2020-2021学年度人教版九年级上册数学第二十二章《二次函数》综合过关测试卷(含答案)
流落地点 B 离墙距离 OB 是 ( )
第 6 题图
第 8 题图
第 10 题图
A.2m
B.3m
C.4m
D.5m
7．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax2＋bx 与 y＝bx＋a 的图象可能是( )
8．如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数表达式为 y=-2(x-h)2+k,则
下列结论正确的是 ( )
A.h>0,k>0 B.h<0,k>0
C.h<0,k<0
D.h>0,k<0
9．向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系式为
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时
间中炮弹所在高度最高的是( )
A．第 8 秒 B．第 10 秒 C．第 12 秒 D．第 14 秒
,当 k=
时,y 随 x 的增大而减小.
时,它的图象是开口向下的抛物线;此时当 x
13．若抛物线 y=(x+a)2+a-1 的顶点在第二象限,则 a 的取值范围是
.
14．如图,已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(-1,0),(1,-2),当 y 随 x 的增
大而增大时,x 的取值范围是________.
25．某跳水运动员进行 10m 跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中运动路线是 如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳 某个规定动作时,正常情况下该运动员在空中的最高处 A 点距水面 10 m,入水处 B 点距池边的距离为 4m,同时运动员在距水面高度为 5m 以前,必须完成规定的翻 腾动作,并调整好入水的姿势,否则就会出现失误. 世纪金榜导学号 26534313
＞0 的解集是________．
17．如图是一座抛物线形拱桥，当水面宽 4 m 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水
面 2 m，当水面下降 1 m 时，水面的宽度为________．
18．若二次函数 y=x2-4x+c 的图象经过点(0,3),则函数 y 的最小值是
.
19．如图,二次函数 y=a(x-2)2+k 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,且点 A 的横坐标为
2020-2021 学年度人教版九年级上册数学第二十二章
《二次函数》综合过关测试卷
时间：120 分钟 总分：120 分
姓名：
班级:
等级：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9Hale Waihona Puke 10分值一.选择题(每题 3 分，共 30 分)
1．下列各式中,y 是 x 的二次函数的为 ( )
A.y=-9+x2
B.y=-2x+1 C.y=
(1)求这条抛物线的表达式. (2)在某次试跳时,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线的一部分,且 运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3 m,问此次跳水会不会 失误?并通过计算说明理由.
26．如图,抛物线 y=x2-bx+c 交 x 轴于点 A(1,0),交 y 轴于点 B,对称轴是 x=2. (1)求抛物线的表达式. (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点 P,使△PAB 的周长最小?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
23．求直线 y=3x+4 与抛物线 y=x2 的交点坐标,并求出以两交点与原点为顶点的 三角形的面积.
24．如图,二次函数 y=(x+2)2+m 的图象与 y 轴交于点 C,点 B 在抛物线上,且与点 C 关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上 的点 A(-1,0)及点 B. (1)求二次函数与一次函数的表达式. (2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b 的 x 的取值范围.
第 14 题图
第 15 题图
第 19 题图
15．如图,抛物线 C1:y=x2-4x 的对称轴为直线 x=a,将抛物线 C1 向上平移 5 个单位
长度得到抛物线 C2,则图中的两条抛物线、直线 x=a 与 y 轴所围成的图形(图中
阴影部分)的面积为
.
16．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式 ax2＋bx＋c
-1,则点 B 的横坐标为
.
20．一养鸡专业户计划用 116 m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍,门 MN
宽 2 m,门 PQ 和 RS 的宽都是 1 m,围成的鸡舍面积最大是
m2.
三.解答题(60 分) 21．如图是抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象，其中 A(1，0)，B(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象，写出当 y＜3 时 x 的取值范围(作适当说明)．
D.y=-(x+1)+3
2．若 y=(a+4)x|a|-2+5x-8 是二次函数,则 a 的值为 (
)
A.-4
B.4
C.±4
D.±2
3．如图,正方形 ABCD 的边长为 5,点 E 是 AB 上一点,点 F 是 AD 延长线上一点,
且 BE=DF.四边形 AEGF 是矩形,则矩形 AEGF 的面积 y 与 BE 的长 x 之间的函数关
C.y1>y3>y2
5. 二次函数 y=(x-1)2+3 图象的顶点坐标是 (
)
D.y3>y2>y1
A.(1,3)
B.(1,-3)
C.(-1,3)
D.(-1,-3)
6．某幢建筑物,从 10m 高的窗口 A 用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物
线所在平面与墙面垂直,如图),如果抛物线的最高点 M 离墙 1m,离地面 m,则水
系式为 ( )
A.y=5-x(0≤x<5)
B.y=5-x2(0≤x<5)
C.y=25-x(0≤x<5)
D.y=25-x2(0≤x<5)
4．已知点 A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在函数 y=-x2 的图象上,则 y1,y2,y3 的大
小关系是 ( )
A.y2>y1>y3
B.y1>y2>y3
10．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则 (
)
A.b>0,c>0
B.b>0,c<0
C.b<0,c<0
D.b<0,c>0
二.填空题(每题 3 分，共 30 分)
11．一个长方形的长比宽多 3 cm,设原长方形宽为 x cm,面积为 y cm2,则 y 与 x
之间的函数表达式为
.
