高中数学北师大版必修二课件：1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理(
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最新-北师大版高中数学必修2课件：141 空间图形基本关系的认识 共21张 精品
m
l
复习巩固
巩固：①画两个相交平面，在这两个平面内 各画一条直线，使它们成为：⑴平行直线 ；⑵相 交直线； ⑶异面直线.
β
β
b
α a
β
b
a
α
b
α a
复习巩固
两条异面直线指：
A.空间中不相交的两条直线； B.某平面内的一条直线和这平面外的直线； C.分别在不同平面内的两条直线； D.不在同一平面内的两条直线; E.不同在任一平面内的两条直线； F.分别在两个不同平面内的两条直线; G.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条 直线; H.空间没有公共点的两条直线; I.既不相交，又不平行的两条直线.
β
问题讨论
用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
B
b
a
A
α
A
aA
α
α
A∈a B∈a
α
β
与β重合
A∈α B∈α
β a
α
α∩β ＝a
a a∩α＝
b∩α＝A 或 a∥α
α β
α∩ β＝ 或α ∥ β
问题讨论
(5)空间直线与直线的位置关系： 问题1: 在平面几何中， 两直线的位置关系如何？
1.4.1 空间图形基本 关系的认识
引入新知
一、平面的画法： （1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
ß
通常把表示平面的平行四边形的锐角画 成450.
引入新知
（3）在画图时，如果图形的一部分被 另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
问题讨论
二、平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用代 表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对 的两个顶点字母表示.
【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)
第一章 立体几何初步
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P
《空间图形基本关系的认识》教学课件【高中数学必修2(北师大版)】
点与面的位置关系
点A 在平面α内 点B 在平面α外
平行
直线与直线的位置关系
相交
异面
A∈α B ∉α a∥b a∩b＝O
a与b异面
异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。
新课学习
线在面内 直线与平面的位置关系 线面相交
线面平行
aα
a∩α＝A
a∥α
新课学习
平面与平面的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β
随堂练习
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
(1)A∈α，B∉α；(2)l α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上； (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点
北师大版·统编教材高中数学必修2
第一章·立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课学习
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
新课学习
空间图形的基本关系 阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上
点与线的位置关系 点B在直线a上
图形表示
符号表示
A∉a B∈a
新课学习
Q。
图形分别如图(1)(2)(3)所示
新课学习
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
课后作业
课本28页习题1-4A组4题
再见
α∩β＝a
随堂练习
(1)不平行的两条直线的位置关系为相交( ) (2)两个平面的交线可以是一条线段( )
高中数学课件-北师大版高中数学必修二1.4《空间图形的基本关系与公理》课件1 最新
∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理一课件北师大版必修2
§4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识 4．2 空间图形的公理(一)
•学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系(重 点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、 平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理 及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难 点)．
• 知识点一 点、线、面之间的位置关系 • 一些文字语言与数学符号的对应关系：
的位置关系 面面相交
α∥β α∩β＝a
异面直线 不同在 任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线
• 【预习评价】
• (1)若A∈a，a α，是否可以推出A∈α？
• 提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a α，则A∈α.
• (2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪 些位置关系？
• 提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或 不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面 外．
•∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平 面β内．
•∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
• 方向2 点共线问题
• 【例3-2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 • 中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、
• DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q， • 求证：D、A、Q三点共线．
•解析 与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1， BB1，DD1. •答案 C
考查 方向
题型三 平面性质的应用
• 方向1 共面问题
• 【例3-1】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，
•
l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、
• l2、l3在同一平面内．
• 证明 方法一 (纳入平面法)
4．1 空间图形基本关系的认识 4．2 空间图形的公理(一)
•学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系(重 点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、 平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理 及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难 点)．
• 知识点一 点、线、面之间的位置关系 • 一些文字语言与数学符号的对应关系：
的位置关系 面面相交
α∥β α∩β＝a
异面直线 不同在 任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线
• 【预习评价】
• (1)若A∈a，a α，是否可以推出A∈α？
• 提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a α，则A∈α.
• (2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪 些位置关系？
• 提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或 不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面 外．
•∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平 面β内．
•∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
• 方向2 点共线问题
• 【例3-2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 • 中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、
• DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q， • 求证：D、A、Q三点共线．
•解析 与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1， BB1，DD1. •答案 C
考查 方向
题型三 平面性质的应用
• 方向1 共面问题
• 【例3-1】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，
•
l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、
• l2、l3在同一平面内．
• 证明 方法一 (纳入平面法)
高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)
自学导引 1．空间点与直线的位置关系 空间点与直线的位置关系有两种： (1)如果点 P 在直线 a 上 ，记作 P∈a，如图①所示． (2)如果点 P 在直线 a 外 ，记作 P∉a，如图②所示．
2．空间点与平面的位置关系 空间点与平面的位置关系有两种： (1)如果点 P 在平面 α 内 ，记作 P∈α，如图①所示． (2)如果点 P 在平面 α 外 ，记作 P∉α，如图②所示．
8．公理 3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线． 图形语言：如图所示． 符号语言：P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l. 作用：它是判定两个平面是否相交的依据，是证明点共线和线 共点的依据．
名师点睛 1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据． 公理 2——判定点共面、线共面的依据． 公理 3——判定点共线、线共点的依据．
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在 任何一个 平面内，这样 的两条直线叫作异面直线，如图①②③所示．
画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强立体感， 常见的画法如图①②③所示．
4．空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有三种： (1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 无数 个公共点，我 们称直线 a 在平面 α 内，记作 a α，如图①所示．
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．
1.4.1__空间图形基本关系的认识__1.4.2__空间图形的公理(公理1、2、3)
D A B
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间 的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是 否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘 就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．
A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间 的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是 否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘 就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．
A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形基本关系的认识课件(北师大版)
图形分别如图(1)(2)(3)所示
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
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第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×
1.4空间图形基本关系的认识、第1课时课件(高中数学必修2北师大版)
这些公共点在同一直线 上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．
文字语言、图形语言、符号语言的互译
根据图形，写出图形中的点、直线和平面之间 的关系．
图1－4－1 (1)图(1)可以用符号语言表示为：_______________. (2)图(2)可以用符号语言表示为：______________.
∴由公理3可知： 点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P、Q、R三点共线．
法二 ∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC 平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR， 又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
点共线问题
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝ R，BC∩α＝Q，如图1－4－3，求证：P、Q、R三点共线．
图1－4－3
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 关系？ (2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关 系？ 【自主解答】 法一 ∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB 平面ABC， ∴P∈平面ABC.
法二
(重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β 内． ∴平面α和β重合， 即直线l1、l2、l3在同一平面内．
图1－4－2 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
【思路探究】 先选取两条直线构造一个平面，然后 证明另一条直线在这个平面上或构造两个平面，证明这两 个平面重合．
文字语言、图形语言、符号语言的互译
根据图形，写出图形中的点、直线和平面之间 的关系．
图1－4－1 (1)图(1)可以用符号语言表示为：_______________. (2)图(2)可以用符号语言表示为：______________.
∴由公理3可知： 点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P、Q、R三点共线．
法二 ∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC 平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR， 又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
点共线问题
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝ R，BC∩α＝Q，如图1－4－3，求证：P、Q、R三点共线．
图1－4－3
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 关系？ (2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关 系？ 【自主解答】 法一 ∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB 平面ABC， ∴P∈平面ABC.
法二
(重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β 内． ∴平面α和β重合， 即直线l1、l2、l3在同一平面内．
图1－4－2 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
【思路探究】 先选取两条直线构造一个平面，然后 证明另一条直线在这个平面上或构造两个平面，证明这两 个平面重合．