2020学年天津和平区高一下学期期末数学试卷 【答案】
未分组选择题（每题3分，共8小题，共24分）1.A. B. C. D.答 案解 析原 文圆的圆心坐标是（ ）．D 圆的方程可化为，圆心坐标为．故选D．1.【答案】D+−4x +6y =0x 2y 2(2,3)(−2,3)(−2,−3)(2,−3)+=13(x −2)2(y +3)2(2,−3)2.A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.两次都不中靶D.只有一次中靶答 案解 析原 文某战士在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）．C 由于两个事件互为对立事件时，这两件不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击次，事件“至少有次中靶”的反面为“次都不中靶”．故选．2.【答案】C212C 3.A. B. C. D.答 案过点，的直线的斜率等于，则的值为（）．AM (−1,m )N (m +1,4)1m 112213原 文，的直线斜率等于，所以，解得．故选．3.【答案】AM (−1,m )N (m +1,4)1k ==14−m m +1+1m =1A 4.A. B. C. D.答 案解 析原 文利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为（ ）．A 由解得，数集的长度为，数集的长度为：，∴事件“”发生的概率为．故选．4.【答案】A0∼1a 3a −1<0131223563a −1<0a <13(0,)1313(0,1)13a −1<013A 5.A.分层抽样B.抽签法C.随机数表法D.系统抽样法一个年级有个班，每个班有名学生，随机编号为，为了了解他们课外的兴趣，要求每班第号学生留下来进行问卷调查，这运用的抽样方法是（ ）．12501∼5040解 析原 文当总体容量较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．故选．5.【答案】DN 1D 6.A. B. C. D.答 案解 析原 文容量为的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间的频率为（ ）．B由频率分布表知，样本在上的频数为，则样本在上的频率为．6.【答案】B20[10,40)0.350.450.550.65[10,40)2+3+4=9[10,40)9÷20=0.457.A.相离 B.相交C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ）．k y =kx +1+=2x 2y 2填空题（每题4分，共6小题，共24分）解 析原 文直线过定点，该定点在圆内部，直线不过圆心，故正确．故选．7.【答案】C(0,1)(0,0)C C 8.A. 或 B. C. 或 D.答 案解 析原 文如果直线与轴平行，则（）．B∵直线与轴平行，∴，或，当时，直线方程为，当时，，不表示直线，舍去，综上可知：．故选．8.【答案】B(m +2)x +(+3m +2)y =m +2m 2y m =−1−2−1−12−2(m +2)x +(+3m +2)y =m +2m 2y +3m +2=0m 2m =−1m =−2m =−1x =1m =−2(m +2)x +(+3m +2)y =m +2m 2m =−1B 9.答 案若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点．:y =k (x −4)l 1l 2(2,1)l 2解 析原 文过定点，其关于点对称的点为，又由于与关于点对称，∴恒过定点．故答案为：．9.【答案】(0,2):y =k (x −4)l 1(4,0)(2,0)(0,2):y =k (x −4)l 1l 2(2,1)l 2(0,2)(0,2)(0,2)10.答 案解 析原 文从，，，，中任意取出两个不同的数，其和为的概率是．方法一：从五个数中任意取出两个数的可能结果有：，，，，，，，，，，共个，其中“和为”的结果有，，故所求概率为．方法二：所有可能的结果有，，，，，，，，，和为的结果有， ．所以概率为．10.【答案】12345515(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)105(1,4)(2,3)=21015(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)5(1,4)(2,3)=210151511.答 案解 析圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程是．由圆心在轴上，y 1(1,2)+=1x 2(y −2)2y原 文设圆心坐标为，又半径为，∴可设圆方程，∵圆过点，将之代入圆方程得，，解得，∵圆方程为．故答案为：．11.【答案】(0,b )1+=1x 2(y −b )2(1,2)1+=1(2−b )2b =2+=1x 2(y −2)2+=1x 2(y −2)2+=1x 2(y −2)212.答 案解 析原 文在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为．，所以弦长为．故答案为 ．12.【答案】xOy x +2y −3=0+=4(x −2)2(y +1)2255−−√5d ==|2−2−3|5√35√2×=2×=−r 2d 2−−−−−−√4−95−−−−−√255−−√5255−−√5255−−√513.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）销售额（万元）根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为万元．x y x 4235y 49263954=x +y ˆb ˆa ˆb ˆ9.46答 案解 析原 文根据回归方程的性质，可利用样本数据的中心点求出方程的系数，根据表格中数据可得：， ，因数据的中点一定在回归方程上，将，，代入中，很据，解得．故答案为：．13.【答案】65.5=(4+2+3+5)=3.5x ¯¯¯14=(49+26+39+54)=42y ¯¯¯14=3.5x ¯¯¯=42y ¯¯¯=x +y ˆb ˆa ˆ=9.4b ˆ=9.4×6+9.1=65.5a ˆ65.565.514.答 案解 析已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于．的斜率为，的斜率为，∵直线与互相垂直，∴，∴，∵垂足坐标为，∴解得，将，，代入可得：．故答案为：．:ax +4y =2l 1:2x −5y +b =0l 2(1,c )a +b +c −4ax +4y =2−a 42x −5y =025ax +4y =22x −5y =0−×=−1a 425a =10(1,c ){a +4c −2=02−5c +b =0{c =−2b =−12a =10b =−12c =−2a +b +c 10−12−2=−4−4解答题（共6小题，共52分）原 文14.【答案】−415.（1）答 案解 析（2）答 案解 析原 文写出满足下列条件的直线的方程．斜率是，经过点． ．设，∵斜率是且过，∴，，∴．经过点，．．设，∴，将代入得，∴，∴，∴．15.【答案】（1） ．（2） ．3√3A (8,−2)x −y −8−2=03√3√:y −=k (x −)l 1y 1x 13√3A (8,−2):y +2=(x −8)l 13√3x −y −−2=03√383√3:x −y −8−2=0l 13√3√A (−1,8)B (4,−2)2x +y −6=0:y −(−2)=k (x −4)l 2:y +2=k (x −4)l 2A 8+2=k ⋅(−5)k =−2:y +2=−2x +8l 2:2x +y −6=0l 2x −y −8−2=03√3√2x +y −6=016.（1）答 案解 析（2）答 案解 析原 文已知圆，点，过点作圆的切线，，，为切点．求，所在直线的方程．，．∵圆，∴圆心：，，∵，均过，设切线，∴，∴，∴，，，，，所以，．求切线的长．． ，∵为圆的切线，∴，，∴，故的长为．16.【答案】（1） ，．（2） ．C :+=2(x −1)2(y −2)2P (2,−1)P C PA PB A B PA PB :7x −y −15=0l PA :x +y −1=0l PB C :+=2(x −1)2(y −2)2C (1,2)r =2√PA PB P (2,−1)l :y +1=k (x −2)l :kx −y −2k −1=0d ==r |k −2−2k −1|+1k 2−−−−−√=|−k −3|+1k 2−−−−−√2√=2+2(k +3)2k 2−6k −7=0k 2=7k 1=−1k 2:7x −y −15=0l PA :x +y −1=0l PB PA PA =22√PC ==+(−)x 2x 12(−)y 2y 12−−−−−−−−−−−−−−−−−−√10−−√PA P =P +C 2A 2r 2=2r 2PA ==2P −C 2r 2−−−−−−−−√2√PA 22√:7x −y −15=0l PA :x +y −1=0l PB PA =22√17.（1）答 案解 析（2）答 案解 析（3）答 案从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的概率；．根据频数分布表，名学生中课外阅读时间不少于小时的学生共有名，所以样本中的学生课外阅读时间少于小时的频率是从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于小时的概率为．求频率分布直方图中的，的值；．．课外阅读时间落在组的有人，频率为，所以．课外阅读时间落在组的有人，频率，所以．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）．样本中的名学生课外阅读时间的平均数在第组．100120.9100126+2+2=10121−=0.910100120.9a b a =0.085b =0.125[4,6)170.17a ===0.085频率组距0.172[8,10)250.25b ===0.125频率组距0.2521001004解 析原 文样本中的名学生课外阅读时间的平均数在第组．17.【答案】（1） ．（2） ．．（3）样本中的名学生课外阅读时间的平均数在第组．10040.9a =0.085b =0.125100418.（1）答 案解 析（2）答 案解 析设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为，，，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取名运动员组队参加比赛．求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；应该从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为应该从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为将抽取的名运动员进行编号，编号分别为，从这名运动员中随机抽取名参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设为事件“编号为，的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件发生的概率．（i）见解析（ii）见解析（i）从名动员中随机抽取人参加双打比赛的所有可能结果为，共15种．（ii）编号为和的两名运动员中至少有人被抽到的所有可能结果为共9种．因此，事件发生的概率．2791863,1,23,1,26,,,,,A 1A 2A 3A 4A 5A 662A A 5A 6A 62{{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}{,}A 1A 2A 1A 3A 1A 4A 1A 5A 1A 6A 2A 3A 2A 4A 2A 5{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}}A 2A 6A 3A 4A 3A 5A 3A 6A 4A 5A 4A 6A 5A 6A 5A 61{,},{,},{,}{,},{,},{,},{,},{,},{,}A 1A 5A 1A 6A 2A 5A 2A 6A 3A 5A 3A 6A 4A 5A 4A 6A 5A 6A P(A )==91535原 文18.【答案】（1）应该从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为（2）（i）见解析（ii）见解析3,1,219.答 案解 析原 文证明直线对任意都通过第一象限，并求出直线不通过第二象限时的取值范围．．原直线方程可变形为：，解得：，∴方程①表示恒过点的一条直线，又点在第一象限，∴无论为何实数，此直线均过第一象限，当时，直线方程可化为：，若要此直线不通过第二象限，则解得，故的范围为．19.【答案】 ．(a −2)y =(3a −1)x −1a ∈R a a ⩾2x −2y +1+a (y −3x )=0{x −2y +1=0y −3x =0⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x =15y =35(,)1535(,)1535a a ≠2y =⋅x −3a −1a −21a −2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⩾03a −1a −2⩾01a −2a >2a [2,+∞)a ⩾220.（1）答 案解 析在直线坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切．求圆的方程．．依题，圆的半径等于原点到直线的距离，xOy x −y =43√O +=4x 2y 2O r O x −y =43√（2）答 案解 析原 文即，得圆方程：．若圆上有两点，关于直线对称，且，求直线的方程．或．由题：设方程：，即圆心到直线的距离：，由垂径分弦定理：，即，所以的方程为：或．20.【答案】（1） ．（2） 或．r ==241+3−−−−√O +=4x 2y 2O M N x +2y =0|MN |=23√MN 2x −y +=05√2x −y −=05√MN 2x −y +m =0O MN d =|m |5√+=m 25()3√222m =±5√MN 2x −y +=05√2x −y −=05√+=4x 2y 22x −y +=05√2x −y −=05√。
