第八章 相关与回归分析
第八章 相关分析与回归分析
下一页
返回本节首页
19
③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
上一页
第8章 回归分析
下一页
返回本节首页
20
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
上一页
第8章 回归分析
下一页
返回本节首页
21
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
40
（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
41
二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
9
㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
上一页
第8章 回归分析
下一页
返回本节首页
10
（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
第八章 相关与回归分析
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 相关系数的取值在之间。 =0时 表明X 没有线性相关关系。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 表明X 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 表明X 为正相关; 若 表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。 若 表明X与Y 为负相关。 表明X 完全线性相关； 当 时，表明X与Y完全线性相关； r=1， 完全正相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。 若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向 方向看 方向 正相关——变量同方向变化 正相关 负相关——变量反方向变化 负相关 ● 从变量相关的程度看 完全相关 不完全相关 不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法， 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯 马尔可夫定理 高斯—马尔可夫定理 前提： 在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数 线性函数 最小二乘估计是无偏估计 无偏估计，即 无偏估计 在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二 乘估计的方差最小 方差最小。 方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计 最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括： 回归模型的检验包括： 理论意义检验： 理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取 值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们 的实践经验是否相符。 一级检验： 一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样 理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟 合优度检验和显著性检验。 二级检验： 二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线 性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括 自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。
相关分析和回归分析
即r (x x)( y y) 或r (x x)( y y)
n x y
(x x)2 ( y y)2
•协方差的意义
①显示x与y是正相关还是负相关 协方差为负，是负相关， 协方差为正，是正相关。 ②协方差显示x与y相关程度的大小 当相关点在四个象限呈散乱的分布，相关程度很低 当相关点分布在x与y的平均值线上时，表示不相关 当相关点靠近一直线，表示相关关系密切 当相关点全部落在一直线，表示完全相关
2、相关图被形象地称为相关散点图 3、因素标志分了组，结果标志表现为组平均数，
所绘制的相关图就是一条折线，这种折线又叫 相关曲线。
三、相关系数的计算：
1、符号系数：把两个同平均值的离差数列做对称 比较。
①如果一个数列的离差与另一个数列的离差有很 多同号，就可以认为这两标志之间存在正相关。
②如果大多数为异号，就可以认为他们之间存在 负相关。
.............b
xx x
y x
2
y
xy
1 n
x
y
x2
1 n
x2
当出现权数时：
方程为：a f b xf yf ................a xf b x2 f xyf
