩时，该函数是二次函数， ∵m =-3或m =2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键．5．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，设直线x t =截此三角形所得的阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）A ．S t =B ．212S t =C ．2S t =D ．2112S t =- 【答案】B【分析】Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，可得45AOB A ∠=∠=︒；再由平行线的性质得出45OCD A ∠=∠=︒，即45COD OCD ∠=∠=︒，进而证明CD OD t ==，最后根据三角形的面积公式，求出S与t 之间的函数关系式．【详解】解：如图所示，∵Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，∵45AOB A ∠=∠=︒，∵CD OB ⊥，∵CD AB ∥，∵45OCD A ∠=∠=︒，∵45COD OCD ∠=∠=︒，∵CD OD t ==，∵12OCD S OD CD =⨯△ ()21032t t =<≤， 即：()21032S t t =<≤． 故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．二、填空题6．（2021·全国·九年级课前预习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】 23x - －16 12【解析】略7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD ∵AB 于D ，BD ＝1，设BC ＝x ，AD ＝y ，当x ＞2时，y 关于x 的函数解析式为 _____．【答案】21122y x x【分析】由BD =1，AD =y ，可得AB =AC =y +1，在Rt ∵ACD 中，CD 2=AC 2-AD 2=2y +1，在Rt ∵BCD 中，CD 2=BC 2-BD 2=x 2-1，即得2y +1=x 2-1，可得答案．【详解】解：∵BD =1，AD =y ，∵AB =y +1，∵AB =AC ，∵AC =y +1，在Rt ∵ACD 中，CD 2=AC 2-AD 2=（y +1）2-y 2=2y +1，在Rt ∵BCD 中，CD 2=BC 2-BD 2=x 2-12=x 2-1，∵2y +1=x 2-1，∵2112y x =-． 故答案为：21122yx x ． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD 2作等量，列出y 与x 的关系式．8．（2021·重庆·垫江第八中学校九年级阶段练习）若函数y ＝（a ＋1）x |a |＋1是二次函数，则a 的值是 ______ ．【答案】１【分析】根据二次函数的定义，列出关于a 的方程和不等式，即可求解．【详解】根据二次函数的定义可得：1210a a ⎧+=⎨+≠⎩，解得：a =1． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2，二次项系数不等于零，是解题的关键．9．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）已知2324m m ym x 是二次函数，则m 的值为___________．【答案】-1【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：∵2324m m y m x 是二次函数，∵2322m m --=且40m -≠，解得：1m =-．故答案为：-1【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数()20y ax a =≠是解题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；②3y x=-；③2431y x x =-+；④2(1)y m x bx c =-++；⑤y =(x -3)2-x 2 【答案】③【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y =ax ²+bx +c (a ≠0)(a 、b 、c 是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．【详解】解：①2y ax bx c =++，必须满足a ≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；②等号右边为分式，故②不是二次函数；③2431y x x =-+是二次函数，故③是二次函数；④2(1)y m x bx c =-++，1m =时，该式不是二次函数；⑤2222(3)6969y x x x x x x =--=-+-=-+，该式不是二次函数；故答案为：③．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？（1）y ＝3x —1；（2）232y x =+ ；（3）3232y x x =+ ；（4）2221y x x =-+ ；（5）2()1y x x x =-+ ；（6）2y x x -=+【答案】（2）（4）是二次函数【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解∵（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．（5）不是二次函数，因为原式整理后为y =－x ．（6）不是二次函数，因为x －2为分式，不是整式．故（2）（4）是二次函数．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 均为常数，且0a ≠）的函数关系称为二次函数是解题的关键．12．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（a +1） 21ax ++（a ﹣2）x （a 为常数），求a 的值：(1)函数为二次函数；(2)函数为一次函数．【答案】(1)a =1(2)a =0或﹣1【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a 2+1=2，a +1≠0得出即可；（2）利用一次函数的定义分别求出即可．(1) 当 21210a a ⎧+=⎨+≠⎩时，函数为二次函数， 解得：a =±1，a ≠-1，∵a =1；(2)当 211120a a a ⎧+=⎨++-≠⎩时，函数为一次函数， 解得：a =0，当a +1=0，即a =﹣1时，函数为一次函数，所以，当函数为二次函数时，a =1，当函数为一次函数时，a =0或﹣1．【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．13．（2022·全国·九年级课时练习）一个二次函数234(1)21kk y k x x -+=-+-．（1）求k 的值．（2）求当x =3时，y 的值？【答案】（1）k =2；（2）14【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k 所满足的式子，求解即可；（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x =3求解即可． 【详解】解：（1）依题意有234210k k k ⎧-+=⎨-≠⎩， 解得：k =2，∵k 的值为2；（2）把k =2代入函数解析式中得：221y x x =+-，当x =3时，y =14，∵y 的值为14．