统计专业实验-实验7-因子分析和综合评价培训讲学
因子分析 PPT课件
同时假定随机向量 X 满足以下模型： X 1 a11F1 a12 F2 a1m Fm 1 X a F a F a F 2 12 1 22 2 2m m 2 X p a p1 F1 a p 2 F2 a pm Fm P 则称模型(3.1)为正交因子模型。
设 X ( X1 , X 2 ,
E( F ) 0 ， Cov( F ) I m （即 F 的各分量方差为 1，且互不相关） 。又设 (1, 2 , , p ) 与 F 互不相关，且
2 E ( ) 0 ， Cov( ) diag(12 ,2 , 2 , p )。
之因子分析
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• 因子分析（Factor Analysis）是多元统计 分析中处理降维问题的一种重要方法。变 量的共线性很多是都对分析结果具有显著 的影响。所谓降维，就是独钓共线性，剩 下的，或者合并的都是线性无关的，或者 正交的，或者垂直的。
一、什么是主成分分析和因子分析？
• 主成分分析（Principal Components Analysis）也是多元统计分析中简化数据 结构（降维问题）的一种重要方法。简化 数据结构是指将某些较复杂的数据结构通 过变量变换等方法使相互依赖的变量变成 互不相关的；或把高维空间的数据投影到 低维空间，使问题得到简化而损失的信息 市的实证 设施建设情况。
案例1
• 中国统计年鉴，2005，各地区城市市政设施数据。 变量有： • City—城市名称； • X1—年末实有道路长度（公里）； • X2—年末实有道路面积（万平方公里）； • X3—城市桥梁（座）； • X4—城市排水管道长度（公里）； • X5—城市污水日处理能力（万立方米）； • X6—城市路灯（盏）；
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（3）因子旋转
通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解 释性。
（4）计算因子得分
通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进 一步分析奠定基础。
❖ 2、因子分析前提条件——相关性分析：
分析方法主要有：
（1）计算相关系数矩阵(correlation coefficients matrix)
1 2 为p的特0 征根，
标准化特征向量，则
为u对1 , 应u2 的,, up
1
Σ = U
2
U AA + D
p
u1 u2
up
1
0
1u1u1 2u2u2
0
u1 u2
p
up
mumum m1um1um1
1u1
2u2
pu p
1u1
2
u2
p
因子分析的基本理论 ❖ 3、因子分析的目的：
因子分析的目的之一，简化变量维数。即要使因素结 构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能 对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好， 但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。
在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最 大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的 特征值最小，通常会接近0。
（3）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释； 而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。
因子分析的基本理论
❖ 5、因子分析模型： 设 Xi (i 1,2,个,变p)量p，如果表示为
X i i ai1F1 aimFm i (m p)
X1 1 11 12
或
X
2
实验设计与因子分析
实验设计与因子分析实验设计和因子分析是研究中常用的两种方法，用来解决实际问题，提取关键因素和推断因果关系。
本文将重点探讨实验设计和因子分析的基本概念、应用场景以及步骤，以帮助读者更好地理解和运用这两种方法。
第一部分：实验设计在科学研究中，实验设计是为了验证或推断因果关系，确定各种变量对于待研究对象的影响。
一个合理的实验设计能够保证实验结果的可靠性和有效性。
下面将介绍几种常用的实验设计方法。
1.1 单因素实验设计单因素实验设计是最简单的实验设计方法，它只考虑一个因素对待研究对象的影响。
具体步骤包括：确定研究问题、定义实验变量、设计实验方案、采集数据、分析结果并得出结论。
1.2 多因素实验设计多因素实验设计考虑了多个因素对待研究对象的影响。
在这种设计中，需要确定各个因素的水平和每个因素之间的相互作用。
常用的多因素实验设计方法包括二因子设计和三因子设计，其步骤与单因素实验设计类似。
1.3 阶梯实验设计阶梯实验设计是一种有效的优化实验设计方法，通过逐步调整因子水平的方式，确定最优的实验条件。
这种设计方法可以减少实验次数，提高实验效率。
步骤包括：确定起始点、设定因子水平和变化范围、设计实验方案、采集数据、分析结果。
第二部分：因子分析因子分析是一种多变量统计方法，用于识别隐藏在观测变量背后的潜在因素。
通过因子分析，我们可以降低变量的维度，提取关键因素，并更好地理解变量之间的关系。
下面将介绍因子分析的基本概念和步骤。
2.1 因子分析的基本概念因子分析是建立在一些基本假设上的，包括：观测变量受到潜在因子的共同影响、观测变量之间存在相关性以及因子之间相互独立等。
在因子分析中，需要确定潜在因子的个数和名称，并通过因子载荷矩阵来衡量变量与因子之间的关联程度。
2.2 因子分析的步骤因子分析的步骤包括：准备数据、选择合适的因子提取方法、确定因子个数、进行因子旋转、解释因子结果。
其中，因子提取方法包括主成分分析、常规因子分析和最大似然因子分析等。
统计专业实验-实验07-因子分析和综合评价
.704
.318
-.140
农村居民人均住房面积（平方米）
.146
.814
-.512
农业总产值(万元)
-.064
.622
.759
Extraction Method: Principal Component Analysis.