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
2024-2025学年天津市和平区高一上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)
本训练分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间1002024-2025学年天津市和平区高一上学期第一次月考数学质量检测试题分钟．第Ⅰ卷 选择题（60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ）A. {}0B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】 {}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴.故选：C.2. 命题“2R,240x x x ∀∈-+≥”的否定为（ ）A. 2R,240x x x ∃∈-+≥ B. 2R,240x x x ∃∈-+<C. 2R,240x x x ∀∉-+≥ D. 2R,240x x x ∃∉-+<【答案】B 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】命题“2R,240x x x ∀∈-+≥”的否定为“2R,240x x x ∃∈-+<”.故选：B.3. 已知不等式240x ax ++<的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()4,4- B. ()(),44,∞∞--⋃+C. ()(),22,∞∞--⋃+ D. ()2,2-【答案】B 【解析】【分析】利用一元二次不等式、函数、方程的关系计算即可.【详解】由题意可知2440a ∆=-⨯>，解之得()(),44,a ∈-∞-⋃+∞.故选：B 4. 若,,a b c R ∈，且满足a b c >>，则下列不等式成立的是A.11a b< B.2211a b >C.2211a bc c >++ D. a c b c>【答案】C 【解析】【分析】通过反例可依次排除,,A B D 选项；根据不等式的性质可判断出C 正确.【详解】A 选项：若1a =，2b =-，则11a b>，可知A 错误；B 选项：若1a =，12b =，则2211a b <，可知B 错误；C 选项：210c +> 2101c ∴>+又a b > 2211a bc c ∴>++，可知C 正确；D 选项：当0c =时，a c b c =，可知D 错误.本题正确选项：C【点睛】本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.5 已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（ ）A. {|1x x ≤-或}2x ≥B. {|01x x <<或}2x ≥C. {|1x x <-或x >2}D. {|01x x <<或x >2}【答案】B 【解析】【分析】根据全集和补集的概念可直接得结果.【详解】因为{}0U x x =>，{}12A x x =≤<，所以U A =ð{|01x x <<或}2x ≥..故选：B6. 已知,R a b ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则a b +的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用集合相等，求出0b =，再根据互异性求出a 的取值情况并检验即可．【详解】根据题意，0a ≠，故0ba=，则0b =，则{a ,0,21}{a =,a ,0}，由集合的互异性知0a ≠且1a ≠，故{a ,0,21}{a =,a ,0}，则21a =，即1a =-或1a =（舍)，当1a =-，0b =时，{1-,0,1}{1=,1-,0}，符合题意，所以1a b +=-．故选：A ．7. 已知0a >，0b >，132a b+=，则a b +的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 2+【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式中“常数”代换，即可求得.【详解】0,0a b >> ，132a b+=，11313()()(4)22b a a b a b a b a b ∴+=++=++1(422≥+=，当且仅当3b a a b =，即a b ==.故选：D .8. 满足{}{}1,2,31,2,3,4,5A = 的集合A 的个数是（ ）A. 4 B. 5C. 7D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据并集、子集知识求得正确答案.【详解】因为{}{}1,2,31,2,3,4,5A ⋃=，所以4,5A ∈，所以集合A 是集合{}4,5与集合{}1,2,3的子集的并集所得，集合{}1,2,3的子集共有328=个，所以集合A 有8个.故选：D9. 设集合{}13A x x =->，{}2B x x a =<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是（ ）A. {}4a a ≤- B. {}1a a ≤- C. {}1a a ≥ D. {}4a a ≥【答案】A 【解析】【分析】先根据不等式解集表示出,A B ，然后将A B A = 转化为B A ⊆，由此列出不等式完成求解.【详解】由13x ->解得4x >或2x <-，所以{2A x x =<-或}4x >，由2x a <解得2ax <，所以2a B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，又因为A B A = ，所以B A ⊆，所以22a≤-，所以4a ≤-，即a 的取值范围是{}4a a ≤-，故选：A.10. 若“11x -<<”是“()()30x a x a ---<”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. {|1a a ≤或2}a ≥ B. {}21a a -<<C. {}21a a -≤≤- D. {|2a a ≤-或1}a ≥-【答案】C 【解析】【分析】求得不等式的()()30x a x a ---<解，由已知可得131a a ≤-⎧⎨+≥⎩（两个等号不能同时成立），求解即可.【详解】因为()()30x a x a ---<，所以3a x a <<+，因为“11x -<<”是“()()30x a x a ---<”的充分不必要条件，的所以131a a ≤-⎧⎨+≥⎩（两个等号不能同时成立），解得21a -≤≤-，所以实数a 的取值范围是{}|21a a -≤≤-.故选：C.11. 已知0x >，0y >，且26xy x y ++=，则2x y +的最小值为（ ）．A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.【详解】解：已知00x y >>，，且xy +2x +y =6，y =621x x -+2x +y =2x +621x x -+=2(x +1)8441x +-≥+，当且仅当()821,11x x x +==+时取等号，故2x +y 的最小值为4.故选:A12. 关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围（ ）A. (1,0][2,3)-⋃ B. [2,1)(3,4]-- C. ()(]2,13,4--⋃ D. [1,0)(2,3]- 【答案】B 【解析】【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得．【详解】不等式2(1)0x a x a -++<化为(1)()0x x a --<，当1a =时，不等式无解，当1a <时，不等式解为1<<a x ，这里有且只有2个整数，则21a -≤<-，当1a >时，不等式解为1x a <<，这里有且只有2个整数，则34a <≤，综上a 的取值范围是[2,1)(3,4]-- ．故选：B .【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式∆的正负，三在方程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解．第Ⅱ卷 非选择题（90分）二．填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分）13. 函数()f x =______．【答案】[)(]2,11,2- 【解析】【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可.【详解】由题意得2010x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得21x x ⎧≤⎨≠⎩，即221x x -≤≤⎧⎨≠⎩，所以()f x 的定义域为[)(]2,11,2- ，故答案为：[)(]2,11,2- .14. 设{|2}A x x ==，{|2}B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的值为_________．【答案】0或1-或1【解析】【分析】根据B A ⊆，对集合{|2}B x ax ==进行分类讨论，即可求得a 的值.【详解】因{|2}A x x ==，则{2,2}A =-，因为{|2}B x ax ==，当0a =时，则B =∅，满足B A ⊆，当0a ≠时，则2{}B a =，因为B A ⊆,所以22a =或22a=-，则1a =或1a =-，综上，0a =或1a =-或1a =.为故答案为：0或1-或1.15. 若2a >-，则162a a ++的最小值为________.【答案】6【解析】【分析】根据基本不等式直接求最值.【详解】1616222622a a a a +=++-≥-=++当且仅当162,22a a a +==+时取等号故答案为：6【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知全集R U =，集合{}Z 03M x x =∈≤≤与集合{}*21,N N x x k k ==+∈的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合中元素的个数为______．【答案】3【解析】【分析】由图形可以看出，阴影部分所示的集合是()U N M ð，故先化简两个集合，即可求解.【详解】由题意{}{}Z 030,1,2,3M x x =∈≤≤=， {}{}*21,N 3,5,7,,N x x k k ==+∈= 故{}()0,1,2U N M ⋂=ð，集合有3个元素，故答案为：317. 已知13a b -<+<且24a b <-<，则23a b +的取值范围是______．【答案】913,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】设()()23a b x a b y a b +=++-，求出,x y ，结合不等式性质可求结论.