经济统计学第8章相关与回归分析

第八章 相关与回归分析
一、相关关系
社会经济现象普遍存在两种变量关系： （一） 函数关系
Y＝f(x)→称为函数关系。它反映着现象 之间存在着严格的依存关系，也就是具 有确定性的对应关系，这种关系可用一 个数学表达式反映出来。
（二） 相关关系
相关关系是客观存在的非确定性的数量 对应关系。
上呈曲线趋势，可以用曲线模型来表示。
（三）按变动方向划分 1、正相关：两种变量的相对应数值同时扩大
或缩小，其变动方向一致。 2、负相关：两种变量相对应的数值，此增彼
减，变动方向相反。 （四）按相关的程度划分 完全相关 不完全相关 无相关
相关关系的判定
一、相关表 二、相关图 三、相关系数
1
3
15
2
3
17
3
5
25
4
6
28
5
6
30
6
7
36
7
8
37
8
9
42
9
9
40
10
10
45
销售额 50
相关图
40
30
20
10
客流量
2 4 6 8 10 12
计算相关系数r=0.9918
利用最小二乘法求解参数a，b
a Y bX 4.081
b n xY xY n x2 ( x)2
相关分析是回归分析的基础和前提。 回归分析是相关分析的深入和继续。
1.相关分析中两个变量是对等关系,回归 分析中两个变量必须根据研究目的,确定 自变量和因变量;
2.相关分析只能反映变量间的相关密切 程度,回归分析可以计算出X、Y的具体相 关数值。
（二）、参数的最小二乘估计
高斯证明了在某些假定的条件下，利用 样本的变量数据,用最小二乘法(要求实 际值与趋势值的离差的平方为最小)得到 的总体回归参数的估计量是最优的。
总体一元线 性模型
Y X
样本一元线 性模型
Y a bX e
最小二乘法
用最小二乘法得到的a、b称为、的最 小二乘估计，他们所确定的直线 称为Y对X的线性回归方程。
Yˆi a bXi
求a、b的方法（原理）：
(Y Yˆ )2 Qmin (Y a bX)2 Qmin
（二）相关系数简捷计算方法
r
n xy ( x)( y)
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
（二）相关系பைடு நூலகம்的使用：
1、取值范围：|r|≤1， r < 0，负相关；r > 0，正相关。 2、密切程度判断： |r|＝0，不相关（或非直线相关）； |r|＝1完全相关。 |r| < 0.3，弱相关； 0.3 ≤|r| < 0.5，低相关； 0.5≤|r|<0.8，显著相关； 0.8 ≤|r|<1， 高度相关 。
相关与回归分析
编号 施肥量(公斤) 亩产量(公斤)
x
y
1
20
300
2
30
300
3
40
420
4
60
510
5
60
650
二、相关关系的种类
（一）按相关变量的多少划分 单相关、复相关 （二）按数学方程性质（形态）划分 直线相关：两个变量之间的变动关系在散点图
上呈直线趋势，可以用直线模型来表示。 y＝a0＋a1X1＋…＋apXp＋ε 曲线相关：两个变量之间的变动关系在散点图
支出
A 256 296 346 396 416
400 B 260 300 350 400 420 350
300 C 260 300 350 400 420 260
D 264 304 354 404 424
均 260 300 350 400 420 值
300 400 500 600 700 收入
相关与回归分析
简单线性相关分析的特点
通过对r的计算方法的讨论，可看出二个明显特点： 1. 相关关系中，两个变量不必定出哪个是自变 量，哪个是因变量，因此，相关的两个变量 都是随机变量； 2. 相关关系中只能计算出一个相关系数r。
四、一元直线回归分析
（一）、回归分析的涵义和特点
英国人口学家Galton首先提出了回归的 概念，即一定身高的父母所生的子女的 平均身高，有着朝整个总体平均身高移 动（或回归）的倾向，即回归到中等水 平。
Y＝f(x)＋ε; ε被称为随机（因素）扰 动项，或残差。
它反映着现象之间的数量上不严格的依存关系，也就 是说两者之间不具有确定性的对应关系，这种关系有二个 明显特点：
1.相关关系是现象之间确实存在数量上的依存关系，即 某一社会经济现象变化要引起另一社会经济现象的变化； 2.现象之间的这种依存关系是不严格的，即无法用数学 公式表示。
销售额 50
相关图
40
30
20
10
客流量
2 4 6 8 10 12
三、直线相关关系的测定
（一）、相关系数
基本公式：
(一)积差法：
r

2 xy
x
y

2 xy

1 n
(x

x)(
y

y)
x
1 n

(
x

x
)2
y
1 n
(
y

y)2
r (x x)( y y) ( x x)2 ( y y)2
4.1 5 4 4
现代回归的涵义：
研究一个应变量（因变量，被解释变量） 对一个或多个其它变量（自变量，解释 变量）的依存关系，其目的在于根据已 知的解释变量之值来估计和预测因变量 的总体均值。即已知父亲身高的条件下， 儿子们平均身高是怎样变动的。
家庭收入x和家庭消费支出y的关系
X 300 400 500 600 700 Y
分布，（即给定X条件下的平均数为0， 且对于每一个给定Xi，i的条件方差是某 个等于2的正常数）且相互之间独立。
条件3就是要求给定X条件下，变量Y同分 布，且不相互依赖。
支出 回归 直线
300 400 500 600 收入
某地区10个商业企业的客流量和销售额之间的资料 统计如下：
企业序号 客流量（万人）销售额（百万元）
Q a

2 (Y

a

bX)(1)

0
Q b

2 (Y

a

bX)(X)

0
a Y bX
b

n xY xY n x2 ( x)2
基本假设
1）变量X，Y之间存在“真实的” 线性关系。 2）变量X为非随机变量。 3）随机项i(i=1，2….n)，服从N（0，2）