江苏省南京师大附中中考数学二模试卷(含答案解析)
2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 6 小题，共 12 分）1、(2分) 下列计算，结果等于x5的是（）A.x2+x3B.x2•x3C.x10÷x2D.（x2）32、(2分) 如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）A.B. C. D.3、(2分) √2581256值等于（）A.15116B.±15116C.16116D.±161164、(2分) 点E（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n-1）对应的点可能是（）A.A点B.B点C.C点D.D点5、(2分) 完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则图中阴影部分的周长是（）A.4mB.4nC.2m+nD.m+2n6、(2分) 如图，▱OABC的周长为14，∠AOC=60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）坐标系，函数y=kxA.2√3B.4√3C.6D.12二、填空题（本大题共 10 小题，共 20 分）7、(2分) 已知某种纸一张的厚度为0.0087cm，用科学记数法表示0.0087是______．8、(2分) 把多项式2x2-4xy+2y2因式分解的结果为______．9、(2分) 若√1−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10、(2分) 计算（√6-√18）×√1+2√6的结果是______．311、(2分) 若x1，x2是一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则x1+x2-x1x2=______．12、(2分) 如图，点I为△ABC的重心，过点作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若AB=6，AC=4，BC=5，则PQ的长为______．13、(2分) 已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差______乙的方差（填“＞”“=”、“＜”）．14、(2分) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，弧AC的长为π，则∠ADC的大小是______．15、(2分) 如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M 处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______．16、(2分) 若关于x的不等式组{2x+12+3＞−1x＜m的所有整数解的和是-7，则m的取值范围是______．三、计算题（本大题共 3 小题，共 22 分）17、(7分) 先化简，再求值：(1x2−4+1x+2)÷x−1x−2，其中2≥x≥-2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．18、(7分) 解方程：23x−1−1=36x−2．19、(8分) 甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．四、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）20、(8分) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE=AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE=48°，求∠CBE的度数．21、(8分) 某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：（1）求这14位营销员该月销售该品牌电脑的平均数、中位数和众数．（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？为什么？22、(7分) 如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l 过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．23、(8分) 某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A-B-C，A-D-E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．（1）联络员骑车的速度a=______；（2）求线段AD对应的函数表达式；（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．24、(8分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=12，CE=3时，求AC的长．25、(8分) 如图，A 、B 、C 三个城市位置如图所示，A 城在B 城正南方向180km 处，C 城在B 城南偏东37°方向．已知一列货车从A 城出发匀速驶往B 城，同时一辆客车从B 城出发匀速驶往C 城，出发1小时后，货车到达P 地，客车到达M 地，此时测得∠BPM=26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q 地，客车到达N 地，此时测得∠BNQ=45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin26°≈25．cos26°≈910，tan26°≈12）26、(8分) 已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=x 2+mx+n 的图象上，当x 1=1、x 2=3时，y 1=y 2．（1）若P （a ，b 1），Q （3，b 2）是函数图象上的两点，b 1＞b 2，则实数a 的取值范围是______A ．a ＜1B ．a ＞3C ．a ＜1或a ＞3 D.1＜a ＜3（2）若抛物线与x 轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．（3）若对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，则n 的范围是______．27、(11分) 如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BDC=90°，AB=AD ，∠DCB=60°，CD=8．（1）若P 是BD 上一点，且PA=CD ，求∠PAB 的度数．（2）①将图1中的△ABD 绕点B 顺时针旋转30°，点D 落在边BC 上的E 处，AE 交BD 于点O ，连接DE ．如图2，求证：DE 2=DO•DB ；②将图1中△ABD 绕点B 旋转α得到△A'BD′（A 与A'，D 与D′时对应点），若DD′=CD ，则cosα的值为______．2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷【第 1 题】【答案】B【解析】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2•x3=x5，故此选项正确；C、x10÷x2=x8，故此选项错误；D、（x2）3=x6，故此选项错误；故选：B．根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．【第 2 题】【答案】D【解析】解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，将水杯正着放可得到B选项的形状，将水杯倒着放可得到C选项的形状，不能得到三角形的形状，故选：D．根据圆柱体的截面图形可得．本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．【 第 3 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：√2581256=√258×256+1256=√(25716)2=25716=16116． 故选：C ．根据二次根式的性质化简即可．本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．【 第 4 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：（m+1）-m=1，n-（n-1）=1，则点E （m ，n ）到（m+1，n-1）横坐标向右移动1单位，纵坐标向下移动1个单位．故选：C ．由（m ，n ）移动到（m+1，n-1），横坐标向右移动1个单位，纵坐标向下移动1个单位，依此观察图形即可求解．本题考查了点的坐标，解题的关键是得到点的坐标移动的规律．【 第 5 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：设小矩形的长为a ，宽为b ，可得a+2b=m ，可得左边阴影部分的长为2b ，宽为n-a ，右边阴影部分的长为m-2b ，宽为n-2b ，图中阴影部分的周长为2（2b+n-a ）+2（m-2b+n-2b ）=4b+2n-2a+2m+2n-8b =2m+4n-2a-4b=2m+4n-2（a+2b ）=2m+4n-2m=4n ，故选：B ．设小矩形的长为a ，宽为b ，可得a+2b=m ，表示出左右两个阴影部分矩形的长与宽，进而表示出周长，化简即可得到结果．此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【 第 6 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：设OA=a ，OC=b ，∵▱OABC 的周长为14，∴a+b=7，∴b=7-a ，作AD⊥x 轴于D ，MN⊥x 轴于N ，∵∠AOC=60°，∴OD=12a ，AD=√32a ，∴A （12a ，√32a ），∵M 是BC 的中点，∴CN=14a ，MN=√34a ，∴M （7-a+14a ，√34a ），∴12a•√32a=（7-a+14a ）•（√34a ） 解得a=4，∴A （2，2√3），∴k=2×2√3=4√3，故选：B ．设OA=a ，OC=b ，根据题意得到b=7-a ，作AD⊥x 轴于D ，MN⊥x 轴于N ，解直角三角形表示出A 、M 的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到12a•√32a=（7-a+14a ）•（√34a ），解得a=4，求得A 的坐标，即可求得k 的值．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a ，b 的值．【 第 7 题 】【 答 案 】8.7×10-3【 解析 】解：0.0087=8.7×10-3．故答案为：8.7×10-3．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【 第 8 题 】【 答 案 】2（x-y ）2【 解析 】解：2x 2-4xy+2y 2=2（x 2-2xy+y 2）=2（x-y ）2．故答案为：2（x-y ）2．首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．【 第 9 题 】【 答 案 】x≤12【 解析 】解：由题意得，1-2x≥0，解得x≤12．故答案为：x≤12． 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【 第 10 题 】【 答 案 】 √2+√6【 解析 】解：原式=√6×13-√18×13+2√6=√2-√6+2√6=√2+√6．故答案为√2+√6．先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【 第 11 题 】【 答 案 】6【 解析 】解：由根与系数的关系可知：x 1+x 2=2，x 1x 2=-4，∴原式=2-（-4）=6，故答案为：6根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【 第 12 题 】【 答 案 】103【 解析 】 解：连接AI 并延长交BC 于D ，如图，∵点I 为△ABC 的重心，∴AI=2ID ， ∴AI AD =23，∵PQ∥BC ，∴△APQ∽△ABC ， ∴PQ BC =AI AD =23，∴PQ=5×23=103．故答案为103． 连接AI 并延长交BC 于D ，如图，利用重心的性质得AI AD =23，再证明△APQ∽△ABC ，然后利用相似比可计算出PQ 的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．【 第 13 题 】【 答 案 】＞【 解析 】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即甲的方差＞乙的方差．故答案为：＞．结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了折线统计图．【 第 14 题 】【 答 案 】135°【 解析 】 解：连接OC 、OA ，设∠AOC=n°， 则nπ×2180=π， 解得，n=90，∴∠AOC=90°，由圆周角定理得，∠ABC=45°，∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，故答案为：135°．连接OC 、OA ，根据弧长公式求出∠AOC ，根据圆周角定理求出∠ABC ，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【 第 15 题 】【 答 案 】43【 解析 】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点M 处．∴ME=CE ，MB=12AB=4=AM ，∠D'ME=∠C=90°， 在Rt△MBE 中，ME 2=MB 2+BE 2，∴ME 2=16+（8-ME ）2，∴ME=5∴BE=3，∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°∴∠AMD'=∠BEM ，且∠GAM=∠B=90°∴△AMG∽△BEM ∴AM BE =AG MB =GM ME∴43=AG4=GM 5 ∴AG=163，GM=203∴△AMG 的内切圆半径的长=AG+AM−GM 2=43故答案为：43 由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM ，可得AG=163，GM=203，即可求解．本题考查了三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG ，GM 的长度是本题的关键．【 第 16 题 】【 答 案 】-3＜m≤-2或2＜x≤3【 解析 】解：解不等式2x+12+3＞-1，得：x ＞-4.5，∵不等式组的整数解的和为-7，∴不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2，则-3＜m≤-2或2＜x≤3，故答案为：-3＜m≤-2或2＜x≤3．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为-7，知不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2，据此求解可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【 第 17 题 】【 答 案 】解：(1x −4+1x+2)÷x−1x−2=1+x−2(x+2)(x−2)⋅x−2x−1=x−1(x+2)(x−2)⋅x−2x−1=1x+2，当x=0时，原式=10+2=12． 【 解析 】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由2≥x≥-2，且x 为整数，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【 第 18 题 】【 答 案 】解：方程两边同时乘以2（3x-1），得4-2（3x-1）=3，化简，-6x=-3，解得x=12．检验：x=12时，2（3x-1）=2×（3×12-1）≠0所以，x=12是原方程的解．【 解析 】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x 的值，代入公分母进行检验即可． 本题考查的是解分式方程．在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方．【第 19 题】【答案】解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，∴P（恰好选中乙同学）=1；3（2）画树状图得：∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=1．6【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率【第 20 题】【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC，∠ABC=60°∵△BEF是等边三角形∴BE=BF，∠FBE=60°∴∠ABC=∠EBF，∴∠ABF=∠CBE，且AB=BC，BE=BF∴△ABF≌△CBE（SAS）∴CE=AF（2）∵四边形ABCD是菱形∴∠C+∠D=180°，∵∠BEF=60°∴∠DEP+∠BEC=120°∵∠DPE+∠D+∠DEP=180°，∠C+∠CBE+∠BEC=180°∴∠DPE+∠D+∠DEP+∠C+∠CBE+∠BEC=360° ∴∠CBE=60°-∠DPE=60°-48°=12°【 解析 】（1）由菱形的性质和等边三角形的性质可得AB=BC ，BE=BF ，∠ABC=∠EBF ，由“SAS”可证△ABF≌△CBE ，可得CE=AF ；（2）利用三角形的内角和定理可求∠CBE 的度数．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．【 第 21 题 】【 答 案 】解：（1）平均数：200+170+130×2+80×5+50×3+40×21+1+2+5+3+2=90台；∵共14人，∴中位数：80台；有5人销售80台，最多，故众数：80台；（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务．【 解析 】（1）用加权平均数的求法求得其平均数，出现最多的数据为众数，排序后位于中间位置的数即为中位数；（2）众数和中位数，是大部分人能够完成的台数．本题考查了中位数、众数的确定及加权平均数的计算方法，解决本题的关键是正确的从表中整理出所有数据，并进行正确的计算和分析．【 第 22 题 】【 答 案 】解：如图所示，直线l 1、l 2即为所求．【 解析 】根据轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图可得．本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图．【 第 23 题 】【 答 案 】解：（1）由图可得，a=（4+4×12）÷12=12，故答案为：12；（2）设线段AD 对应的函数表达式为y=kx+b ，{b =412k +b =0，得{k =−8b =4， 即线段AD 对应的函数表达式为y=-8x+4（0≤x≤12）； （3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th 时，（12+6）（t-12）=4-（6-4）×12，解得，t=23，答：联络员出发23h 时第一次与后队相遇． 【 解析 】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a 的值；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段AD 对应的函数表达式；（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【 第 24 题 】【 答 案 】解：（1）如图，连接BD ，∵∠BAD=90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC ，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC ，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE ，∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵DE∥AC ，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=12，AF=CF=12AC ， ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD ，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE ，∴BC CD =CDCE∴12CD =CD3，∴CD=6，在Rt△BCD 中，BD=√BC 2+CD 2=6√5同理：△CFD∽△BCD ，∴CF BC =CDBD ，∴CF 12=6√5，∴CF=12√55，∴AC=2AF=24√55．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=12，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．【第 25 题】【答案】解：作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为x km/h，货车速度为y km/h，由题意可知：BM=x，BN=2x，AP=y，AQ=2y，BQ=180-2y，在Rt△BDM中，∴sinB=DMBM ，cosB=BDBM，∴DM=xsin37°，BD=xcos37°，在Rt△DMP中，∴tan∠DPM=DMPD =DMAB−AP−BD，∴tan26°=x⋅sin37∘180−y−x⋅cos37∘，∴1 2≈35x180−y−45x，即2x+y=180①，在RtBEQ中，∴sinB=QEBQ ，cosB=BEBQ，∴QE=sin37°•（180-2y），BD=cos37°（180-2y），在△EQN中，∠BNQ=45°，∠QEN=90°，∴△EQN为等腰直角三角形，∴QE=NE，则sin37°（180-2y）=2x-cos37°（180-2y），上式化简可得：630-7y=5x②，联立①②可得：{2x+y=180 630−7y=5x，解得：{x=70 y=40，∴客车速度约为70km/h，货车速度约为40km/h．【解析】作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为x km/h，货车速度为y km/h，根据锐角三角函数的定义列出关于x与y的方程后，利用二元一次方程组的解法即可求出答案．本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，二元一次方程组的解法等知识，综合程度较高，属于中等题型．【第 26 题】【答案】解：（1）∵当x1=1、x2=3时，y1=y2．∴函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，∴a＜1；综上所述，a＜1或a＞3；故答案为C．（2）∵对称轴x=2，∴m=-4，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴m2-4n=0，∴n=4，∴y=x2-4x+4；（3）y=x2-4x+n，∵开口向上，∴当x=2时，函数有最小值n-4，∴2（n-4）=2n-8≥2，∴n≥5．【解析】（1）由已知可知函数的对称轴x=2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，则a＜1；（2）由对称轴可求m=4，抛物线与x轴只有一个交点，则△=0，进而可求n的值；（3）当x=2时，函数有最小值n-4，则有2（n-4）=2n-8≥2，即可求n 的范围．本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，利用函数对称轴的性质解题是关键．【 第 27 题 】【 答 案 】解：（1）在Rt△BCD 中，∠BDC=90°，∠DCB=60°，CD=8， ∴BC=16，BD=8√3， 在Rt△BAD 中，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD=BD•√22=4√6， 作AH⊥BD 于H ，则AH=12BD=4√3，∠BAH=45°，当点P 在点线段DH 上时，cos∠PAH=AH AP =√32，∴∠PAH=30°，∴∠PAB=30°+45°=75°， 当点P′在点线段BH 上时，∠PAB=45°-30°=15°，综上所述，∠PAB 的度数为75°或15°；（2）①证明：由题意得，BD=BE ，∠DBE=30°，∠AEB=45°，∴∠BDE=∠BED=75°，又∠BDE=∠EDO ，∴△BDE∽△EDO ， ∴DE DO =BD DE ，即DE 2=DO•DB ； ②解：如图3，符合条件的点有两个D′和D′′，由题意得，∠DBD′=∠DBD′′，它们的余弦值相等，作BH⊥DD′，DG⊥BD′，则DH=HD′=4，在Rt△BDH 中，BH=√BD 2−DH 2=4√11， △BDD′的面积=12×DD′×BH=12×BD′×DG ，即12×8×4√11=12×8√3×DG ，解得，DG=4√333，由勾股定理得，BG=√BD2−DG2=20√33，∴cosα=cos∠DBD′=BGBD =5 6，故答案为：56．【解析】（1）根据勾股定理求出BC、BD，分点P在点线段DH上、点P在点线段BH上两种情况，根据余弦的定义解答；（2）①证明△BDE∽△EDO，根据相似三角形的性质证明结论；②作BH⊥DD′，DG⊥BD′，根据三角形的面积公式求出DG，根据勾股定理求出BG，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．。
2023年中考数学第二次模拟考试卷及答案解析(南京卷)