a. 3 components extracted.
旋转后的因子载荷矩阵
36.07
长寿区
1553451
282446
507427
172790
21.46
1210
48.7
39.41
江津区
2354586
567048
512586
188359
40.02
1212
53.8
38.53
合川区
881232
470092
293721
171385
32.04
1400
50.8
38.33
永川区
1367237
特征根及累计贡献率
Total Variance Explained
Component
Initial Eigenvalues
Extraction Sums of Squared Loadings
Rotation Sums of Squared Loadings
Total
% of Variance
Cumulative %
实验思考题解答：
1．分析因子分析和主成分分析的异同，并写出各自的数学表达式。
解：因子分析模型一般为X*=AF+E或X*=F'A'+E（矩阵形式），其中，X*:标准化后的数据，F：公共因子，E：特殊因子；X*=(x1*,x2*…,xp*)′,F=(F1,F2,…,Fm)′E=(e1,e2,…ep)′则因子模型表示成x1*=a11F1+a12F2+…+a1mFm+e1，x2*=a21F1+a22F2+…+a2mFm+e2，xp*=ap1F1+ap2F2+…+apmFm+ep。
因子分析因子分析PPT课件
3、公共因子Fj方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵中各列元素的平方和
Sj
a p i 1
2 ij
p
r
i 1
2
(
xi
,
Fj
)
称为Fj ( j 1,, m) 对 X i 的方差贡献和。衡量Fj的相对重
要性。
12
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（三）因子分析模型的性质
1、原始变量X的协方差矩阵的分解
X - μ = AF + ε Var(X - μ) = AVar(F)A +Var(ε)
3、因子载荷不是惟一的
X - μ = AF + ε
设 T 为 一 个 p × p 的 正 交 矩 阵 ， 令 A* = AT ， F *= T ’ F ， 则 模 型 可 以 表 示 为
X μ + ATTF + ε μ + A*F* + ε
16
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新的因子也满足条件因子模型的条件
x2 0.783F1 0.305F2 x3 0.783F1 0.305F2
23
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二、主因子法
主因子方法是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。则
R=AA’+D
R*=AA’=R-D
称R*为约相关矩阵， R*对角线上的元素是
,
而不是1。即
1
2 i
24
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X i ai1F1 aimFm i (m n)
X1 11 12
X
2
21
22
X
n
n1
n2
1m F1 1
2
m
因子分析与综合评价
因子分析在综合评价中的应用摘要：因子分析方法是一种降维、简化数据的技术。
将因子分析运用于统计指标体系的综合评价中，克服了传统评价方法在处理指标高度相关和权重设定上的缺陷，但所构造的因子得分模型仅适用于对评价对象的静态比较，并不适用于动态比较 。
文探将深入探讨因子分析法进在综合评价的作用以及应注意的一些问题。
关键词：因子分析法；综合评价在多指标综合评价方法中，传统方法对于权重的设置往往带有一定的主观随意性，将多元统计引入综合评价方法，如因子分析法，可以克服人为确定权数的缺陷，使得综合评价结果唯一，而且客观合理。
许多学者在因子分析方法的运用上存在着一些问题，削弱了实证分析研究的解释力和信服力。