12．函数 y=k
22．如图,有长为 24 m 的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10 m)围成 中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽 AB 为 x m,面积为 S m2.
(1)求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围. (2)要围成面积为 45 m2 的花圃,AB 的长是多少米? (3)当 AB 的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?最大面积是多少?
人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数达标测试卷(含答案)
二次函数自我评估（本试卷满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. y =2x ＋lB. y =（x ﹣l ）2﹣x 2C. y =5x 2D. y =22x 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数y =x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. y =（x +3）2+1B. y =（x ﹣3）2﹣1C. y =（x +3）2﹣1D. y =（x ﹣3）2+13. 某抛物线的形状、开口方向与y =12x 2﹣4x +3相同，顶点坐标为（﹣2，1），则该抛物线的解析式为（ ） A ．y =12（x ﹣2）2+1 B ．y =12（x +2）2﹣1C ．y =12（x +2）2+1D ．y =-12（x +2）2+14. 二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，可知关于x 的方程ax 2+bx +c =0的所有根的积为（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣5 D ．5第4题图 第8题图 第9题图 第10题图 5. 关于二次函数y =3（x +1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是x =1 B. 当x =﹣1时，y 取得最小值，且最小值为﹣7 C. 顶点坐标为（﹣1，7） D. 当x <﹣1时，y 随x 的增大而增大6. 某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件．若想获得最大利润，则售价x 应定为（ ）A ．35元B ．45元C ．55元D ．65元7. 一次函数y =bx +a （b ≠0）与二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D8. 板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动.如图是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A 处击出，落地前的点B 处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其解析式为y =132x 2+14x +1，则板球运行中离地面的最大高度为（ ）A. 1B.32C.83D. 49. 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4 cm ，BC =8 cm ，动点P 从点A 出发，沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动（不与点B 重合），同时动点Q 从点B 出发，沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动（不与点C 重合）.当四边形APQC 的面积最小时，经过的时间为（ ） A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s 10. 已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的顶点坐标是（﹣1，m ），与x 轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣m =2没有实数根；③3a +c ＞0.其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线y =x 2+2x +c 的对称轴是 . 12. 当a = 时，函数y =（a ﹣1）21a x＋x ﹣3是二次函数.13. 若二次函数y =x 2﹣4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n = .14. 点P 1（1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =﹣x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .15. 如图，将抛物线y 1=（x +1）2﹣3向右平移2个单位长度得到抛物线y 2，则阴影部分的面积为 .第15题图 第16题图16. 圆形喷水池中心O 处有一雕塑OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的C ，D 为水柱的落水点.已知雕塑OA 的高为116米，水柱最高点与OA 的水平距离为5米，落水点C ，D 之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 米．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（6分）已知二次函数y =x 2﹣4x +c 的图象经过点（3，0）． （1）求该二次函数的解析式；（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '，若点P ′落在该二次函数的图象上，求n 的值． 18.（6分）已知二次函数y =x 2-4mx +3m 2（m ≠0）．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）若m>0，且两交点间的距离为2，求m 的值．19.（8分）购进一款防护PM 2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式； （2）求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，并求出最大利润. 20.（8分）如图，抛物线y =2x 2+bx ﹣2过点A （﹣1，m ）和B （5，m ）． （1）求b 和m 的值；（2）若抛物线与y 轴交于点C ，求△ABC 的面积．第20题图 第21题图 21.（8分）如图，已知抛物线L 1：y 1=34x 2，将抛物线平移后经过点A （﹣1，0），B （4，0）得到抛物线L 2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）已知P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.（8分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，7）．（1）求b，c的值；（2）已知点A，B落在抛物线上，点A在第二象限，点B在第一象限.若点B的纵坐标比点A的纵坐标大3，设点B的横坐标为m，求m的取值范围．23.（10分）图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为24 m，在到点D的距离为6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m.以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离；（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m．①求出其中一条钢缆抛物线的解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．①②①②第23题图第24题图24.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点为C（1，﹣1），E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形CDEF为正方形．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，求正方形CDEF的面积；（3）如图②，连接DF，与CE交于点M，与y轴交于点N.