统计学-回归分析
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析在统计学中，回归分析是一种重要的数据分析方法。
它用于探索自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解变量之间的相互作用以及预测未来的趋势。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
自变量是我们在问题中感兴趣的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
回归分析可以帮助我们确定自变量如何影响因变量，并找到最佳的拟合曲线或平面来描述这种关系。
回归分析的基本假设是，自变量与因变量之间存在线性关系，并且观测误差服从正态分布。
基于这个假设，我们可以使用最小二乘法来拟合回归模型，使得观测值与预测值之间的残差平方和最小化。
二、回归分析的原理1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法，用于研究只包含一个自变量和一个因变量的情况。
我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系，并使用最小二乘法拟合一条直线来描述这种关系。
2. 多元线性回归多元线性回归适用于包含多个自变量和一个因变量的情况。
通过拟合一个多元线性模型，我们可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，并研究它们之间的相互作用。
3. 非线性回归非线性回归用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
在这种情况下，我们可以根据问题的特点选择适当的非线性回归模型，并使用最小二乘法进行参数估计。
三、回归分析的应用回归分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 经济学中的回归分析经济学家常常使用回归分析来研究经济现象。
例如，他们可以通过回归分析来研究GDP与各种经济指标之间的关系，以及利率、通胀率等因素对经济增长的影响。
2. 医学研究中的回归分析医学研究中的回归分析可以用于探索治疗方法与患者恢复速度之间的关系。
通过收集患者的相关数据，如年龄、性别、治疗时间等，可以建立多元线性回归模型来预测患者的康复时间。
3. 市场营销中的回归分析市场营销人员可以利用回归分析来确定产品价格与销量之间的关系。
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法统计学是一门应用广泛的学科，它帮助我们了解和解释数据背后的规律和关联。
回归分析是统计学中一种重要的方法，它用于研究变量之间的关系，并预测一个变量如何随其他变量的变化而变化。
回归分析的基本原理是建立一个数学模型来描述变量之间的关系。
这个模型通常采用线性方程的形式，即y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y是因变量，x1、x2、...、xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数。
回归系数表示了自变量对因变量的影响程度。
回归分析有两种基本类型：简单线性回归和多元线性回归。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。
简单线性回归可以帮助我们了解两个变量之间的直线关系，而多元线性回归可以考虑更多的因素对因变量的影响。
在进行回归分析之前，我们需要收集数据并进行数据清洗和变量选择。
数据清洗是指处理缺失值、异常值和离群值等问题，以确保数据的质量。
变量选择是指选择对因变量有显著影响的自变量，以减少模型的复杂性。
回归分析的核心是估计回归系数。
我们可以使用最小二乘法来估计回归系数，即找到能使观测值与模型预测值之间的误差平方和最小的回归系数。
最小二乘法可以通过矩阵运算来求解回归系数的闭式解，也可以使用迭代算法来逼近最优解。
回归分析的结果可以通过各种统计指标来评估模型的拟合程度和预测能力。
常见的指标包括决定系数（R-squared）、调整决定系数（adjusted R-squared）、标准误差（standard error）和显著性检验（significance test）等。
这些指标可以帮助我们判断模型是否合理，并进行模型比较和选择。
除了线性回归，回归分析还有其他类型的方法，如逻辑回归、多项式回归和非线性回归等。
逻辑回归适用于因变量是二元变量的情况，多项式回归适用于因变量和自变量之间存在非线性关系的情况，非线性回归适用于因变量和自变量之间存在复杂的非线性关系的情况。