2023年中考数学第二次模拟考试卷及答案解析（南京卷）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．8的相反数是（）A ．8-B ．8C ．18D ．18-【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【详解】解：8的相反数是8-，故选A ．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．截止北京时间2022年6月11 5.32亿例，5.32亿用科学记数法表示为（）A ．85.3210⨯B ．753.210⨯C ．90.53210⨯D ．75.3210⨯【答案】A【分析】利用科学记数法的表示方法进行解题即可．【详解】解：5.32亿=5.32810⨯故选A ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法：10n a ⨯，其中110a ≤＜．3．某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x 天完成，则可列方程为（）A ．101012025x ++=B ．101012520x ++=C ．101012520x -+=D ．101012520x -+=【答案】D【分析】设甲、乙一共用x 天完成，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设甲、乙一共用x 天完成，根据题意得：101012520x -+=．故选：D【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．4．如图1，点A ，B ，C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为5-，b ，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A ，发现点B 对应刻度1.8cm ，点C 对齐刻度5.4cm ．则数轴上点B 所对应的数b 为（）A ．3B ．1-C ．2-D ．3-【答案】C 【分析】结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm ，再求出求出AB 之间在数轴上的距离，即可求解；【详解】解：由图1可得AC =4-（-5）=9，由图2可得AC =5.4cm ，∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm ），∵AB =1.8cm ，∴AB =1.8÷0.6＝3（单位长度），∴在数轴上点B 所对应的数b =-5+3=-2；故选：C【点睛】本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A．14B．13C．12D．34【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为1 4，故选：A．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．6．已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE 的值为（）A．6B．7C．12D．16【答案】B【分析】根据AB＝AC＝AD，可知点D、C、B在以点A为圆心的圆上，延长CA交⊙A于点F ，连接DF ，EF =AF +AE =AC +AE ，再证明△FDE ∽△BCE ，EF DE BE CE=，即BE •DE ＝CE •EF ，则问题得解．【详解】∵AB ＝AC ＝AD ，∴点D 、C 、B 在以点A 为圆心的圆周上运动，如图，延长CA 交⊙A 于点F ，连接DF ，∵AE ＝3，EC ＝1，∴AC ＝AF ＝AE +CE ＝3+1＝4，即EF ＝AE +AF ＝3+4＝7，∵∠F =∠CBD ，∠FDB =∠FCB ，∴△FDE ∽△BCE ，∴EF DE BE CE=，即BE •DE ＝CE •EF ＝1×7＝7，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据AB ＝AC ＝AD ，确定点D 、C 、B 在以点A 为圆心的圆上，是解答本题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．函数y =x 的取值范围是_____．【答案】1x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】解：根据题意得，10x -≥，解得1x ≥．故答案为1x ≥．【点睛】本题主要考查函数的自变量取值范围，掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键．8．分解因式：6x 2y ﹣3xy ＝_____．【答案】()321xy x -【分析】直接提取公因式进行因式分解即可．【详解】解：原式=()321xy x -．故答案为：()321xy x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9．设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开后平面图为一个半圆，则此圆锥的侧面积是____________.【答案】20【分析】根据圆锥底面周长得到半径和母线的关系，然后计算侧面积即可；【详解】解：∵侧面展开图是半圆，∴2l rππ=∴2l r=∵210r π=∴222112)22102022S l r r πππ====⨯=侧（故答案为20；【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．10．已知二次函数y ＝（x －m ）2，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是__________．【答案】m 1≥【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小可知二次函数的对称轴x ＝m ≥1．【详解】解：∵二次函数y ＝（x ﹣m ）2，中，a ＝1＞0，∴此函数开口向上，∵当x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小，∴二次函数的对称轴x ＝m ≥1．故答案为：m ≥1．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．11．如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为______．【答案】x ＞1【分析】根据图象直接解答即可．【详解】解：从图象上得到函数y=x+b 和y=ax+3的图象交点P ，点P 的横坐标为1，在x ＞1时，函数y=x+b 的值大于y=ax +3的函数值，故可得不等式x+b ＞ax +3的解集x ＞1．故答案为：x ＞1．【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解决本题的关键．12．某校规定学生体育成绩满分为100分，将课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比按2∶3∶5计算学期成绩若小明这学期的三项成绩分别为90分、90分、96分，则小明本学期的体育成绩为____________分．【答案】93【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．【详解】解：23590909693235235235⨯+⨯+⨯=++++++，故答案为：93．【点睛】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．13．如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ．请添加一个条件________________，使△ABF ≌△DCE 【答案】∠B ＝∠C (答案不唯一)【分析】求出BF =CE ，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，∴BF =CE ，添加∠B =∠C ，在△ABF 和△DCE 中，B C A D BF CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△DCE （AAS ），故答案为：∠B =∠C （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．14．如图，O 的半径为2cm ，正六边形内接于O ，则图中阴影部分面积为______．【答案】23π【分析】如图，连接BO ，CO ，OA ．由题意得，△OBC ，△AOB 都是等边三角形，证明△OBC 的面积=△ABC 的面积，可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC 的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可．【详解】解：如图，连接BO ，CO ，OA ．由题意得，△OBC ，△AOB 都是等边三角形，∴∠AOB =∠OBC =60°，∴OA BC ∥，∴△OBC 的面积=△ABC 的面积，∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC 的面积=260223603ππ⨯=．故答案为：23π【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．15．已知在ABC 中，=AB AC ，=30C ∠︒，AB AD ⊥，2cm AD =，则BC 的长等于________．【答案】6【分析】过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，根据=AB AC ，=30C ∠︒得到30B ∠=︒，由AB AD ⊥可得4BD =，再根据勾股定理求出AB ，即可得到BE ，即可得到答案．【详解】解：过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，∵=AB AC ，=30C ∠︒，∴30B ∠=︒，∵AB AD ⊥，2cm AD =，∴4BD =，在Rt ABD ∆中，AB ==，∵AE BC ⊥，30B ∠=︒，∴AE∴3BE ==，∵=AB AC ，AE BC ⊥，∴26BC BE ==，故答案为6，．【点睛】本题考查等腰三角形性质，含30︒角的直角三角形性质及勾股定理，解题的关键是求出AB ．16．如图，等腰ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E F ，点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 的周长最小值为：____．【答案】8【分析】连接AD ，由于ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ⊥，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为AM MD +的最小值，由此即可得出结论【详解】解：连接AD ，AM ，∵ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD BC ⊥，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 与EF 的交点为点M 时，CDM V 的周长最小，故AD 的长为AM MD +的最小值，在ABC 中，4BC =，12ABC S =△，∴1•412212ABC S BC AD AD ⨯==⨯= ，122CD BC ==解得6AD =，∴CDM V 的周长最小为：628AM MD BC AD BC ++≥+=+=，故答案为：8【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）17．（7分）已知6a +3的立方根是3，3a +b ﹣1的算术平方根是4．(1)求a ，b 的值；(2)求b 2﹣a 2的平方根．【答案】(1)4；5(2)±3【分析】（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得；（2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可．【详解】（1）解：∵63a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，∴6327a +=，3116a b +-=，∴4a =，5b =；（2）解：由（1）知4a =，5b =，∴2222549b a -=-=，∵9的平方根为3±，∴22b a -的平方根为3±．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键．18．（7分）先化简，再求值：22441111x x x x x x ⎛⎫-+-+÷ ⎪--⎝⎭，其中4x =-．【答案】112x -，19【分析】先将括号内的通分加减，再根据除以不为零的数等于乘以这个数的倒数，最后约分化简即可，把4x =-的值代入即可求解．【详解】解：原式()222221(21)211111121x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+---=-÷=⨯ ⎪-----⎝⎭112x=-，将4x =-代入112x-，得1112(4)9=-⨯-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式在分式中的运算是解题的关键．19．（7分）请把下面证明过程补充完整．如图，AD BE ，13∠=∠，2B ∠=∠，求证：DE AC ∥．证明：∵AD BE （已知），∴2∠+__________180=︒（__________）．∵2B ∠=∠（已知），∴180B DCB ∠+∠=︒（__________），∴__________ AB （__________），∴3∠=__________（__________）．∵13∠=∠（已知），∴1∠=__________（等量代换），∴DE AC ∥（内错角相等，两直线平行）．【答案】DCB ∠；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；CD ；同旁内角互补，两直线平行；4∠；两直线平行，内错角相等；4∠【分析】已知AD BE ，可以得出2180DCB ∠+∠=︒，结合2B ∠=∠可以得出CD AB ∥，可以得出3=4∠∠，由已知13∠=∠，即可得到结论．【详解】证明：∵AD BE （己知）∴2180DCB ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）∵2B ∠=∠（已知）∴180B DCB ∠+∠=︒（等量代换）∴CD AB ∥（同旁内角互补，两直线平行）∴34∠∠=（两直线平行，内错角相等）∵13∠=∠（已知）∴14∠=∠（等量代换）∴∥DE AC （内错角相等，两直线平行）【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理和性质，并灵活运用是解题的关键．20．（8分）新冠疫情期间，学生居家上网课，为了解我市初中生每周锻炼身体的时长t （单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A 组()34t ≤<，B 组()45t ≤<，C 组()56t ≤<，D 组()67t ≤<，E 组()78t ≤<进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)这次抽样调查的学生总人数为______；(2)抽取的学生中，每周锻炼身体的时长大于等于6小于7的频数是______；(3)求C 组所在扇形的圆心角．【答案】(1)500(2)150(3)115.2︒【分析】（1）由B 组人数及其所占百分比可得学生总人数；（2）根据总人数分别减去A 、B 、C 、E 组的人数即可得出答案；（3）先求出C 组所占总人数的百分比，再用360︒乘以C 组所占总人数的百分比即可．【详解】（1）10020=500÷％（人）故答案为：500．（2）每周锻炼身体的时长大于等于6小于7的频数:5005010016040150----=（人）故答案为：150．（3）C 组所占总人数的百分比为：160100=32500⨯％％C 组所在扇形的圆心角：36032=115.2︒⨯︒％∴C 组所在扇形的圆心角为115.2︒．【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数÷总数是正确解答的关键．21．（8分）为了解某校中学生有多少人已患上近视眼，判断下列选取对象的方案是否恰当?不恰当的请说明理由．(1)在学校门口数有多少人戴眼镜；(2)在低年级的学生中随机抽取一个班作调查；(3)从每个年级每个班级都随机抽取几个学生作调查．【答案】(1)不恰当，理由见解析(2)不恰当，理由见解析(3)恰当【分析】根据选取的样本是否具有代表性依次判断即可求解．【详解】（1）不恰当；因为可能有住校学生没调查到．（2）不恰当；因为低年级学生的视力一般比高年级学生好．（3）样本具有代表性，因此恰当．【点睛】本题考查了样本的代表性，解题关键是掌握选取的样本应该具有代表性，要求学生能根据实际情况进行判断．22．（7分）如图，在半径为10cm 的⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是过⊙O 上一点C 的直线，且AD ⊥DC 于点D ，AC 平分∠BAD ，点E 是BC 的中点，OE ＝6cm ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)365AD =【分析】（1）连接OC ，由AC 平分∠BAD ，OA ＝OC ，可得∠DAC ＝∠OCA ，AD ∥OC ，根据AD ⊥DC ，即可证明CD 是⊙O 的切线；（2）由OE 是△ABC 的中位线，得AC ＝12，再证明△DAC ∽△CAB ，AD AC AC AB =，即121220AD =，从而得到AD 365=．【详解】（1）证明：连接OC ，如图：∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴AD ACAC AB=，即121220AD=，∴AD36 5 =．【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．23．（8分）某书店计划同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元．A，B两类图书每本的进价各是多少元？【答案】A类图书每本的进价是36元，B类图书每本的进价是45元．【分析】根据“购进3本A 类图书和4本B 类图书共需288元；购进6本A 类图书和2本B 类图书共需306元”列出方程组进行计算即可．【详解】解：设A 类图书每本的进价是a 元，B 类图书每本的进价是b 元．根据题意得：3428862306a b a b +⎧⎨+⎩＝＝，解得3645a b ⎧⎨⎩＝＝，答：A 类图书每本的进价是36元，B 类图书每本的进价是45元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出二元一次方程．24．（8分）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB 垂直于桥面BC 于点B ，其中两条斜拉索AD AC 、与桥面BC 的夹角分别为60︒和45︒，两固定点D 、C 之间的距离约为33m ，求主塔AB 的高度（结果保留整数，参1.73≈≈）【答案】主塔AB 的高度约为78m ．【分析】在Rt △ABD 中，利用正切的定义求出=AB ，然后根据∠C ＝45°得出AB ＝BC ，列方程求出BD ，即可解决问题．【详解】解：∵AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，在Rt △ABD 中，tan 60AB BD =⋅︒=，在Rt △ABC 中，∠C ＝45°，∴AB ＝BC ，33BD =+，∴)3312BD ⨯==m ，∴AB ＝BC ＝)3313333782BD ⨯+=+≈m ，答：主塔AB 的高度约为78m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．25．（8分）如图，抛物线y ＝34x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交轴于点C ，点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（4，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，求△CPB 的面积最大时点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且∠MCB ＝∠ABC ，请直接写出点M 的坐标．【答案】(1)239344y x x =--(2)92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)M 的坐标为()3,3-或531125,749⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）待定系数法求解即可；（2）待定系数法求直线BC 的解析式，如图1，过P 作PD AB ⊥交BC 于D ，设239,344P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,34D m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2134622CPB S DP m m =⨯=-+ ，求解CPB △面积最大时的m 值，进而可得P 点坐标；（3）由题意知，分两种情况求解；①如图2，作CD AB ∥，两直线平行，内错角相等，可知直线CD 与抛物线的交点即为点M ，根据二次函数的对称性求解M 的坐标即可；②如图2，作直线CE 使ECB ABC =∠∠交AB 于F ，可知直线CE 与抛物线的交点即为点M ，根据勾股定理求出F 点坐标，待定系数法求CE 的解析式，联立求交点坐标即可．【详解】（1）解：将,A B 点坐标代入抛物线解析式得230434404b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩解得943b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为239344y x x =--．（2）解：当0x =时，=3y -∴()0,3C -设直线BC 的解析式为y kx b =+，将,B C 两点坐标代入得403k b b +=⎧⎨=-⎩解得343k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线BC 的解析式334y x =-如图1，过P 作PD AB ⊥交BC 于D ，设239,344P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,34D m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴2334PD m m =-+∴2134622CPB S DP m m =⨯=-+ ()23262m =--+∵302-<，04m <<∴2m =时，CPB △面积最大∴92,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）解：由题意知，分两种情况求解；①如图2，作CD AB ∥，∵CD AB∥∴ABC DCB∠=∠∴直线CD 与抛物线的交点即为点M∵,C M 关于抛物线的对称轴直线9343224x -=-=⨯对称∴()3,3M -；②如图2，作直线CE 使ECB ABC =∠∠交AB 于F∵ECB ABC=∠∠∴直线CE 与抛物线的交点即为点M∴FC FB=设OF a =，则4FC FB a==-在Rt COF 中，由勾股定理得222OC FC OF =-，即()22234a a =--解得78a =∴7,08F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CE 的解析式为y kx b =+，将,C F 点坐标代入得7083k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩解得2473k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线CE 的解析式为2437y x =-∴联立2243739344y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得03x y =⎧⎨=-⎩或537112549x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴531125,749M ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，MCB ABC ∠=∠时，点M 的坐标为()3,3-或531125,749⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合．解题的关键在于对知识的灵活运用．26．（9分）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是直线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边 APE （A ，P ，E 按逆时针排列），点E 的位置随点P 的位置变化而变化．（1）如图1，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，则BP 与CE 的数量关系是，BC 与CE 的位置关系是；（2）如图2，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P 在直线BD 上时，其他条件不变，连接BE ．若AB ＝BE ＝写出 APE 的面积．【答案】（1）BP ＝CE ，CE ⊥BC ；（2）仍然成立，见解析；（3）【分析】（1）连接AC ，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP ≌△CAE 即可证得结论；（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP ≌△CAE 即可；（3）分两种情形：当点P 在BD 的延长线上时或点P 在线段DB 的延长线上时，连接AC 交BD 于点O ，由∠BCE ＝90°，根据勾股定理求出CE 的长即得到BP 的长，再求AO 、PO 、PD 的长及等边三角形APE 的边长可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AC ，延长CE 交AD 于点H ，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP＝12∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD BD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB＝∴∠ABO＝30°，∴AO＝12AB OB＝3，∴BD＝6，由（2）知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵BE＝BC＝AB＝∴CE8，由（2）知BP＝CE＝8，∴DP＝2，∴OP＝5，∴AP，∵△APE是等边三角形，∴S△AEP（2＝如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP∴S △AEP 34（312＝3【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．27．（11分）【解决问题】如图①，在四边形ABCD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DEC ∠=︒，求证：DE 平分ADC ∠．(提示：延长DE 交射线CB 于点)F 【应用】如图②，在矩形ABCD 中，点F 是边BC 上的一点，将ABF △沿直线AF 折叠，若点B 落在边DC 的中点E 处，则sin BAF ∠=______．【拓展】在矩形ABCD 中，AD AB >，点E 为边AD 的中点，将ABE 沿直线BE 折叠，得到FBE ，延长BF 交直线CD 于点G ，直线EF 交边BC 于点.H 若1CG =，2DG =，直接写出HF 的长．【答案】【解决问题】见解析；【应用】12；【拓展】64或24【分析】解决问题如图①，延长DE 交射线CB 于点F ，证明(ASA)DAE FBE ≌△△，可得DE FE =，ADE F ∠=∠，进而可以解决问题；应用如图②，延长FE 交AD 延长线于点Q ，证明(ASA)CEF DEQ ≌△△，可得FE QE =，再(SAS)AEF AEQ ≌△△，可得FAE QAE ∠=∠，所以30FAB FAE QAE ∠=∠=∠=︒，进而可得sin BAF ∠的值；拓展分两种情况画图讨论：①当点G 在DC 边上时，②当点G 在DC 延长线上时，然后证明(SAS)BAE QDE ≌△△，可得ABE Q ∠=∠，AB DQ =，证明FBH CBG ∽△△，可得FH BF CG BC =，进而可以求出FH 的长．【详解】解决问题证明：如图①，延长DE 交射线CB 于点F ，点E 是边AB 的中点，AE BE ∴=，在DAE 和FBE 中，90A EBF AE BE AED BEF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)DAE FBE ≌△△，DE FE ∴=，ADE F ∠=∠，90DEC =︒∠ ，CE DF ∴⊥，CD CF ∴=，CDE F ∴∠=∠，ADE CDE ∴∠=∠，DE ∴平分ADC ∠；应用解：如图②，延长FE 交AD 延长线于点Q ，点E 是边CD 的中点，CE DE ∴=，在CEF △和DEQ 中，90C EDQ CE DE CEF DEQ ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CEF DEQ ≌△△，FE QE ∴=，由翻折可知：90AEF B ∠=∠=°，90AEF AEQ ∴∠=∠=︒，在AEF △和AEQ △中，90FE QE AEF AEQ AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AEQ ≌△△，FAE QAE ∴∠=∠，由翻折可知：FAE FAB ∠=∠，30FAB FAE QAE ∴∠=∠=∠=︒，1sin sin302BAF ∴∠=︒=；故答案为：12；拓展解：①如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，当点G 在DC 边上时，延长AE 交CD 延长线于点Q， 点E 为边AD 的中点，AE DE ∴=，在BAE 和QDE △中，90A QDE AE DE AEB DEQ ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(SAS)BAE QDE ≌△△，ABE Q ∴∠=∠，AB DQ =，将ABE 沿直线BE 折叠，得到FBE ，ABE FBE ∴∠=∠，90A EFB ∠=∠=︒，FB AB =，Q FBE ∴∠=∠，GB BQ ∴=，1CG = ，2DG =，3AB CD DQ CG DG ∴===+=，5GQ GD DQ ∴=+=，5GB ∴=，BC ∴=，90BFH C ∠=∠=︒ ，FBH CBG ∠=∠，∴FBH CBG ∽△△，FH BF CG BC∴=，1FH ∴FH ∴=②如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，当点G 在DC 延长线上时，延长BE 交CD 延长线于点Q ，同①得BAE ≌()QDE ASA ，ABE Q ∴∠=∠，AB DQ =， 将ABE 沿直线BE 折叠，得到FBE ，ABE FBE ∴∠=∠，Q FBE ∴∠=∠，GB BQ ∴=，1CG = ，2DG =，1AB CD DQ DG CG ∴===-=，3GQ GD DQ ∴=+=，3GB ∴=，BC ∴==同①FBH CBG ∽△△，FH BF CG BC∴=，1FH ∴=，4FH ∴=．综上所述：HF 【点睛】本题属于四边形的综合题，全等三角形的判定与性质，相似三角形是判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，锐角三角函数，解决本题的关键是得到FBH CBG ∽△△．。