解得：a y bx
•相关系数的r的推导公式：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
r
xy nxy
(
x2
2
nx )
y2
2
ny
r
xy x y
薛薇,《SPSS统计分析方法及应用》第八章 相关分析和线性回归分析
以控制，进行偏相关分析。
偏相关分 析输出结 果;负的 弱相关
相关分析 输出结果 ;正强相 关
8.4.1
8.4.2
回归分析概述
线性回归模型
8.4.3
8.4.4 8.4.5 8.4.6
回归方程的统计检验
基本操作
其它操作
应用举例
线性回归分析的内容
能否找到一个线性组合来说明一组自变量和因变量
可解释x对Y的影响大小，还可 以对y进行预测与控制
目的是刻画变量间的相关 程度
8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4
散点图 相关系数 基本操作 应用举例
•
相关分析通过图形和数值两种方式，有效地揭示事物
之间相关关系的强弱程度和形式。
8.2.1 散点图 它将数据以点的的形式画在直角坐标系上，通过
Distances 过程用于对各样本点之间或各个变量之间 进行相似性分析，一般不单独使用，而作为聚类分
析和因子分析等的预分析。
1) 选择菜单Analyze Correlate Bivariate，出现 窗口：
2) 把要分析的变量选到变量Variables框。
3) 在相关系数Correlation Coefficents框中选择计算哪种
一元线性回归模型的数学模型：
y 0 1 x
其中x为自变量；y为因变量； 0 为截距，即常量；
1 为回归系数，表明自变量对因变量的影响程度。
用最小二乘法求解方程中的两个参数，得到
1
( x x )( y y ) (x x)
i i 2 i
0 y bx
第八章-相关与回归分析练习题
第八章-相关与回归分析练习题第八章相关与回归分析一、单选题1.相关分析研究的是（）A、变量间相互关系的密切程度B、变量之间因果关系C、变量之间严格的相依关系D、变量之间的线性关系2．若变量X的值增加时，变量Y的值也增加，那么变量X和变量Y之间存在着（）。
A、正相关关系 B、负相关关系 C、直线相关关系 D、曲线相关关系3．若变量X的值增加时，变量Y的值随之下降，那么变量X和变量Y之间存在着（）。
A、正相关关系 B、负相关关系 C、直线相关关系 D、曲线相关关系4．相关系数等于零表明两变量（）。
A.是严格的函数关系B.不存在相关关系C.不存在线性相关关系D.存在曲线线性相关关系5．相关关系的主要特征是（）。
A、某一现象的标志与另外的标志之间的关系是不确定的B、某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的依存关系，但它们不是确定的关系C、某一现象的标志与另外的标志之间存在着严格的依存关系D、某一现象的标志与另外的标志之间存在着不确定的直线关系 6．时间数列自身相关是指（）。
A、两变量在不同时间上的依存关系 B、两变量静态的依存关系C、一个变量随时间不同其前后期变量值之间的依存关系D、一个变量的数值与时间之间的依存关系7．如果变量X和变量Y之间的相关系数为负1，说明两个变量之间（）。
A、不存在相关关系 B、相关程度很低 C、相关程度很高 D、完全负相关8．若物价上涨，商品的需求量愈小，则物价与商品需求量之间（）。
A、无相关 B、存在正相关 C、存在负相关 D、无法判断是否相关 9．相关分析对资料的要求是（）。
A.两变量均为随机的 B.两变量均不是随机的 C、自变量是随机的，因变量不是随机的 D、自变量不是随机的，因变量是随机的 10．回归分析中简单回归是指（）。
A.时间数列自身回归 B.两个变量之间的回归 C.变量之间的线性回归 D.两个变量之间的线性回归11.已知某工厂甲产品产量和生产成本有直线关系，在这条直线上，当产量为1000时，其生产成本为30000元，其中不随产量变化的成本为6000元，则成本总额对产量的回归方程为（）A. y=6000+24xB. y=6+0.24xC. y=24000+6xD. y=24+6000x12.直线回归方程中，若回归系数为负，则（） A.表明现象正相关 B.表明现象负相关C.表明相关程度很弱D.不能说明相关方向和程度二、多项选择题1．下列属于相关关系的有（）。
MBA管理统计学(中科大万红燕)第八章回归分析和相关分析
2010-7-23
销售额
12
第二节 相关分析
例1解:
xi = 2139, ∑ yi = 11966, ∑ xi2 = 179291 ∑ yi2 = 6947974, ∑ xi y i = 1055391, n = 30 ∑ r= n∑ xi yi ∑ xi ∑ yi (∑ xi ) 2 n∑ yi2 (∑ yi ) 2
2010-7-23
4
第一节 相关与回归分析的基本概念
三.相关分析与回归分析
相关分析和回归分析是研究现象之间相关关系 的两种基本方法. 相关分析:研究两个或两个以上随机变量之间 相关关系密切程度和相关方向的统计分析方法. 回归分析:研究某一随机变量(因变量)与其 他一个或几个变量(自变量)之间数量变动关 系形式的统计分析方法.
一.一元线性回归模型的建立 设因变量y(通常是随机变量)和一个自变量 (非随机变量)X之间有某种相关关系.在x的 不全相同的取值点x1,x2,…,xn作为独立观 察得到y的个观察值y1,y2,… ,yn记为( x1, y1 )( x2 , y2 ), … ,(xn , yn ). 根据这组数据寻求X与Y之间关系. 设一元线性回归模型为:yi=a+bxi+ ei