本文试从如何正确运用因子分析法进行综合评价作一些探讨。
下面将从两个方面进行介绍：一、因子分析方法的基本思想和运用因子分析法是把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个无关的新的综合因子的一种多变量统计分析方法。
其基本思想是根据相关性大小对变量进行分组，使得同组内的变量之间相关性较高，不同组的变量相关性较低。
每组变量代表一个基本结构，因子分析中将之称为公共因子。
假设观测系统 (即评价总体）, 有k 个评价指标，n 个观测单位，因子分析的数学模型就是把 n 个观测单位分别表示为p<k 个公共因子和一个独特因子的线性加权和,即i p i i i F F F εααα++++=p 12211...x （n i ,...,2,1=） （1-1） 其中：P F F F ,...,,21为公共因子，它是各个指标中共同出现的因子，因子之间通常是彼此独立的；i ε是各对应变量i x 所特有的因子，称为特殊因子，通常假定()2i i 0~δε，N ；系数ij α是第i 个变量在第j 个公共因子上的系数，称为因子负荷量，它揭示了第i 个变量在第j 个公共因子上的相对重要性。
因此，通过因子模型建立综合评价函数的步骤如下：（1）根据原始变量矩阵估计因子载荷矩阵。
因子分析法--综合评价指标
《应用统计分析》----题目2题目2 数据data2是某医院3年中各月的数据，包括门诊人次、出院人数、病床利用率和周转次数、平均住院天数、治愈或好转率、病死率、诊断符合率、抢救成功率。
采用因子分析法探讨综合评价指标。
一、因子分析法因子分析是主成分分析的推广和发展，也是利用降维方法进行统计分析的一种多元统计方法。
它是一种将多变量化简的技术，其目的是分解原始变量，从中归纳出潜在的“类别”，相关性较强的指标归为一类，不同类间变量的相关性则降低。
每一类变量代表了一个“共同因子”，即一种内在结构,因子分析就是要寻找该结构。
因子分析有一个默认的前提条件就是各变量间必须有相关性，否则，各变量间没有共享信息，就不应当有公因子需要提取，自然也谈不上使用该方法。
具体在该条件的判断上，除了根据专业知识来估计外，还可以使用KMO统计量和Bartlett’s 球形检验加以判定。
二、操作步骤1.导入数据依次单击“文件—打开—数据文件”命令，打开如图1所示的对话框。
图1 导入数据2.因子分析（1）依次单击“分析—降维—因子分析”命令，如图2所示。
打开图3所示的“因子分析”主对话框。
图2 因子分析菜单（a）选入变量前（b）选入变量后图3 “因子分析”主对话框（2）在图3（a）所示的对话框中选中左边的变量，单击按钮，将其选入到左边的列表框中（如图3a所示）。
（3）单击“描述”按钮，弹出“因子分析：描述统计”对话框，如图4所示，在“统计量”选项组中选取“原始分析结果”；在“相关矩阵”中选取“系数”和“KMO和Bartlett”。
设置完毕后，单击“继续”按钮，确认操作。
图4 “因子分析：描述”对话框图5 “因子分析：抽取”对话框（4）单击“抽取”按钮，得到如图5所示的“因子分析：抽取”对话框。
选择“方法”为“主成分”；在“分析”选项组选择“相关性矩阵”；在“输出”选项组选择“未旋转的因子解”和“碎石图”；在“提取”选项组中将“因子的固定数量：”设置为4；将“最大收敛性迭代次数：”设置为25.（5）单击“旋转”按钮，得到如图6所示的“因子分析：旋转”对话框。
统计学中的因子分析方法
统计学中的因子分析方法引言统计学作为一门研究收集、分析和解释数据的学科，涉及到很多不同的方法和技术。
而在这些方法中，因子分析是一种常用的数据降维技术，能够帮助研究人员识别和解释大量变量之间的潜在关系，从而简化数据分析过程。
本文将探讨因子分析的基本概念、应用和局限性。
一、因子分析的基本概念因子分析是一种用于研究数据集中变量之间关系的统计方法。
其核心思想是将大量的变量归并为较少的因子，用以解释观测数据中共同的方差。
通过因子分析，我们可以将一个庞大的数据集简化为一组更少的综合因子，这样有助于我们发现隐藏在数据背后的模式和结构。
二、因子分析的应用领域1.心理学领域：心理学研究需要考察个体的心理特征，如人格特质、心理健康等。