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法回归分析是统计学中经常被使用的一种方法，它用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以预测一个变量如何随着其他变量的变化而变化，或者确定变量之间的因果关系。
在本文中，我将介绍几种常见的回归分析方法，帮助读者更好地理解和应用这一统计学方法。
一、简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式。
它适用于只涉及两个变量的场景，并且假设变量之间的关系可以用一条直线来描述。
在进行简单线性回归分析时，我们需要收集一组观测数据，并使用最小二乘法来拟合直线模型，从而得到最优的回归方程。
通过该方程，我们可以根据自变量的取值预测因变量的值，或者评估自变量对因变量的影响程度。
二、多元线性回归分析多元线性回归分析扩展了简单线性回归模型，允许多个自变量同时对因变量进行解释和预测。
当我们要考察一个因变量与多个自变量之间的复杂关系时，多元线性回归分析是一种有力的工具。
在进行多元线性回归分析时，我们需收集多组观测数据，并建立一个包含多个自变量的回归模型。
通过拟合最优的回归方程，我们可以分析每个自变量对因变量的影响，进一步理解变量之间的关系。
三、逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于处理因变量为二元变量（如真与假）时的回归问题。
逻辑回归分析的目标是根据自变量的取值，对因变量的分类进行概率预测。
逻辑回归模型是通过将线性回归模型的输出映射到一个概率区间（通常为0到1）来实现的。
逻辑回归在实际应用中非常广泛，如市场预测、医学诊断等领域。
四、岭回归分析岭回归是一种用于解决多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性指多个自变量之间存在高度相关性的情况，这会导致回归分析结果不稳定。
岭回归通过在最小二乘法的基础上加入一个惩罚项，使得回归系数的估计更加稳定。
岭回归分析的目标是获得一个优化的回归方程，从而在存在多重共线性的情况下提高预测准确度。
五、非线性回归分析在某些情况下，变量之间的关系不是线性的，而是呈现出曲线或其他非线性形态。
统计学中的Logistic回归分析
统计学中的Logistic回归分析Logistic回归是一种常用的统计学方法，用于建立并探索自变量与二分类因变量之间的关系。
它在医学、社会科学、市场营销等领域得到广泛应用，能够帮助研究者理解和预测特定事件发生的概率。
本文将介绍Logistic回归的基本原理、应用领域以及模型评估方法。
一、Logistic回归的基本原理Logistic回归是一种广义线性回归模型，通过对数据的处理，将线性回归模型的预测结果转化为概率值。
其基本原理在于将一个线性函数与一个非线性函数进行组合，以适应因变量概率为S形曲线的特性。
该非线性函数被称为logit函数，可以将概率转化为对数几率。
Logistic回归模型的表达式如下：\[P(Y=1|X) = \frac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1X_1+...+\beta_pX_p)}}\]其中，P(Y=1|X)表示在给定自变量X的条件下，因变量为1的概率。
而\(\beta_0\)、\(\beta_1\)、...\(\beta_p\)则是待估计的参数。
二、Logistic回归的应用领域1. 医学领域Logistic回归在医学领域中具有重要的应用。
例如，研究者可以使用Logistic回归分析，探索某种疾病与一系列潜在风险因素之间的关系。
通过对患病和非患病个体的数据进行回归分析，可以估计各个风险因素对疾病患病的影响程度，进而预测某个个体患病的概率。
2. 社会科学领域在社会科学研究中，研究者常常使用Logistic回归来探索特定变量对于某种行为、态度或事件发生的影响程度。
例如，研究者可能想要了解不同性别、教育程度、收入水平对于选民投票行为的影响。
通过Logistic回归分析，可以对不同自变量对于投票行为的作用进行量化，进而预测某个选民投票候选人的概率。
3. 市场营销领域在市场营销中，Logistic回归也被广泛应用于客户分类、市场细分以及产品销量预测等方面。
通过分析客户的个人特征、购买习惯和消费行为等因素，可以建立Logistic回归模型，预测不同客户购买某一产品的概率，以便制定个性化的市场营销策略。
统计学-logistic回归分析
在患病率较小情况下，OR≈RR
• Logistic回归中的常数项（b0）表示， 在不接触任何潜在危险／保护因素条 件下，效应指标发生与不发生事件的 概率之比的对数值。 • Logistic回归中的回归系数（ bi ）表示， 某一因素改变一个单位时，效应指标 发生与不发生事件的概率之比的对数 变化值，即OR的对数值。