【详解】设()()23a b x a b y a b +=++-，则()()23a b x y a x y b +=++-，所以2,3x y x y +=-=，故52x =，12y =-，所以()()512322a b a b a b +=+--，因为13a b -<+<，24a b <-<，所以()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以9132322a b -<+<，所以23a b +取值范围是913,22⎛⎫-⎪⎝⎭.故答案为：913,22⎛⎫-⎪⎝⎭.18. 已知集合{}12A x x =-<≤，{}12B x m x m =-≤<+．若A B =∅ ，则实数m 的取值范围是______．【答案】{3m m >或}3m ≤-【解析】【分析】由A B =∅ ，有12m ->或21m +≤-，解不等式可得．【详解】显然集合{}12B x m x m =-≤<+非空，要使A B =∅ ，应有12m ->或21m +≤-，解得3m >或3m ≤-，故答案为：{3m m >或}3m ≤-19. 若两个正数,x y 满足92xy x +=，且不等式212x m m y+>-恒成立，则实数m 取值范围是______．【答案】(1-+【解析】【分析】由条件适当变形，再结合均值不等式求出1x y +的最小值，只需2min 12()m m x y-<+，解出实数m 的范围即可.【详解】解：因为,x y 为正数且满足92xy x +=，的的所以92y x+=，所以1111111()()(2)2)2222x y x xy y x y xy +=++=++≥+=当且仅当192xy xy xy x ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即515x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立.因为不等式212x m m y+>-恒成立，所以只需222m m -<，即2220m m --<，所以11m -<<+，即实数m的取值范围是(1-+.故答案为：(1-+.20. 设,,a b c 是两两不相等的正整数，已知集合{},,A a b b c c a =+++，集合()(){}()222*,1,2N B n n n n =++∈，若A B =，则222ab c ++的最小值是______．【答案】1297【解析】【分析】不妨设a b c <<，由条件可得()2142n a --=，()2122n b ++=，()2342n c +-=，由此证明n 为奇数且3n >，证明5n =时，,,a b c 都最小，由此可得结论.【详解】不妨设a b c <<，则a b a c b c +<+<+，因为A B =，{},,A a b b c c a =+++，()(){}222,1,2B n n n =++，所以2a b n +=，()21a c n +=+，()22b c n +=+，所以()22365a b c n n ++=++，所以23652n n a b c ++++=，所以()()22214365222n n n a n --++=-+=，()()22212365122n n n b n ++++=-+=，()2223436522n n n c n +-++=-=，因为,,a b c 为正整数，N n *∈，所以1n -，1n +，3n +都为奇数，12n ->，故n 为大于等于5的奇数，又当5x ≥时，函数()2142x y --=，()2122x y ++=，()2342x y +-=都随x 的增大而增大，所以当5n =时，,,a b c 同时取最小值，此时222a b c ++取最小值，当5n =时，6a =，19b =，30c =，222363619001297a b c ++=++=，所以222a b c ++的最小值是1297.故答案为：1297.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在与通过假设a b c <<，由此求出,,a b c 的表达式，结合整除知识，证明n 为大于等于5的奇数.三．解答题（本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21. 已知非空集合{}121P x a x a =+≤≤+，{}25Q x x =-≤≤．（1）若3a =，求()R P Q ð；（2）若“x ∈Q ”的充分条件是“x P ∈”，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|24x x -≤< （2）02a ≤≤【解析】【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.（2）根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围.【小问1详解】3a =时，P ={x |4≤x ≤7}，{|4P x x =<R ð或}7x >，因为{}25Q x x =-≤≤，所以(){}R |24P Q x x ⋂=-≤<ð.【小问2详解】若“x ∈Q ”的充分条件是“x P ∈”，则P Q ⊆，所以12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是02a ≤≤.22. 设命题:R p x ∀∈，不等式2102mx mx ++>恒成立：命题1:13m q m m m ⎧⎫+∈≥⎨⎬-⎩⎭．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）02m ≤<（2）01m <<或23m ≤<【解析】【分析】（1）对m 进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 真q 假或p 假q 真，列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】对于命题:R p x ∀∈，不等式2102mx mx ++>恒成立，当0m =时，102>恒成立.当0m ≠时，则需20Δ20m m m >⎧⎨=-<⎩，解得02m <<.综上所述，m 的取值范围是02m ≤<.【小问2详解】由113m m +≥-得1132210333m m m m m m m++-+--==≥---，所以()()223030m m m ⎧--≥⎨-≠⎩，解得13m ≤<.若p 真q 假，则“02m <<”且“1m <或3m ≥”，则01m <<.若p 假q 真，则“0m ≤或2m ≥”且“13m ≤<”，则23m ≤<.综上所述，m 的取值范围是01m <<或23m ≤<.23. 已知函数()()()21,f x ax a x b a b =-++∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,3-，求不等式240bx ax -+<的解集；（2）若1b =，求关于x 的不等式()0f x >的解集．【答案】（1）()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得0a >，且1-，3是方程2(1)0ax a x b -++=的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出a ，b ，进一步可得不等式240bx ax -+<等价于2340x x --+<，即2340x x +->，最后求解不等式即可；（2）当0b =时，0a >时，不等式等价于1(1)0x x a -->，从而分类讨论1a >，1a =，01a <<三种情况即可求出不等式所对应的解集．【小问1详解】若关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,3)-，则1-和3是方程()210ax a x b -++=的两根，且0a >，由韦达定理得123a a b a+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1,3a b ==-，所以不等式()()22403403410bx ax x x x x -+<⇔--+<⇔+->，解得43x <-或1x >，所以不等式240bx ax -+<的解集为()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】若1b =，则()()()()20110110f x ax a x ax x >⇔-++>⇔-->，1）当0a =时，由()10x -->解得1x <；2）当0a ≠时，方程()()110ax x --=的两根为1,1a，当0a <时，11a <，解不等式()()110ax x -->得11x a<<；当01a <<时，11a >，解不等式()()110ax x -->得1x <或1x a >；当1a >时，11a <，解不等式()()110ax x -->得1x >或1x a <；当1a =时，由2(1)0x ->得1x ≠．综上，当0a =时，不等式解集为(),1-∞；当0a <时，不等式解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a <<时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭ ；当1a >时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式解集为()(),11,-∞+∞ ．24. 设二次函数2y x mx =+.（1）若对任意实数[]0,1,0m y ∈>恒成立，求实数x 的取值范围；（2）若存在[)04,0x ∈-，使得函数值04y ≤-成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),10,-∞-⋃+∞（2）[)4,+∞【解析】【分析】(1)转化m 自变量，x 为参数，根据已知条件列方程式即可求解；(2)若存在[)04,0x ∈-，使得04y ≤-成立，经变形后()004x m x -+≤-，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出m 的取值范围.【小问1详解】对任意实数[]()0,1,0m f x ∈>恒成立，即()20g m xm x =+>对任意实数[]0,1m ∈恒成立，因为()2g m xm x =+是关于m 的一次函数， 所以()()220010g x g x x ⎧=>⎪⎨=+>⎪⎩001x x x ≠⎧⎨><-⎩或所以实数x 的取值范围是()(),10,-∞-⋃+∞；【小问2详解】存在[)04,0x ∈-，使得()04f x ≤-成立，即2004x mx +≤-，只需()004x m x -+≤-成立，即需00min 4x m x ⎛⎫-+ ⎪-⎭≤⎝成立，因为(]00,4,x -∈所以0044x x -+≥=-（当且仅当02x =-时等号成立），则00min 44x m x ⎛⎫-+=≤ ⎪-⎝⎭，所以4≥m ，综上得实数m 的取值范围是：[)4,+∞.。
天津市和平区2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题含解析
天津市和平区2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每-行均构成公比为2的等比数列，1a 23,a a 4567,,,a a a a89101112131415,,,,,,,a a a a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅记数阵中的第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，T 为数列{}n b 的前n 项和，若253n T n n =+，则1025a 等于( )A ．176B ．196C ．216D ．236【答案】C 【解析】 【分析】先确定1025a 为第11行第2个数，由253n T n n =+可得102n b n =-，最后根据从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列即可得出结论． 【详解】∵其中每一行项数是上一行项数的2倍，第一行有一个数， 前10行共计()10112102312-=-个数，即1025a 为第11行第2个数，又∵第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，253n T n n =+， ∴当2n ≥时，()()221535131102n n n b T T n n n n n -=-=+----=-，∴第11行第1个数为108， ∴10251082216a =⨯=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是1025a 为第11行第2个数，属于中档题． 2．2sin y x =是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数【答案】A 【解析】 【分析】将函数2sin y x =化为()11cos22y x =-的形式后再进行判断便可得到结论． 