因子分析可以帮助心理学家将一系列的心理测量指标归纳为几个基本的因子，如情绪、人际互动等，从而更好地理解心理特征的本质。
2.市场调查：市场调查通常需要评估消费者对某些产品或服务的意见和倾向。
因子分析可以帮助企业识别潜在的市场因素，如价格、品质和品牌形象等，从而更好地推动市场营销策略的制定。
3.金融学：金融领域的因子分析主要用于分析资产价格的波动和风险暴露。
通过提取资产收益率的共同因子，金融学家可以找到那些解释市场波动的主要因素，并搭建风险管理模型，提高投资组合的风险调整回报率。
三、因子分析的局限性虽然因子分析在数据分析中有着广泛的应用，但也存在一些局限性需要我们注意。
1.因果关系：因子分析只能找到变量之间的相关性，而不能确定因果关系。
因此，在解释因子分析结果时需要谨慎，避免错误的因果推断。
2.数据适用性：因子分析对于数据的要求比较严格，需要满足一些假设条件，如变量间线性相关、样本量足够大等。
因此，在使用因子分析方法前必须对数据进行充分的预处理和检验。
3.主导因素的解释：因子分析通过提取共同的方差来解释变量之间的关系，但在实际应用中，并不是所有的变量都能被完全解释。
在存在多个因素的情况下，仅仅依靠因子分析结果可能无法全面解释变量之间的复杂关系。
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重庆工商大学数学与统计学院
《统计专业实验》课程
实验报告
实验课程：统计专业实验
指导教师： ____叶勇
专业班级： 09级统计二班
学生姓名： ___陈文慧
学生学号： __2009101218
实验报告
人
因子载荷矩阵本实验中旋转前后得到的因子载荷阵中个系数都有明显的两极分化。
第一个公共因子在指标1245678910X X X X X X X X X 、、、、、、、、上有较大载荷，说明这个9个指标有较强的相关性，可归为一类，他们都属于衡量经济发展水平的正向指标。
第二个公共因子在3X 上有较大载荷，单独一类。
农业产值随经济发展水平的提高，会减少，它属于逆向指标。
Component Matrix a
Component
1
2
X1 .968 .092 X2 .902 -.133 X3 -.023 .968 X4 .836 -.010 X5 .941 .060 X6 .891 .159 X7 .916 -.199 X8 .941 -.056 X9 .598 .229 X10
.946
-.041
Rotated Component Matrix a
Component
1
2
X1 .968 .086 X2 .901 -.139 X3 -.016 .968 X4 .836 -.015 X5 .941 .053 X6 .892 .153 X7 .915 -.205 X8 .941 -.063 X9 .599 .225 X10
.946
-.048
因子转换矩阵：若用A 表示旋转前的因子载荷阵，用B 表示因子转换矩阵，用C 表示旋转后的因子载荷阵，则有：C AB =
Component Transformation Matrix Component 1 2 1 1.000 -.007 2
.007
1.000
因子得分系数矩阵：根据每个观测值的各因子的的分数，可以将旋转后的因子得分表达式写成：
112345678910212345678910
0.1370.1260.0030.1180.1330.1260.1280.1320.0860.1330.0840.1230.8890.0100.0540.1460.1830.0530.2100.039F X X X X X X X X X X F X X X X X X X X X X =+-+++++++=-+-++--+-
Component Score Coefficient Matrix
Component
1
2
X1 .137 .084 X2 .126 -.123 X3 .003 .889 X4 .118 -.010 X5 .133 .054 X6 .126 .146 X7 .128 -.183 X8 .132 -.053 X9 .086 .210 X10
.133
-.039。