统计学线性回归分析
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析在统计学中，回归分析是一种重要的数据分析方法。
它用于探索自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解变量之间的相互作用以及预测未来的趋势。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
自变量是我们在问题中感兴趣的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
回归分析可以帮助我们确定自变量如何影响因变量，并找到最佳的拟合曲线或平面来描述这种关系。
回归分析的基本假设是，自变量与因变量之间存在线性关系，并且观测误差服从正态分布。
基于这个假设，我们可以使用最小二乘法来拟合回归模型，使得观测值与预测值之间的残差平方和最小化。
二、回归分析的原理1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法，用于研究只包含一个自变量和一个因变量的情况。
我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系，并使用最小二乘法拟合一条直线来描述这种关系。
2. 多元线性回归多元线性回归适用于包含多个自变量和一个因变量的情况。
通过拟合一个多元线性模型，我们可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，并研究它们之间的相互作用。
3. 非线性回归非线性回归用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
在这种情况下，我们可以根据问题的特点选择适当的非线性回归模型，并使用最小二乘法进行参数估计。
三、回归分析的应用回归分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 经济学中的回归分析经济学家常常使用回归分析来研究经济现象。
例如，他们可以通过回归分析来研究GDP与各种经济指标之间的关系，以及利率、通胀率等因素对经济增长的影响。
2. 医学研究中的回归分析医学研究中的回归分析可以用于探索治疗方法与患者恢复速度之间的关系。
通过收集患者的相关数据，如年龄、性别、治疗时间等，可以建立多元线性回归模型来预测患者的康复时间。
3. 市场营销中的回归分析市场营销人员可以利用回归分析来确定产品价格与销量之间的关系。
第四章 线性回归分析
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法回归分析是统计学中经常被使用的一种方法，它用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以预测一个变量如何随着其他变量的变化而变化，或者确定变量之间的因果关系。
在本文中，我将介绍几种常见的回归分析方法，帮助读者更好地理解和应用这一统计学方法。
一、简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式。
它适用于只涉及两个变量的场景，并且假设变量之间的关系可以用一条直线来描述。
在进行简单线性回归分析时，我们需要收集一组观测数据，并使用最小二乘法来拟合直线模型，从而得到最优的回归方程。
通过该方程，我们可以根据自变量的取值预测因变量的值，或者评估自变量对因变量的影响程度。
二、多元线性回归分析多元线性回归分析扩展了简单线性回归模型，允许多个自变量同时对因变量进行解释和预测。
当我们要考察一个因变量与多个自变量之间的复杂关系时，多元线性回归分析是一种有力的工具。
在进行多元线性回归分析时，我们需收集多组观测数据，并建立一个包含多个自变量的回归模型。
通过拟合最优的回归方程，我们可以分析每个自变量对因变量的影响，进一步理解变量之间的关系。
三、逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于处理因变量为二元变量（如真与假）时的回归问题。
逻辑回归分析的目标是根据自变量的取值，对因变量的分类进行概率预测。