【详解】由题意得()()21sin 1cos22y f x x x ===-， ∵()()f x f x -=， 且函数()()11cos22f x x =-的最小正周期为2π2π=， ∴函数2sin y x =时最小正周期为π的偶函数． 故选A ． 【点睛】判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为()y Asin x ωϕ=+或()(0)y Acos x ωϕω=+>的形式，然后利用公式2πT ω=求解即可得到周期．3．若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（） A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到不等式，化简后可判断16a 的情况. 【详解】据题意：1021S S >，则1104521210a d a d +>+，所以1111650a d +<，即111(15)0a d +<，则：160a <， 故选C. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的应用，难度较易.等差数列前n 项和之间的关系可以转化为1a 与d 的关系. 4．在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）A ．16nmB．12nmC．8nmD．6nm【答案】B【解析】由题直角ABC∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，设三边为()()222,1,2,12,n n n n n n++∴++=+解得13,:346,2n S=∴=⨯⨯=以三个顶点为圆心的扇形的面积和为211,22ππ⨯⨯=由题122,.6m mn nππ=∴=故选B.5．在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝12NC，P是BN上的一点，若AP＝m AB＋29AC，则实数m的值为()A．19B．13C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.【详解】设NP NBλ=，AP AN NP=+13AC NBλ=+=1()3AC NA ABλ++11()33AC ABλλ=-+所以112,339λ-=所以1.3λ=故选B.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.6．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度40AB=米，拱高10OP=米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P的高度大约是（）A．9.7米B．9.1米C．8.7米D．8.1米【答案】A【解析】【分析】以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将4x =-代入圆的方程，可求出支柱22A P 的高度 【详解】由图以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为()0,a ，()0,10P ，()20,0A -， 则圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=，()222210400a r a r⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩ ，解得15a =-，25r =， ∴圆的方程为()2215625x y ++=，将4x =-代入圆的方程，得229.7y A P =≈()m .故选：A 【点睛】本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 7．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为1．则它的弧长为（ ） A ．53πB ．23πC ．52πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果. 【详解】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.8．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+【答案】A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ． 考点：线性回归直线.9．已知函数2()2cos 32f x x x =，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =ABC 的面积的最大值为（ ）A ．33B 33C 3D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过将2()2cos 32f x x x =利用合一公式变为2cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入A 求得A 角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 【详解】2()2cos 32f x x x ==cos 23212cos 213x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 为三角形内角，则3A π=6a =222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号11333sin 622ABCSbc A =≤⨯=【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.10．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（）A．2 B．3 C．4 D．1【答案】B【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a中，公比2q，前n项和为nS，55S=，3531mS=，求m的值．因为()51512512aS-==-，解得1531a=，()51235311231mmS-==-，解得3m=．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 11．如图所示，在ABC中，30BC=，点D 在BC边上，点E在线段AD上，若1162CE CA CB=+,则BD=（）A．10B．12C．15D．18【答案】B【解析】【分析】本题首先可根据点D在BC边上设()01CD CBλλ=<≤，然后将1162CE CA CB=+化简为1162CE CA CD，再然后根据点E在线段AD上解得35λ=，最后通过计算即可得出结果．【详解】因为点D在BC边上，所以可设()01CD CBλλ=<≤，所以11116262CE CA CB CA CDλ=+=+，因为点E在线段AD上，所以,,A E D三点共线，所以11162λ+=，解得35λ=， 所以330185CD =⨯=，301812BD =-=，故选B ．【点睛】本题考查向量共线的相关性质以及向量的运算，若向量a 与向量b 共线，则λa b ，考查计算能力，是中档题．12．已知圆心在x 轴上的圆C 经过()3,1A ，()1,5B 两点，则C 的方程为（ ）A ．()22450x y ++= B ．()22425x y ++= C ．()22450x y -+= D ．()22425x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】由圆心在x 轴上设出圆心坐标,设出圆的方程,将()3,1A ,()1,5B 两点坐标代入,即可求得圆心坐标和半径,进而得圆的方程. 【详解】因为圆心在x 轴上,设圆心坐标为(),0C m ,半径为r 设圆的方程为()222x m y r -+= 因为圆C 经过()3,1A ,()1,5B两点代入可得()()222231125m r m r⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解方程求得2450m r =-⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程为()22450x y ++= 故选:A 【点睛】本题考查了圆的方程求法,关键是求出圆心和半径,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10 【解析】 【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S . 【详解】设该数列的公差为d ，由题可知：()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故5151010S a d =+=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题. 14．已知斜率为的直线l 的倾斜角为α，则cos α=________．【答案】【解析】 【分析】由直线的斜率公式可得tan α＝sin cos αα=cos 0α<，由同角三角函数的基本关系式计算可得答案． 【详解】根据题意，直线l 的倾斜角为()0ααπ<<，其斜率为， 则有tan α＝sin cos αα=2παπ<<，必有cos 0α<，即sin αα=，平方有：22sin 2cos αα=，得221cos 2cos αα-=，故21cos 3α=，解得cos α=或cos α=（舍）．【点睛】本题考查直线的倾斜角，涉及同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 15．直线1:3210l x y --=与2:3210l x y -+=间的距离为________ ．【答案】13【解析】【分析】根据两平行线间的距离，d =.【详解】因为直线1:3210l x y --=与2:3210l x y -+=互相平行，所以根据平行线间的距离公式d =可以得到它们之间的距离，13d ===. 【点睛】本题考查两平行线间的距离公式，属于简单题.16．中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为__________里． 【答案】3 【解析】分析：每天走的路形成等比数列{a n }，q=12，S 3=1．利用求和公式即可得出． 详解：每天走的路形成等比数列{a n }，q=12，S 3=1．∴S 3=1=611[1)2112a ⎛⎤- ⎥⎝⎦-，解得a 1=2． ∴该人最后一天走的路程=a 1q 5=51192()2⨯=3． 故答案为：3．点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(新课标人教版)天津市和平区2019-2020学年高一下期中考试数学试题-附答案(已审阅)