若P为抛物线上一点，Q为直线BN上一点，且P，Q两点均位于直线DF下方，当△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标．题报第②期 二次函数自我评估参考答案答案详解三、17. 解：（1）将（3，0）代入y =x 2﹣4x +c ，得9﹣12+c =0，解得c =3. 所以该二次函数的解析式为y =x 2﹣4x +3.（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '（4，n +2）. 将P ′（4，n +2）代入y =x 2﹣4x +3，得16﹣16+3= n +2，解得n =1．18.（1）证明：令y =0，则x 2-4mx +3m 2=0（m ≠0）.因为Δ=（-4m ）2﹣4×3m 2=4m 2>0，所以方程x 2-4mx +3m 2=0（m≠0）有两个不等的实数根.所以无论m 取何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. （2）解：解方程x 2-4mx +3m 2=0，得x 1=m ，x 2=3m .所以函数y =x 2-4mx +3m 2的图象与x 轴两个交点的坐标为（m ，0），（3m ，0）.因为m >0，两交点间距离为2，所以3m-m =2，解得m =1． 19. 解：（1）根据题意，得y =（x ﹣5）105050.1x -⎛⎫+⨯⎪⎝⎭=﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）.所以每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式是y =﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）. （2）由（1），知y =﹣50x 2+800x ﹣2750=﹣50（x ﹣8）2+450.因为﹣50<0，5≤x ≤10，所以当x =8时，y 有最大值，最大值为450. 所以销售单价定为8元时，每天的利润最大，最大利润是450元．20. 解：（1）因为A （﹣1，m ），B （5，m ）是抛物线y =2x 2+bx ﹣2上的两点，所以对称轴为x=15222b -+-=⨯，得b =﹣8.所以抛物线的解析式为y =2x 2﹣8x ﹣2.将A （﹣1，m ）代入y =2x 2﹣8x ﹣2，得m =2+8﹣2=8.（2）令x=0，得y =﹣2，所以点C 的坐标为（0，﹣2）.所以OC =2. 因为A （﹣1，8），B （5，8），所以AB =6.所以S △ABC =12×6×（2+8）=30． 21. 解：（1）设抛物线L 2的解析式为y=34x 2+bx+c. 将A （﹣1，0），B （4，0）代入，得3041240b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，，解得943.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以抛物线L 2的解析式为y=34x 294-x-3.（2）存在PD =2OC ． 理由：设P 239344a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，D 234a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以PD=223933444a a a ---=934a +，OC=3．由934a +=2OC=6，解得a=43或a=-4.所以点P 的坐标为41433⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或（﹣4，18）． 22. 解：（1）因为抛物线y =﹣x 2+bx +c 的顶点坐标为（2，7），所以对称轴为x=()21b-⨯-=2，解得b =4.所以y =﹣x 2+4x +c.将（2，7）代入y =﹣x 2+4x +c ，得﹣4+8+c =7，解得c =3.所以b 的值是4，c 的值是3. （2）因为y =﹣x 2+4x +3的顶点坐标为（2，7），所以抛物线开口向下，对称轴为x =2.令x =0，得y =3，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）.所以点（0，3）关于对称轴的对称点为（4，3）. 因为点A ，B 落在抛物线上，点A 在第二象限，点B 在第一象限，点B 的纵坐标比点A 的纵坐标大3，所以将y =6代入y =﹣x 2+4x +3，得﹣x 2+4x +3=6，解得x =1或x =3.所以m 的取值范围是0<m <1或3<m <4.第22题图（共享2021-2022学年第二学期答案页第8期大报第20期“专项五”3题答案） 23. 解：（1）由题意，得F （6，-1.5）. 设抛物线的解析式为y 1=a 1x 2.将F （6，-1.5）代入，得62·a 1=-1.5，解得a 1=124-. 所以抛物线的解析式为y 1=124-x 2.当12x =时，y 1=-6，所以桥拱顶部离水面的距离为6 m ． （2）①由题意，得右侧抛物线的顶点为（6，1）.设右侧抛物线的解析式为y 2=a 2（x-6）2+1.将H （0，4）代入，得a 2（0-6）2+1=4，解得a 2=112. 所以右侧抛物线的解析式为y 2=112（x-6）2+1. ②设彩带的长度为h m ，则h =y 2-y 1=112（x-6）2+1-2124x ⎛⎫-⎪⎝⎭=18x 2–x+4=18（x–4）2+2. 因为18>0，所以h 有最小值.当x=4时，h 取得最小值，为2.所以彩带长度的最小值是2 m ．24. 解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）2﹣1.将A （﹣1，0）代入，得a =14，所以y =14x 2-12x -34.（2）如图①，过点F 作FR ⊥EC 于点R . 设F 2113424t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则R 2113424t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1，，所以RC =2111424t t -+，RF =t ﹣1. 因为四边形CDEF 是正方形，所以RF =RC .所以2111424t t -+=t ﹣1.所以t =1（舍去）或t =5.所以F （5，3）.所以RF =4.所以CF 2=32.所以正方形CDEF 的面积是32. （3）令y=0，则14x 2-12x -34=0，解得x=-1或x=3.所以B （3，0）. 由（2）可得N （0，3），M （1，3），所以直线BN 的解析式为y =﹣x +3.设Q （m ，3﹣m ），如图②，过点Q 作QG ⊥DF 于点G ，作PT ⊥DF 于点T .因为△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，所以MP =QM ，∠TMP +∠GMQ =90°，∠TMP +∠TPM =90°.所以∠TPM =∠GMQ .所以△MTP ≌△QGM .所以PT =MG ，MT =QG .所以PT =MG =m ﹣1，MT =QG =m.所以P （1﹣m ，4﹣m ）.因为点P 在抛物线上，所以4﹣m =14（1﹣m ）2-12（1﹣m ）-34，解得m =﹣2±因为m ＞0，所以m =﹣2+所以P (3--.所以当△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形时，点P 的坐标为(3--．① ② 第24题图。
人教版 九年级数学上册 第二十二章 二次函数 同步测试(含答案)