江苏南京师范大附属中学2024届中考数学全真模拟试题含解析
江苏南京师范大附属中学2024届中考数学全真模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（ ） A ．8815 2.5x x+= B ．8184 2.5x x+= C ．88152.5x x=+ D ．8812.54x x =+ 2．某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么求x 时所列方程正确的是（ ）A ．480480420x x -=- B ．480480204x x -=+ C ．480480420x x -=+ D ．480480204x x-=- 3．长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为（ ） A ．205万B ．420510⨯C ．62.0510⨯D ．72.0510⨯4．如图，已知AB ∥CD ，DE ⊥AC ，垂足为E ，∠A ＝120°，则∠D 的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于E ，D 两点，EC ＝4，△ABC 的周长为23，则△ABD 的周长为（ ）A ．13B ．15C ．17D ．196．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果AD ＝2，BD ＝3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC 的是( )A．DEBC＝23B．DEBC＝25C．AEAC＝23D．AEAC＝257．从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y＝6x图象上的概率是（）A．112B．13C．19D．6x8．若实数a，b 满足|a|＞|b|，则与实数a，b 对应的点在数轴上的位置可以是（）A．B．C．D．9．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．410．在1－7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（）A．3月份B．4月份C．5月份D．6月份二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中CD所在圆的圆心．已知：CD．求作：CD所在圆的圆心O．曈曈的作法如下：如图2，（1）在CD上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是CD所在圆的圆心．老师说：“曈曈的作法正确．”请你回答：曈曈的作图依据是_____．12．同学们设计了一个重复抛掷的实验：全班48人分为8个小组，每组抛掷同一型号的一枚瓶盖300次，并记录盖面朝上的次数，下表是依次累计各小组的实验结果.1组1～2组1～3组1～4组1～5组1～6组1～7组1～8组盖面朝上次数165 335 483 632 801 949 1122 1276盖面朝上频率0.550 0.558 0.537 0.527 0.534 0.527 0.534 0.532根据实验，你认为这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为____，理由是：____.13．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n 表示）15．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）16．若关于x 的方程x 2-2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___． 三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝1有两根α，β求m 的取值范围；若α+β+αβ＝1．求m 的值． 18．（8分）如图，若要在宽AD 为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC 长2米，且与灯柱AB 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO 与灯臂BC 垂直，当灯罩的轴线CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好．此时，路灯的灯柱AB 的高应该设计为多少米．(结果保留根号)19．（8分）计算：（﹣2）﹣2﹣22sin45°+（﹣1）2018﹣38-÷2 20．（8分）先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中a=1+2，b=1﹣2．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x 与反比例函数()0ky k x=≠的图象相交于点()3,A a .（1）求a 、k 的值；（2）直线x ＝b （0b >）分别与一次函数y ＝x 、反比例函数ky x=的图象相交于点M 、N ，当MN ＝2时，画出示意图并直接写出b 的值.22．（10分）（定义）如图1，A ，B 为直线l 同侧的两点，过点A 作直线1的对称点A′，连接A′B 交直线l 于点P ，连接AP ，则称点P 为点A ，B 关于直线l 的“等角点”．（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点A，B关于直线x=4的等角点；（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．23．（12分）先化简，再求值：(x+1y)1﹣(1y+x)(1y﹣x)﹣1x1，其中x＝3+1，y＝3﹣1．24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解题分析】分析：根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．详解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：8812.54x x=+．故选D．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，列出方程即可．2、C【解题分析】本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时＝1．【题目详解】解：原计划用时为：480x，实际用时为：48020x+．所列方程为：480480420x x-=+，故选C．【题目点拨】本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．3、C【解题分析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【题目详解】2 050 000将小数点向左移6位得到2.05，所以2 050 000用科学记数法表示为：20.5×106，故选C．【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、A【解题分析】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．∵∠A=120°，∴∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．故选A．点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．5、B【解题分析】∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，AC=2EC=8，∵C△ABC=AC+BC+AB=23，∴AB+BC=23-8=15，∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.故选B.6、D【解题分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BD,然后可对各选项进行判断.【题目详解】解：当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BD,即23AEEC=或25AEAC=.所以D选项是正确的.【题目点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.7、B【解题分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y＝6x图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【题目详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y＝6x图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数y＝6x图象上的概率是：41123=．故选B．【题目点拨】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8、D【解题分析】根据绝对值的意义即可解答．【题目详解】由|a|＞|b|，得a与原点的距离比b与原点的距离远，只有选项D符合，故选D．【题目点拨】本题考查了实数与数轴，熟练运用绝对值的意义是解题关键．9、C【解题分析】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴12 AC ADAB AC==，∴2ACDABCS ADS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2 112ABCS⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△ABC=4，∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.10、B【解题分析】解：各月每斤利润：3月：7.5-4.5＝3元，4月：6-2.5＝3.5元，5月：4.5-2＝2.5元，6月：3-1.5＝1.5元，所以，4月利润最大，故选B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）【解题分析】（1）在CD上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是CD所在圆的圆心．【题目详解】==，解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：OC OM OD所以点O是CD所在圆的圆心O（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）【题目点拨】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12、0.532，在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值.【解题分析】根据用频率估计概率解答即可.【题目详解】∵在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值，∴这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为0.532，故答案为：0.532，在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值.【题目点拨】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.13、1 2【解题分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【题目详解】列表如下：由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，∴积为大于-4小于2的概率为612=12，故答案为12．【题目点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14、（2n，1）【解题分析】试题分析：根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），∴点A4n+1（2n，1）．15、答案不唯一，如：AD【解题分析】根据勾股定理求出AD ，根据无理数的估算方法解答即可．【题目详解】 由勾股定理得：221310AD =+=，3104<<．故答案为答案不唯一，如：AD ．【题目点拨】本题考查了无理数的估算和勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．16、30°【解题分析】 试题解析：∵关于x 的方程22sin 0x x α-+=有两个相等的实数根，∴()2241sin 0，α=--⨯⨯= 解得：1sin 2α=， ∴锐角α的度数为30°；故答案为30°．三、解答题（共8题，共72分）17、 (1)m ≥﹣；(2)m 的值为2．【解题分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞1，求出m 的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．【题目详解】(1)由题意知，(2m +2)2﹣4×1×m 2≥1， 解得：m ≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m +2)，αβ＝m 2，∵α+β+αβ＝1，∴﹣(2m +2)+m 2＝1，解得：m 1＝﹣1，m 1＝2，由(1)知m ≥﹣，所以m 1＝﹣1应舍去，m 的值为2．【题目点拨】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解答此题的关键．18、3－4)米【解题分析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．【题目详解】解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°，∵∠OCB=∠A=90°，∴∠P=30°，∵AD=20米，∴OA=12AD=10米，∵BC=2米，∴在Rt△CPB中，PC=BC•tan60°=3PB=2BC=4米，∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，∴△PCB∽△PAO，∴PC BC PA OA=，∴PA=PC OABC⋅=3102=3∴AB=PA﹣PB=（34）米．答：路灯的灯柱AB高应该设计为（34）米．19、74【解题分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.【题目详解】 解：原式()122122,422=-+--÷ 1111,42=-++ 7.4= 【题目点拨】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及立方根，熟练掌握各个知识点是解题的关键.20、原式=2a b a b-=+ 【解题分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【题目详解】原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a aa b a b -+- =a b a b-+， 当2，b=12时，原式=12121212+-+++-=2.【题目点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.21、（1）3a=，k=2；（2）b=2或1．【解题分析】（1）依据直线y=x与双曲线kyx=（k≠0）相交于点()3A a，，即可得到a、k的值；（2）分两种情况：当直线x=b在点A的左侧时，由3x-x=2，可得x=1，即b=1；当直线x=b在点A的右侧时，由x3x-=2，可得x=2，即b=2．【题目详解】（1）∵直线y=x与双曲线kyx=（k≠0）相交于点()3A a，，∴3a=，∴()33A，，∴33k=，解得：k=2；（2）如图所示：当直线x=b在点A的左侧时，由3x-x=2，可得：x=1，x=﹣2（舍去），即b=1；当直线x=b在点A的右侧时，由x3x-=2，可得x=2，x=﹣1（舍去），即b=2；综上所述：b=2或1．【题目点拨】本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数的图象与解析式的关系，解题时注意：点在图象上，就一定满足函数的解析式．22、（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞【解题分析】（1）先求出B关于直线x=4的对称点B′的坐标，根据A、B′的坐标可得直线AB′的解析式，把x=4代入求出P点的纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，根据对称性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可证明△AGP∽△BHP，根据相似三角形对应边成比例可得m=根据外角性质可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根据正切定义即可得结论；（3）当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q根据对称性质可证明△ABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，所以直线y=ax+b（a≠0）过定点Q，连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N，可证明△AMO∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.【题目详解】（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣），∴直线AB′解析式为：y=﹣，当x=4时，y=，故答案为：C（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P作BH⊥l于点H∵点A和A′关于直线l对称∴∠APG=∠A′PG∵∠BPH=∠A′PG∴∠APG=∠BPH∵∠AGP=∠BHP=90°∴△AGP∽△BHP∴，即，∴mn=2，即m=，∵∠APB=α，AP=AP′，∴∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，tan（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q 由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，又∠APB=60°∴∠APQ=∠A′PQ=60°∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ∴△ABQ是等边三角形∵线段AB为定线段∴点Q为定点若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N∵A（2，），B（﹣2，﹣）∴OA=OB=∵△ABQ是等边三角形∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，∴∠AOM+∠NOD=90°又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO∵∠AMO=∠ONQ=90°∴△AMO∽△ONQ∴,∴，∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）设直线BQ解析式为y=kx+b将B、Q坐标代入得，解得，∴直线BQ的解析式为：y=﹣，设直线AQ的解析式为：y=mx+n，将A、Q两点代入，解得，∴直线AQ的解析式为：y=﹣3，若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣，若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=，又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方，∴b＜﹣且b≠﹣2或b＞.【题目点拨】本题考查对称性质、相似三角形的判定与性质、根据待定系数法求一次函数解析式及锐角三角函数正切的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.23、﹣2【解题分析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公式进行展开，然后合并同类项，最后代入x、y的值进行计算即可得.【题目详解】原式=x1+2xy+2y1﹣（2y1﹣x1）﹣1x1=x1+2xy+2y1﹣2y1+x1﹣1x1=2xy，当x=3+1，y=3﹣1时，原式=2×（3+1）×（3﹣1）=2×（3﹣2）=﹣2．【题目点拨】本题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键.24、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8.【解题分析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出AD AC=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HC EM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt △AHC 中，tan ∠ACH =tan ∠G =AH HC =34，∵AH =33∴HC =43在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r ﹣33HC =3222(33)(43)r r -+=，∴r 253，∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ，∵∠OEM =∠AHC ，∴△AHC ∽△MEO ，∴AH HC EM OE =3343253=EM 253． 点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．。
2024年中考数学二模试卷(南京卷)(全解全析)
2024年中考第二次模拟考试（南京卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列数中，是无理数的是（）A ．227B 7C ．0D ．1-【答案】B 【解析】解：227，0，1-是有理数；7故选B ．2．光年是天文学上一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于94600亿km ，用科学记数法表示94600亿是（）A ．119.4610⨯B ．1194.610⨯C ．1294.610⨯D ．129.4610⨯【答案】D【解析】解：94600亿48129.4610109.4610=⨯⨯=⨯，故选D3．不等式30x ->的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【解析】解：不等式30x ->的解为3x >．解集3x >在数轴上表现为不包括端点的射线，D 、B 、C 都不正确．故选：A ．4．如图，AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，40P ∠=︒，OC 的延长线交PA 于点P ，则ABC ∠的度数是（）A ．25︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒【答案】A 【解析】解：∵PA 与O 相切于点A ，，∴OA AP ⊥，即90OAP ∠=︒，∵40P ∠=︒，∴90904050AOC P ∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵在O 中，AOC ∠是圆心角且所对的弧是AC ，ABC ∠是圆周角且所对的弧也是AC，∴11502522ABC AOC ==︒=︒∠∠，即ABC ∠的度数是25︒．故选：A ．5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm ，则蜡烛火焰的高度是（）A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm【解析】解：设蜡烛火焰的高度是cm x ，由相似三角形的性质得到：10915x =，解得6x =，即蜡烛火焰的高度是6cm ．故选：C ．6．如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A D C →→和C B A →→．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则2d 与t 之间的函数关系用图像表示大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点E 和F ，两个机器人的速度均为1．当点E 在边AD 上，点F 在边BC 上时，==AE CF t ．作EG BC ⊥于点G ，可得矩形AEGB 和矩形CDEG ．BG AE t ∴==，90EGF ∠=︒．12GF t ∴=-，222EF EG FG =+．两个机器人之间距离为d ．()2222112442d t t t ∴=+-=-+．40> ，∴函数图象为开口向上的二次函数．故选项C 和D 不符合题意．当机器人未出发时，点E 在点A 处，点F 在点C 处，如图1．2222EF AB BC =+=；当机器人分别到达点D 和点B 时，如图2．2222EF AB AD =+=；此时函数的y 的值和未出发时y 的值相同，故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）7．计算：11122-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．23/32-【解析】解：1112221232-⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，23-．83x -有意义，则实数x 的取值范围是．【答案】3x >【解析】解：由题意得：30x ->，解得：3x >，故答案为：3x >．9．已知点(5)A m ，与点(5)B n -，均在反比例函数ky x =的图象上，则m n +的值是．【答案】0【解析】解： 点(5)A m ，与点(5)B n -，均在反比例函数ky x =的图象上，5,5k m k n ∴==-，即55m n =-，550m n +=，0m n ∴+=，故答案为：010．已知关于x 的一元二次方程250x x m -=+的一个根是2，则m 的值为．【答案】14【解析】解：由题意得22520m ⨯+-=，解得：14m =；故答案：14．11．小明在教室中的座位是第3排第2列，简记作()3,2，则()5,3表示．【答案】第5排第3列【解析】解：由题意可知座位的表示方法为排在前，列在后，得小华的座位()5,3表示第5排第3列．故答案为：第5排第3列．12．如图，从一张圆心角为45︒的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形CDEF ，则图中阴影部分的面积为.【答案】5382π-【解析】解：如图，连接OF ，∵四边形CDEF 是边长为1的正方形，90BDC CDO ∴∠=∠=︒，1EF CD ED ===，45AOB ∠=︒ ，1OD CD ∴==，由勾股定理得：22215OF =+=，∴阴影的面积是=OCD CDEFS S S S -- 阴影正方形扇形2451111113602π⨯=-⨯⨯-⨯5382=π-；故答案为：5382π-．13．如图，在ABC 中，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，AD 为BAC ∠的平分线，ABC 的面积是228cm ，20cm 8cm AB AC ==，，DF =cm ．