逻辑回归模型是通过将线性回归模型的输出映射到一个概率区间（通常为0到1）来实现的。
逻辑回归在实际应用中非常广泛，如市场预测、医学诊断等领域。
四、岭回归分析岭回归是一种用于解决多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性指多个自变量之间存在高度相关性的情况，这会导致回归分析结果不稳定。
岭回归通过在最小二乘法的基础上加入一个惩罚项，使得回归系数的估计更加稳定。
岭回归分析的目标是获得一个优化的回归方程，从而在存在多重共线性的情况下提高预测准确度。
五、非线性回归分析在某些情况下，变量之间的关系不是线性的，而是呈现出曲线或其他非线性形态。
统计学中的线性回归模型解释
统计学中的线性回归模型解释线性回归模型是统计学中常用的一种模型，用于解释变量之间的关系、预测未知观测值，并帮助我们理解数据集的特征。
本文将对线性回归模型做详细解释，并探讨其应用领域、优缺点以及解释结果的可靠性。
一、线性回归模型简介线性回归模型是一种用于描述因变量与自变量之间线性关系的模型。
它基于以下假设：1. 因变量与自变量之间存在线性关系；2. 观测误差服从正态分布，且均值为0；3. 不同样本之间的观测误差独立。
线性回归模型的数学表达为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1, X2, ..., Xn表示自变量，β0, β1, β2, ..., βn表示模型的参数，ε表示观测误差。
二、线性回归模型的应用领域线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用领域，例如：1. 经济学：用于分析经济数据中的因果关系，进行经济预测；2. 社会科学：用于研究社会组织结构、心理行为等因素的影响；3. 医学：用于研究药物的疗效，控制混杂因素对结果的影响；4. 金融学：用于预测股票价格、评估金融风险等。
三、线性回归模型的优缺点线性回归模型的优点在于：1. 简单直观：模型易于理解和解释，适用于初学者；2. 高效稳定：对于大样本量和满足基本假设的数据，模型的估计结果可靠且稳定。
然而，线性回归模型也存在一些缺点：1. 对数据分布假设严格：模型要求观测误差服从正态分布，且独立同分布；2. 无法处理非线性关系：线性回归模型无法有效描述非线性关系；3. 受异常值影响大：异常值对模型参数估计结果影响较大；4. 多重共线性问题：自变量之间存在高度相关性，导致参数估计不准确。
四、线性回归模型结果解释的可靠性线性回归模型的结果解释需要注意其可靠性。
以下是一些需要考虑的因素：1. 参数估计的显著性：通过假设检验确定模型中的自变量对因变量的解释是否显著；2. 拟合优度：通过判定系数（R-squared）评估模型对数据的拟合程度，越接近于1表示拟合效果越好；3. 残差分析：对模型的残差进行检验，确保其满足正态分布、独立性等假设。
《统计学》线性回归模型解析
说明模型越有效，R2越接近与0，说明模型越无
效。应该注意的是，R2通常只用于模型有效性
的一个大致的判断。
37
R2称为“可决系数”,显然，0≤R2≤1。当R2接 近于1时，回归平方和SSR在总的平方和SST中 所占的比重大，说明自变量对因变量的影响较大； 反之，当R2接近与0时，回归平方和SSR在总的 平方和SST中所占的比重小，说明自变量对因变 量的影响较小。综上所述，R2越接近与1，说明 模型越有效，R2越接近与0，说明模型越无效。 应该注意的是，R2通常只用于模型有效性的一 个大致的判断。
38
可决系数R2只说明了回归方程对样本观察
值拟合程度的好坏，却不能表示回归直线
估计值与变量y的各实际观察值的绝对离差
的数额。估计标准误差则是反映回归估计
值与样本实际观察值的平均差异程度的指
标，用Syx表示估计标准误差，其计算公式
为：
n
Syx =
( yi yˆi )2
i 1
n2
39
若估计标准误差Syx小，表示各实际观察 值与回归估计值平均差异小，实际观察点 靠近回归直线，回归直线的拟合程度好， 代表性高；若样本观察点全部落在直线上， 则Syx=0，说明样本实际值与估计值没有 差别。若Syx大，则说明回归直线拟合不好， 代表性差。
8