2020-2021学年人教版 九年级数学上册 第二十二章 二次函数 同步测试（含答案）一、选择题（本大题共8道小题）1. 二次函数y ＝2x 2－3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )A ．2，0，－3B ．2，－3，0C ．2，3，0D ．2，0，32. 二次函数y 2A. 直线x ＝－3B. 直线x ＝－2C. 直线x ＝－1D. 直线x ＝03. 二次函数y ＝－x 2＋1的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C .下列说法中，错误．．的是( ) A ．△ABC 是等腰三角形 B ．点C 的坐标是(0，1) C ．AB 的长为2D ．y 随x 的增大而减小4. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y ＝－112x 2＋23x ＋53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m5. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；△c >0；△a＋c <b ；△b 2－4ac >0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与x 轴交于点(-3，0)，其对称轴为直线x=-12.结合图象分析下列结论:△abc>0;△3a+c>0;△当x<0时，y 随x 的增大而增大;△一元二次方程cx 2+bx+a=0的两根分别为x 1=-13，x 2=12;△b 2-4ac 4a<0;⑥若m ，n (m<n )为方程a (x+3)·(x -2)+3=0的两个根，则m<-3，n>2，其中正确的结论有 ( )A .3个B .4个C .5个D .6个7. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx 的图象可能是( )8. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD △BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二、填空题（本大题共4道小题）9. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线，若点P (4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为________．11. 函数y＝－4x2－3的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x________0时，y随x的增大而减小，当x________时，y有最________值，是________，这个函数的图象是由y＝－4x2的图象向________平移________个单位长度得到的．12. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．三、解答题（本大题共4道小题）13. 判断下列二次函数的图象与x轴的公共点的个数及公共点的坐标．(1)y＝12x2＋x＋1；(2)y＝－3x2－6x－3；(3)y＝－3x2－x＋4.14. 如图，排球运动员站在O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析式y＝a(x －6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．(1)当h＝2.6时，求y与x之间的函数解析式；(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，则h的取值范围是多少？15. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天(1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如下：(1)(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出．求第x 天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式；(当天收入＝日销售额－日捕捞成本) (3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？16. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．2020-2021学年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数同步测试-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】由表格的数据可以看出，x＝－3和x＝－1时y的值相同，都是－3，所以可以判断出，点(－3，－3)和点(－1，－3)关于二次函数图象的对称轴对称，利用公式x＝x1＋x22，可求出对称轴为直线x＝x1＋x22＝－3－12＝－42＝－2.3. 【答案】D[解析] 由解析式y＝－x2＋1可知，图象是以y轴为对称轴的抛物线，它与横轴的交点坐标为(－1，0)，(1，0)，顶点坐标为C(0，1)(选项A，B正确)；AB＝2(选项C正确)．在对称轴的两侧，函数y随x的增减性不同(选项D 错误)．故选D.4. 【答案】D[解析] 把y＝0代入y＝－112x2＋23x＋53，得－112x2＋23x＋53＝0，解得x1＝10，x2＝－2.又∵x＞0，∴x＝10.故选D.5. 【答案】C【解析】∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＞0，故①错误；∵图象与y轴交于x轴上方，∴c＞0，故②正确；当x＝－1时，a－b＋c<0，则a＋c<b，故③正确；图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故④正确．6. 【答案】C[解析]①由图象可知a<0，b<0，c>0，∴abc>0，故①正确;②由于对称轴是直线x=-12，∴a=b.∵图象与x轴的一个交点是(-3，0)，∴另一个交点是(2，0)，把(2，0)代入解析式可得4a+2b+c=0，∴6a +c=0，∴3a +c=-3a ，∵a<0，∴-3a>0，∴3a +c>0，故②正确;③由图象可知当-12<x<0时，y 随x 的增大而减小，∴当x<0时，y 随x 的增大而增大是错误的;④一元二次方程ax 2+bx +c=0的两根为x 1=-3，x 2=2，∴一元二次方程cx 2+bx +a=0的两根分别为x 1=-13，x 2=12，正确; ⑤由图象顶点的纵坐标大于0可知，4ac -b 24a>0，∴b 2-4ac 4a<0，正确;⑥若m ，n (m<n )为方程a (x +3)(x -2)+3=0的两个根，则a (x +3)(x -2)=-3，由图象可知，当y=-3时，m<-3，n>2，⑥正确，综上，正确的结论有5个， 故选C .7. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax＋b 过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.8. 【答案】B 【解析】△△ABC是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝△C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2(0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，△y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．二、填空题（本大题共4道小题）9. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x2＋x或y＝－13x2＋13x.10. 【答案】0【解析】设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x轴的一个交点是P(4，0)，∴与x轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a－2b＋c，∴4a－2b＋c＝0.11. 【答案】下y轴(0，－3)＞＝0大－3下312. 【答案】．x＜－1或x＞3三、解答题（本大题共4道小题）13. 【答案】解：(1)y＝12x2＋x＋1，∵Δ＝1－4×12×1＝－1＜0，∴抛物线与x轴没有公共点．(2)y＝－3x2－6x－3，∵Δ＝(－6)2－4×(－3)×(－3)＝0，∴抛物线与x轴有一个公共点，坐标为(－1，0)．(3)y＝－3x2－x＋4，∵Δ＝(－1)2－4×(－3)×4＝49＞0，∴抛物线与x轴有两个公共点，坐标分别为(1，0)，(－43，0)．14. 【答案】解：(1)当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6.因为点A(0，2)在抛物线上，所以2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－1 60，所以y与x之间的函数解析式为y＝－160(x－6)2＋2.6.(2)球能越过球网且会出界．理由：当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过球网；当x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝－2.4＋2.6＝0.2＞0，所以球会出界．(3)把x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝2－h 36，所以y＝2－h36(x－6)2＋h.当x＝9时，y＝2－h36(9－6)2＋h＝2＋3h4＞2.43.①当x＝18时，y＝2－h36(18－6)2＋h＝8－3h≤0.②由①②解得h≥8 3.15. 【答案】解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10 kg.