r=0.955248
2010-7-23 14
第二节 相关分析
25000 税收收入(亿元 亿元) 20000 15000 10000 5000 0
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000
GDP(亿元)
2010-7-23
15
第二节 相关分析
二.有序数据的相关系数(等级相关系数)
2010-7-23
8
第八章-相关与回归分析
第八章相关与回归分析一1. 进行相关分析，要求相关的两个变量（A. 都是随机的B.C. 一个是随机的，一个不是随机的D.2. 相关关系的主要特征是（A.B. 某一现象的标志与另一标志之间存在着一定的关系，但它们不是确定的关系C.D. 某一现象的标志与另一标志之间存在着函数关系3. 相关分析是研究（A. 变量之间的数量关系B.C.变量之间相互关系的密切程度D.4. 相关关系的取值范围是（A. r=0B. -1≤r≤0C. 0≤r≤1D. -1≤r≤15. 现象之间相互依存关系的程度越低，则相关系数（A. 越接近于0B. 越接近于-1C. 越接近于1D. 越接近于0.56. 当所有观察值都落在回归直线上，则x与y之间的相关系数（）。
A. r=0B. -1<r<1C. |r|=1D. 0<r<17. 在回归直线中，若b<0，则x与y之间的相关系数（A. r=0B. r=1C. 0<r<1D. -1<r<08. 在回归直线中，b表示（A. 当x增加一个单位，y增加a的数量B. 当y增加一个单位时，x增加bC. 当x增加一个单位时，y的平均增加量D. 当y增加一个单位时，x9. 当相关系数r=0时，表明（A. 现象之间完全无关B.C. 现象之间完全相关D.10. r值越接近于-1，表明两变量间（A. 没有相关关系B. 线性相关关系越弱C. 负相关关系越强D.11. 下列直线回归方程中，肯定错误的是（A. y=2+3x，r=0.88B. y=4+5x，r=0.55C. y=-10+5X，R=-0.90D. y=-100-0.9x，r=-0.8312. 正相关的特点是（A.B.C.D.13. 下列现象的相关密切程度高的是（A. 某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87B. 流通费用率与商业利润率之间的相关系数为-0.94C. 商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51D. 商品销售额与流通费用率之间的相关系数为-0.8114. 计算估计标准误差的依据是（A. 因变量的数列B.C. 因变量的回归变差D.15. 两个变量间的相关关系称为（A. 单相关B. 复相关C. 无相关D.16. 从变量之间相关的方向看，可分为（A. 正相关与负相关B.C. 单相关与复相关D.17. 从变量之间相关的表现形式看，可分为（）。
第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
1 yi2 yi n i 1 i 1
n
2
Person相关系数r
（5）
r
l xy l xx l yy
－1≤r≤1。
当 r 0 时，完全不相关；
当 r 1 时，完全正相关；
当 0 r 1 时，不完全正相关； 当 r 1 时，完全负相关；
例1、生产同种产品的六个企业的产量和单位产品 成本的资料如下：
企 业 序 号 1 2 3 4 5 6 产 量(千件)x 2 3 4 4 5 6 单位成本(元)y 52 54 52 48 48 46
求产量与单位产品成本之间的相关系数。
工商管理学院 康波
2008年02月
解：列表计算如下：
企 业 序 号 1 2 3 4 5 6 x 2 3 4 4 5 6 y 52 54 52 48 48 46
当 1 r 0 时，不完全负相关。
工商管理学院 康波
2008年02月
对不完全相关：
(19)
当 r 0.3 时，微弱相关；
当 0.3 r 0.5 时，低度相关； 当 0.5 r 0.8 时，中度相关； 当 r 0.8 时，高度相关。
工商管理学院 康波
2008年02月
i 1 n 2 ˆ yi 0 1 xi
i 1
2
min SS E min
0 , 1
0 , 1
i2 ˆ
i 1 n
n
min
0 , 1
y ˆ
i 1 i
ˆ 1 xi 0
2
工商管理学院 康波
2008年02月
工商管理学院 康波
2008年02月
例3、在相关和回归分析中，已知下列资料：
x 2，y 18，n 6， xy 400， x 2 250
ˆ ˆ 试求出直线回归方程 yc 0 1 x 。
解： 由
ˆ xy nx y 1 x 2 nx 2
ˆ ˆ 0 y 1 x
xx y y
-2 -1 0 0 1 2 2 4 2 -2 -2 -4
x x y y x x 2
-4 -4 0 0 -2 -8 4 1 0 0 1 4
y y 2
4 16 4 4 4 16
合计
24
300
-18
10
48
所以 r
x x y y x x y y
（2） ∵
ˆ 1 l xy l xx 985.5 9.74 101.2
ˆ ˆ 0 y 1 x 380 9.74 27 117.07
∴
所求回归方程为：
ˆ y 117.07 9.74 x