天津市和平区2019-2020学年度第二学期高一年级期中质量调查数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是A.若0a b <<，则 ac bc <B. 若,a b c d >>，则 ac bd >C.若a b >，则1a b < D.若22,0a bc c c>≠，则a b > 2.在数列{}n a 中，111,3n n a a a +=-=-，则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 11 3.若13,24a b <<<<，则ab的范围是 A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B. 3,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 13,42⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,4 4.在ABC中，已知,24c A a π===，则角C =A.3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512π5.已知数列{}n a 为等比数列，有51374a a a -=，{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b += A. 4 B. 8 C. 16 D. 0或86.在ABC 中，已知sin 2cos sin A B C =，则ABC 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A.13 B. 18 C. 19 D.3108.已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-，则此数列奇数项和前n 项和是A. ()21213n -B. ()11213n +-C. ()21223n -D. ()11223n +-第Ⅱ卷（非选择题 共76分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.在数列{}n a 中，223n a n =-，则125是这个数列的第 项.10.在ABC 中，三边,,a b c 成等比数列，222,,a b c 成等差数列，则三边,,a b c 的关系为 . 11.对于任意实数x ，不等式23204mx mx +-<恒成立，则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中，已知11a =，前5项和535,S =则8a 的值是 . 13.在ABC 中，若120,5,7,A AB BC ===，则ABC 的面积S = .14.已知数列{}n a 满足，11232,2nn n a a a +=+⋅=，则数列{}n a 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}|x 1x b x <>或. （1）求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.16.(本小题满分8分)已知等比数列{}n a 中，11a =，公比为q ，且()1.n n n b a a n N *+=-∈ （1）判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. （2）求数列{}n b 的通项公式.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前项和22 4.n n S +=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足，73154,b a b a ==，求数列{}n b 的前项和.n T18.(本小题满分12分)若等比数列{}n a 的前n 项和1.2n n n S a =- （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和.n T19.(本小题满分10分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45,cos .5b c A == （1）求sin C 的值； （2）若ABC 的面积为3sin sin ,2ABCS B C =求a 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*+++≠-=∈ （1）求证：12;n n n S a -=（2）设1nn n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T。
2020-2021学年天津市北辰区、津南区四校高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市北辰区、津南区四校高一（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{0，1}，则A∪（∁U B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设x∈R，则“x2﹣5x+6＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为＝0.85x+2.1，则表中看不清的数据为（）x0134y 3.3 4.8 5.7 A．2.2B．1.8C．1.6D．1.44．函数f（x）＝e x﹣cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到填空题”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为（）A．60种B．50种C．30种D．24种7．曲线f（x）＝xe x在x＝2处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（）A．B．C．D．8．如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2m，东西的人行通道宽3m，如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A．550m2B．538m2C．528m2D．504m29．已知函数f（x）＝xlnx且0＜x1＜x2，则下列结论中正确的是（）①x1f（x2）＞x2f（x1）；②x2+f（x2）＞x1+f（x1）；③＞0；④当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）．A．①②③B．②④C．①③④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将正确的答案填写到答题纸上。
天津市和平区第一中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
【分析】
由直线方程可确定其恒过的定点，由点与圆的位置关系的判定方法知该定点在圆内，则可知直线与圆相交.
【详解】
由 得：
直线 恒过点
在圆 内部
直线 与圆 相交
故选：
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定，涉及到直线恒过定点的求解、点与圆的位置关系的判定，属于常考题型.
3．A
【分析】
根据 以及 可求出直线 的倾斜角.
【详解】
由反射定律得点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，
最短距离为|BC|﹣R= ﹣2=10﹣2=8，
故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为8．
故选B．
【点睛】
本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．
5．A
【分析】
设 ，根据直线上的点和直线与圆相切求得参数，再由平行线间的距离可得选项.
A．4B．2C． D．
6．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
【详解】
如下图所示，由切线长定理可得 ，又 ， ，且 ， ，
所以，四边形 的面积为 面积的两倍，
（1）若圆 分别与 轴、 轴交于点 、 （不同于原点 ），求证： 的面积为定值；
（2）设直线 与圆 交于不同的两点 、 ，且 ，求圆 的方程；
（3）设直线 与（2）中所求圆 交于点 、 ， 为直线 上的动点，直线 、 与圆 的另一个交点分别为 、 ，求证：直线 过定点.
2020-2021学年天津市和平区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝22．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣13．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．58．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m ＝．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的标准方程是：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：C．2．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：数列{a n}，满足a n+1＝，当a1＝时，解得a2＝2，当n＝2，解得，当n＝3时，解得，所以数列的周期为3．故．故选：A．3．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，而直线x+2y＝5与x轴交点为（5，0），则c＝5，进而有9+a2＝25，解可得a2＝16，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y＝±x；故选：A．4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，将点P（2，2）代入圆（x﹣1）2+y2＝5恒成立，则点P在圆上．即过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切的切线只有一条，令过点P（2，2）的切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切线与ax﹣y+1＝0平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故选：C．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝＝＝＝．故选：C．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±【解答】解：由题意a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，故有a2a4＝4又{a n}为等比数列∴a2a4＝a32，∴a3＝±2．故选：B．7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1，∴点A到准线的距离为4+1＝5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），则有，联立可得：y＝，即两圆公共弦所在直线的方程为y＝，圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d＝＝，又由a＞0，则有＝，解可得a＝，故选：A．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2＝﹣8x，∴焦点在x轴，p＝4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m＝．故答案为：．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），∴点B到平面D1EC的距离：d＝＝＝．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝2n﹣1．【解答】解：数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），所以，，…，，所以＝，所以．故答案为：2n﹣1．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【解答】解：如图所示：曲线y＝3﹣，即y﹣3＝﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，可得＝2，∴b＝1+，或b＝1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），C（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，设x＝1，则＝（1，﹣1，1），平面DEC的法向量＝（1，0，0），设平面BDE与平面DEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由e＝＝，且a＝2，则c＝1，b＝＝，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），设经过右焦点F2的直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由⊥，即AF1⊥BF1，k•k＝•＝﹣1，即有（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4＝（1+m2）•（﹣）+2m•（﹣）+4＝0，解得m＝±，则直线l的方程为x＝±y+1，即为y＝±（x﹣1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n①．所以当n＝1时，．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，整理得2a n＝a n﹣1，故（常数），所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列；所以，首项符合通项，所以．证明：（2）设，所以①，②，①﹣②得：＝，所以．。
2019-2020年天津和平区高三数学一模试卷及其答案
(10)已知 a 为实数，i 为虚数单位，若复数 z=(a2-1)+(a+1)i 为纯虚数，则
a i2020 1 i
__ .
(11)
若
x
a 3x
8
的展开式中
x4
的系数为
-448，则实数 a ____________.