(2)由题意，得y＝20(950－10x)－(5－x5)(950－10x)＝－2x2＋40x＋14250.(7分)(3)∵－2＜0，y＝－2x2＋40x＋14250＝－2(x－10)2＋14450，(9分)又1≤x≤20，且x为整数，∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；当x＝10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元．16. 【答案】【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．解：(1)△函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，△y1＝x2＋x－2；(4分)(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，△当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＝b；(6分)△当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＋a＝－b；(8分)(3)△抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝－a＋a＋12＝12，m<n，△二次项系数为1，△抛物线的开口向上，△抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，△m<n，△点Q离对称轴x＝12的距离比P离对称轴x＝12的距离大，(10分)△|x0－12|<1－12，△0<x0<1.(12分)。
人教版九年级上数学册《第22章二次函数》综合检测试卷含答案
人教版九年级上册数学综合检测含答案第22章 二次函数（时间：120分钟 总分120分）一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项。
）1．下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( A )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．A ．3B ．4C ．5D ．62．若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( B ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或33．将抛物线y ＝3x 2平移得到抛物线y ＝3(x －4)2－1 的步骤是( D ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位4．抛物线y ＝12x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( D )A ．(1,2)，x ＝1B ．(1－，2)，x ＝－1C ．(－4，－5)，x ＝－4D ．(4，－5)，x ＝45.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图 ，则下列结论：第5题图①a ，b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a ＋b ＝0；④当y ＝－2时，x 的值只能为0，其中正确的个数是( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看成是抛物线．如图 所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1 m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m,2.5 m 处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m ，则学生丁的身高为( B )第6题图A ．1.5 mB ．1.625 mC ．1.66 mD ．1.67 m二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3(m 为常数). (1)当m ____≠2______时，该函数为二次函数； (2)当m _____＝2_____时，该函数为一次函数．8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1,10)和(2,7)，且3a ＋2b ＝0，则该抛物线的解析式为___y ＝2x 2－3x ＋5_____．9．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为k <－74且k ≠0 .10．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝___4___元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．11．若函数y=mx 2+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m 的值是 1或0 . 12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点是（2，－2）；③在x 轴上截得的线段的长是2； ④与y 轴的交点是（0，3）．其中正确的有__①③④_____(填序号).三、解答题 （本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标． 解：(1)把(－2，－8)代入y ＝ax 2，得－8＝a (－2)2.解得a ＝－2，故函数解析式为y ＝－2x 2.(2)∵－4≠－2(－1)2，∴点B (－1，－4)不在抛物线上． (3)由－6＝－2x 2，得x 2＝3，x ＝±3.∴纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)与(－3，－6)．14．如图 ，A (－1,0)，B (2，－3)两点都在一次函数y 1＝－x ＋m 与二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上．(1)求m 的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．第14题图解：(1)由于点A (－1,0)在一次函数y 1＝－x ＋m 的图象上，得－(－1)＋m ＝0，即m ＝－1；已知点A (－1,0)，点B (2，－3)在二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.∴二次函数的解析式为y 2＝x 2－2x －3.(2)由两个函数的图象知：当y 1＞y 2时，－1＜x ＜2.15．已知抛物线y ＝x 2－2x －8.(1)试说明抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出交点坐标；(2)若该抛物线与x 轴两个交点分别为A ，B (A 在B 的左边)，且它的顶点为P ，求S △ABP的值．解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＝4＋32＝36>0， ∴抛物线与x 轴一定有两个交点．当y ＝0，即x 2－2x －8＝0时，解得x 1＝－2，x 2＝4. 故交点坐标为(－2,0)，(4,0)． (2)由(1)，可知：|AB |＝6.y ＝x 2－2x －8＝x 2－2x ＋1－1－8＝(x －1)2－9.∴点P 坐标为(1，－9)．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则|PC |＝9.∴S △ABP ＝12|AB |·|PC |＝12×6×9＝27.16．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．解：(1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米．(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC .∴这次表演成功．17．如图，抛物线y ＝ax 2－5x ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C (5,4)． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．第17题图解：(1)a ＝1，P ⎝⎛⎭⎫52，－94. (2)答案不唯一，满足题意即可．如向上平移104个单位长度后，再向左平移3个单位长度等．