大学线性代数复习题(48课时)
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
《线性代数》复习要点及练习
第一章 行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ ）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 62122.431235-的代数余子式12A 是（ ）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（ ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开 5. 关于行列式，下列命题正确的是（ ）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（ ）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数.7. 下列命题错误的是（ ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =————，代数余子式32A =—————— 9. 已知k341k 000k 1-=，则k =__________.10. 若52k 74356=，则k =__________.11. 计算行列式|12345006|=_________ 12. 计算行列式|1111123413610141020| 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =14. 计算行列式1234248737124088D =15.计算行列式x yyxx x y y yx x y+++第二章 矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（ ）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（ ）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（ ）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -15.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（ ） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（ ）7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA8. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.10.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵 12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A.B AX X ,B ,A . 132231 11312221414=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设15. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A 可逆，并求1A -. 16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为可逆矩阵，并求()1A B --.17. 设方阵A 满足22A A E O --=，证明A 及2A E +都可逆.第三章 线性方程组复习要点：1. 熟练掌握方程组解无解/有解/有唯一解/有无穷多解的充要条件2. 会求向量组的秩；能够验证向量组的线性相关性；会求向量组的极大线性无关组，并可以将其他向量用极大无关组线性表示.3. 熟练掌握基础解系的求解3. 会求解齐次线性方程组的通解，会求非齐次线性方程组的通解和特解练习题：1. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 22. 已知n 元线性方程组b Ax =，其增广矩阵为B ，当（ ）时，线性方程组有解.A. ()n B r =B. ()n B r ≠C. ()()B r A r =D. ()()B r A r ≠3. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 23124010012⎛⎫ ⎪→λλ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭，当常数λ=（ ）时，此线性方程组有唯一解.A. -1 B ．0 C ．1 D ． 24. 设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是 系数矩阵的秩r (A )（ ）A. 小于mB. 小于nC. 等于mD. 等于n5. 已知向量组1,,m αα线性相关，则（ ）.A 、该向量组的任何部分组必线性相关.B 、该向量组的任何部分组必线性无关.C 、该向量组的秩小于m .D 、该向量组的最大线性无关组是唯一的.6. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D _____0. ( = 或 ≠)7. 已知线性方程组Ax b =有解，若系数矩阵A 的秩r(A)=4,则增广矩阵B 的r(B)=__________.8. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 312400120012⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪λ⎝⎭，则当常数λ=__________时，此线性方程组有无穷多解.9. 若线性方程组Ax b =的增广矩阵为B 300200a 11⎛⎫→ ⎪+⎝⎭，则当常数a =__________时，此线性方程组无解.10.λ取何值时，非齐次线性方程组 1231232123+1++x x x x x x x x x λλλλλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解？ 取何值时，线性方程组当 11..λ ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3313123321321321x λλx x λλx x λλx λx x x λ 有唯一解、无解、无穷多解？当方程组有无穷多解时求出它的解.12.求下列方程组的通解.236222323754325432154321⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++=++++x x x x x x x x x x x x x x13. 判断下列向量组的线性相关性：（1）1234=-1,3,2,5=3-1,0-4=2,2,2,2=1,5,4,6αααα（），（，，），（），（）（2）1234=1,1,3,1=10,00=2,2,7,-1=3,-1,2,4αααα（），（，，），（），（） 14. 已知向量组()()()()T4T3T2T13 2 10 0 10 1 11 1 1α-====,,α,,,α,,,α,,,,求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140113*********12211的列向量组()54321α,α,α,α,α的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.16. 试证若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 17. 已知向量321ααα，，线性无关，证明向量11232βααα=+-,2123312βαααβαα=--=+，也是线性无关的。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
防灾科技学院2014-2015期末线性代数(48课时)
5、向量 1, 2, x 1, 4 、 2, y 1, 6,8 线性相关，则 x
B． ( A B )( A B ) A B
D． ( A B ) 2 A2 AB BA B 2 ） D． R ( AB ) R ( A) ）
2、对任意 n 阶方阵 A、B ，下列结论正确的是（ B．
证明题(本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分)
2
| | | | | | | | |
1．设方阵 A 满足 A 2 A 3E O ，证明 A 及 A 2 E 都可逆，并求 A1 及 ( A 2 E ) 1 ．
试卷序号：
A．若向量组 A0 线性无关，则向量组 A 线性无关 B．若向量组 A0 线性相关，则向量组 A 线性相关 C．向量组 A 能由向量组 A0 线性表示 D．向量组 A0 与向量组 A 等价
姓名：
| | | | | | | |
装
二、
阅卷教师 得分
防灾科技学院
2014 ~ 2015 学年 第二学期期末考试
答题时间 120 分钟 线性代数（48 学时）试卷（A）
填空题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)
使用班级：理工类相关专业
1 1 1 2 1 5 7 4 1、设 D ，则 A21 A22 3 A23 2 A24 0 0 1 1 1 5 3 3
2
五、
阅卷教师 得分
计算题(本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分)
( 1) x1 x2 x3 0 2、问 取何值时，线性方程组 x1 ( 1) x2 x3 ，(1)有唯一解； (2)无解；(3) 2 x1 x2 ( 1) x3
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。
答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。
答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。
大学线性代数与解析几何习题
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A-1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知 ，则 ．
提示：a0=a/|a|
2．设 则 ＝．
提示：|a×b|=|a||b|sin→cos→a.b=|a||b|cos
2．
（A） （B）
（C） （D）
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设 阶矩阵 ,若矩阵 的秩为 ,则 必为
()
提示：参见书本及作业上的例子。
4．
提示：参见前面的内容。
5． ()
提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
4．设 ，则 .