( 0 1 x1 ) ( 0 x0 ) 1 x1
OR e
P odds1 1 /(1 P 1) OR P0 /(1 P0 ) odds0
Y 发病=1 不发病=0
危险因素 x= 1 x= 0 30（a） 10（ b） 70（c） 90（d） a+c b+d 危险因素 x= 1 x= 0 p1 p0 1-p1 1-p0
i
事件发生率很小，OR≈RR。
二、 Logistic回归模型
• Logistic回归的分类
二分类 多分类
条件Logistic回归 非条件Logistic回归
• Logit变换
也称对数单位转换
P logit P= ln 1 P
流行病学概念：
设P表示暴露因素X时个体发病的概率， 则发病的概率P与未发病的概率1-P 之 比为优势（odds）， logit P就是odds 的对数值。
Y 发病=1 不发病=0a p1 ac源自有暴露因素人群中发病的比例
多元回归模型的的 i 概念
P logit(p) ln = 0 1 X 1 1 P m X m
i 反映了在其他变量固定后，X=1与x=0相比
发生Y事件的对数优势比。 回归系数β与OR X与Y的关联 • β=0，OR=1， 无关 β＞0，OR＞1 ， 有关，危险因素 β＜0，OR＜1， 有关，保护因子
统计学中的回归分析方法解析
统计学中的回归分析方法解析统计学中的回归分析是一种重要的数据分析方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
本文将对回归分析的基本概念、回归模型、模型评估以及一些常用的扩展方法进行解析。
通过深入探讨回归分析的应用方式和原理，希望读者能够更好地理解和运用这一方法。
一、回归分析概述回归分析是一种基于样本数据分析方法，用于研究因变量与自变量之间的关系。
在回归分析中，我们将自变量的取值代入回归方程中，以得出因变量的预测值。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种情况。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基础的一种情形。
它假设因变量与自变量之间存在着线性关系，通过拟合一条直线来解释数据的变化趋势。
简单线性回归模型的表达式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元线性回归当我们需要考虑多个自变量对因变量的影响时，就需要使用多元线性回归模型。
多元线性回归模型的表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。
二、回归模型的建立与评估在回归分析中，我们需要建立合适的回归模型，并评估模型的拟合优度和统计显著性。
2.1 模型建立模型建立是回归分析的核心部分。
在建立模型时，我们需要选择合适的自变量，并进行模型的参数估计。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计等。
2.2 模型评估为了评估回归模型的拟合优度，我们可以使用各种统计指标，如决定系数R²、调整决定系数adj R²、F统计量等。
同时，我们还需要检验模型的显著性，即回归系数是否显著不为零。
三、回归分析的扩展方法除了简单线性回归和多元线性回归之外，回归分析还有许多扩展方法，包括非线性回归、逐步回归、岭回归等。
统计学中的回归分析与模型
统计学中的回归分析与模型回归分析是统计学中一种用于探究变量之间关系的方法。
它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，并通过建立数学模型来预测或解释一个变量对其他变量的影响。
在本文中，我们将深入探讨回归分析的定义、基本原理以及常见的回归模型。
一、回归分析的定义回归分析是一种统计方法，用于探究两个或多个变量之间的关系。
它基于基准变量和预测变量之间的样本数据，通过构建数学模型预测或解释预测变量的变化。
回归分析可用于预测未来趋势、识别变量之间的因果关系以及解释变量对观测结果的影响程度。
二、回归分析的基本原理回归分析的基本原理是通过最小二乘法来拟合一个数学模型，使得模型预测值与实际观测值的差距最小化。
最小二乘法是寻找一条直线或曲线，使得所有观测点到该直线或曲线的距离之和最小。
通过拟合该数学模型，我们可以预测因变量的值，并评估影响因素对因变量的影响程度。
三、线性回归模型线性回归模型是回归分析中最常见的模型之一。
它假设因变量与自变量之间存在一个线性关系，并试图找到最佳拟合直线。