【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．14．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数y ＝（k 2﹣k ）x 2+kx +k +1（k 为常数）．（1）若这个函数是一次函数，求k 的值；（2）若这个函数是二次函数，则k 的值满足什么条件？【答案】（1）k ＝1；（2）k ≠0且k ≠1【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得．【详解】解：（1）若这个函数是一次函数，则k 2﹣k ＝0且k ≠0，解得k ＝1；（2）若这个函数是二次函数，则k 2﹣k ≠0，解得k ≠0且k ≠1．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．15．（2022·浙江宁波·八年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x 元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x 的代数式表示）．(2)设销售利润为y ，请写出y 关于x 的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【答案】(1)()4010x +(2)21060400y x x =-++(3)24元/千克【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；（3）令y =480，求出x 的值，再根据题意对x 的值进行取舍即可．（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x ）千克，故答案为：（40+10x ）．（2）根据题意得，()()40102818y x x =+--整理得21060400y x x =-++（3）令480y =，代入函数得，21060400480x x -++=解方程，得14x =，22x =因为要尽可能地清空库存，所以2x =舍去取4x =此时荔枝定价为28424-=（元/千克）答：应将价格定为24元/千克．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．。
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中考数学二次函数压轴题基本题型
在平面直角坐标系中，二次函数2
2y ax bx =++的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于
点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；长度型：（2）点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 当点M 的坐标为多少时，线段MN 有最大值，并求出其最大值；
（3）点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 作ME ⊥AC 于点E ，当点M 的坐标为多少时，△MEN 的周长有最大值，并求出其最大值；
面积型：（4）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由
变式：点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，使△ACP 的面积为整数的点P 有几个，并说明理由；
（5）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使10ACQ
S =？若存在，求出点Q 的坐标；若
不存在，说明理由
（6）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使32ACQ
ACO
S S
=？若存在，求出点Q 的坐
标；若不存在，说明理由
变式：抛物线上是否存在点P ，使OPC
OPA
S
S
=，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由
特殊三角形存在性：（7）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由
（8）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（等腰三角形：两圆一线）
（9）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
几何最值型：（10）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ的周长最小；若存在，求出点Q的坐标与周长最小值；若不存在，说明理由
（11
由；
（12）若D为OC的中点，P是抛物线对称轴上一动点，Q是x轴上一动点，当P、Q两点的坐标为多少时四边形CPQD的周长最小？并直接写出四边形CPQD周长的最小值；
相似存在性：（13）点Q是坐标轴上一动点，是否存在点Q，使以点B、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（14）点Q是抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
角度问题：（15）抛物线上是否存在的点Q，使∠QCA=45°，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；
（16）抛物线上是否存在的点Q，使∠QCA=∠OCB，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；
*变式：抛物线上是否存在的点Q，使∠QCA+∠OCB =45°，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；
（17）在抛物线的对称轴上是否存在点Q到直线BC的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点Q，若不存在请说明理由；(在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊙Q与x轴和直线BC都相切？)
特殊四边形存在性问题：（18）点M为抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N,当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（19）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（20）点Q是抛物线上一动点，点M为抛物线对称轴上一动点，当以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？，求出点Q的坐标；
（21）Q为抛物线的对称轴上一动点，点P在坐标平面内，若以A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，求Q 点的坐标；以A、C、P、Q为顶点的四边形能为正方形吗？若能，请直接写出此时Q点的坐标；（矩形存在性问题转化成直角三角形存在性问题）
（22）Q为抛物线上一动点，点P在坐标平面内，若四边形APCQ为菱形，求Q点的坐标；
（23）Q为抛物线的对称轴上一动点，点P在坐标平面内，若以A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，求Q 点的坐标；（菱形存在性问题转化成等腰三角形存在性问题）。