例如：同样收入的家庭，用于食 品的消费支出往往并不相同。因 为对家庭食品费用的影响，不仅 有家庭收入的多少，还有家庭人 口，生活习惯等因素，所以，家 庭食品费用支出与家庭收入之间 不是函数关系，而是相关关系。
9
在含有变量的系统中，考察一些变 量对另一些变量的影响，它们之 间可能存在一种简单的函数关系， 也可能存在一种非常复杂的函数 关系。有些变量之间的关系是非 确定性的关系，这种关系无法用 一个精确的数学来表示。
统计学中的线性回归分析
统计学中的线性回归分析在统计学中，线性回归分析是一种最常见的应用之一。
线性回归分析是一种用于建立两个或多个变数之间关系的方法。
在这种分析中，一个或多个独立变量被用来预测一个因变量。
线性回归分析被广泛应用于医学、社会科学、自然科学等领域。
什么是线性回归分析？线性回归分析被定义为建立两个或多个变数之间线性关系的方法。
更准确地说，线性回归分析是用来预测连续型变量（因变量）之间关系的方法。
例如，通过线性回归分析可以建立收入和家庭支出之间的关系。
在线性回归中，因变量作为输出变量，而独立变量作为输入变量。
只有一个独立变量和一个因变量的线性回归称为简单线性回归，而有多个独立变量和一个因变量的线性回归称为多元线性回归。
线性回归分析基本原理线性回归分析的基本原理是建立一个数学模型，用以解释因变量的变化。
这个模型被描述为回归方程，它可以被用来求解因变量和独立变量之间的关系。
回归方程显示了一条线性（直线）的趋势，因此被称为线性回归分析。
回归分析有两个关键的部分：截距和回归系数。
回归系数代表着因变量与独立变量之间的关系，截距则是当独立变量取零时因变量的预测值。
线性回归分析的步骤线性回归分析的过程包括以下步骤：1. 定义研究问题：确定要解决的研究问题。
2. 收集数据：收集与研究问题相关的数据。
3. 数据预处理：处理数据，并进行数据清理和预处理以准备数据进行分析。
4. 建立模型：建立具有高度预测能力的回归模型。
5. 模型评估：使用适当的指标，评估模型的性能和准确性。
6. 发现结论：根据模型和数据，得出结论。
线性回归分析的应用线性回归分析可以应用于许多领域中的问题，如社会科学、医学、自然科学和工程学等。
下面将以医学为例来讲解线性回归分析的应用。
在医学研究中，线性回归分析可以用来探索一些生理变量的关系，如心率和血压之间的关系。
研究人员可以收集参与者的心率和血压数据，并使用线性回归分析来确定这些变量之间的相关性。
这些研究可以有助于确定心脏病患者的风险因素，以及对他们进行预防和治疗所需的干预措施。
线性回归分析
线性回归分析线性回归分析是一种统计学方法，用于建立一个自变量和一个或多个因变量之间的线性关系模型。
它是一种常用的预测和解释性方法，在实际问题的应用广泛。
首先，线性回归分析的基本原理是通过找到最佳拟合直线来描述自变量和因变量之间的关系。
这条直线可以用一元线性回归方程 y =β0 + β1*x 表示，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数。
通过确定最佳拟合直线，我们可以预测因变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。
其次，线性回归分析需要满足一些假设前提。
首先，自变量和因变量之间呈线性关系。
其次，误差项满足正态分布。
最后，自变量之间不具有多重共线性。
如果这些假设得到满足，线性回归模型的结果将更加可靠和准确。
线性回归分析的步骤通常包括数据收集、模型设定、模型估计和模型检验。
在数据收集阶段，我们要搜集并整理相关的自变量和因变量数据。
在模型设定阶段，我们根据问题的需求选择适当的自变量，并建立线性回归模型。
在模型估计阶段，我们使用最小二乘法来估计回归系数，并得到最佳拟合直线。
在模型检验阶段，我们通过检验回归方程的显著性和模型的拟合程度来评估模型的质量。
通过线性回归分析，我们可以进行预测和解释。
在预测方面，我们可以利用回归模型对新的自变量数据进行预测，从而得到相应的因变量值。
这对于市场预测、销售预测等具有重要意义。
在解释方面，线性回归分析可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度。
通过回归系数的大小和正负，我们可以判断自变量对因变量的正向或负向影响，并量化这种影响的大小。
线性回归分析在许多领域都有广泛的应用。