线性回归模型的数学表达式通常表示为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn，其中Y 是因变量，X1至Xn是自变量，β0至βn是回归系数。
四、多元线性回归模型多元线性回归模型是线性回归模型的扩展，用于分析多个自变量对因变量的影响。
它的数学表达式与线性回归模型类似，但包含多个自变量。
多元线性回归模型可以帮助我们识别不同自变量之间的相互影响，并确定它们对因变量的相对贡献程度。
五、逻辑回归模型逻辑回归模型是一种广义线性模型，用于分析因变量与自变量之间的非线性关系。
它适用于因变量为二元变量的情况，常常用于进行分类或概率估计。
逻辑回归模型的数学表达式可以用于计算一个事件发生的概率，并基于自变量的值进行分类。
六、决策树回归模型决策树回归模型是一种非参数化的回归模型，通过构建决策树来描述自变量与因变量之间的关系。
它将样本数据划分为不同的子集，每个子集对应于一个叶节点，并赋予该叶节点一个预测值。
统计学,回归分析
9) 回归分析的条件
• • • • 线性 独立 正态 等方差
• 10) 相关与回归的注意事项
1.相关与回归的关系
• 二者反映的是一个问题的两个角度 相关：关联程度 回归：数量关系
本实例回归方程的评价
• 回归模型的方差分析： F=67.923 P=0.000
• 回归系数的t检验： tb=8.2416 , P=0.000
• R2=0.8291
7) 直线回归图
• 若两变量间存在直线关系,在散点图上绘 上回归直线,形成直线回归图.
直线回归图的CHISS实现
1、进入数据模块 点击 数据→文件→打开数据库表 打开文件名为：b12-1.DBF →确认 2、进入图形模块 进行绘图 点击 图形→统计图→曲线拟合 →确认 横轴：X脂肪 纵轴:Y热量
回归直线与散点图的关系
•
b>0
b<0
b=0
•
b=0
b=0
b=0
4 ) 回归方程的检验
• 回归方程的抽样误差:
• 回归方程来自样本，存在抽样误差
回归方程的假设检验步骤:
• 1 建立假设:
H0：回归方程无统计学意义 H1：回归方程有统计学意义 α =0.05
2 变异的分解: 方差分析思想
yi- y = (yi - y^) + (y^ - y)
上机练习
• <<医学统计与CHISS应用>> • P145 例12-1---例12.4
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
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中国改革开放
– 中国经济体制改革 – “中国经济进入中等发达国家水平” – 中国政治体制改革 – “我深知改革的难度，主要是任何一项改革必须 有人民的觉醒、人民的支持、人民的积极性和创 造精神。” --温家宝 – 中国半数人还处于文革状态，要么是缺乏理性的 文革战士，要么是逆来顺从的奴隶状态，基本不 懂现代社会的处事原则。—茅于轼 – “权利回归于人民，人民真正当家作主” – ”没有独裁专制，才有新中国“
∑(yi- y)2 =∑(yi- y^)2 +∑ (y^ - y)2
变异分解示意图
F值的构造
• SS总 ＝ SS残差 ＋ SS回归 • df总 ＝ df残差 ＋ df回归
• MS回归=SS回归/df回归 • MS残差 =SS残差 /df残差 • F= MS回归/ MS残差 • F值越大，越不利H0假设的成立。
---------------------------------------------------------
• 3 统计推断与决策 p<α ,拒绝H0 ； 回归方程有统计学意义 p>α ,不拒绝H0。回归方程无统计学意义
Regression Analsys
回归分析
童新元 中国人民解放军总医院
名人格言
• 纵使世界给我珍宝和荣誉,我也不愿 意离开我的祖国,因为纵使我的祖国 在耻辱之中,我还是喜欢,热爱,祝福 我的祖国。
---裴多菲(匈牙利诗人,1823—1849)
问题
• 能否由脂肪的含量推出热量的多少? • 知道父代身高，可否推测子代身高？ • 回归方程解决由一个量变化推断另一量变化 的问题。
•
方差分析表 ---------------------------------------------------------y的变异来源 SS 回归方程 残差 总变异 DF MS F值 P
---------------------------------------------------------SS回归 1 MS回归 F=MS回归/Mse SSe n- 2 Mse SST n-1
• 这个例子说明了生物学中“种”的概念的 稳定性。正是为了描述这种有趣的现象， Galton引进了“回归”这个名词来描述父 辈身高与子代身高的关系。 • 大自然界很多物种都有 “回归”现象： • 大象、蚂蚁后代体重回归到其平均水平
人类社会的“回归”.