【答案】2【解析】解：∵ABC 中，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，AD 为BAC ∠的平分线，∴DE DF =，∵ABC 的面积是228cm ，∴112822AB ED AC DF ⋅+⋅=，∴()1282AC AB FD +⋅=，∴()1820282FD ⨯+=，∴()2cm FD =，故答案为：2．14．如图，在ABC 中，AB AC ＝，50BAC ∠︒＝，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE V ，若AD EC ∥时，则BAE ∠的度数．【答案】30︒【解析】解：∵将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE V ，∴50AE AC DAEBAC ∠∠︒＝，＝＝，∵AD EC ∥，∴50DAE AEC ∠∠︒＝＝，∵AE AC ＝，∴50AEC ACE ∠∠︒＝＝，∴80EAC ∠︒＝，∴30BAE EAC BAC ∠∠∠︒＝-＝，故答案为：30︒．15．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点，点F 在BA 边的延长线上，且CE AF =，连接EF 交AD 边于点G ，HN 垂直平分EF ，分别交AD ，EF ，AB 于点H ，M ，N ．若2CE =，则MH 的长为．【答案】103【解析】解：∵6AB =，8BC =，2CE AF ==，∴8BF =，6BE =，∴2210FE BF BE =+=，∵HN 垂直平分EF ，∴152FM ME FE ===，∵四边形ABCD 为矩形，点F 在BA 边的延长线上，∴90FAG B ∠=∠=︒，∵F F ∠=∠，∴AGF BEF ∽ ，∴AF FG BF FE=，则 2.5FG =，∴ 2.5MG =，在Rt FAG 中，22 1.5AG FG AF =-，∵F GHM ∠=∠，∴tan tan F GHM ∠=∠，∴AG GM AF MH =，解得103MH =．故答案为：103．16．如图，正方形ABCD 中，2AB E =，为边CD 的中点，连接AE BE P ，，为边AD 上一动点，将ABP 沿BP 所在直线翻折，若点A 的对应点A '恰好落在ABE 的边上，则线段AP 的长为．【答案】1或51-【解析】解：如图：以点B 为圆心，AB 为直径画圆，与AE BE 、分别相交于两点，且为12,A A ，然后过点B 分别作12,AA AA 的垂直平分线交AD 于21P P ，当A 的的对称点落在AE 上时，即点1A ；此时P 为AD 上的1P ，连接11A P ∵四边形ABCD 是正方形∴290AB AD DC D BAD ===∠=∠=︒，，则19090BAE DAE BAE ABP ∠+∠=︒∠+∠=︒，即1DAE ABP ∠=∠∴11tan tan AP DE DAE ABP AD AB ∠==∠=∵2AB E =，为边CD 的中点，∴112DE DC ==故1122AP =∴11AP =如图：当A 的的对称点落在BE 上时，即点2A ；此时P 为AD 上的2P 连接2BP 交AE 于一点G ，∵ABP 沿BP 所在直线翻折∴12ABG EBG ABE∠=∠=∠即直线BG 是ABE ∠的平分线，过点G 作MG AB GN BE ⊥⊥，，∴GM GN=∵四边形ABCD 是正方形∴90BAD AMG ∠=∠=︒∴MG AD DAE AGM ∠=∠ ，则1tan tan 2DE AMDAE AGM AD MG∠===∠=设2AM x BN BM x ===-，，2MG NG x ==则2245AG x x x =+∵2222415415AE AD DE BE BC CE =++=+=+=，，∴()555252GE NE BE BN x x ==-=--=-+，则Rt GNE 中，得222GE GN NE =+即))22255452x x x =+-+解得254x =-∵MG AD ，∴2AP B MGB∽则()()2222542254AP AB MG BM =⨯---，解得251AP =综上：线段AP 的长为151故答案为：151-三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（6分）17．解方程：3147123x x ---=．【解析】解：3147123x x ---=，去分母得:()()3316247x x --=-，去括号得:936814x x --=-，移项得:983614x x -=+-，合并同类项，得5x =-．（8分）18．先化简，再求值：()()()2222x y x y x y +---，其中2x =-，12y =-【解析】解：原式()2222444x y x xy y =---+242xy y =-将2x =-，12y =-代入原式()21142222⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭142=-132=（8分）19．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．(1)本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；(2)本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？【解析】（1）解：816%50÷=（人），“捐款为15元”的学生有508146418----=（人），补全条形统计图如下：（2）解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，故答案为：15，15；（3）（3）样本平均数为581014151820625413.450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元/人），所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为1346008040.⨯=（元），答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．（8分）20．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A -歌谣传情意，B -创意做灯笼，C -花好月圆写中秋，D -亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A 、B 、C 、D ，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．(1)任意转动转盘一次，选到“A -歌谣传情意”的概率是______；(2)甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．【解析】（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A 、B 、C 、D ，∴任意转动转盘一次，选到“A -歌谣传情意”的概率为：14故答案为：14（2）解：画出树状图，如图：共有16种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有12种故甲和乙选到不同活动项目的概率为：123164=（8分）21．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 中点，,AE BC CE AD ∥∥．(1)求证：四边形ADCE 是菱形；(2)若606B AB ∠=︒=，，求四边形ADCE 的面积．【解析】（1）证明：∵,AE BC CE AD ∥∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，∴12AD BC CD ==，∴平行四边形ADCE 是菱形；（2）解：∵9060BAC B ∠=︒∠=︒，，∴30BCA ∠=︒，∴212BC AB ==，∴222212663AC BC AB =-=-=∵四边形ADCE 是菱形，点D 是BC 的中点，∴11266318322ACD ABC ADCE S S S AB AC ===⨯=⨯⨯= 菱形（7分）22．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A ，B 两种型号的新型垃圾桶．若购买2个A 型垃圾桶和3个B 型垃圾桶共需要420元，购买5个A 型垃圾桶和1个B 型垃圾桶共需要400元．(1)求每个A 型垃圾桶和每个B 型垃圾桶各为多少元；(2)若需购买A ，B 两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A 型垃圾桶多少个？【解析】（1）解：设A 型垃圾桶单价为x 元，B 型垃圾桶单价为y 元，由题意可得：234205400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：60100x y =⎧⎨=⎩，答：A 型垃圾桶单价为60元，B 型垃圾桶单价为100元；（2）解：设A 型垃圾桶a 个，由题意可得：()6010020015200a a +-≤，解得120a ≥，答：至少需购买A 型垃圾桶120个．（8分）23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数2y x =+的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,A m ，与x 轴交于点C ，过点A 的直线与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点B .(1)求此反比例函数的解析式；(2)若点B 的纵坐标为1，求直线AC 的解析式；(3)求ACB △的面积.【解析】（1）∵一次函数2y x =+的图象过点(1,)A m ，∴123m =+=，∴()1,3A ，∵点A 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，∴133k =⨯=，∴反比例函数的解析式为3y x=；（2）∵点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，把1y =代入，则3x =，∴()3,1B ，把0y =代入2y x =+得2x =-，()2,0C ∴-；设直线AC 的解析式为y kx b =+，则有1302k b k b =+⎧⎨=-+⎩，解得1525k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故直线AC 的解析式为1255y x =+；（3）作BD x ∥轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，代入2y x =+得，12x =+，解得=1x -，∴(1,1)D -，∴314BD =+=，∴14362ABC S =⨯⨯=△．（8分）24．三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C 处，集合点位于点E 处，现有两条路线可以选择：①C E →，②C A D E →→→．已知B 位于C 的正西方，A 位于B 的北偏西30︒方向2003C 的北偏西53︒方向处．D 位于A 的正西方向1002米处，E 位于C 的西南方向，且正好位于D 的正南方向．2 1.414≈3 1.732≈，sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈）(1)求A 与C 之间的距离（结果保留整数）；(2)已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）【解析】（1）解：如图，过点A 作AH CB ⊥，交CB 的延长线于点H ，则90AHB ∠=︒，由题意可知，2003AB =903060,905337ABH ACH ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒，∴3sin 20033002AH AB ABH =∠=⨯=（米），∴3003000.6500sin sin 37AH AC ACH ==≈÷=∠︒（米），即A 与C 之间的距离为500米；（2）设CH 与DE 的交点为M ，由题意可知，90ADM DMH AHM ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADMH 是矩形，∴300DM AH ==米，cos 5000.8400CH AC ACH =∠=⨯=（米），2MH AD ==由题意可知，45,18090MCE CME DMH ∠=︒∠=︒-∠=︒，∴CME △是等腰直角三角形，∴(4001002CM ME CH MH ==+=+米，∴()24002200CE CM ==米，∴路线①的步行的时间为4002200102519.140=+≈（分钟）路线②的步行的时间为50023004001002821619.8753+++=+≈（分钟）∵19.119.8<，∴走线路①用时更短．（8分）25．图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．(1)在图①中的线段AB 上找一点E ，使BE AD =．(2)在图②中的线段AB 上找一点F ，使DF AB ⊥．(3)在图③中的线段AB 上找一点G ，使点G 到直线,CD BC 距离之和为4【解析】（1）解：如图，点E 即为所求；理由：根据题意得：,3,2AM BN AM BN ==∥，∴AEM BEN ∽ ，∴32AE AMBE BN ==，∵22435AB =+，∴2BE =；（2）解：如图，点F 即为所求；理由：根据题意得：3,2,3,42AH AD AK BK ====，∴3tan 4ADH ∠=，3tan 4ABK ∠=，∴ADH ABK ∠=∠，∵90BAK ABK ∠+∠=︒，∴90ADH BAK ∠+∠=︒，∴90AFD ∠=︒，即AB DF ⊥；（3）解：如图，点G 即为所求．过点G 作PT AD ⊥，分别交,AD BQ 于点P ，Q ，根据题意得：5,2AB AD ==，设点G 到CD 的距离为h ，∴245h ⨯=，∴85h =，由作法得：1,2,AP BQ AP BQ ==∥，4PT =∴ADG BQG ∽ ，APG BTG ∽ ，∴23AG AD BG BQ ==，∴23AG PG BG TG ==，∴812,55PG GT ==，即PG 等于点G 到CD 的距离，此时PT 的长等于点G 到直线,CD BC 距离之和．（9分）26．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．(1)若ABCD Y 是圆的“奇妙四边形”，则ABCD Y 是_________（填序号）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如图1，已知O 的半径为R ，四边形ABCD 是O 的“奇妙四边形”．求证：2224AB CD R +=；(3)如图2，四边形ABCD 是“奇妙四边形”，P 为圆内一点，90APD BPC ∠=∠=︒，ADP PBC ∠=∠，4BD =，且3AB ．当DC 的长度最小时，求AP DP的值．【解析】（1）解：若平行四边形ABCD 是“奇妙四边形”，则四边形ABCD 是正方形．理由∶∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABC ADC ∠=∠，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ABC ADC ∠+∠=︒，∴90ABC ADC ∠=∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形，∵四边形ABCD 是“奇妙四边形”，∴AC BD ⊥，∴矩形ABCD 是正方形，故答案为∶③；（2）证明∶过点B 作直径BE ，分别连接OA ，OD ，OC ，AE ，∵BE 是O 的直径，∴90EAB ∠=︒，∴90ABE E ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是“奇妙四边形”，∴AC BD ⊥，∴90BCD ACB ∠+∠=︒，又E ACB ∠=∠，∴ABE CBD ∠=∠，∵2AOE ABE ∠=∠，2DOC DCB ∠=∠，∴AOE DOC ∠=∠，∴AE DC =，∵90EAB ∠=︒，∴()22222AE AB BE R +==∴2224AB CD R +=；（3）解：连接AC 交BD 于E ，设DC 的长度为a ，CE x =，∵90AEB DEC ∠=∠=︒，BAC BDC ∠=∠，∴ABE DCE ∽，∴BEABAECE CD DE ==，∵3AB ∴33BE CE x ==，3AE DE =，∵4BD =，∴43DE x =，∵222CE DE CD +=∴()22243x x a +=，整理得22483160x a -+-=，∴(()22Δ8344160a =--⨯-≥∴4a ≥，又0a >，∴2a ≥，∴a 有最小值2，即DC 的长度最小值为2，∴()22434x x +=，解得∶123x x ==∴3CE =∴3BE =，∴1DE BD BE =-=，∴33AE =，∴23AC AE CE =+=，∵90APD BPC ∠=∠=︒，ADP PBC ∠=∠，∴ADP CBP ∽，90APC DPB DPC ∠=∠=︒+∠，∴AP PC DP PB=，∴APC DPB ∽△△，∴23342AP AC PD DB =．（10分）27.在平面直角坐标系中，抛物线()21:0L y ax x c a =++>与x 轴交于()()2,01,0A B -、两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线1L 对应的函数表达式；(2)如图1，点D 为直线AC 下方抛物线上的一动点，DM AC ⊥于点,M DN y ∥轴交AC 于点N ．求线段DM 的最大值和此时点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线21:(0)L y ax x c a =++>沿着x 轴向左平移后得到抛物线2L ，若点P 是抛物线1L 与2L 在x 轴下方的交点且1tan 3ACP ∠=，求抛物线2L 对应的函数表达式．【解析】（1）解：把(2,0)A -、(1,0)B 代入2y ax x c =++得：42010a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得12a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线1L 对应的函数表达式为22y x x =+-；（2）解：在22y x x =+-中，令0x =得=2y -，(0,2)C ∴-，由(2,0)A -，(0,2)C -,设直线AC 解析式为11y k x b =+，111202k b b -+=⎧⎨=-⎩1112k b =-⎧⎨=-⎩则直线AC 解析式为2y x =--，设2(,2)D m m m +-，则(,2)N m m --，222(2)2DN m m m m m ∴=---+-=--，2OA OC == ，AOC ∴ 是等腰直角三角形，45ACO ∴∠=︒，∵DN OC ∥，45DNM ACO ∴∠=∠=︒，DNM ∴ 是等腰直角三角形，22DM ∴=，22222222)2(1)2222DM m m m m ∴=--=--=-++202-< ，∴当1m =-时，DM 取最大值22，此时D 的坐标为(1,2)--；∴线段DM 的最大值是22，此时点D 的坐标为(1,2)--；（3）解：过A 作AH CP ⊥于H ，过H 作KR y ∥轴交x 轴于K ，过C 作CR KR ⊥于R，如图：1tan 3ACP ∠= ，∴13AH CH =，90AHK CHR HCR ∠=︒-∠=∠ ，90AKH CRH ∠=∠=︒，AKH HRC ∴∽△△，∴13AKHKAH HR CR CH ===，3HR AK ∴=，3CR HK =，设AK p =，HK q =，则3HR p =，3CR q =，CR OK OA AK ==+ ，HK HR OC +=，∴3232q pq p =+⎧⎨+=⎩，解得2545p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12455H ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，，由12455H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，(0,2)C -同上得：直线HC 解析式为122y x =--，联立21222y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=+-⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩或3254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3524P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，2219224y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ ，将抛物线22y x x =+-沿着x 轴向左平移后得到抛物线2L ，∴设抛物线2L 解析式为29()4y x t =+-，将3524P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入29()4y x t =+-得：2539()424t -=-+-，解得52t =或12t =（舍去），∴抛物线2L 对应的函数表达式为25924y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭即254y x x =++．。
2023年江苏省南京市中考数学二模试卷附解析
2023年江苏省南京市中考数学二模试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于两点，AB =10 cm ，CD= 6cm ，则AC 的长为（ ）A ．0.5 cmB ．1cmC ．1.5 cmD ．2 cm2．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=3，BC=5，将腰 DC 绕点D 逆时针方向旋转90°至DE ，连结AE ，则△ADE 的面积是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） A ．4B ．6C ．16D ．554．已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．43>m B ．43≥m C ．43>m 且2≠m D ．43≥m 且2≠m5．如图，已知一次函数y kx b =+的图象，当x<0时，y 的取值范围是 （ ） A ．y>0B ．y<OC ．-2<y<OD ．y<-26．某公司市场营销部的营销人员的个人收入与其每月的销售业绩满足一次函数关系．其图象如图所示．由图中给出的信息可知，营销人员的销售业绩为1．5万件时的收入是（ ） A ． 300元B ．500元C ．750元D ．1050元7．设路程为s （km ），速度为v （km ／h ），时间为t （h ），当s=100（km ）时，在时间的关系式s t v= 中，以下说法正确的是（ ） A ．路程是常量，时间、速度都是变量 B ．路程、时间、速度都是变量 C ．时间是常量，路程、速度都是变量 D ．速度是常量，路程、时间都是变量8．三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ） A ． 直角三角形B ． 锐角三角形C ． 钝角三角形D ．属于哪一类不能确定 9．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2 cm ，3cmB ．2cm ，3 cm ，6 cmC ．4cm ，6 cm ，8cmD ．5cm ，6 cm ，12cm10．下列说法正确的有（ ）（1）一个数的立方根是它本身的数是0和1 （2）异号两数相加，结果为负数 （3）一个有理数的绝对值不小于它本身 （4） 无限小数都是无理数 A ． 0个B ． 1个C ． 2个D . 4个 11．代数式32377a a a -++与23323a a a -+-的和是（ ） A ．奇数 B ．偶数 C ．5 的倍数D ．以上都不能确定二、填空题12．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则OD ＝ 厘米.13．如图，AB 是⊙O 的直径，C DE ，，是⊙O 上的点，则12∠+∠=．14．数形结合是重要的数学思想．一次数学活动中，小明为了求12 ＋122 ＋123 ＋……＋12n 的值，设计了如图2所示的几何图形．请你利用这个几何图形求12 ＋122 ＋123 ＋……＋12n 的值为(结果用n 表示）．15．如图，该图形经过折叠可以围成一个立方体，折好以后，与“静”字相对的字是 ．16．已知正比例函数23=的函数值y随着x的增大而减小，则k= ．y kx-2k17．一组数据为l，2，3，4，5，6，则这组数据的中位数是 .18．必然发生的事件的概率为，不可能发生的事件的概率为 ,不确定事件发生的概率介于与之间.19．如图，ΔABD≌ΔACE，点B和点C是对应顶点，AB=8cm，BD=7cm，AD=3cm，则DC= ㎝.520．已知轮船顺水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是__________千米/时．21．200623的个位数是．29的个位数是；2006三、解答题22．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x（元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x（元）15202530…y（件）25201510…⑴在草稿纸上描点，观察点的分布，建立y与x的恰当函数模型．⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？23．某人身高 1.7m，为了测试路灯的高度，他从路灯正下方沿公路以 1 m/s 的速度匀速走开.某时刻他的影子长为 1.3 m，再经过 2 s，他的影子长为 1.8m，路灯距地面的高度是多少？24．一个物体的三视图如图所示，请描述该物体的形状.25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，试猜想线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．26．已知23-=a ，23+=b ，分别求下列代数式的值：(1）ab(2）22b ab a ++27．已知1y 与1x +成正比，2y 与1x -成正比，12y y y =+. 当x=2时，y =9；当x=3时，y = 14. 求y 关于x 的函数解析式.28．如图是一个食品包装盒的展开图． (1)请写出这个包装盒的多面体形捩的名称；(2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积．29．解不等式组513(1)131122x x x x +>+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并写出不等式组的正整数解．30．计算1)(精确到 0.01).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．C3．Ｃ4．C5．D6．D7．A8．C9．C10．B11．C二、填空题 12． 613．90 14．1－12n 15．着16．-217．3．518．1,0,0,119．20． m-221．1,9三、解答题 22．解：⑴经观察发现各点分布在一条直线上，∴设b kx y += (k ≠0）， 用待定系数法求得40+-=x y ．⑵设日销售利润为z ，则y xy z 10-==400502-+-x x ，当x=25时，z 最大为225．每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元．23．如图所示，△FA ′B ′∽△FCD ⇒1.7183.8x y⋅=+ △EAB ∽△ECD ⇒1.7 1.31.3x y=+,解方程组得：x= 8.5，y=5.2 答：路灯距地面 8.5m 高.24．该物体是一个圆柱被左右两侧平面及水平面切片成缺口面形成的几何图形，它的形状如解图所示.25．OE=OF ．证明：连结OA ，OB ．∵OA ，OB 是⊙O 的半径，∴OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB ．又∵AE=BF ．∴△OAE ≌△OBF ，∴OE=OF ．．如图，在⊙O 中，两条弦AC 、BD 垂直相交于点M ，若AB=6，CD=8，求⊙O 的半径．R=5．26．⑴－1；⑵13．27．设11(1)y k x =+(1k 为常数，10k ≠)，即111y k x k =+， 22(1)y k x =-(2k 为常数，20k ≠)，即222y k x k =-，∵12y y y =+，∴1212()()y k k x k k =++-，令12k k a +=，12k k b -=，∴y ax b =+． 由题意，得29314a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得51a b =⎧⎨=-⎩，∴所求的函数解析式是51y x =-．28．(1)直六棱柱 (2)6ab 29．-2<x≤1，130．3.24。