提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设 ，则当 满足条件时， 可逆.
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设 阶矩阵 ，则必有（）
（A） （B） （C） （D）
提示：A的逆矩阵为BC
2． （）
提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
2．设向量 ( )
提示：Prjba=|a|cos，|a|＝3→cos→cosa.b)/(|a||b|)
3． ( )
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量 且 ( )
提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。
答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。
答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。
答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。
答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。
答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。
答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。
答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一(1)．选择题1. 设A ，B 为n 阶矩阵，则必有（ ）A.222()2+=++A B A AB BB.22()()+-=-A B A B A B C.()()()()-+=+-A E A E A E A E D.222()=AB A B 2．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是（ ）(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解；(B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解；(C) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解(D) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解；3．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-0002321321321x x kx x kx x x x x 有非零解，则k 必须满足（ ）。
（A ）4=k （B ）1-=k （C ）1-≠k 且4≠k （D ）1-=k 或4=k4．若存在可逆矩阵C ，使1B C AC -=，则A 与B( )(A) 相等 (B) 相似 (C) 合同 （D) 可交换5. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( )（A ）s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s <6．矩阵A 与B 相似的充分条件是（ ）。
（A ）B A = （B ）)()(B r A r =（C ）A 与B 有相同的特征多项式（D ）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值互不相同。
一(2)．选择题1. 设A ，B 为n 阶矩阵，则必有（ ）A.222()2+=++A B A AB BB.22()()+-=-A B A B A B C.()()()()-+=+-A E A E A E A E D.222()=AB A B 2、设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα>，则（ ）．(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关；(B) 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关；(C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关；(D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关．3.设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且A 2-E =O ，则必有（ ）A. A =EB. A =-E C . A =A -1 D .|A |=14．已知向量组()()()2,5,4,0,0,,0,2,1,1,2,1321--==-=αααt 的秩为2，则=t （ ）。
（A ）3（B ）3-（C ）2 （D ）2-5．矩阵A 与B 相似的充分条件是（ ）。
（A ）B A = （B ）)()(B r A r =（C ）A 与B 有相同的特征多项式（D ）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值互不相同。
6.．设n m ⨯矩阵A 的秩等于n ，则必有（ ）。
（A ）n m =（B ）n m <（C ）n m >（D ）n m ≥一(3)、选择题：1.已知B 为可逆矩阵，则11{[()]}T T B --=_____(A)B (B)T B (C)1B - (D)1()T B -2. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）A .1或-2B . －1或－2C .1或2D .－1或2.3. ,A B 均为n 阶方阵，且()0A B E -=，则（ ）(A) A BA = (B) ||0|B |1A ==或 (C) ||0|B-E |0A ==或 (D)0A B E ==或4. 设A 是s n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件( ).A. A 的行向量组线性无关B. A 的列向量组线性无关C. A 的行向量组线性相关D. A 的列向量组线性相关5. 设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A ( )。
(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 2一(4)、选择题：1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()kA *等于 （ ）. )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1 )(D *A2. 设向量组A 能由向量组B 线性表示，则（ ）.(A) )()(A R B R ≤ (B) )()(A R B R < (C) )()(A R B R = (D))()(A R B R ≥3. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是（ ）.)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B)(C T T T B A AB =)( )(D 22))((B A B A B A -=-+4.向量组)0,1,1(,)0,0,0(,)0,1,0(),0,0,1(4321====αααα的最大无关组为（ ）（A ）21,αα (B) 421,,ααα (C) 43,αα （D ）321,,ααα5. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A) 矩阵A 有n 个特征值 (B) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量(C) 矩阵A 的行列式0A ≠ (D) 矩阵A 的特征方程没有重根一(5)、单项选择题1、若1333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---333231312322212113121111232323a a a a a a a a a a a a （ ） A 、0 B 、3 C 、1 D 、-32、设A 、B 为n 阶方阵，I 为n 阶单位阵，则下列等式正确的是（ ）A 、AB B A B A 2)(222++=+ B 、))((22B A B A B A -+=-C 、A B A B A A )()(+=+D 、I A A I A ++=+2)(223、设n m ⨯矩阵A 的秩等于n ，则必有（ ）。