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图,二次函数y=ax 2-4x+c 的图象过原点,与x 轴交于点A(-4,0).(1)求此二次函数的解析式.(2)在抛物线上存在点P,满足S △AOP =8,请直接写出点P 的坐标.解：(1)依题意,得⎩⎨⎧=+=016160a c解得⎩⎨⎧=-=01c a∴二次函数的解析式为y=-x 2-4x. (2)令P(m,n), 则S △AOP =12 AO ·|n|=12×4|n|=8,解得n=±4, 又∵点P(m,n)在抛物线 y=-x 2-4x 上,∴-m 2-4m=±4,分别解得m 1=-2,m 2=-2+2 2 和m 3=-2-2 2 ,∴P 1(-2,4),P 2(-2+2 2 ,-4),P 3(-2-2 2 ,-4).19．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象C 经过(－5,0)，⎝⎛⎭⎫0，52，(1,6)三点，直线l 的解析式为y ＝2x －3.(1)求抛物线C 的解析式；(2)判断抛物线C 与直线l 有无交点；(3)若与直线l 平行的直线y ＝2x ＋m 与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标．解：(1)把(－5,0)，⎝⎛⎭⎫0，52，(1,6)分别代入抛物线，解得a ＝12，b ＝3，c ＝52，∴y ＝12x 2＋3x ＋52.(2)令12x 2＋3x ＋52＝2x －3，整理后，得12x 2＋x ＋112＝0，∵Δ<0，∴抛物线与直线无交点．(3)令12x 2＋3x ＋52＝2x ＋m ，整理后，得12x 2＋x ＋52－m ＝0.由Δ＝12－4×12×⎝⎛⎭⎫52－m ＝0，解得m ＝2，求得点P 的坐标为(－1,0)．20．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y (单位：个)与销售单价x (单位：元/个)之间的对应关系如图 所示：(1)试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w (单位：元)与销售单价x (单位：元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．图解：(1)y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ， ∵图象过点(10,300)，(12,240)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10k ＋b ＝300，12k ＋b ＝240.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－30，b ＝600. ∴y ＝－30x ＋600.当x ＝14时，y ＝180；当x ＝16时，y ＝120.即点(14,180)，(16,120)均在函数y ＝－30x ＋600图象上． ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝－30x ＋60.(2)w ＝(x －6)(－30x ＋600)＝－30x 2＋780x －3600.即w 与x 之间的函数关系式为w ＝－30x 2＋780x －3600. (3)由题意，得6(－30x ＋600)≤900，解得x ≥15.x ＝－30x 2＋780x －3600图象对称轴为x ＝－7802×(－30)＝13.∵a ＝－30<0.∴抛物线开口向下．当x ≥15时，w 随x 增大而减小． ∴当x ＝15时，w 最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21． 如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？解：(1)A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，3) (2)y ＝－3(x －2)2＋3(3)设抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋k ，代入D (0，3)，可得k ＝53，平移后的抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋53，∴平移了53－3＝43个单位22.某公司700万元购买甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产品的生产加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元,生产乙种产品每件还需成本费20元.经市场调研发现:甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理,设甲种产品的销售单价为x(元),年销售量为y(万件).当35≤x ≤50时,y 与x 之间的函数关系式为y=20-0.2x;当50≤x ≤70时,y 与x 之间的函数关系如图所示.乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间,且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元. (1)当50≤x ≤70时,求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数解析式.(2)若该公司第一年的年销售利润(年销售利润=年销售收入-生产成本)为W(万元),那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少?(3)第二年公司可重新对产品进行定价,在(2)的条件下,并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x ≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利(总盈利=两年的年销售利润之和-成本)不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围.解：(1)设当50≤x ≤70时,y 与x 的函数关系式为y=kx+b.把(50,10),(70,8)代入得⎩⎨⎧=+=+8701050b k b k 解得⎩⎨⎧=-=151.0b k ∴当50≤x ≤70时,y 与x 的函数解析式为y=-0.1x+15.[来源:Z*xx*] (2)①依题意知:25≤90- x ≤45,即45≤x ≤65.当45≤x ≤50时,W=(x-30)(20-0.2x)+10(90-x-20)=-0.2x 2+16x+100=-0.2(x-40)2+420.由函数的性质知,当x=45时,W 最大值为415. 当50≤x ≤65时,W=(x-30)(-0.1x+15)+10(90-x-20)=-0.1x 2+8x+250=-0.1(x-40)2+410.由函数的性质知,当x=50时,W 最大值为400.综上所述,当x=45时,即甲、乙两种产品的销售单价均定在45元时,可使第一年的年销售利润最大,最大年销售利润是415万元. (3)30≤m ≤40.(由题意,令W=-0.1x 2+8x+250+415-700≥85,整理,得x 2-80x+120≤0, 解得20≤x ≤60.∵50≤x ≤65,根据函数的性质分析,50≤x ≤60. 即50≤90-m ≤60.故30≤m ≤40.)六、（本大题共1小题，共12分）23．如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第23题图解：(1)∵OC ＝3OB ，B (1,0)，∴C (0，－3)．把点B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋3ax ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＋c ＝0，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，c ＝－3.∴y ＝34x 2＋94x －3.(2)如图D86.过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M ，N . S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝152＋12×DM ×(AN ＋ON ) ＝152＋2DM ， ∵A (－4,0)，C (0，－3)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入，求得y ＝－34x －3.令D ⎝⎛⎭⎫x ，34x 2＋94x －3，M ⎝⎛⎭⎫x ，－34x －3， DM ＝－34x －3－⎝⎛⎭⎫34x 2＋94x －3 ＝－34(x ＋2)2＋3，当x ＝－2时，DM 有最大值3.此时四边形ABCD 面积有最大值为272.图D86 图D87(3)如图D87，讨论：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1，此时四边形ACP 1E 1为平行四边形．∵C (0，－3)，令34x 2＋94x －3＝－3，∴x ＝0或x ＝－3.∴P 1(－3，－3)． ②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴可令P (x,3)，由34x 2＋94x －3＝3，得x 2＋3x －8＝0.解得x ＝－3＋412或x ＝－3－412.此时存在点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3和P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－412，3.综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－412，3.。