在经济学中，线性回归模型被用于解释经济变量之间的关系，如GDP与失业率的关系。
在医学领域，线性回归模型可以用于预测患者的疾病风险，如心脏病与吸烟的关系。
在工程领域，线性回归模型可以用于预测材料的强度与温度的关系。
总之，线性回归分析在实践中具有广泛的应用价值。
然而，线性回归分析也存在一些局限性。
首先，线性回归模型只能处理线性关系，对于非线性关系的建模效果不佳。
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法回归分析是一种常用的统计学方法，旨在分析变量之间的关系并预测一个变量如何受其他变量的影响。
回归分析可以用于描述和探索变量之间的关系，也可以应用于预测和解释数据。
在统计学中，有多种回归分析方法可供选择，本文将介绍其中几种常见的方法。
一、简单线性回归分析方法简单线性回归是最基本、最常见的回归分析方法。
它探究了两个变量之间的线性关系。
简单线性回归模型的方程为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是残差项。
简单线性回归的目标是通过拟合直线来最小化残差平方和，从而找到最佳拟合线。
二、多元线性回归分析方法多元线性回归是简单线性回归的扩展形式，适用于多个自变量与一个因变量之间的关系分析。
多元线性回归模型的方程为：Y = β0 +β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中X1, X2, ..., Xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn是回归系数，ε是残差项。
多元线性回归的目标是通过拟合超平面来最小化残差平方和，从而找到最佳拟合超平面。
三、逻辑回归分析方法逻辑回归是一种广义线性回归模型，主要用于处理二分类问题。
逻辑回归将线性回归模型的输出通过逻辑函数（如Sigmoid函数）映射到概率范围内，从而实现分类预测。
逻辑回归模型的方程为：P(Y=1|X) =1 / (1 + exp(-β0 - β1X))，其中P(Y=1|X)是给定X条件下Y=1的概率，β0和β1是回归系数。
逻辑回归的目标是通过最大似然估计来拟合回归系数，从而实现对未知样本的分类预测。
四、岭回归分析方法岭回归是一种用于处理多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这会导致估计出的回归系数不稳定。
岭回归通过在最小二乘法的目标函数中引入一个正则化项（L2范数），从而降低回归系数的方差。
岭回归模型的方程为：Y = β0 +β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε + λ∑(β^2)，其中λ是正则化参数，∑(β^2)是回归系数的平方和。
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以探索并量化自变量对因变量的影响程度。
在本文中，我们将介绍回归分析的基本概念、原理以及应用，并分析其在统计学中的重要性。
一、回归分析的基本概念与原理回归分析是一种可以预测因变量值的统计方法。
一般来说，我们将自变量和因变量表示为数学模型中的变量，并通过回归分析来建立他们之间的关系。
最常见的回归分析方法是线性回归，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
线性回归的基本原理是通过最小化预测值和观测值的差异来确定自变量对因变量的影响。
回归分析利用已知数据集来拟合一个线性模型，并通过模型中的回归系数来量化自变量对因变量的影响。
回归系数表示自变量每单位变化对因变量的预期变化。
二、回归分析的应用领域回归分析在统计学中有广泛的应用，以下是其中几个重要的应用领域：1. 经济学：回归分析被广泛用于经济学研究中，以了解经济变量之间的关系。
例如，通过回归分析可以研究收入与消费之间的关系，为经济决策提供依据。
2. 社会科学：回归分析在社会科学研究中也得到了广泛应用。
例如，通过回归分析可以研究教育水平与收入之间的关系，分析各种社会因素对人们行为的影响。
3. 医学研究：回归分析被广泛用于医学研究中，以分析各种因素对健康状况的影响。