A 、n m =B 、n m <C 、n m >D 、n m ≥4、设A 、B 为n 阶方阵，则下列说法正确的是（ ）A. 若O AB =，则0=A 或0=BB. 若O AB =，则O A =或O B =C. 若0=AB ，则O A =或O B =D. 若0=AB ，则O A =且O B =5、设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A ( )。
A 、1 B 、-1 C 、0 D 、26、向量组n ααα,,,21⋅⋅⋅线性无关的充要条件是（ ）A 、任意i α不为零向量B 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任两个向量的对应分量不成比例C 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中有部分向量线性无关D 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示7、设A 为n 阶方阵，且秩().,A n a a =-112是非齐次方程组AX B =的两个不同的解向量,则AX =0的通解为( )A 、1αkB 、2αkC 、)(21αα-kD 、)(21αα+k8、已知2),,(321=αααR ,3),,(432=αααR ,则 ( )A 、321,,ααα线性无关B 、432,,ααα线性相关C 、1α能由32,αα线性表示D 、4α能由321,,ααα线性表示一(6)、1、行列式333222111321321321a a a a a a a a a D +++++++++=的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、32、设A 、B 、C 为n 阶方阵，则下列说法正确的是（ ）A 、若O AB =，则0=A 或0=B B 、AB B A B A 2)(222++=+ C 、111)(---+=+B A B A D 、若AC AB =，则C B =3、满足矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200112101211021X 的矩阵=X （ ）A 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛023 B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-113102 C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011410321 D 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---5433744、设n m ⨯矩阵A 的秩等于n ，则必有（ ）.A 、n m =B 、n m <C 、n m >D 、n m ≥5、已知,,A B C 均为n 阶可逆矩阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是（ ）.A 、BCA I =B 、ACB I =C 、BAC I =D 、CBA I =6、设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ）A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示7、设A 为n 阶方阵，且1)(-=n A r ， 21,αα是AX=0的两个不同解，则21αα，一定（ ）A 、线性相关B 、线性无关C 、不能相互线性表示D 、有一个为零向量8、设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα>，则（ ）．A 、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关B 、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关C 、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关D 、 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关一（7）选择题1.设A 为n 阶方阵, 则正确的结论是 ( )(A) 如果2,A O =那么A =O (B) 如果2,A A = 那么 A =O 或 A =E(C) 如果,A O ≠那么 0A ≠ (D) 如果0,A ≠那么A O ≠2. 设1234x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1232y y -⎛⎫ ⎪⎝⎭105,12⎛⎫= ⎪-⎝⎭则()12,y y =（ ) (A)（1，2） (B) （1，1） (C) （2，1） (D)（1，－1）3．在矩阵A 中增加一列而得到矩阵B ，设A 、B 的秩分别为1r , 2r ，则它们之间的关系必为：( )(A)12 r r = (B)12 1r r =- (C) 12 r r ≤ (D) 12 r r >4.A ,B 均为n 阶矩阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（ ）(A)B E = (B) A E = (C) AB BA = (D) A B =5. 已知向量组A 线性相关， 则在这个向量组中( )(A)必有一个零向量 .(B)必有两个向量成比例 .(C)必有一个向量是其余向量的线性组合 .(D)任一个向量是其余向量的线性组合 .6. 设A 为n 阶方阵，且秩()1R A n =-,12,a a 是非齐次方程组 Ax b =的两个不同的解向量, 则Ax=0的通解为 ( )(A)12()k a a + (B) 12()k a a - (C) 1ka (D) 2ka一. （8）选择题1．设(.....)τ 表示排列的逆序数, 则(51324)τ= ( )(A) 1 (B) 5 (C) 3 (D) 22. 设 123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax=b 的三个解向量, 且系数矩阵A 的秩等于3,1 (1,2,3,4),T α=23 (0,1,2,3),T αα+= C 表示任意常数，则方程组Ax=b 的通解 x = ( )(A)1121 ;3141C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(B)1021 ;3244C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (C)1223 ;3445C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D)1324 .3546C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3. 已知向量组1,,m ααK 线性相关， 则（ ）(A) 该向量组的任何部分组必线性相关(B) 该向量组的任何部分组必线性无关(C) 该向量组的秩小于m(D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的4．设有矩阵,,,m l l n m n A B C ⨯⨯⨯则下列运算可行的是 ( )(A)ABC (B)T A CB (C)T ABC (D)T CB A5．n 阶矩阵A 可对角化，则（ ）(A) A 的秩为n (B) A 必有n 个不同的特征值(C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 有n 个两两正交的特征向量6. 若有 1133016,02135k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二(!)．填空题1.设矩阵21100413a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则数a =__________.2.．若3阶方阵A 的三个特征根分别是1,2,3则方阵A 的行列式A =3．设矩阵A=102010⎛⎫ ⎪⎝⎭，B =301010-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB T =________． 4.行列式333222111321321321a a a a a a a a a D +++++++++=的值为5.设矩阵A =110 1 001 2 0000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则齐次线性方程组0A x =的基础解系的向量个数为 ;6．设向量组T T T a )2,,1,1(,)1,2,1,2(,)2,6,3,1(321--=-==ααα线性相关,则=a 二(2)．填空题1.设矩阵21100413a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则数a =_____. 2..若n 阶矩阵A 有一个特征根为2。