江苏南京师范大附属中学2024届中考数学模拟试题含解析
江苏南京师范大附属中学2024届中考数学模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，从正方形纸片的顶点沿虚线剪开，则∠1的度数可能是( )A．44 B．45 C．46 D．472．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．29B．34C．52D．413．16的相反数是( )A．6 B．－6 C．16D．16-4．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A．8a2b=2a·4ab B．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)C．4x2+8x-4=4x12-xx⎛⎫+⎪⎝⎭D．4my-2=2(2my-1)5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）A．83B．8 C．43D．66．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20 B．27 C．35 D．407．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x的值是（）．A．3-B．3C．2D．88．函数y=4x-中自变量x的取值范围是A．x≥0B．x≥4C．x≤4D．x>49．今年春节某一天早7:00，室内温度是6℃，室外温度是－2℃，则室内温度比室外温度高( )A．－4℃B．4℃C．8℃D．－8℃10．如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．11．已知反比例函数1yx=下列结论正确的是（）A．图像经过点（-1，1）B．图像在第一、三象限C．y 随着x 的增大而减小D．当x > 1时，y < 112．下列运算中，正确的是（）A．（a3）2=a5B．（﹣x）2÷x=﹣xC．a3（﹣a）2=﹣a5D．（﹣2x2）3=﹣8x6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于__________．x 时，y随x的增大而减小．写出一个符14．已知y与x的函数满足下列条件：①它的图象经过（1，1）点；②当1合条件的函数：__________．15．已知，则=_____．16．关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________．17．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．18．有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为有效治理污染，改善生态环境，山西太原成为国内首个实现纯电动出租车的城市，绿色环保的电动出租车受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大的方便，下表是行驶路程在15公里以内时普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：车型起步公里数起步价格超出起步公里数后的单价普通燃油型 3 13元 2.3元/公里纯电动型 3 8元 2元/公里张先生每天从家打出租车去单位上班（路程在15公里以内），结果发现，正常情况下乘坐纯电动出租车比乘坐燃油出租车平均每公里节省0.8元，求张先生家到单位的路程．20．（6分）如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°．位于军舰A 正上方1000米的反潜直升机B 侧得潜艇C 的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 3≈1.7）21．（6分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB 的平分线交AB 边于点O ，再以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果．22．（8分）如图，ABC ∆的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.在图1中画出AB 边上的中线CD ；在图2中画出ABEF ，使得ABEF ABC S S ∆=.23．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30︒，∠CBD=60︒．(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：3 1.732 1.41≈≈，)；(2)已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．24．（10分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）25．（10分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P 是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图12所示的折线统计图．这组成绩的众数是；求这组成绩的方差；若嘉淇再射击一次（成绩为整数环），得到这8次射击成绩的中位数恰好就是原来7次成绩的中位数，求第8次的射击成绩的最大环数．27．（12分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．请根据以上信息回答：(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅不完整的图补充完整；(3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数；(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、A连接正方形的对角线，然后依据正方形的性质进行判断即可．【题目详解】解：如图所示：∵四边形为正方形，∴∠1＝45°．∵∠1＜∠1．∴∠1＜45°．故选：A ．【题目点拨】本题主要考查的是正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．2、D【解题分析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE =22AB AE + =2254+=41，即PA +PB 的最小值为41．故选D ．3、D【解题分析】根据相反数的定义解答即可．【题目详解】根据相反数的定义有：16的相反数是16-． 故选D ．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，1的相反数是1．4、D【解题分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【题目详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【题目点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．5、D【解题分析】分析: 连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB.详解:如图，连接OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∴∠FCA=30°，∴∠FBC=30°，∵FC=2，∴，∴∴6，故选D．点睛: 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键.6、B【解题分析】试题解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=(3)2n n+个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．故选B．考点：规律型：图形变化类.7、D【解题分析】根据正方体平面展开图的特征得出每个相对面,再由相对面上的两个数互为相反数可得出x的值．【题目详解】解：“3”与“-3”相对,“y”与“-2”相对,“x”与“-8”相对, 故x=8,故选D．【题目点拨】本题主要考查了正方体相对面上的文字,解决本题的关键是要熟练掌握正方体展开图的特征.8、B根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【题目详解】根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1，则自变量x的取值范围是x≥1．故选B．【题目点拨】本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，注意：二次根式的被开方数是非负数．9、C【解题分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．【题目详解】解：根据题意得：6-（-2）=6+2=8，则室内温度比室外温度高8℃，故选：C．【题目点拨】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．10、B【解题分析】主视图是从正面看得到的视图，从正面看上面圆锥看见的是：三角形，下面两个正方体看见的是两个正方形．故选B．11、B【解题分析】分析：直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．详解：A．反比例函数y=1x，图象经过点（﹣1，﹣1），故此选项错误；B．反比例函数y=1x，图象在第一、三象限，故此选项正确；C．反比例函数y=1x，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；D．反比例函数y=1x，当x＞1时，0＜y＜1，故此选项错误．故选B．点睛：本题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．12、D根据同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可．【题目详解】∵（a3）2=a6，∴选项A不符合题意；∵（-x）2÷x=x，∴选项B不符合题意；∵a3（-a）2=a5，∴选项C不符合题意；∵（-2x2）3=-8x6，∴选项D符合题意．故选D．【题目点拨】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，要熟练掌握．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1 2【解题分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．【题目详解】解：∵∠E=∠ABD，∴tan∠AED=tan∠ABD=ACAB=12．故选D．【题目点拨】本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．14、y=-x+2（答案不唯一）【解题分析】①图象经过（1，1）点；②当x＞1时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为y=-x+2，故答案为y=-x+2（答案不唯一）．15、【解题分析】由可知值，再将化为的形式进行求解即可.【题目详解】解：∵，∴，∴原式=.【题目点拨】本题考查了分式的化简求值.16、k≥﹣1【解题分析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．详解：∵关于x的一元二次方程x2+1x-k=0有实数根，∴△=12-1×1×（-k）=16+1k≥0，解得：k≥-1．故答案为k≥-1．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．17、256或5013．【解题分析】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN 是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∵BC=20，∴在Rt△ABC中，2cos cos45201022AC BC C BC=⋅=⋅︒=⨯=，∵DE是△ABC的中位线，∴111025222CE AC==⨯=，∴在Rt△CFE中，2sin sin455252EF CE C BC=⋅=⋅︒=⨯=，5FC EF==.∵BM=3，BC=20，FC=5，∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12. ∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，5 tan12EFEMFMF∠==，∵DE是△ABC的中位线，BC=20，∴11201022DE BC==⨯=，DE∥BC，∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，∴5 tan tan12DEO EMF∠=∠=，∴在Rt△ODE中，525tan10126 DO DE DEO=⋅∠=⨯=.(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)∵EF=5，MF=12，∴在Rt△MFE中，222212513ME MF EF=++=，∴在Rt△MFE中，5 sin13EFEMFME∠==，∵∠DEO=∠EMF，∴5 sin sin13DEO EMF∠=∠=，∵DE=10，∴在Rt△DOE中，550sin101313 DO DE DEO=⋅∠=⨯=.综上所述，DO的长是256或5013.故本题应填写：256或5013.点睛：在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.18、13．【解题分析】分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可．【题目详解】有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有6种结果，其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是21 63 ．故答案为1 3【题目点拨】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、8.2 km【解题分析】首先设小明家到单位的路程是x千米，根据题意列出方程进行求解．【题目详解】解：设小明家到单位的路程是x千米．依题意，得13+2.3（x－3）=8+2（x－3）+0.8x．解得：x=8.2答：小明家到单位的路程是8.2千米．【题目点拨】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题关键．20、潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解题分析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD=tan AD ACD=tan30x= 3x在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，∴325+x=3x•tan68°解得：x≈100米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．视频21、（1）见解析（2）相切【解题分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．【题目详解】（1）如图所示：；（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，即d=r，∴⊙O与直线AC相切，【题目点拨】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出d=r是解题关键．22、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】（1）利用矩形的性质得出AB的中点，进而得出答案．（2）利用矩形的性质得出AC、BC的中点，连接并延长，使延长线段与连接这两个中点的线段相等.【题目详解】（1）如图所示：CD即为所求.（2）【题目点拨】本题考查应用设计与作图，正确借助矩形性质和网格分析是解题关键．23、（1）24.2米(2) 超速，理由见解析【解题分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长．（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【题目详解】解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，CDADtan30︒=21213?33==，在Rt△BDC中，CD21BD73tan603===︒，∴AB=AD－BD=213?73=14314 1.73=24.2224.2-≈⨯≈（米）．（2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．24、54小时【解题分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．【题目详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题25、（1）y=﹣12x2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．【解题分析】分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ =，即214132222m m m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4），将点C （0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-12， 则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x 2+32x+2； （2）由题意知点D 坐标为（0，-2），设直线BD 解析式为y=kx+b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y=12x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），∴Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2）， 则QM=-12m 2+32m+2-（12m-2）=-12m 2+m+4， ∵F （0，12）、D （0，-2）， ∴DF=52， ∵QM ∥DF ，∴当-12m 2+m+4=52时，四边形DMQF 是平行四边形，解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则21=42 DO MBOB BQ==，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BPBQ PQ=，即214132222mm m-=-++，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．【题目详解】请在此输入详解！26、（1）10；（2）87；（3）9环 【解题分析】（1）根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数，结合统计图得到答案．（2）先求这组成绩的平均数，再求这组成绩的方差；（3）先求原来7次成绩的中位数，再求第8次的射击成绩的最大环数．【题目详解】解：（1）在这7次射击中，10环出现的次数最多，故这组成绩的众数是10；（2）嘉淇射击成绩的平均数为：()1107101098997++++++=， 方差为：()()()()22221[109791091097-+-+-+- ()()()2228998999]7+-+-+-=. （3）原来7次成绩为7 8 9 9 10 10 10，原来7次成绩的中位数为9，当第8次射击成绩为10时，得到8次成绩的中位数为9.5，当第8次射击成绩小于10时，得到8次成绩的中位数均为9，因此第8次的射击成绩的最大环数为9环.【题目点拨】 本题主要考查了折线统计图和众数、中位数、方差等知识．掌握众数、中位数、方差以及平均数的定义是解题的关键．27、（1）本次参加抽样调查的居民有600人；（2）补图见解析；（3）72°；（4）14. 【解题分析】试题分析：（1）用B 的频数除以B 所占的百分比即可求得结论；（2）分别求得C 的频数及其所占的百分比即可补全统计图；（3）算出A 的所占的百分比,再进一步算出C 所占的百分比，再扇形统计图中C 所对圆心角的度数；（4）列出树形图即可求得结论．试题解析：（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2）如图；（3）180100%30%600⨯=，360°×（1－10%－30%－40%）=72°．（4）如图；（列表方法略，参照给分）．P（C粽）=31 124=．答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是14．考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．列表法与树状图法．。
2024年江苏省南京师范大学附属中学中考数学二模试卷及参考答案
2024年江苏省南京师范大学附属中学中考数学二模试卷全卷满分120分．考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1．14−的相反数是（ ） A ．14− B ．14 C ．4− D ．422的值应在（ ）A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间3．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（ ）A ．54573y x y x =+⎧⎨=+⎩B ．54573y x y x =−⎧⎨=+⎩C ．54573y x y x =+⎧⎨=−⎩D ．54573y x y x =−⎧⎨=−⎩4．如图，已知点()1,0A ，()4,B m ，若将线段AB 平移至CD ，其中点()2,1C −，(),D a n ，则a m n −+的值为（ ）A ．4−B ．2−C ．2D ．45．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行10000000000次运算，它工作2024秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）A ．140.202410⨯B ．1220.2410⨯C ．132.02410⨯D ．142.02410⨯6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),A m n ，()4,2B m n +−是函数(0,0)k y k x x=>>图象上的两点，过点B 作x 轴的垂线与射线OA 交于点C ．若8BC =，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．．8二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）7x 的取值范围是 ．8．不等式组23040x x −+≤⎧⎨−>⎩的所有整数解的和为 ． 9．圆锥的底面半径为5cm ，母线长为15cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °．10．如图，平行四边形ABCD 中，6045B AB AD E F ∠=︒==，，，，分别是边CD AD ，上的动点，且CE DF =，则AE CF +的最小值为 ．11．小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若90A ∠=︒，65B ∠=︒，10cm AB =，则原直角三角形玻璃的面积为 2cm ．（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan 65 2.14︒≈）12．将抛物线22y x =向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 13．不透明袋子中装有3个黑球、5个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是 ．14．如图，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切O 于点C ，若34D ∠=︒，则A ∠的度数为 ．15．如图，在苏通长江大桥的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = （m ）．16．图1是利用边长为“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF 作为题字区域（点A E D B 、、、在圆上，点C F 、在AB 上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：111tan 603−⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭．18．先化简2211a a a a a −−⎛⎫−÷ ⎪⎝⎭，再从23a −<<的范围内选择一个合适的整数代入求值．19．解方程和不等式组： (1)23122x x x x +−=−−；(2)123312223x x x −≥⎧⎪+−⎨−<⎪⎩．20．驾驶员理论考试中，常遇到4选2的多选题．如：驾驶机动车遇到如图这种情况时，正确的做法是“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”．现制作4张形状大小完全相同的卡片，其中每张卡片的正面分别写有“停车等待动物穿过”“鸣喇叭驱赶动物”“下车驱赶动物”“与动物保持较远距离”，洗匀后背面朝上．(1)随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是______；(2)一次性抽取2张卡片，卡片恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）21．如图，已知矩形ABCD ．(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF ，使点E F 、分别在AD BC 、边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）(2)若84AD AB ==，，求菱形BEDF 的周长．22．如图，已知在ABC 中，AB AC =，以A 为圆心，AB 的长为半径作圆，CE 是A 的切线与BA 的延长线交于点E ．(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A 作BC 的垂线交EC 的延长线于点D ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接BD ．①试判断直线BD 与A 的位置关系，并说明理由； ②若tan 34E =，A 的半径为3，求BD 的长．23．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A 种树苗的价格是树苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A 种树苗比在树苗基地购买的少2捆． (1)求树苗基地每捆A 种树苗的价格．(2)树苗基地每捆B 种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A ，B 两种树苗共100捆，且A 种树苗的捆数不超过B 种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A 、B 两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．24．已知函数1k y x=(k 是常数，0k ≠)，函数2392y x =−+ (1)若函数1y 和函数2y 的图象交于点()2,6A ，点()4,2B n −．①求k ，n 的值；②当12y y >时，直接写出x 的取值范围；(2)若点()8,C m 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求m 的值．25．如图，直线AB 交双曲线k y x=于A 、B 两点，交x 轴于点C ，且B 恰为线段AC 的中点，连接OA ．若6OAC S =△．求k 的值．26．