工商管理学院 康波
2008年02月
（二）误差项方差的估计
SS E 对随机误差项 的方差 ，用S 估计。 n2
28158
工商管理学院 康波
2008年02月
（1）由表可得：
r
x x y y x x y y
2
2
4.16 310 0.0625 0.945
工商管理学院 康波
2008年02月
（2）由表可得：
ˆ 1
x y nxy
i 1 n i i
第八章
相关与回归分析
相关分析
第一节
一、相关关系的概念
确定性关系（函数关系）：
y f x
康波
非确定性关系（统计相关、相关关系、 相关）：
y f xi i
相关关系和函数关系的共同点：
相关关系和函数关系的区别：
相关关系和函数关系的联系：
因果关系：
工商管理学院 康波
2008年02月
472
y
1.55 1.60 1.65 1.67 1.70 1.75 1.80 1.82
13.54
x
2
xy
77.5 83.2 94.05 93.52 102 113.75 111.6 127.4
803.02
ˆ y
1.57 1.60 1.67 1.65 1.71 1.77 1.73 1.84
ˆ y y
二、相关关系的种类
相关程度
相关方向
相 关 关 系
相关形式
相关因素 相关性质
完全相关 不完全相关 不相关 正相关 负相关 线性相关 非线性相关 单相关 复相关 偏相关 真实相关 虚假相关
工商管理学院 康波
2008年02月
三、相关表与相关图
（一）相关表： （二）相关图：
工商管理学院 康波
2 2
SS E
2
得：
ˆ 400 6 2 18 0.814 1 250 6 2 2 ˆ 18 0.814 2 16.372
0
工商管理学院 康波
2008年02月
所以所求直线回归方程为：
yc 16.372 0.814 x
工商管理学院 康波
2008年02月
例4、有两个变量，即亩产量 y和施肥量 x 。已知：
由微积分知识，有：
工商管理学院 康波
ˆ ˆ 2 yi 0 1 xi 0 ˆ ˆ 2 xi yi 0 1 xi 0
i 1 i 1 n
n
ˆ 1
x y
i 1 n i i 1
n
i
nx y
xi2 nx 2
ˆ ˆ 0 y 1 x
n
x
i 1
2 i
nx
2
803.02 8 59 1.6925 2 28158 8 59
0.0134
ˆ ˆ 0 y 1 x 1.6925 0.0134 59 0.9019
工商管理学院 康波 2008年02月
所以回归方程为：
ˆ ˆ ˆ y 0 1 x 0.9019 0.0134 x
工商管理学院 康波
2008年02月
第二节
一元线性回归分析
一、回归分析与相关分析的关系
回归分析： 相关分析与回归分析的联系： 相关分析与回归分析的区别： 回归分析的内容：
工商管理学院 康波
2008年02月
二、一元线性回归模型
（一）回归模型
回归方程： 简单回归（一元回归）和复回归； 线性回归和非线性回归：
x 27，y 380，l xy 985.5，l xx 101.2，l yy 12995 试求：
（1）相关系数 解： （1）
r l xy l xx l yy 985.5 101.2 12995 0.86
r
；
（2） y 对 x 的线性回归方程。
工商管理学院 康波
2008年02月
2
2
18 0.8216 10 48
工商管理学院 康波
2008年02月
由计算可知，产量与单位产品成本之间 高度相关。
工商管理学院 康波
2008年02月
（三）样本相关系数的显著性检验
否等于0进行检验。
r2 n 2 对总体相关系数 是 利用统计量 F 2 1 r
（1）建立假设：
y 0 1 x
工商管理学院 康波
2008年02月
例如：
(10) (22)（36） Ⅱ：x x y y 0
y
Ⅰ：x x y y 0
y
Ⅲ：x x y y 0
Pi xi , yi
解：列表计算如下：
序号
y x x y y x x y y x x 2 y y 2 x
50 52 57 56 60 65 62 70 1.55 1.60 1.65 1.67 1.70 1.75 1.80 1.82 9 7 2 3 -1 -6 -3 -11 0.1425 0.0925 0.0425 0.0225 -0.0075 -0.0575 -0.1075 -0.1275 1.2825 0.6475 0.085 0.0675 0.0075 0.345 0.3225 1.4025
H 0 : 0, H1 : 0
r2 （2）构造检验统计量： F n 2 2 1 r
其中：
r2 n 2 ～ F 1, n 2 F 2 1 r
工商管理学院 康波 2008年02月
（3）统计检验：
①根据样本观测值计算检验统计量；
②在给定显著水平 下，比较
Ⅳ： x x y y 0
x
工商管理学院 康波 2008年02月
x
由于y是随机变量，即有：
yi 0 1 xi i，（i 1,2,, n）
0 1 xi 模型的线性部分
一元线性回归模型必须满足假设： （1） E i 0
1、 2、 、 n相互独立且 i ～ N 0， 2 （2）
Covx, y Ex Exy E y
Covx, y xy D x D y
工商管理学院 康波
2008年02月
（二）样本相关系数
x x1 , x2 ,, xn
y y1 , y2 ,, yn
n
x和y的协方差l xy xi yi nx y
2008年02月
例2、已知身高与体重的资料如下表：
身高 （米） 体重 （公斤） 50 52 57 56 60 65 62