(12) 已知一个体积为 8 的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，
行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能
连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )
A．378
B．306
C．268
D．198
（9）已知圆 O 的半径为 2， P,Q 是圆 O 上任意两点，且 POQ 600 ， AB 是圆 O 的一
条直径，若点
C
满足
OC
1
OP
OQ（
A．1,1, 2
B．1
C．2
D．0,1, 2
（2）“
3
k (k
Z ) ”是“ tan
6
3 ”的( 3
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
（3）已知 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数， g(x) [x] 为取整函数， x0 是函数
f ( x) ln x x 4 的零点，则 g x0 （ ）
高三年级数学试卷 第 3页（共 4 页）
(18) (本小题满分 15 分)
已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
2，左、右焦点分别为 2
如果事件 A，B 互斥,那么
如果事件 A，B 相互独立,那么
2019-2020学年天津市和平区高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：共10小题，每题4分，共40分．1．（4分）cos120°是（）A．﹣B．﹣C．D．2．（4分）集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝，则A∪B＝（）A．（1，2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（0，2）3．（4分）使得函数f（x）＝log2x+x﹣5有零点的一个区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．（4分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a5．（4分）已知tan x＝﹣，x∈[，π]，则cos（﹣x）＝（）A．B．C．﹣D．﹣6．（4分）已知a、b都是实数，那么“”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．B．C．D．8．（4分）如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A．f（x）＝3sin（x+）B．f（x）＝3sin（2x+）C．f（x）＝3sin（2x﹣）D．f（x）＝3sin（2x+）9．（4分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．10．（4分）已知，若存在三个不同实数a，b，c使得f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（0，1]B．[﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（0，1）二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11．（4分）命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是．12．（4分）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是．13．（4分）不等式（）＞1的解集是．14．（4分）化简log2.56.25+lg0.001+2ln﹣＝．15．（4分）已知函数y＝log2（ax+2）在（1，3）上单调递减，则a的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，每题8分，共40分，要求写出文字说明、解答过程或验算步骤．16．（8分）已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求：（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求α﹣β的值．17．（8分）已知＝2．（1）求tan x的值；（2）求的值．18．（8分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a（a∈R），且f（）＝0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．19．（8分）已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．（8分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，已知g（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．2019-2020学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每题4分，共40分．1．（4分）cos120°是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos60°，从而求得结果．【解答】解：cos120°＝cos（180°﹣60°）＝﹣cos60°＝﹣，故选：A．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．（4分）集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝，则A∪B＝（）A．（1，2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（0，2）【分析】解不等式求出集合A、B，再计算A∪B．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}＝（﹣2，3），集合B＝＝{x|1＜x＜2}＝（1，2），则A∪B＝（﹣2，3）．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（4分）使得函数f（x）＝log2x+x﹣5有零点的一个区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【分析】由题意知函数f（x）＝log2x+x﹣5在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．【解答】解：函数f（x）＝log2x+x﹣5在（0，+∞）上连续，f（3）＝log23+3﹣5＜0；f（4）＝2+4﹣5＞0；故函数f（x）＝log2x+x﹣5的零点所在的区间是（3，4）；故选：C．【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4．（4分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．5．（4分）已知tan x＝﹣，x∈[，π]，则cos（﹣x）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵tan x＝﹣，x∈[，π]，∴cos（﹣x）＝cos x＝﹣＝﹣＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．（4分）已知a、b都是实数，那么“”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a＝1，b＝0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．7．（4分）下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据周期为π＝求得ω＝2，故排除C、D．再利用诱导公式化简A、B中的函数，判断其奇偶性，从而得出结论．【解答】解：根据周期为π＝，∴ω＝2，故排除C、D．再根据函数为偶函数，而＝﹣sin（﹣2x）＝﹣cos2x，故函数是偶函数，故满足条件．而＝cos（﹣2x）＝sin2x，为奇函数，不满足条件，故排除．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的单调性和周期性，诱导公式，属于基础题．8．（4分）如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（）A．f（x）＝3sin（x+）B．f（x）＝3sin（2x+）C．f（x）＝3sin（2x﹣）D．f（x）＝3sin（2x+）【分析】根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．【解答】解：由图象知A＝3，函数的周期T＝﹣（﹣）＝π，即＝π，即ω＝2，则f（x）＝3sin（2x+φ），由五点对应法得2×（﹣）+φ＝0，即φ＝，则f（x）＝3sin（2x+），故选：B．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．9．（4分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解【解答】解：依题意，，解得0≤a＜，故选：B．【点评】本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点出函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全．10．（4分）已知，若存在三个不同实数a，b，c使得f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（0，1]B．[﹣2，0）C．（﹣2，0]D．（0，1）【分析】本题可先画出分段函数f（x）的图象，然后根据图象分析a、b、c的取值范围，再根据对数函数以及绝对值函数的性质得出bc＝1，即可得到abc的取值范围．【解答】解：由题意，可画出f（x）函数的图象大致如下：∵存在三个不同实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），可假设a＜b＜c，∴根据函数图象，可知：﹣2＜a≤0，0＜b＜1，c＞1．又∵f（b）＝f（c），∴|log2019b|＝|log2019c|，即：﹣log2019b＝log2019c．∴log2019b+log2019c＝0．∴log2019bc＝0，即bc＝1．∴abc＝a．∵﹣2＜a≤0，∴﹣2＜abc≤0．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，绝对值函数以及对数函数的应用，不等式的性质．本题属中档题．二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11．（4分）命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是∀x＞0，x2+x﹣1≤0．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是：∀x＞0，x2+x﹣1≤0．故答案为：∀x＞0，x2+x﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．12．（4分）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是16．【分析】x+y等于x+y乘以，展开，利用基本不等式；注意等号成立的条件．【解答】解：∵∴＝当且仅当时，取等号．故答案为16．【点评】本题考查当一个整数式子与一个分式式子在一个题中出现时，求一个式子的最值，常将两个式子乘起，展开，利用基本不等式．考查利用基本不等式求最值要注意：一正、二定、三相等．13．（4分）不等式（）＞1的解集是（﹣1，3）．【分析】先利用指数函数的单调性得x2﹣2x﹣3＜0，再解一元二次不等式即可．【解答】解：（）＞1⇔x2﹣2x﹣3＜0⇔﹣1＜x＜3．故答案为：（﹣1，3）【点评】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．14．（4分）化简log2.56.25+lg0.001+2ln﹣＝﹣．【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．【解答】解：原式＝2﹣3+1﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（4分）已知函数y＝log2（ax+2）在（1，3）上单调递减，则a的取值范围是．【分析】依题意，一次函数y＝ax+2为减函数，且当x∈（1，3）时，y＝ax+2＞0恒成立，由此可得到a的取值范围．