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A 旋转一个角度1(080)θθ︒<<︒，再将旋转后的多边形以点A 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作(T A ，顺θ，)k ；若逆时针旋转，记作(T A ，逆θ，)k ．例如：如图①，先将ABC 绕点B 逆时针旋转50︒，得到11A BC ，再将11A BC 以点B 为位似中心缩小到原来的12，得到22A BC ，这个变换记作(T B ，逆50︒，1)2．(1)如图②，ABC 经过(T C ，顺60︒，2)得到A B C ''△，用尺规作出A B C ''△．（保留作图痕迹）(2)如图③，ABC 经过(T B ，逆α，1)k 得到EBD △，ABC 经过(T C ，顺β，2)k 得到FDC △，连接AE ，AF ．求证：四边形AFDE 是平行四边形． (3)如图④，在ABC 中，150A ∠=︒，2AB =，1AC =．若ABC 经过（2）中的变换得到的四边形AFDE 是正方形．Ⅰ．用尺规作出点D （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出AE 的长．27．抛物线21:C y x bx c =++交x 轴于A B 、两点（A 在B 的左边），已知A 坐标()2,0−，抛物线交y 轴于点()0,8C −．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，点F 在抛物线段BC 上，过点F 作x 轴垂线，分别交x 轴、线段BC 于D E 、两点，连接CF ，若BDE △与CEF △相似，求点F 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点，直线2y x =与抛物线交于O G 、两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于M N 、两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2024年南京师范大学附属中学中考数学二模试题参考答案及解析 1．B【分析】此题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数求解即可． 解：由相反数的定义可知，14−的相反数是14， 故选：B ．2．A【分析】本题主要考查了无理数的估算，2的取值范围即可．解：∵496264<<，∴78<<，∴526<<，故选：A ．3．A【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，列出方程组即可．解：设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意得：54573y x y x =+⎧⎨=+⎩， 故选：A ．4．C【分析】本题考查坐标与图象的变化，根据A ，C 两点的坐标可得出平移的方向和距离，求出a 和m n −的值，整体代入进而解决问题．解：∵线段CD 由线段AB 平移得到，且(1,0)A ，(2,1)C −，(4,)B m ，(,)D a n ，∴平移方式为：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，∴1m n −=−，43a −=∴1a =，∴()()112a m n a m n −+=−−=−−=．故选：C ．5．C【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案． 解：13202410000000000 2.02410⨯⨯=，故选C ．6．B【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据AD CE ∥，得AD OD CE OE=，求出32n m =．作AD x ⊥轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，根据AD CE ∥，得AD OD CE OE =，所以32n m =，即可得到点点3,2A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34,22B m m ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，代入(0,0)k y k x x =>>即可求出答案．解：如图，作AD x ⊥轴于点D ，设直线CB 与x 轴交于点E ，点(),A m n ，()4,2B m n +−，8BC =，∴点(),0D m ，()4,0E m +，6CE n =+，∵AD x ⊥轴，CE x ⊥轴，∴AD CE ∥，∴OAD OCE ∽， ∴AD OD CE OE=， ∴64n m n m =++， 32n m ∴=，∴点3,2A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34,22B m m ⎛⎫+− ⎪⎝⎭， 点A ，B 是函数(0,0)ky k x x=>>图象上的两点， ∴()334222k m m m m ⎛⎫=⋅=+⋅− ⎪⎝⎭， 解得2m =， ∴362k m m =⋅= 故选：B ．7．3x ≥−/3x −≤【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．解：∴30x +≥，解得3x ≥−，故答案为：3x ≥−．8．5【分析】此题主要考查解一元一次不等式组．先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后找出两个解集的公共部分所有整数求和即可．解：23040x x −+≤⎧⎨−>⎩①②， 解不等式①得：32x ≥， 解不等式②得：4x <，∴不等式组的解集为：342x ≤< 不等式组的整数解是：2，3，∴不等式组的整数解的和为：235+=，故答案为：5．9．120【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可．解：∵圆锥的底面半径为5cm ，∴底面周长为：10πcmπ1510π180n ⨯= 解得：120n =，故答案为：12010【分析】延长BC ，截取CG CD =，连接GE ，AG ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，证明CDF GCE ≌，得出CF GE =，说明当AE EG +最小时，AE CF +最小，根据两点之间线段最短，得出当A 、E 、G 三点共线时，AE EG +最小，即AE CF +最小，且最小值为AG 的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可．解：延长BC ，截取CG CD =，连接GE ，AG ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴4AB DC ==，5AD BC ==，AD BC ∥，∴D ECG ∠=∠，∵CD CG =，DF CE =，∴CDF GCE ≌，∴CF GE =，∴AE CF AE EG +=+，∴当AE EG +最小时，AE CF +最小，∵两点之间线段最短，∴当A 、E 、G 三点共线时，AE EG +最小，即AE CF +最小，且最小值为AG 的长，∵AH BC ⊥，=60B ∠︒，∴=30BAH ∠︒， ∴122BH AB ==，∴AH ==∵549BG BC CG =+=+=，∴927GH =−=，∴AG ==即AE CF +．．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．11．107【分析】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积．利用直角三角形边角关系求出AC 的长是解题的关键． 根据tan AC B AB=，求得tan 21.4cm AC B AB =⋅=，再根据直角三角形面积公式求解即可． 解：∵90A ∠=︒ ∴tan AC B AB= ∴()tan tan 6510 2.141021.4cm AC B AB =⋅=︒⨯≈⨯= ∴()2111021.4107cm 22ABC S AB AC =⋅=⨯⨯= 故答案为：107．12．22(3)2y x =−+【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；将抛物线22y x =向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：()2232y x =−+，故答案为：22(3)2y x =−+；13．38/0.375 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用黑球的个数除以球的总数即可得到答案．解：∵一共有3个黑球、5个白球，且每个球被摸到的可能性相同，∴从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是33358=+，故答案为：38．14．28︒/28度【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接OC ，根据切线的性质得90OCD ∠=︒，求出DOC ∠的度数，再根据圆周角定理计算A ∠的度数．解：如图，连接OC ，∵DC 切O 于点C ，∴OC DC ⊥，∴90OCD ∠=︒，∵34D ∠=︒，∴903456DOC ∠=︒−︒=︒， ∴1282A DOC ∠=∠=︒， 故答案为：28︒．15．1154cos α【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．解：解：由题意可得，2cos 2577cos 1154cos BD CE ααα⋅⨯⨯＝＝＝， 故答案为：1154cos α．16．5【分析】本题考查了正方形的性质、垂径定理、勾股定理、七巧板图案，根据不共线三点确定一个圆，根据对称性确定圆心的位置，进而根据垂径定理和勾股定理进行计算即可得出答案．解：如图，，正方形的边长为∴图1中的222GH ==， ∴由图可得：2QG GH ==，2KH GH ==，过左侧的三个端点Q 、K 、L 作圆，4QH LH ∴==，KH QL ⊥，∴点O 在KN 上，连接OQ ，则OQ 为半径，设半径为r ，则2OH r =−，在Rt OHQ △中，由勾股定理得：222OHQH OQ +=，()22242r r ∴=+−， 解得：=5r ，∴圆的半径为5，故答案为：5．17．2【分析】本题考查锐角三角函数的计算，解题的关键是掌握111a a −⎛⎫= ⎪⎝⎭，tan 60︒= 111tan 603−⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭，31=，2=．18．11a a −+，13【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法运算，最后结合分式有意义的条件把2a =代入计算即可． 解：原式()()()()()22111211111a a a a a a a a a a a a a +−−−+−=÷=⋅=+−+， 要使分式有意义，0a ≠且10a −≠且10a +≠，所以a 不能为0，1，1−，取2a =，当2a =时，原式211213−==+． 19．(1)43x =− (2)1x ≤−【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握解题步骤是解此题的关键．（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验即可得出答案； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．（1）解：整理得：23122x x x x +−=−−−， 去分母得：()223x x x +−−=−，去括号得：223x x x +−+=−，移项得：322x x x −+=−−，合并同类项得：34x =−，系数化为1得：43x =−， 检验，当43x =−时，41022033x −=−−=−≠， ∴43x =−是原分式方程的解； （2）解：123312223x x x −≥⎧⎪⎨+−−<⎪⎩①②， 解不等式①得：1x ≤−，解不等式②得：1311x <， ∴原不等式组的解集为1x ≤−．20．(1)14； (2)16． 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图不重复、不遗漏地列举出所有等可能的情况．（1）利用简单概率公式计算即可；（2）通过画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可．（1）解：一共有4张卡片，随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是14， 故答案为； 14； （2）解：记“停车等待动物穿过”的卡片为A ，“鸣喇叭驱赶动物”的卡片为B ，“下车驱赶动物”的卡片为C ，“与动物保持较远距离”的卡片为D ，则画树状图如解图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰为“停车等待动物穿过”A 和“与动物保持较远距离”D 卡片的结果有2种，∴P （恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”）21126== 21．(1)图见解析(2)20【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据相关知识正确作图是解题关键．（1）作对角线BD 的垂直平分线， 证明()ASA OED OFB ≌，即可证四边形BEDF 是菱形；（2）设菱形边长为x ，则8AE x =−，根据勾股定理列方程，求出5x =，即可得到菱形BEDF 的周长． （1）解：如图，菱形BEDF 即为所求作；EF 垂直平分BD ，BE DE ∴=，OB OD =，矩形ABCD ，AD BC ∴∥，ADB CBD ∴∠=∠，又DOE BOF ∠=∠，()ASA OED OFB ∴≌，DE BF ∴=，DE BF ∥∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DE =，∴四边形BEDF 是菱形；（2）解：设菱形边长为x ，84AD AB ==，，8AE x ∴=−，在Rt ABE △中，根据勾股定理得，222AB AE BE +=，()22248x x ∴+−=， 解得5x =，∴菱形BEDF 周长420x =．22．(1)见解析(2)①BD 与A 相切，理由见解析；②6【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点B 、点C 为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A 与该点并延长交EC 的延长线于点D ．（2）①根据垂直平分线性质求得90ABC DBC BCD ACB ∠+∠=∠+∠=︒，则BD 与A 相切； ②在Rt AEC 中，由勾股定理可得AE 即可得BE ，在Rt BDE 中，由tan 34E =即可求解． （1）如图，AD 为所作垂线；（2）①BD 与A 相切，理由如下∶在ABC 中，AB AC AD =，是BC 的垂线，∴A ABC CB =∠∠，且AD 是BC 的垂直平分线，∴DB DC =，∴DCB DBC ∠=∠，CD 与A 相切于点C ，∴90BCD ACB ∠+∠=︒，即90ABC DBC ∠+∠=︒，∴BD 与A 相切；②在Rt AEC 中，3tan 3,4AC E AC CE===， 4EC ∴=根据勾股定理，得：5,AE ==358AB A BE E ∴=+=+=在Rt BDE 中，,tan 34BD BE E == 6.BD ∴= 【点评】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．23．(1)300(2)2800【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用；（1）设树苗基地每捆A 种树苗的价格为a 元/捆，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购买x 捆A 种树苗，则购买()100x −捆B 种树苗，共花费y 元，先求得50x ≤，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．（1）（1）设树苗基地每捆A 种树苗的价格为a 元/捆，依题意，得300300254a a −= 解得：30a =经检验，30a =是原方程的解，且符合题意，答：树苗基地每捆A 种树苗的价格为30元/捆；（2）解：设购买x 捆A 种树苗，则购买()100x −捆B 种树苗，共花费y 元，()0.8304010032008y x x x =+−=−⎡⎤⎣⎦∵100x x ≤−解得：50x ≤∵80−<，y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，取得最小值，最小值为3200450y =−⨯=280024．(1)①12k =，5n =；02x <<或>4x ； (2)53m =−． 【分析】（1）①采用待定系数法即可求出；②采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出；（2）结合题意，表示出点D 的坐标，然后将C ，D 两点代入到中即可求出；本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图象和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键．（1）解：①把点()2,6A 代入到1k y x=中，得：62k =，解得：12k =， 把()4,2B n −代入到2392y x =−+中，得：32492n −=−⨯+，解得：5n =， ∴()4,3B ，综上：12k =，5n =；②如图所示：∵()2,6A ，()4,3B ，结合图象，∴当12y y >时，x 的取值范围是：02x <<或>4x ；（2）解：根据题意，()8,C m ，∴()5,1D m −，把点C ，D 代入到1y 中，得：815k m k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，解得：40353k m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， 综上：53m =−． 25．4k =【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；设A 点坐标为(,)k a a，C 点坐标为(,0)b ，根据线段中点坐标公式可得B 点坐标为(,)22a b k a +，利用点在反比例函数图象可得3b a =，再根据三角形面积公式即可求出k ；解：设A 点坐标为(,)k a a，C 点坐标为(,0)b ， B 恰为线段AC 的中点，B ∴点坐标为(,)22a b k a+， B 在反比例函数图象上，22a b k k a+∴⋅=， 3b a ∴=，6OAC S =，162k b a∴⋅=， 1362k аa∴⋅⋅=， 4k ∴=；26．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）旋转60︒，可作等边三角形DBC ，ACE ，从而得出B 点和点A 对应点D ，E ，进而作出图形；（2）根据EBD 和ABC 位似，FDC ∆与ABC 位似得出EBD ABC ∠=∠，BE BD AB BC=，DF AB CD BC =，进而推出EBA DBC ∽，从而AE AB CD BC=，进而得出AE DF =，同理可得：DE AF =，从而推出四边形AFDE 是平行四边形； （3）要使AFDE 是正方形，应使90EAF ∠=︒，AE AF =，从而得出270120BAE FAC BAC ∠+∠=︒−∠=︒，从而得出120DBC DCB ∠+∠=︒，从而60BDC ∠=︒，于是作等边BCG ，保证60BDC G ∠=∠=︒，作直径BD ，保证2BD CD =，这样得出作法．（1）解：如图1，1．以B 为圆心，BC 为半径画弧，以C 为圆心，BC 为半径画弧，两弧在BC 的上方交于点D ，分别以A ，C 为圆心，以AC 为半径画弧，两弧交于点E ，2．延长CD 至B '，使DB CD '=，延长CE 至A '，使A E CE '=，连接A B ''， 则A B C ''△就是求作的三角形；（2）证明：EBD 和ABC 位似，FDC △与ABC 位似，EBD ABC ∴∠=∠，BE BD AB BC =，DF AB CD BC =， EBA DBC ∴∠=∠，EBA DBC ∴∽，∴AE AB CD BC=，∴AE DF CD CD =，AE DF ∴=， 同理可得：DE AF =，∴四边形AFDE 是平行四边形；（3）解：如图2，1．以BC 为边在BC 上方作等边三角形GBC ，2．作等边三角形BCG 的外接圆O ，作直径BD ，连接CD ，3．作DBE ABC ∠=∠，BDE ACB ∠=∠，延长BA ，交O 于F ，连接CF ，DF ，则四边形AFDE 是正方形，证明：由上知：EBA DBC ∽，FAC DBC ∽，BAE DCB ∴∠=∠，FAC DBC ∠=∠，2AE AB CD BC BC ==，1AF AC BD BC BC==， BAE FAC DCB DBC ∴∠+∠=∠+∠， 要使AFDE 是正方形，应使90EAF ∠=︒，AE AF =，270BAE FAC BAC ∴∠+∠+∠=︒，2BD CD =，270270150120BAE FAC BAC ∴∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒，120DBC DCB ∴∠+∠=︒，60BDC ∴∠=︒，∴作等边BCG ，保证60BDC G ∠=∠=︒，作直径BD ，保证2BD CD =，这样得出作法；30ABE DBC ∠=∠=︒，90EAB BCD ∠=∠=︒，2AB =，AE AB ∴ 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的分析能力．27．(1)228y x x =−−(2)点F 的坐标为()2,8−或335,24⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)点P 在一条定直线22y x =−上【分析】（1）由待定系数法求解即可；（2）分两种情况：若1111△∽△BE D CE F 时，则1BCF CBO ∠=∠；若2222△∽△BE D F E C 时，过2F 作2F T y ⊥轴于T ；分别求解即可；（3）求出直线GN 的解析式为：()22y n x n =+−，直线MO 的解析式为y mx =，联立求出2224,22n m n P n m n m +−⎛⎫ ⎪−+−+⎝⎭，从而即可得解． （1）解：将()2,0A −，()0,8C −代入抛物线解析式得4208b c c −+=⎧⎨=−⎩，解得：28b c =−⎧⎨=−⎩， ∴抛物线的解析式为：228y x x =−−；（2）解：在228y x x =−−中，令0y =，则228=0x x −−，解得：14x =，22x =−，()4,0B ∴，点F 在抛物线段BC 上，∴设点F 的坐标为()()2,2804t t t t −−<<，如图，若1111△∽△BE D CE F 时，则1BCF CBO ∠=∠，，1CF OB ∴∥，()0,8C −，2288t t ∴−−=−，解得：0=t （舍去）或2t =；如图，若2222△∽△BE D F E C 时，过2F 作2F T y ⊥轴于T ，22290BCF BD E ∠=∠=︒，90CBO BCO ∴∠+∠=︒，290F CT BCO ∠+∠=︒，2F CT CBO ∴∠=∠，2∠=∠CTF BOC ，2BCO CF T ∴△∽△，2F T CT CO BO∴=， ()4,0B ，()0,8C −，4OB ∴=，8OC =，2F T t =，()228282CT t t t t =−−−−=−，2284t t t −∴=， 整理得：2230t t −=，解得：0=t （舍去）或32t =；综上所述，符合题意的t 的值为2或32，则点F 的坐标为()2,8−或335,24⎛⎫− ⎪⎝⎭； （3）解：点P 在一条定直线上，由题意得知抛物线2C ：2y x =，直线OG 的解析式为2y x =，∴联立22y x y x =⎧⎨=⎩， 解得：00x y ==⎧⎨⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ()2,4G ∴，H 为OG 的中点，()1,2H ∴，设()2,M m m ，()2,N n n ， 设直线MN 的解析式为：y kx b =+，将()2,M m m ，()2,N n n 代入解析式得：22km b m kn b n ⎧+=⎨+=⎩， 解得：k m n b mn=+⎧⎨=−⎩， ∴直线MN 的解析式为：()y m n x mn =+−，直线MN 经过点()1,2H ，2mn m n ∴=+−，同理可得：直线GN 的解析式为：()22y n x n =+−，直线MO 的解析式为y mx =，，联立()22y mx y n x n =⎧⎨=+−⎩得：()22n x n mx +−=， 直线MO 与直线GN 交于点P ，20n m ∴−+≠，则22n x n m =−+， 22mn m y n ∴=−+， 2=+−mn m n ，2224,22n m n P n m n m +−⎛⎫∴ ⎪−+−+⎝⎭， 设点P 在直线y sx p =+上，则224222m n n k p n m n m +−=−⨯+++−， 整理得：()2242222m n sn pn pm p pm s p n p +−=+−+=−+++，比较系数可得：2p −=，22s p +=，解得：2p =−，2s =，∴当2p =−，2s =时，无论m ，n 为何值时，等式224222m n n k p n m n m +−=−⨯+++−恒成立， ∴点P 在一条定直线22y x =−上． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，次函数图象上点的坐标特征等，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．。
2025届江苏省南京市附中高三二诊模拟考试数学试卷含解析
2025届江苏省南京市附中高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数2．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25B ．32C ．35D ．405．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π6．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）7．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫==⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞9．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．8310．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）11．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥12．己知46a =，544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年江苏省南京市中考数学第二次模拟考试试卷附解析