– 少小离家，老大归。。。 社会学…叶落归根 – 和谐社会 稳定--发展 – 贫富分化严重社会不稳定
回归直线与散点图的关系
•
b>0
b<0
b=0
•
b=0
b=0
b=0
4 ) 回归方程的检验
• 回归方程的抽样误差:
• 回归方程来自样本，存在抽样误差
回归方程的假设检验步骤:
• 1 建立假设:
H0：回归方程无统计学意义 H1：回归方程有统计学意义 α =0.05
2 变异的分解: 方差分析思想
yi- y = (yi - y^) + (y^ - y)
求解线性方程组，而得到最小二 乘估计系数b和a
参数的计算公式
• β 的估计:
• α 的估计：
计算结果
• a=33.73,b=0.516
• 回归方程：y^=33.73+0.516x
• 例 12-1 测定 16 种食物中的热量（卡路 里）和脂肪含量（克）. • 试建立食物热量与脂肪含量之间的回 归方程.
计算结果 • a=36.0727,b=15.2584
• 回归方程：y^=36.0727+15.2584x
回归方程的基本含义
• 回归方程在坐标轴上的含义
• a:截距 b: 斜率称为回归系数。 • 回归系数b的意义： 回归系数b反映的是x每增加1个单位时y的增加幅度； b越大，x对y的影响幅度越大。
回归分析的数据基本格式
• 变量x 变量y x1 y1 x2 y2 . . . . . . xn yn
相关问题
• 回归分析的任务: 在平面上怎么找最佳的直线? • 实现的类似问题: 某地区有若干个房子, 现要修建一条直的公 路,怎样让大家都满意?
3) 参数的估计
• 回归方程： • 采用最小二乘法原理: • 所有实测点到回归直线的纵向距离平方之 和最小.
由父高推测子女身高的设想
• 影响子女身高y的因素： 基本生长规律、父母的身高x 个体差异（随机误差） • 问题的模型化：回归分析模型 子高＝基本生长＋父母高作用＋个体差异
2) 回归方程
• 回归分析研究目的是由自变量的信息去推 断因变量，并用直线方程来表示它们的线 性关系。 • 直线回归方程的家Galton观察了1078对夫妇 与子女，分析他们的身高关系。 • 以每对夫妇的平均身高作为x，取他们的一个 成年儿子的身高作为y，将结果在平面直角坐 标系上绘成散点图，发现趋势近乎一条直线。
• 计算出的回归直线方程为：
• Y^=33.73+0.516x • 这种趋势及回归方程表明父母平均身高x每增 加一个单位时，其成年儿子的身高y也平均增 加0.516个单位。
• 低个子父辈的儿子们虽然仍为低个子， 平均身高却比他们的父辈增加了，即父 辈偏离中心的部分在子代被拉回来一些。
说明子代的平均身高没有比他们的父辈更低。
• 正因为子代的身高有回到父辈平均身高 的趋势，才使人类的身高在一定时间内 相对稳定，没有出现父辈个子高其子女 更高，父辈个子矮其子女更矮的两极分 化现象。
• 结果表明，虽然高个子父辈确实有生 高个子儿子的趋势，但父辈身高增加 一个单位，儿子身高仅增加半个单位 左右。 • 平均说来，一群高个子父辈的儿子们 的平均高度要低于他们父辈的平均高 度，他们儿子的身高没有比他们更高， 高个子父辈偏离其父辈平均身高的一 部分被其子代拉回来了，即子代的平 均身高向中心回归。
1) “回归”概念的来源
• “香港回归”, “澳门回归”…. • “回归”这一名词起源于19世纪生物学家和 统计学家F· Galton的遗传学研究。 • 问题:现实直观经验: • “通常都认为子女比父母的身高要高”。 这是人身的客观规律还是一种假象? • 如果这个趋势是客观规律话，人身高应该 是越来越高，早就超过了现在的水平。