【解答】解：由复合函数的单调性可知，一次函数y＝ax+2为减函数，则a＜0，且当x∈（1，3）时，y＝ax+2＞0恒成立，则只需3a+2≥0，即，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题．三．解答题：本大题共5小题，每题8分，共40分，要求写出文字说明、解答过程或验算步骤．16．（8分）已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求：（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求α﹣β的值．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系分别求得cosα和sinβ的值，利用两角和公式求得sin（α﹣β）的值．（2）根据）α，β的范围判断出α﹣β的范围，最后根据sin（α﹣β）的值求得答案．【解答】解：（1）∵α，β均为锐角，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∴sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝×﹣×＝﹣，（2）∵α，β均为锐角，∴﹣＜α﹣β＜，∵sin（α﹣β）＝﹣，∴α﹣β＝﹣【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了学生基础知识的运用和运算能力．17．（8分）已知＝2．（1）求tan x的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解tan x的值；（2）利用诱导公式可求tan的值，进而根据两角和的正切函数公式即可求解的值．【解答】解：（1）∵＝2，可得＝2，∴解得tan x＝﹣3；（2）∵tan＝tan（π+）＝tan＝1，∴＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（8分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a（a∈R），且f（）＝0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换可得sin（2×+）+a﹣1＝0，即可解得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数解析式，由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可求解其值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin2x+a，＝cos2x+sin2x﹣2•+a，＝sin（2x+）+a﹣1，又f（）＝0．可得sin（2×+）+a﹣1＝0，解得：a＝1．（Ⅱ）由题意可得：f（x）＝sin（2x+）．由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，可得sin（2x+）∈[﹣，1]，可得f（x）＝sin（2x+）∈[﹣，]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19．（8分）已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝＝0，解可得b的值，验证即可得答案；（2）根据题意，设﹣1＜x1＜x2＜1，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于，解可得t的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，则有f（0）＝＝0，则b＝0；此时f（x）＝，为奇函数，符合题意，故f（x）＝，（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝﹣又由﹣1＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，x1x2+1＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数；（3）根据题意，f（t﹣1）+f（t）＜0⇒f（t﹣1）＜﹣f（t）⇒f（t﹣1）＜f（﹣t）⇒，解可得：＜t＜1，即不等式的解集为（，1）．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．20．（8分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，已知g（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（Ⅱ）利用三角函数的关系式中角的恒等变换的应有求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x＝＝．令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的单调增区间为：[]（k∈Z）．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）＝2sin（2x﹣）+1的图象，由于g（x0）＝，即，整理得．由于x0∈[，]，所以．故．则＝＝．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
2021-2022学年天津市五校联考高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市五校联考高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数()211i z a a =-++，其中R a ∈，i 是虚数单位，若z 为纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．-1或1【答案】C【分析】利用复数的定义直接列式计算作答.【详解】依题意，21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，所以a 的值为1.故选：C2．在ABC 中，若sin sin cos B A C =，则ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】根据内角和定理和正弦的差角公式得sin sin cos cos sin B A C A C =+，进而结合已知得cos 0A =，2A π=,进而可得答案.【详解】解：因为A B C π++=，所以B A C π-=+所以()()sin sin B A C π-=+，即sin sin cos cos sin B A C A C =+， 因为sin sin cos B A C =， 所以cos sin 0A C =， 因为()0,,sin 0C C π∈≠， 所以cos 0A =， 因为()0,A π∈， 所以2A π=，即ABC 是直角三角形.故选：A3．已知m ，n 表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//αβ，//m β，则//m α B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m α，n α⊥，则m n ⊥ D ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥【答案】C【分析】根据给定条件，举例说明判断选项A ，B ，D ；利用线面平行、垂直的性质推理判断C 作答.【详解】对于A ，因//αβ，当m α⊂时，满足//m β，显然//m α不成立，A 不正确； 对于B ，如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD 为平面α，平面11CDD C 为平面β，直线11A B 为直线m ，显然有//m α，//m β，而CD αβ=，B 不正确；对于C ，因//m α，则存在经过直线m 的平面γ，使得l γα⋂=，则//m l ，而n α⊥，有n l ⊥，因此m n ⊥，C 正确；对于D ，因n ⊂α，则在平面α内存在直线m ，满足m n ⊥，即m α⊥不成立，D 不正确. 故选：C4．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.记这组数据的中位数为a ，平均数为b ，众数为c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】C【分析】直接计算这组数据的中位数，平均数，众数即可. 【详解】这10个数据已经从小到大进行了排序，∴中位数1515152a +==，众数为=17c ，平均数1012141415151617171714.710b +++++++++==，c a b ∴>>.故选：C5．如图所示，平行四边形ABCD 中，2BE EC =，点F 为线段AE 的中点，则AC =（ ）A ．3142AE BF +B ．34AE BF +C ．5142AE BF +D ．54AE BF +【答案】C【分析】由已知可得AC AE EC →→→=+，12EC BE →→=，12BE BF AE →→→=+，化简计算即可得出结果.【详解】1115122242AC AE EC AE BE AE BF AE AE BF →→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=++=+ ⎪⎝⎭.故选：C.6．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A ．1()4P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．事件A 与事件B 相互独立D ．1()2P A B ⋃=【答案】C【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答. 【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则21()42P A ==，A 不正确； 事件B 含有的基本事件有8个：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)，其中事件(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)发生时，事件A 也发生，即事件A ，B 可以同时发生，B 不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，8141(),()()()162164P B P AB P A P B =====， 即事件A 与事件B 相互独立，C 正确；1113()()()()2244P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，D 不正确. 故选：C7．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A B ． C D【答案】A【分析】根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，故可得2233r ππ=⨯，解得1r =，设圆锥的高为h ，则h则圆锥的体积21133V r h ππ=⨯⨯=⨯⨯=.故选：A8．已知AB AC ⊥，1||AB t =，||AC t =，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；若P 是△ABC 所在平面内一点，4||||AC ABAP AC AB =+，则PB PC ⋅的最大值为是（ ） A ．17 B ．13C ．12D ．15【答案】B【分析】由题意，画图建立坐标系，根据向量单位化运算，可表示出每一个点的坐标，根据数量积的坐标公式，结合基本不等式，可得答案.【详解】由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ，1,0B t ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,C t ，()()()40,41,01,4AC AB AP ACAB=+=+=，()1,4P ∴，11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--，()()()11111441416417PB PC t t t t t t ⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯-=-+-+=--+ ⎪⎝⎭1713≤-=，当且仅当12t =时，等号成立，故选：B.二、填空题 9．已知复数13i1iz +=+（i 为虚数单位），则z = ___________. 5【分析】根据复数除法运算得2i z =+，再计算模即可得答案. 【详解】解：因为()()()()13i 1i 13i 1i 3i+32i 1i 1i 1i 2z +-+-+====+++-， 所以22215z =+故答案为510．已知向量(2,1)a =，(3,)b λ=，若//a b ，则||b =___________. 352【分析】根据//a b 求出λ值，从而得到b 的坐标，代入向量模长的坐标公式计算即可. 