例如，通过回归分析可以研究饮食习惯与患病风险之间的关系。
4. 金融领域：回归分析在金融领域也得到了广泛应用。
例如，通过回归分析可以研究利率、汇率等因素对股票市场的影响，为投资决策提供参考。
三、回归分析的重要性回归分析在统计学中扮演着重要的角色，具有以下几个重要性：1. 揭示变量间的关系：通过回归分析，我们可以揭示不同变量之间的关系。
通过量化自变量对因变量的影响，我们可以了解其具体作用，并用于预测和决策。
2. 预测和模型建立：回归分析可以用于预测未来的因变量值。
通过建立回归模型，我们可以根据自变量的取值来预测因变量的值，为决策和规划提供依据。
线性回归分析
线性回归分析线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习的分析方法，用于建立和预测两个变量之间的线性关系。
它可以帮助我们理解变量之间的相互作用和影响，并进行未来的预测。
本文将介绍线性回归的基本原理、模型建立过程和一些应用实例。
一、线性回归的基本原理线性回归的目标是通过一条直线（或超平面）来拟合数据点，使得预测值和实际观测值之间的误差最小。
这条直线的方程可以表示为：y=β0+β1*x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
线性回归的核心假设是，自变量x和因变量y之间存在线性关系，并且误差项ε服从正态分布。
在此基础上，线性回归通过最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，使得预测值和实际值的误差平方和最小。
二、线性回归的模型建立过程1.数据准备：收集包含自变量和因变量的样本数据，确保数据的质量和准确性。
2.模型选择：根据自变量和因变量之间的性质和关系，选择合适的线性回归模型。
3.模型拟合：使用最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，计算出拟合直线的方程。
4.模型评估：通过误差分析、残差分析等方法来评估模型的拟合效果和预测能力。
5.模型应用：利用已建立的模型进行预测和推断，帮助决策和预测未来的结果。
三、线性回归的应用实例线性回归可以应用于各个领域和实际问题中，下面以几个典型的实例来说明其应用：1.经济学：通过分析自变量（如GDP、通货膨胀率）对因变量（如消费水平、投资额）的影响，可以建立GDP与消费的线性回归模型，预测未来消费水平。
2.市场营销：通过分析广告投入与销售额之间的关系，可以建立销售额与广告投入的线性回归模型，帮助制定广告投放策略。
3.医学研究：通过收集患者的生理指标（如血压、血糖水平）和疾病状况，可以建立生理指标与疾病发展程度的线性回归模型，帮助疾病诊断和治疗。
4.金融风险管理：通过分析利率、汇率等宏观经济变量与企业盈利、股价波动之间的关系，可以建立风险预警模型，帮助企业进行风险控制和决策。
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且与 X 无关， 它反映了 Y 被 X 解释的不确定性。
如果随机干扰项 u 的均值为 0， 对上式求条件均值， 有
E(Y X ) 1 2 X
反映出从“平均”角度看，是确定性关系。
例：地区的多孩率与人均国民收入的散点图如下：
多 孩 率 Y
511 382950 562500 260712
1018 1068480 1102500 1035510
963 1299510 1822500 926599
5769300 7425000 4590020
640000 352836 1210000 407044 1960000 1258884 2890000 1334025 4000000 1982464 5290000 2544025 6760000 3876961 8410000 4318084 10240000 6682225 12250000 6400900 53650000 29157448
如果把X，Y的样本观测值代到线性回归方程中，就得 到
Yi 1 2 X i ui i =1,2, …,n, n为样本容量.
从重复抽样的角度看， Xi，Yi也可以视为随机变量。
2. 高斯基本假设
对于线性回归模型
Yi 1 2 X i ui i =1,2, …,n, n为样本容量.