人教版九年级数学上册第22章二次函数 单元综合测试题(含解析)
2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元综合测试题（附答案）一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．下列函数中不属于二次函数的是（）A．y＝（x+1）（x﹣2）B．y＝（x+1）2C．y＝2（x+2）2﹣2x2D．y＝1﹣x22．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2 3．已知抛物线y＝x2﹣x+1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20234．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣35．抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝36．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）7．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数），A（﹣3，y1）B（3，y2）C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞1B．x＜﹣3或x＞1C．﹣4＜x＜1D．﹣3＜x＜1 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．ac＜0B．b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0 11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值612．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为．14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为．15．把二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，则y＝ax2+bx+c图象顶点坐标是．16．如图，一为运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，此运动员将铅球推出m．17．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．18．如图，线段AB＝8，点C是AB上一点，点D、E是线段AC的三等分点，分别以AD、DE、EC、CB为边作正方形，则AC＝时，四个正方形的面积之和最小．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴．20．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？23．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣）25．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝（x+1）2是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．故选：D．3．解：∵抛物线y＝x2﹣x+1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m+1＝0，∴m2﹣m+2022＝m2﹣m+1+2021＝2021．故选：B．4．解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），∵向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴平移后的函数图象的顶点坐标为（8，﹣3），∴平移后所得抛物线解析式为y＝2（x﹣8）2﹣3，故选：D．5．解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是直线x＝＝1．故选：A．6．解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．故选：B．7．解：抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0，a，k为常数）的对称轴为直线x＝2，所以A（﹣3，y1）到直线x＝2的距离为5，B（3，y2）到直线x＝2的距离为1，C（4，y3）到直线的距离为2，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（﹣3，0），故：y＜0时，x＜﹣3或x＞1，故选：B．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，A错误；∵﹣＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，C错误；当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，D错误；故选：B．11．解：由二次函数的图象可知，∵﹣5≤x≤0，∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．故选：B．12．解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x＝1，所以，当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13．解：设顶点式y＝a（x+2）2﹣5，将点（1，﹣14）代入，得a（1+2）2﹣5＝﹣14，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+2）2﹣5，即y＝﹣x2﹣4x﹣9．14．解：∵对称轴为直线x＝2的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝2对称，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点B的坐标为（6，0），AB＝6﹣（﹣2）＝8．故答案为：8．15．解：y＝2（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位后得到y＝2（x﹣1）2，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为：y＝2（x+1）2﹣3，∴二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣1，﹣3）．16．解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．故答案为：10．17．解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2＝4a，a＝﹣，故y＝﹣．18．解：设AC为x，四个正方形的面积和为y．则BC＝8﹣x，AD＝DE＝EC＝，∴y＝3×（）2+（8﹣x）2＝x2﹣16x+64＝，∴x＝﹣＝6时，四个正方形的面积之和最小．故答案为6．三、解答题（本大题共7小题，共60分）19．解：（1）根据二次函数的图象可知：A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），把A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）代入y＝ax2+bx+c可得，解得．