2022年江苏省南京市中考数学第二次模拟考试试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．生活处处皆学问．如图，眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切 2．已知⊙O 的半径为6cm ，如果一条直线和圆心O 的距离为5cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相离3．下列图案中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52723y x y x 的解是（ ） A ．⎩⎨⎧==23y x B ．⎩⎨⎧==21y x C ．⎩⎨⎧==24y x D ．⎩⎨⎧==13y x 5．若448n =，则n 等于（ ）A ．2B ． 4C ． 6D ． 8 6．下列各组代数式中，不是同类项的一组是（ ） A ．12-和0 B ．213ab c -和2cab C ．2xy 和2x y D ．3xy 和xy - 二、填空题7．如图，⊙O 的半径为 4 cm ，BC 是直径，若AB= 10 cm ，则 AC = cm 时，AC 是⊙O 的切线.8．如图所示，将两条宽度为 3cm 的纸带交叉叠放，若α已知，则阴影部分的面积为 ． 解答题9．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，Rt △ABC 的内切圆半径为r ．10．直角梯形两腰长之比为1：2，则它的锐角是 ．11． 若31a =，31b =22a b -+= ．12．若x ＞y, 则x +2 ___ y +2（填“＞”或“＜”）.13．小明骑自行车的速度是15千米／时，步行的速度是5千米，时．若小明先骑自行车1小时，然后又步行2小时．那么他的平均速度是 .14．等腰直角三角形的斜边上的中线长为 1，则它的面积是 .15．抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率 ．16． 若2a b -=，则221()2a b ab +-= ． 17．填空：(1) (3a b +)（ ）=229a b -； (2) (1223m n -)=221449m n -； (3)如果22()x y p x y --⋅=-，那么 p 等于 ．解答题三、解答题18．如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB,那么直线AB 是⊙O 的切线吗?为什么?19．如图，在直角坐标系中△ABC 的A 、B 、C 三点坐标为A (7，1)、B (8，2)、C (9，0)． 请在图中画出△ABC 的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC 同在P 点一侧)．20．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．21．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F．请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想．22．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．23．如图，△ACB，△ECD都是等腰直角三角形，且点C在AD上，AE的延长线与BD交于点F，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．24．为了防止“传染性”病毒入侵校园，根据上级疾病控制中心的要求：每m2的教室地面，需用质量分数为0．2％的过氧乙酸溶液200g进行喷洒消毒．(1)请估算：你所在班级的教室地面面积约为 m2(精确到1m2)；(2)请计算：需要用质量分数为20％的过氧乙酸溶液多少g加水稀释，才能按疾病控制中心的要求，对你所在班级的教室地面消毒一次?25．已知动点P以每秒2 cm的速度沿图①边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S(cm2)关于时间t(s)的函数图象如图②．若AB=6 cm，试解答下列问题：(1)图①中BC的长和图②中的a各是多少?(2)图①中的图形面积是多少?图②中的b是多少?26．某校为了了解全校2000名学生的课外阅读情况，在全校范围内随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，将结果绘制成频数分布直方图(如图所示)。
2019年南京师大附中中考数学二模试卷解析版
2019年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷解析版一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）下列计算，结果等于x5的是（）A．x2+x3B．x2•x3C．x10÷x2D．（x2）3【解答】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x2•x3＝x5，故此选项正确；C、x10÷x2＝x8，故此选项错误；D、（x2）3＝x6，故此选项错误；故选：B．2．（2分）如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，将水杯正着放可得到B选项的形状，将水杯倒着放可得到C选项的形状，不能得到三角形的形状，故选：D．3．（2分）值等于（）A．B．C．D．【解答】解：＝．故选：C．4．（2分）点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n﹣1）对应的点可能是（）A．A B．B C．C D．D【分析】直接利用P点坐标结合横纵坐标的变化得出答案．【解答】解：∵点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，∴坐标（m+1，n﹣1）应该在P点右侧以及P点下方，故选：B．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出坐标变化是解题关键．5．（2分）完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则图中阴影部分的周长是（）A．4m B．4n C．2m+n D．m+2n【分析】设小矩形的长为a，宽为b，可得a+2b＝m，表示出左右两个阴影部分矩形的长与宽，进而表示出周长，化简即可得到结果．【解答】解：设小矩形的长为a，宽为b，可得a+2b＝m，可得左边阴影部分的长为2b，宽为n﹣a，右边阴影部分的长为m﹣2b，宽为n﹣2b，图中阴影部分的周长为2（2b+n﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4b+2n﹣2a+2m+2n﹣8b＝2m+4n﹣2a﹣4b＝2m+4n﹣2（a+2b）＝2m+4n﹣2m＝4n，故选：B．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2分）如图，▱OABC的周长为14，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）A．2B．4C．6D．12【分析】设OA＝a，OC＝b，根据题意得到b＝7﹣a，作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，解直角三角形表示出A、M的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a•a ＝（7﹣a+a）•（a），解得a＝4，求得A的坐标，即可求得k的值．【解答】解：设OA＝a，OC＝b，∵▱OABC的周长为14，∴a+b＝7，∴b＝7﹣a，作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，∵∠AOC＝60°，∴OD＝a，AD＝a，∴A（a，a），∵M是BC的中点，∴CN＝a，MN＝a，∴M（7﹣a+a，a），∴a•a＝（7﹣a+a）•（a）解得a＝4，∴A（2，2），∴k＝2×＝4，故选：B．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是求出a，b的值．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）已知某种纸一张的厚度为0.0087cm，用科学记数法表示0.0087是8.7×10﹣3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0087＝8.7×10﹣3．故答案为：8.7×10﹣3．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8．（2分）把多项式2x2﹣4xy+2y2因式分解的结果为2（x﹣y）2．【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣4xy+2y2＝2（x2﹣2xy+y2）＝2（x﹣y）2．故答案为：2（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，1﹣2x≥0，解得x≤．故答案为：x≤．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．（2分）计算（﹣）×+2的结果是．【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝﹣+2＝﹣+2＝+．故答案为+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．11．（2分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝6．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，∴原式＝2﹣（﹣4）＝6，故答案为：6【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．12．（2分）如图，点I为△ABC的重心，过点作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q，若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则PQ的长为．【分析】连接AI并延长交BC于D，如图，利用重心的性质得＝，再证明△APQ∽△ABC，然后利用相似比可计算出PQ的长．【解答】解：连接AI并延长交BC于D，如图，∵点I为△ABC的重心，∴AI＝2ID，∴＝，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝＝，∴PQ＝5×＝．故答案为．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．13．（2分）已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差＞乙的方差（填“＞”“＝”、“＜”）．【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即甲的方差＞乙的方差．故答案为：＞．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了折线统计图．14．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，弧AC的长为π，则∠ADC的大小是135°．【分析】连接OC、OA，根据弧长公式求出∠AOC，根据圆周角定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：连接OC、OA，设∠AOC＝n°，则＝π，解得，n＝90，∴∠AOC＝90°，由圆周角定理得，∠ABC＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝135°，故答案为：135°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2分）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为．【分析】由勾股定理可求ME＝5，BE＝3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG＝，GM＝，即可求解．【解答】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．∴ME＝CE，MB＝AB＝4＝AM，∠D'ME＝∠C＝90°，在Rt△MBE中，ME2＝MB2+BE2，∴ME2＝16+（8﹣ME）2，∴ME＝5∴BE＝3，∵∠D'ME＝∠DAB＝90°＝∠B∴∠EMB+∠BEM＝90°，∠EMB+∠AMD'＝90°∴∠AMD'＝∠BEM，且∠GAM＝∠B＝90°∴△AMG∽△BEM∴∴∴AG＝，GM＝∴△AMG的内切圆半径的长＝＝故答案为：【点评】本题考查了三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG，GM的长度是本题的关键．16．（2分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2或2＜x≤3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为﹣7，知不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，据此求解可得．【解答】解：解不等式+3＞﹣1，得：x＞﹣4.5，∵不等式组的整数解的和为﹣7，∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3或﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2，则﹣3＜m≤﹣2或2＜x≤3，故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．三、解答题（共88分）17．（7分）先化简，再求值：，其中﹣2≤x≤2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．【分析】先把括号内的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，再把除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由于x不能取±2，1，所以把可把x＝0代入计算．【解答】解：＝•＝•＝，当x＝0时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，特别要注意x的值必须使所求的代数式有意义．18．（7分）解方程：．【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x的值，代入公分母进行检验即可．【解答】解：方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）＝3，化简，﹣6x＝﹣3，解得x＝．检验：x＝时，2（3x﹣1）＝2×（3×﹣1）≠0所以，x＝是原方程的解．【点评】本题考查的是解分式方程．在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE＝AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度数．【分析】（1）由菱形的性质和等边三角形的性质可得AB＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF，由“SAS”可证△ABF≌△CBE，可得CE＝AF；（2）利用三角形的内角和定理可求∠CBE的度数．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，∠ABC＝60°∵△BEF是等边三角形∴BE＝BF，∠FBE＝60°∴∠ABC＝∠EBF，∴∠ABF＝∠CBE，且AB＝BC，BE＝BF∴△ABF≌△CBE（SAS）∴CE＝AF（2）∵四边形ABCD是菱形∴∠C+∠D＝180°，∵∠BEF＝60°∴∠DEP+∠BEC＝120°∵∠DPE+∠D+∠DEP＝180°，∠C+∠CBE+∠BEC＝180°∴∠DPE+∠D+∠DEP+∠C+∠CBE+∠BEC＝360°∴∠CBE＝60°﹣∠DPE＝60°﹣48°＝12°【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．20．（8分）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：销售量200170130805040人数112532（1）求这14位营销员该月销售该品牌电脑的平均数、中位数和众数．（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？为什么？【分析】（1）用加权平均数的求法求得其平均数，出现最多的数据为众数，排序后位于中间位置的数即为中位数；（2）众数和中位数，是大部分人能够完成的台数．【解答】解：（1）平均数：＝90台；∵共14人，∴中位数：80台；有5人销售80台，最多，故众数：80台；（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务．【点评】本题考查了中位数、众数的确定及加权平均数的计算方法，解决本题的关键是正确的从表中整理出所有数据，并进行正确的计算和分析．21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是多少？（直接写出答案）（2）任选两名同学打第一场，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能性结果数，再找出满足条件的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，∴P（恰好选中乙同学）＝；（2）画树状图得：∵所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．∴P（恰好选中甲、乙两位同学）＝．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率22．（7分）如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l过点M，且B关于l的对称点在∠A的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】根据轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图可得．【解答】解：如图所示，直线l1、l2即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和角平分线与线段中垂线的尺规作图．23．（8分）某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C，A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象．（1）联络员骑车的速度a＝12；（2）求线段AD对应的函数表达式；（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a的值；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段AD对应的函数表达式；（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．【解答】解：（1）由图可得，a＝（4+4×）÷＝12，故答案为：12；（2）设线段AD对应的函数表达式为y＝kx+b，，得，即线段AD对应的函数表达式为y＝﹣8x+4（0≤x≤）；（3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th时，（12+6）（t﹣）＝4﹣（6﹣4）×，解得，t＝，答：联络员出发h时第一次与后队相遇．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝12，CE＝3时，求AC的长．【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝12，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝12，AF＝CF＝AC，∵∠CDE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠CDE＝∠CBD，∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴＝∴＝，∴CD＝6，在Rt△BCD中，BD＝＝6同理：△CFD∽△BCD，∴＝，∴＝，∴CF＝，∴AC＝2AF＝．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝8是解本题的关键．25．（8分）如图，A、B、C三个城市位置如图所示，A城在B城正南方向180km处，C城在B城南偏东37°方向．已知一列货车从A城出发匀速驶往B城，同时一辆客车从B 城出发匀速驶往C城，出发1小时后，货车到达P地，客车到达M地，此时测得∠BPM＝26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q地，客车到达N地，此时测得∠BNQ＝45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin26°≈．cos26°≈，tan26°≈）【分析】作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为xkm/h，货车速度为ykm/h，根据锐角三角函数的定义列出关于x与y的方程后，利用二元一次方程组的解法即可求出答案．【解答】解：作MD⊥AB于点D，QE⊥BC于点E，设客车的速度为xkm/h，货车速度为ykm/h，由题意可知：BM＝x，BN＝2x，AP＝y，AQ＝2y，BQ＝180﹣2y，在Rt△BDM中，∴sin B＝，cos B＝，∴DM＝x sin37°，BD＝x cos37°，在Rt△DMP中，∴tan∠DPM＝＝，∴tan26°＝，∴≈，即2x+y＝180①，在RtBEQ中，∴sin B＝，cos B＝，∴QE＝sin37°•（180﹣2y），BD＝cos37°（180﹣2y），在△EQN中，∠BNQ＝45°，∠QEN＝90°，∴△EQN为等腰直角三角形，∴QE＝NE，则sin37°（180﹣2y）＝2x﹣cos37°（180﹣2y），上式化简可得：630﹣7y＝5x②，联立①②可得：，解得：，∴客车速度约为70km/h，货车速度约为40km/h．【点评】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数的定义，二元一次方程组的解法等知识，综合程度较高，属于中等题型．26．（8分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1＞b2，则实数a的取值范围是CA．a＜1 B．a＞3 C．a＜1或a＞3 D.1＜a ＜3（2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．（3）若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则n的范围是n≥5．【分析】（1）由已知可知函数的对称轴x＝2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，则a＜1；（2）由对称轴可求m＝4，抛物线与x轴只有一个交点，则△＝0，进而可求n的值；（3）当x＝2时，函数有最小值n﹣4，则有2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，即可求n的范围．【解答】解：（1）∵当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．∴函数的对称轴x＝2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，∴a＜1；综上所述，a＜1或a＞3；故答案为C．（2）∵对称轴x＝2，∴m＝﹣4，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴m2﹣4n＝0，∴n＝4，∴y＝x2﹣4x+4；（3）y＝x2﹣4x+n，∵开口向上，∴当x＝2时，函数有最小值n﹣4，∴2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，∴n≥5．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，利用函数对称轴的性质解题是关键．27．（11分）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．（1）若P是BD上一点，且P A＝CD，求∠P AB的度数．（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°，点D落在边BC上的E处，AE交BD于点O，连接DE．如图2，求证：DE2＝DO•DB；②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD′（A与A'，D与D′时对应点），若DD′＝CD，则cosα的值为．【分析】（1）根据勾股定理求出BC、BD，分点P在点线段DH上、点P在点线段BH 上两种情况，根据余弦的定义解答；（2）①证明△BDE∽△EDO，根据相似三角形的性质证明结论；②作BH⊥DD′，DG⊥BD′，根据三角形的面积公式求出DG，根据勾股定理求出BG，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠DCB＝60°，CD＝8，∴BC＝16，BD＝8，在Rt△BAD中，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AB＝AD＝BD•＝4，作AH⊥BD于H，则AH＝BD＝4，∠BAH＝45°，当点P在点线段DH上时，cos∠P AH＝＝，∴∠P AH＝30°，∴∠P AB＝30°+45°＝75°，当点P′在点线段BH上时，∠P AB＝45°﹣30°＝15°，综上所述，∠P AB的度数为75°或15°；（2）①证明：由题意得，BD＝BE，∠DBE＝30°，∠AEB＝45°，∴∠BDE＝∠BED＝75°，又∠BDE＝∠EDO，∴△BDE∽△EDO，∴＝，即DE2＝DO•DB；②解：如图3，符合条件的点有两个D′和D′′，由题意得，∠DBD′＝∠DBD′′，它们的余弦值相等，作BH⊥DD′，DG⊥BD′，则DH＝HD′＝4，在Rt△BDH中，BH＝＝4，△BDD′的面积＝×DD′×BH＝×BD′×DG，即×8×4＝×8×DG，解得，DG＝，由勾股定理得，BG＝＝，∴cosα＝cos∠DBD′＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．。
2023年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷【答案版】