Y 1 2X u
其中 ˆ1, ˆ2 为1， 2 的估计值, 则 Y 的计算值Ŷ, 可以
用下式表达:
Yˆ ˆ1 ˆ2 X
所要求出待估参数 ˆ1, ˆ2, 要使 Y 与其计算值Ŷ之间 的“误差平方和”最小. 即： 使得
Q
(Y
Yˆ
2
)
ei2
-973 1314090 1822500 947508
-929 975870 1102500 863784
-445 334050 562500 198381
-412 185580 202500 170074
-159 23910 22500 25408
28 4140 22500
762
402 180720 202500 161283
ˆ1
xi yi 5769300 0.777 xi2 7425000
ˆ0 Y ˆ0 X 1567 0.777 2150 103 .172 因此，由该样本估计的回归方程为：
Yˆi 103.172 0.777Xi
5. 几何解释
残差向量 e =Y – Ŷ = (Y-Y) - (Ŷ-Y) = y- ŷ 向量 y, ŷ, e 三者之间关系如图所示,
第十章 线性回归分析
变量之间的关系有两种：
确定型的函数关系
不确定型的函数关系
这里主要研究不确定型的函数关系，如收入 与受教育程度之间的关系，等等问题。 但它们 之间存在明显的相互关系（称为相关关系），又 是不确定的。
回归分析是研究随机变量之间相关关系的统计方 法。其研究一个被解释变量（因变量）与一个或 多个解释变量（自变量）之间的统计关系。
(Yi ˆ1 ˆ2 X i )2
最小. 为此, 分别求Q 对 ˆ1, ˆ2的偏导, 并令其为零:
Q
Q
ˆ1 0, ˆ2 0
由上两式, 就可求出待估参数 ˆ1, ˆ2的值.
4. 所求参数的计算公式
ˆ2
xi yi xi2
, 其 中 ，xi
Xi
X,
yi
Yi
Y
ˆ1 Y ˆ2 X
ˆ 2的另一个表达式为:
ˆ2
xT y xT x
x, y x x
例:：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽 出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。
参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
X
2 i
Yi 2
1 800 594 -1350 2 1100 638 -1050 3 1400 1122 -750 4 1700 1155 -450 5 2000 1408 -150 6 2300 1595 150 7 2600 1969 450 8 2900 2078 750 9 3200 2585 1050 10 3500 2530 1350 求和 21500 15674 平均 2150 1567
人均收入X
这两个变量之间的不确定关系，大致可以用下式表示：
Y 1 2 LnX u
设 Z =Ln X ，可将上式线性关系为：
Y 1 2Z u
线性回归的任务：就是用恰当的方法，估计出参 数 1， 2 ，并且使估计出来的参数具有良好的统 计特征，所以，回归问题从某种视角看，视同参 数估计问题。
有可能不成立, 以后讨论不成立时如何处理). (5) ui 服从 N(0, 2u )分布; (6) E(Xiuj)=0, 对Xi 的性质有两种解释:
a. Xi 视为随机变量, 但与uj无关, 所以(6)成立. b. Xi 视为确定型变量, 所以(6)也成立.
3. 普通最小二乘法 (OLS)
设线性回归模型
y
e
x
yˆ ˆ 2 x
普通最小二乘法要使残差平方和 e2i 最小, 也就是 要使 e 的长度尽可能小, 等价于在几何上 e x . 或者 说, ŷ 的长度应当是 y 在 x 上的投影长度.
高斯基本假设如下: (1) ui 为随机变量 ( 本假设成立, 因为我们研究就是不
确定关系). (2) E(ui) =0, 随机干扰项的期望值等于零(本假设成立,
如果其均值不是零, 可以把它并入到 1 中). (3) Var(ui) =2u , 随机干扰项的方差等于常数(本假设
有可能不成立, 以后讨论不成立时如何处理). (4) E(uiuj)=0 (ij) 随机干扰项协方差等于零(本假设
一. 一元线性回归
1.一元线性回归是研究一个自变量与一个因变量的统计 关系。
例：人均收入 X 与人均食品消费支出 Y 的散点图的关
系如图。
人 均 食 品 支 出 Y
人均收入X
这两个变量之间的不确定关系，可以用下式表示：
Y 1 2X u
式中，人均食品消费支出Y 是被解释变量， 人均收入 X