【详解】向量(2,1)a =，(3,)b λ=，且//a b ，∴2310λ-⨯=，32λ∴=，3(3,)2b ∴=，223353()22b ∴=+=. 故答案为：35211．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄､学历､职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[1500，3000]（元）月收入段应抽出___________人.【答案】70【分析】根据频率分布直方图的性质，计算出所求区间的频率，根据分层抽样的定义，可得答案.【详解】抽到在[1500，3000]（元）月收入段的频率为()0.00040.00050.00055000.7++⨯=，在[1500，3000]（元）月收入段应抽出1000.770⨯=（人）， 故答案为：70.12．在正四面体ABCD 中，E 为BC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为___________. 【答案】36136【分析】取BD 的中点F ，作出异面直线AE 与CD 所成的角，再利用三角形计算作答. 【详解】在正四面体ABCD 中，取BD 的中点F ，连接,EF AF ，如图，设2AB =，因E 为BC 的中点，则//EF CD ，112EF CD ==，即有AEF ∠是异面直线AE 与CD 所成的角或其补角，而3AE AF ==，在等腰AEF 中，1132cos 623EFAEF AE ∠===， 所以异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为36. 故答案为：3613．在我国古代的数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，3AC =，鳖臑11A BCC -的体积为2，若2BC =，则阳马111A BCC B -外接球的表面积为________．【答案】17π【分析】阳马(四棱锥)111A BCC B -所在的三棱柱为直三棱柱111ABC A B C -，则两个几何体的外接球是同一个球，则求直三棱柱111ABC A B C -外接球半径即可.由等体积法得出三棱锥111B A B C -的体积为2，并由此求出直三棱柱的高1BB ，根据几何关系找到外接球球心，求出外接球半径即可求其表面积．【详解】阳马(四棱锥)111A BCC B -所在的三棱柱为直三棱柱111ABC A B C -，则两个几何体的外接球是同一个球．由于三棱锥11A BCC -与三棱锥111A BB C -等底同高，∴这两个三棱锥的体积相等，即三棱锥111B A B C -的体积为2．AC BC ⊥，1111AC B C ⊥∴，∴△111A B C 的面积为1111111132A B C SAC B C =⋅=， ∴111111111113233B A BC A B C V SBB BB BB -==⋅⋅=⋅=，如图，12O O 、分别为直三棱柱上下底面外接圆圆心，则12O O 中点O 为外接球球心，OB 即为外接球半径R ，Rt ABC 的外接圆半径为2223212AB AC BC +==， 则2221131712244BB AB R ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝＝， ∴阳马111A BCC B -外接球的表面积为2417πR π＝． 故答案为：17π．三、双空题14．现对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.6，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理. 设每台设备是否合格相互独立，则每台设备报废的概率为___________.检测3台设备，则恰有2台合格的概率为___________. 【答案】 0.2； 0.384【分析】①设备报废即连续两次检测都不合格，则可得每台设备报废概率P ； ②由①得出每台设备合格的概率P ， 即可由独立重复试验概率公式求得概率 【详解】①设备报废即连续两次检测都不合格，则每台设备报废概率P 为：()()10.510.60.2-⨯-=；②每台设备合格的概率10.8P P =-=，每台设备是否合格相互独立，则检测3台设备，则恰有2台合格的概率为223C 0.80.20.384⋅⋅=.故答案为：0.2；0.384.四、解答题15．已知平面向量已知平面向量,a b ，(1,3)a =，||1b =，且a 与b 的夹角为3π. (1)求a b ⋅；(2)求||2a b -(3)若2a b +与2(R)a b λλ+∈垂直，求λ的值. 【答案】(1)1 (2)2 (3)4-【分析】（1）由题意，根据向量模长的坐标表示，结合数量积的定义式，可得答案； （2）由（1），根据数量积的性质，求解模长，可得答案； （3）根据垂直向量的数量积性质，可得答案. 【详解】(1)132a =+=，1cos ,cos32a b π==，1||||cos ,2112a b a b a b ⋅=〈〉=⨯⨯=.(2)222|2|444a b a a b b -=-⋅+=，∴|2|2a b -=.(3)若2a b +与2()a b R λλ+∈垂直，则(2)(2)0a b a b λ+⋅+=，即222240a b a b a b λλ++⋅+⋅=，∴8240λλ+++=，即1230λ+=， ∴4λ=-.16．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB ⊥AD ，且11 2AB AD CD ===，现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.(1)求证：//AM 平面BEC ； (2)求证：BC ⊥平面BDE ；(3)求直线BC 与平面ADEF 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 2【分析】（1）取EC 中点N ，证明//AM BN ，再利用线面平行的判定推理作答. （2）由已知结合余弦定理证明BC BD ⊥，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理作答.（3）作出线面角，再在直角三角形中计算作答.【详解】(1)取EC 中点N ，连接MN ，BN ，如图，在△EDC 中，M 为ED 的中点，则//MN CD ，且12MN CD =，而//AB CD ，12AB CD =，即有//,MN AB MN AB =，因此四边形ABNM 为平行四边形，有//AM BN ，因BN ⊂平面BEC ，且AM ⊄平面BEC ， 所以//AM 平面BEC .(2)由正方形ADEF 知，ED ⊥AD ，而平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD =AD ，ED ⊂平面ADEF ，则ED ⊥平面ABCD ，而BC ⊂平面ABCD ，即有ED BC ⊥， 在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，1AB AD ==，则2BD 45BDC ∠=， 而2CD =，有2222cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，即2224BD BC CD +==， 因此BC BD ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDE ， 所以BC ⊥平面BDE .(3)延长CB 与DA 交于P 点，由（2）知CD DE ⊥，而CD DA ⊥，DA DE D ⋂=，,DA DE ⊂面ADEF ，于是得CD ⊥面ADEF ，即CPD ∠为直线BC 与平面ADEF 所成角，而222CP BC ==则2sin CD CPD CP ∠==所以直线BC 与平面ADEF 217．某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲､乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）.(1)根据样本数据，求甲､乙两厂产品质量的平均数和中位数；(2)若从甲厂6件样品中随机抽取两件，列举出所有可能的抽取结果；记它们的质量分别是a 克，b 克，求||4a b -<的概率.【答案】(1)甲厂质量的平均数114，甲的中位数是113；乙厂产品质量的平均数是114，乙的中位数是113 (2)13【分析】（1）把甲、乙两组数据分别从小到大排序，即可计算得甲､乙两厂产品质量的平均数和中位数；（2）列举出甲厂6件样品中随机抽取两件的所有可能的抽取结果，然后结合题意分析计算即可.【详解】(1)甲厂质量的平均数1081111121141161231146+++++=， 甲的中位数是1121141132+=， 乙厂产品质量的平均数是1081091121141151261146+++++=， 乙的中位数是1121141132+=. (2)从甲厂6件样品中随机抽两件，结果共有15n =个，分别为：{108,111},{108,112},{108,114},{108,116}，{108,123},{111,112},{111,114},{111,116}， {111,123},{112,114},{112,116},{112,123},{114,116}，{114,123},{116,123}设“||4a b -< ”为事件为A ，由事件A 共有5个结果：{108,111},{111,112},{111,114},{112,114},{114,116}，∴||4a b -<的概率()51153P A ＝＝. 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若6cos A =，求cos(2)A C +的值； (2)若7c =ABC 33a ，b 的值.【答案】(1)1358+- (2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得；（2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==，因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=； 由6cos 4A =，则10sin 4A =， 所以61015sin 22sin cos 2444A A A ==⨯⨯=， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-， ()cos 2cos2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1115313542428+-⨯-⨯=-； (2)解：因为ABC 的面积1sin 3322S ab C ==，所以6ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②，由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .(1)求三棱锥A BDE -的体积；(2)求证：PB ⊥平面EFD ；(3)求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小.【答案】(1)23 (2)证明见解析 (3)π3【分析】（1）取DC 中点M ，连接EM ，易知1EM =且EM ⊥底面ABCD ，由此即可求出答案；（2）由题意易证DE ⊥面PBC ，则可得PB DE ⊥，再结合PB EF ⊥，利用线面垂直的判定定理即可得证；（3）由题意易知EFD ∠是平面CPB 与平面PBD 的夹角，且DE EF ⊥，分别求出DE DF 、的值，利用sin DE EFD DF∠=，即可求出答案. 【详解】(1)取DC 中点M ，连接EM ， 在PDC △中，M E 、分别为CD CP 、中点， ∴EM 为PDC △的中位线，∴EM PD ∥，且12EM PD =， 又∵2PD =，∴1EM =∵PD ⊥底面ABCD ，∴EM ⊥底面ABCD ，∴112221323A BDE E ABD V V --==⨯⨯⨯⨯=；(2)∵PD ⊥底面ABCD ，且BC ⊂面ABCD ∴PD BC ⊥，∵底面ABCD 是正方形，∴DC BC ⊥，又PD DC D ⋂=,PD DC ⊂、面PDC , ∴BC ⊥面PDC ,又DE ⊂面PDC∴BC DE ⊥∵PD DC =，且PD DC ⊥， ∴PDC △是等腰直角三角形，又DE 是斜边PC 的中线， ∴DE PC ⊥，又PC BC C ⋂=,PC BC ⊂、面PBC , ∴DE ⊥面PBC ，∵PB ⊂面PBC∴DE PB ⊥,∵PB EF ⊥,又DE EF E =,DE EF ⊂、面EFD ∴PB ⊥平面EFD ；(3)由（2）可知PB DF ⊥， 故EFD ∠是平面CPB 与平面PBD 的夹角， ∵2PD DC ==∴DE =在PBD △中，BD =PB =DF = 又DE ⊥面PBC ，∵EF ⊂面PBC∴DE EF ⊥,在Rt EFD中，sin DE EFD DF ∠===， ∴3πEFD ∠=，故平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小π3.。