2023年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷一、选择题（每小题2分，共12分） 1．计算3﹣（﹣2）的结果是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．1D ．52．计算m 6÷m 2的结果是（ ） A ．m 3B ．m 4C ．m 8D ．m 123．如图，将一块含30°的直角三角板绕点A 按顺时针方向旋转到△A 1B 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．2023年5月14日至5月20日是第32届“全国城市节约用水宣传周”，为了解我校900名初三学生节约用水的情况，从22个班级中抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A ．900名学生是总体B ．50是样本容量C ．22个班级是抽取的一个样本D ．每名学生是个体5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD ＝CD ＝2√3．则BĈ的长为（ ）A ．π3B ．2π3C ．√3π3D ．2√3π36．用绘图软件绘制出函数y =ax(x+b)2的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对a ，b 大小的判断，正确的是（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0二、填空题（每小题2分，共20分）7．光速是每秒30万公里，每小时1080000000公里．用科学记数法表示1080000000是 ． 8．若√x +2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 9．分解因式x 3﹣2x 2+x 的结果是 ．10．如图，△ABC 是一块直角三角板，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A 落在直尺的一边上，AB 与直尺的另一边交于点D ，BC 与直尺的两边分别交于点E ，F ．若∠CAF ＝20°，则∠BED 的度数为 °．11．若a ，b 是方程x 2+2x ﹣4＝0的两个实数根，则（a ﹣2）（b ﹣2）的值为 ． 12．圆锥的底面半径为5cm ，高为12cm ，则圆锥的侧面积是 ．13．如图，将半径为1cm 的圆形纸板，沿着三边AB 、BC 、CA 分别长6cm 、5cm 、4cm 的△ABC 的外侧无滑动地滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是 ．14．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣m ＝0没有实数根，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＜0；④3a +b ＞0．其中正确结论的序号有 ．15．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC 中，∠A ，∠B 互为半余角，且BC AC=2√23，则tan A ＝ ．16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 从点B 运动到点C ，将AE 绕点A 顺时针旋转得到AF ，旋转角等于∠BAC ，连接DF ，在点E 运动的过程中，DF 长的最小值为 ．三、解答题（本答题共11小题，共88分） 17．计算或解方程：（1）√16−(π−3)0−10sin30°+(12)−2； （2）2x2x+1−x−14x 2−1=1．18．（6分）解不等式组，{2(1−x)≤8x −4＜x−83，并写出它的所有负整数解．19．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a ．成绩频数分布表：b ．成绩在70≤x ＜80这一组的是（单位：分）： 70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79 根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ；（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由： （3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况给出一条合理的评价．20．只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．（1）若从7、13、29、31这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是；（2）从7、13、29、31这4个素数中随机抽取2个数，请你求抽到的两个素数之和是3的倍数的概率（要求画树状图或列表）．21．郑老师布置了一道作图题：已知：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求作：菱形AECD．小赵同学的作法（图2）：（1）取CD的中点F；（2）连接BF并延长到E，使FE＝FB；（3）连接AE，CE．则四边形AECD就是所求作的菱形．请你证明小赵同学的作法是正确的．22．如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以40海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上，继续航行1.8小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东22°方向，避风港M在北偏东53°方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）23．小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示．（1）试求折线段OA 所对应的函数关系式； （2）请解释图中线段AB 的实际意义；（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离s （千米）与小明出发后的时间t （分钟）之间函数关系的图象．（注：请标注出必要的数据）24．命题：如果在一个四边形中满足一组对角相等，一组对边也相等，那么这个四边形是平行四边形．请问这个命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请你证明；如果是假命题，请你利用直尺和圆规在图中的基础上画出反例，并写出必要的文字说明．25．已知在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，点M 平分BC ，AD 平分∠BAC ，过点A 、M 、D 的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ． （1）求∠MAD 的度数；（2）连接DF ，求证：△CDF 是等边三角形； （3）若AC ＝4，则⊙O 的半径r ＝ ．26．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．（1）当﹣2≤x ≤1时，下列函数有界的是 （只要填序号）； ①y ＝2x ﹣1；②y =−2x ；③y ＝﹣x 2+2x +3．（2）当m ≤x ≤m +2时，一次函数y ＝（k +1）x ﹣2的界值不大于2，求k 的取值范围； （3）当a ≤x ≤a +2时，二次函数y ＝x 2+2ax ﹣3的界值为94，求a 的值．27．（10分）【初步感知】如图1，在正方形ABCD 中，AD ＝6，点P 是对角线BD 上任意一点（不与B 、D 重合），点O 是BD 的中点，连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交直线AB 于点E ．当点P 与点O 重合时，比较：PC PE （选填“＞”、“＜”或“＝”）． 【再次感知】如图1，当点P 在线段OD 上时，如何判断PC 和PE 数量关系呢？甲同学通过点P 分别向AB 和BC 作垂线，构造全等三角形，证明出PC ＝PE ； 乙同学通过连接P A ，证明出P A ＝PC ，∠P AE ＝∠PEA ，从而证明出PC ＝PE ． 【联想感悟】如图2，当点P 落在线段OB 上时，判断PC 和PE 的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】如图3，连接AP ，并延长AP 交直线CD 于点F ． （1）若DF CF=12，求AE 的长；（2）若△APE 的面积是21625，则DF 的长为 ；（3）直接写出△APE 面积S 的取值范围： ．2023年江苏省南京师大附中中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共12分）1．计算3﹣（﹣2）的结果是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．故选：D．2．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．3．如图，将一块含30°的直角三角板绕点A按顺时针方向旋转到△A1B1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴旋转角最小是∠CAC1，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵△AB1C1由△ABC旋转而成，∴∠B1AC1＝∠BAC＝60°，∴∠CAC1＝180°﹣∠B1AC1＝180°﹣60°＝120°，故选：D．4．2023年5月14日至5月20日是第32届“全国城市节约用水宣传周”，为了解我校900名初三学生节约用水的情况，从22个班级中抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（）A．900名学生是总体B．50是样本容量C．22个班级是抽取的一个样本D．每名学生是个体解：A 、900名学生节约用水的情况是总体，故本选项不合题意； B 、50是样本容量，故本选项符合题意；C 、从22个班级中抽取50名学生节约用水的情况是抽取的一个样本，故本选项不合题意；D 、每名学生节约用水的情况是个体，故本选项不合题意； 故选：B ．5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD ＝CD ＝2√3．则BĈ的长为（ ）A ．π3B ．2π3C ．√3π3D ．2√3π3解：连接AC 、OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝ED =12CD =√3，BĈ=BD ̂， ∴AB 是线段CD 的垂直平分线， ∴AC ＝AD ， ∵AD ＝CD ， ∴AC ＝AD ＝CD ， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠CAD ＝60°， ∴∠COB ＝60°，在Rt △COE 中，OC =CEsin∠COE =2， ∴BC ̂的长=60π×2180=2π3， 故选：B ．6．用绘图软件绘制出函数y=ax的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对a，b大小的(x+b)2判断，正确的是（）A．a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，∴a＞0；当x＝﹣b时，函数值不存在，∴﹣b＞0，∴b＜0；故选：A．二、填空题（每小题2分，共20分）7．光速是每秒30万公里，每小时1080000000公里．用科学记数法表示1080000000是 1.08×109．解：1080000000＝1.08×109．故答案为：1.08×109．8．若√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣2．解：∵二次根式√x+2在实数范围内有意义，∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．9．分解因式x3﹣2x2+x的结果是x（x﹣1）2．解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．故答案为：x（x﹣1）2．10．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC＝90°，∠B＝30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF＝20°，则∠BED的度数为80°．解：如图所示，∵DE∥AF，∴∠BED＝∠BF A，又∵∠CAF＝20°，∠C＝60°，∴∠BF A＝20°+60°＝80°，∴∠BED＝80°，故答案为：80．11．若a，b是方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）的值为4．解：∵a，b是方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣4，∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣4﹣2×（﹣2）+4＝4．故答案为：4．12．圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积是65πcm2．解：∵圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，∴圆锥的母线长=√52+122=13（cm），∴圆锥的侧面积=12×2π×5×13＝65π（cm2），故答案为：65πcm2．13．如图，将半径为1cm的圆形纸板，沿着三边AB、BC、CA分别长6cm、5cm、4cm的△ABC的外侧无滑动地滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是（15+2π）cm．解：圆在三角形的三个角的顶点处旋转的角度是：360°，则旋转的路线长是：l=360π×1180=2π，圆心O所经过的路线的长度＝6+5+4+2π＝（15+2π）cm．故答案为：（15+2π）cm ．14．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣m ＝0没有实数根，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＜0；④3a +b ＞0．其中正确结论的序号有 ①④ ．解：∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴Δ＝b 2﹣4ac ＞0，①正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于负半轴， ∴a ＞0，−b2a=1，c ＜0，∴b ＝﹣2a ＜0，∴abc ＞0，②错误； ∵方程ax 2+bx +c ﹣m ＝0没有实数根，∴m ＜﹣3，∴m ＜0，③错误； ∵a ＞0，b ＝﹣2a ，∴3a +b ＝a ＞0，④正确． 故答案为：①④．15．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC 中，∠A ，∠B 互为半余角，且BC AC=2√23，则tan A ＝ 25．解：过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ，∵BC AC=2√23， ∴设BC ＝2√2a ，AC ＝3a ， ∵∠A ，∠B 互为半余角， ∴∠A +∠B ＝45°， ∴∠DCB ＝∠A +∠B ＝45°，在Rt △CDB 中，BD ＝BC sin45°＝2√2a •√22=2a ， CD ＝BC cos45°＝2√2a •√22=2a ， ∵AC ＝3a ，∴AD ＝AC +CD ＝3a +2a ＝5a ， 在Rt △ABD 中，tan A =BDAD =2a5a =25， 故答案为：25．16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 从点B 运动到点C ，将AE 绕点A 顺时针旋转得到AF ，旋转角等于∠BAC ，连接DF ，在点E 运动的过程中，DF 长的最小值为 4﹣2√2 ．解：如图，过点F 作FN ⊥AC 于N ，交AD 的延长线于H ，∵将AE 绕点A 顺时针旋转得到AF ，旋转角等于∠BAC ， ∴AF ＝AE ，∠BAC ＝∠EAF ， ∴∠BAE ＝∠F AN ，又∵∠FNA ＝∠EBA ＝90°， ∴△ABE ≌△ANF （AAS ）， ∴BE ＝NF ，AN ＝AB ＝4，∴点F 在过点N 且垂直于AN 的直线上运动，∴当DF '⊥F 'N 时，DF '有最小值， ∵∠DAC ＝45°，HN ⊥AC ， ∴∠DAC ＝∠H ＝45°， ∴AN ＝NH ＝4， ∴AH ＝4√2， ∴DH ＝4√2−4， ∴DF '=4√2−4√2=4﹣2√2， 故答案为：4﹣2√2．三、解答题（本答题共11小题，共88分） 17．计算或解方程：（1）√16−(π−3)0−10sin30°+(12)−2； （2）2x2x+1−x−14x 2−1=1．解：（1）√16−（π﹣3）0﹣10sin30°+（12）﹣2＝4﹣1﹣10×12+4＝3﹣5+4＝2； （2）2x 2x+1−x−14x 2−1=1，两边同乘（4x 2﹣1），去分母得：2x （2x ﹣1）﹣（x ﹣1）＝4x 2﹣1， 去括号得：4x 2﹣2x ﹣x +1＝4x 2﹣1， 移项，合并同类项得：﹣3x ＝﹣2， 系数化为1得：x =23，检验：将x =23代入（4x 2﹣1）中可得4×（23）2﹣1=79≠0， 则x =23是分式方程的解， 故原分式方程的解为：x =23．18．（6分）解不等式组，{2(1−x)≤8x −4＜x−83，并写出它的所有负整数解．解：{2(1−x)≤8①x −4＜x−83②， 解不等式①，得：x ≥﹣3， 解不等式②，得：x ＜2，∴原不等式组的解集为﹣3≤x ＜2，∴该不等式组的所有负整数解是﹣3，﹣2，﹣1．19．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：a．成绩频数分布表：b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，成绩的中位数是78.5分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为44%；（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由：（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况给出一条合理的评价．解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为78+792=78.5（分），所以这组数据的中位数是78.5分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为16+650×100%＝44%，故答案为：78.5；44%；（2）不正确，因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．20．只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20＝3+17．（1）若从7、13、29、31这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是13的概率是14；（2）从7、13、29、31这4个素数中随机抽取2个数，请你求抽到的两个素数之和是3的倍数的概率（要求画树状图或列表）．解：（1）∵从7、13、29、31这4个素数中随机抽取一个，有4种可能，抽到的数是13只有1种可能，∴P （抽到的数是13）=14， 故答案为：14；（2）画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中和是3的倍数有6种， ∴P （两个素数之和是3的倍数）=612=12． 21．郑老师布置了一道作图题：已知：如图1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线． 求作：菱形AECD ． 小赵同学的作法（图2）： （1）取CD 的中点F ；（2）连接BF 并延长到E ，使FE ＝FB ； （3）连接AE ，CE ．则四边形AECD 就是所求作的菱形． 请你证明小赵同学的作法是正确的．证明：由作法得CF ＝DF ，EF ＝BF ， 在△CEF 和△DBF 中， {FE =FB∠CFE =∠DFB FC =FD， ∴△CEF ≌△DBF （SAS ），∴CE＝DB，∠CEF＝∠DBF，∴CE∥BD，∵CD为斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝BD，∴AD＝CE，∵AD＝CE，AD∥CE，∴四边形AECD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形AECD是菱形．22．如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以40海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上，继续航行1.8小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东22°方向，避风港M在北偏东53°方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）解：过点P、M分别作PC⊥AB于C，MD⊥AB于D，交AB的延长线于点C、D．由题意可知：AB＝40×1.8＝72（海里），则四边形PCDM为矩形，∴PC＝MD，设PC＝x海里，在Rt△APC中，AC＝tan45°•PC＝x，在Rt△BPC中，BC＝tan22°•PC≈0.4x，∵AC﹣BC＝AB，∴x﹣0.4x＝72，解得：x＝120，∴MD＝120，在Rt△BMD中，BM=MDcos53°=1200.6=200（海里），答：渔船离避风港的距离BM为200海里．23．小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示．（1）试求折线段OA所对应的函数关系式；（2）请解释图中线段AB的实际意义；（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离s（千米）与小明出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象．（注：请标注出必要的数据）解：（1）线段OA对应的函数关系式为s=112t(0≤t≤12)．（2）题图中线段AB的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟．（3）由图象可知，小明花20分钟到达学校，则小明的妈妈花20﹣10＝10（分钟）到达学校，所以C（10，0）．可知小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，故D（16，1）．小明花20﹣12＝8（分钟）走圆弧形道路，则妈妈花4分钟走圆弧形道路，故B（20，1）．妈妈所走的路线的图象经过点C（10，0），D（16，1），B（20，1），如图中折线段CD﹣DB就是所作图象．24．命题：如果在一个四边形中满足一组对角相等，一组对边也相等，那么这个四边形是平行四边形．请问这个命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请你证明；如果是假命题，请你利用直尺和圆规在图中的基础上画出反例，并写出必要的文字说明．解：如果在一个四边形中满足一组对角相等，一组对边也相等，那么这个四边形是平行四边形是假命题，如图：文字说明：（1）作点C关于BD的对称点C'；（2）作△BC'D的外接圆；（3）以点B为圆心，CD长为半径画圆，两圆交于点A．则四边形ABCD满足∠A＝∠C（一组对角相等），AB＝CD（一组对边相等），但四边形ABCD不是平行四边形．25．已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，点M平分BC，AD平分∠BAC，过点A、M、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．（1）求∠MAD的度数；（2）连接DF，求证：△CDF是等边三角形；（3）若AC ＝4，则⊙O 的半径r ＝ 2√6−2√2 ．（1）解：在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，点M 平分BC ， ∴AM ＝BM ＝CM ， ∴∠BAM ＝∠B ＝30°， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =12∠BAC ＝45°， ∴∠MAD ＝∠BAD ﹣∠BAM ＝15°； （2）证明：连接DF ，在Rt △ABC 中，∠B ＝30°， ∴∠C ＝60°， 由（1）知AM ＝CM ， ∴△ACM 是等边三角形， ∴AC ＝CM ，∵∠CFD ＝∠CMA ＝180°﹣∠AFD ，∠CDF ＝∠CAM ＝180°﹣∠MDF ， ∴△CFD ∽△CAM ， ∴CF CA=CD CM，∴CF ＝CD ； ∵∠C ＝60°，∴∠CDF ＝∠CFD ＝60°， ∴△CDF 是等边三角形； （3）解：连接DE ，EF ，∵∠BAC ＝90°， ∴EF 是⊙O 的直径， ∴∠EDF ＝90°，由（2）知CD ＝CF ，∠C ＝60°， ∴△CDF 是等边三角形， ∴∠CDF ＝60°， ∴∠BDE ＝30°， ∴∠B ＝∠BDE ＝30°， ∴BE ＝DE ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴DE ̂=DF ̂， ∴DE ＝DF ，∴BE ＝DE ＝DF ＝CF ， ∵AC ＝4， ∴AB ＝4√3，设BE ＝DE ＝DF ＝CF ＝x ，∴AE ＝4√3−x ，AF ＝4﹣x ，EF =√2x ， ∵EF 2＝AE 2+AF 2，∴2x 2＝（4√3−x ）2+（4﹣x ）2， 解得x ＝4（√3−1）， ∴EF =√2x ＝4√6−4√2， ∴⊙O 的半径为2√6−2√2．26．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．（1）当﹣2≤x ≤1时，下列函数有界的是 ①③ （只要填序号）； ①y ＝2x ﹣1；②y =−2x ；③y ＝﹣x 2+2x +3．（2）当m≤x≤m+2时，一次函数y＝（k+1）x﹣2的界值不大于2，求k的取值范围；（3）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的界值为94，求a的值．解：（1）①当﹣2≤x≤1时，函数y＝2x﹣1，当x＝﹣2时，y＝﹣5，当x＝1时，y＝1，∴|y1﹣y2|≤|1﹣（﹣5）|＝6，故y＝2x﹣1在﹣2≤x≤1时是有界函数；②y=−2x；③y＝﹣x2+2x+3．②∵y=−2x的x不等于0，∴函数y=−2x在﹣2≤x≤1时没有最大值和最小值，∴函数y=−2x在﹣2≤x≤1时不是有界函数；③当x＝1时，y＝0，当x＝0时，y＝3，当x＝﹣2时，y＝﹣5，∴|y1﹣y2|≤|3﹣（﹣5）|＝8，故y＝﹣x2+2x+3在﹣2≤x≤1时是有界函数；故答案为：①③；（2）由函数y＝（k+1）x﹣2在m≤x≤m+2时的界值不大于2，∴y最大值﹣y最小值≤2，当k+1＞0时，y随x的增大而增大，∴x＝m时，y最小值＝m（k+1）﹣2，x＝m+2时，y最大值＝（m+2）（k+1）﹣2，∴（m+2）（k+1）﹣2﹣[m（k+1）﹣2]≤2，∴﹣1＜k≤0，当k+1＜0时，y随x的增大而减小，∴x＝m时，y最大值＝m（k+1）﹣2，x＝m+2时，y最小值＝（m+2）（k+1）﹣2，∴m（k+1）﹣2﹣[（m+2）（k+1）﹣2]≤2，∴﹣2≤k＜﹣1，综上所述，k的取值范围为﹣1＜k≤0或﹣2≤k＜﹣1．（3）y＝x2+2ax﹣3＝（x+a）2﹣3﹣a2，当x＝﹣a时，y＝﹣3﹣a2，当x＝a时，y＝3a2﹣3，当x＝a+2时，y＝3a2+8a+1，①当﹣a≤a≤a+2时，a≥0，此时，当x＝a时，y取最小值，当x＝a+2时，y取最大值，∴y最大值＝3a2+8a+1，y最小值＝3a2﹣3，∴3a2+8a+1﹣（3a2﹣3）=94，解得a=−732（舍去）．②当a ≤﹣a ≤a +2时，﹣1≤a ≤0，当−12≤a ≤0时，y 最大值＝3a 2+8a +1，y 最小值＝﹣3﹣a 2，∴3a 2+8a +1﹣（﹣a 2﹣3）=94，解得a =−14或a =−74（舍去）．当﹣1≤a ≤−12时，y 最大值＝3a 2﹣3，y 最小值＝﹣3﹣a 2，3a 2﹣3﹣（﹣a 2﹣3）=94，解得a =−34或a =34（舍去）．③当a ≤a +2≤﹣a 时，a ≤﹣1，y 最小值＝3a 2+8a +1，y 最大值＝3a 2﹣3，∴3a 2﹣3﹣（3a 2+8a +1）=94，解得a =−2532（舍去）．综上所述，a 的值为−14或−34．27．（10分）【初步感知】如图1，在正方形ABCD 中，AD ＝6，点P 是对角线BD 上任意一点（不与B 、D 重合），点O 是BD 的中点，连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交直线AB 于点E ．当点P 与点O 重合时，比较：PC ＝ PE （选填“＞”、“＜”或“＝”）．【再次感知】如图1，当点P 在线段OD 上时，如何判断PC 和PE 数量关系呢？甲同学通过点P 分别向AB 和BC 作垂线，构造全等三角形，证明出PC ＝PE ；乙同学通过连接P A ，证明出P A ＝PC ，∠P AE ＝∠PEA ，从而证明出PC ＝PE ．【联想感悟】如图2，当点P 落在线段OB 上时，判断PC 和PE 的数量关系，并说明理由．【拓展应用】如图3，连接AP ，并延长AP 交直线CD 于点F ．（1）若DF CF =12，求AE 的长； （2）若△APE 的面积是21625，则DF 的长为 4或9 ；（3）直接写出△APE 面积S 的取值范围： 0＜S ≤9 ．解：初步感知：当点P与点O重合时，则点E与B重合，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵点O是BD的中点，∴OC＝OB=12 BD，∴PC＝PE，故答案为：＝；联想感悟：PC＝PE，理由如下：如图2，过点P作GH⊥AB于G，交CD于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠ABD＝45°，∠A＝∠ABC＝90°，∵GH⊥AB，∴GH⊥CD，∴∠EGP＝∠PHC＝90°，∴∠GEP+∠GPE＝90°，∵PE⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GPE+∠CPH＝90°，∴∠GEP＝∠CPH，∵∠ABD＝45°，∠EGP＝90°，∴△BGP是等腰直角三角形，∴BG＝GP．∵∠EGP＝∠PHC＝∠ABC＝90°，∴四边形BGHC为矩形，∴BG ＝CH ，∴CH ＝GP ，在△EGP 和△PHC 中，{∠GEP =∠CPH∠EGP =∠PHC GP =CH，∴△EGP ≌△PHC （AAS ）．∴PC ＝PE ；拓展应用：（1）如图3，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，由理想感悟知：△EGP ≌△PHC ，∴EG ＝PH ，∵∠AGP ＝∠PHD ＝∠ADC ＝90°，∴四边形AGHD 为矩形，∴AG ＝DH ，∵∠BDC ＝45°，∠PHD ＝90°，∴△PHD 是等腰直角三角形，∴DH ＝PH ．∵DF CF =12， ∴DF DC =13，∵DC ＝AB ，∴DF AB =13， ∵AB ∥CD ，∴△DFP ∽△BAP ，∴PH PG =DF AB =13， 又∵GH ＝AD ＝6，∴PH =32，PG =92，∴EG ＝DH ＝PH =32，∴AG ＝DH =32，∴AE ＝AG +GE ＝3；（2）设DH ＝PH ＝GE ＝AG ＝m ，则PG ＝6﹣m ， 则有12×2m ×（6﹣m ）=21625， ∴m =125或185， 当m =125时， ∵DF ∥AB ，∴DF AB =PH PG =1256−125， ∴DF ＝4，当m =185时，同法可得DF ＝9，综上所述，DF ＝4或9；故答案为：4或9；（3）设PH ＝x ，则PG ＝6﹣x ，由题意可知：AG ＝EG ＝DH ＝PH ＝x ， 则S =12AE •PG =12×2x ×（6﹣x ）＝﹣（x ﹣3）2+9， ∵0＜x ＜6，∴0＜S ≤9．故答案为：0＜S ≤9．。