即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝y＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线的顶点坐标（1，﹣4），和对称轴x＝1．20．解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，则k＜2．21．解：（1）∵抛物线解析式为y＝（x+m）2+k的顶点为M（1，﹣4）∴y＝（x﹣1）2﹣4令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0令y＝0得（x﹣1）2﹣4＝0解得x1＝3，x2＝﹣1∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）∵△P AB与△MAB同底，且S△P AB＝S△MAB，∴|y P|＝×4＝5，即y P＝±5又∵点P在y＝（x﹣1）2﹣4的图象上∴y P≥﹣4∴y P＝5，则（x﹣1）2﹣4＝5，解得x1＝4，x2＝﹣2∴存在合适的点P，坐标为（4，5）或（﹣2，5）．22．解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12（平方米），即﹣x2+8x＝12，解得：x＝2或x＝6，∴设计费能达到24000元．（3）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，S最大值＝16，∴当x＝4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．23．解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．24．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1＝0，解得a＝﹣．所以二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1；（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的对称轴为直线x＝2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴△AOB的面积＝×4×1＝2；（3）∵点P（m，﹣m）（m≠0）为抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1上一点，∴﹣m＝﹣（m﹣2）2+1，解得m1＝0（舍去），m2＝8，∴P点坐标为（8，﹣8），∵抛物线对称轴为直线x＝2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（﹣4，﹣8）．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4）（0＜x＜8），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|．又∵MN＝3，∴|﹣m2+2m|＝3．当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．。
2020——2021学年人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数单元测试题
第二十二章 二次函数第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.若二次函数y=2x 2的图象经过点P (1,a ),则a 的值为 ( )A .12B .1C .2D .42.抛物线y=-1+3x 2 ( ) A .开口向上,且有最高点B .开口向上,且有最低点C .开口向下,且有最高点D .开口向下,且有最低点3.已知二次函数y=ax 2+2ax+c 的图象与x 轴的一个公共点的坐标为(1,0),则它与x 轴的另一个公共点的坐标是 ( ) A .(1,0)B .(-1,0)C .(-3,0)D .(3,0)4.将抛物线y=-3x 2平移,得到抛物线y=-3(x-1)2-2,下列平移方式中,正确的是 ( ) A .先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B .先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 C .先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 D .先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度5.定义运算“※”:a ※b={ab 2(b >0),-ab 2(b ≤0),如1※(-2)=-1×(-2)2=-4,则函数y=2※x 的图象大致是( )图16.图2是二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),图2则方程ax2+bx+c=0的一个根可能是()A.2.18B.2.68C.-0.51D.2.457.若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1,y1),B(2,y2),C(3+√2,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3D.y3>y1>y28.王芳将如图3所示的三条水平直线m1,m2,m3中的一条记为x轴(向右为正方向),三条竖直直线m4,m5,m6中的一条记为y轴(向上为正方向),并在此坐标平面内画出了抛物线y=ax2-6ax-3,则她所选择的x轴和y轴分别为()A.m1,m4B.m2,m5C.m3,m6D.m4,m5,有下列结9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图4,对称轴是直线x=-13论:(1)ab>0;(2)a+b+c<0;(3)b+2c<0;(4)a-2b+4c>0.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图3图4 图510.如图5,已知A1,A2,A3,…,A n是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A n-1A n=1,分别过点A1,A2,A3,…,A n作x轴的垂线交二次函数y=12x2(x>0)的图象于点P1,P2,P3,…,P n.若记△OA1P1的面积为S1,过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1,记△P1B1P2的面积为S2,过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2,记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去,最后记△P n-1B n-1P n(n>1)的面积为S n,则S n等于()A.2n-14B.n24C.(n-1)24D.2n+14请将选择题答案填入下表:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分答案第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(每小题3分,共18分)11.如图6所示,在同一平面直角坐标系中,作出函数①y=-3x2,②y=-1x2,③y=-x2的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数解析式依次是(填序号).12.已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图7所示,且OC=OB,则b+c=.图6图7图813.如图8,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为.14.如图9,二次函数y=ax2+1,y=ax2-1(a<0)的图象与直线x=-2,x=2所围成的阴影部分的面积是.15.如图10,平面直角坐标系中有些点的横坐标与纵坐标都是整数,我们称这样的点为整点,当二次函数y=ax2+bx+c在0≤x≤4且0≤y≤4范围内通过的整点个数大于4时,a的所有可能值是.图9图10图1116.如图11,一条抛物线与x轴相交于A,B两点,其顶点P在折线CDE上移动,若点C,D,E的坐标分别为(-1,4),(3,4),(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为.三、解答题(共52分)17.(5分)下表给出了一个二次函数的一些取值情况:x…01234…y…30-103…(1)请在如图12所示的直角坐标系中画出这个二次函数的图象;(2)根据图象说明:当x取何值时,y的值大于0?图1218.(5分)已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是直线x=-1.(1)求m,n的值;(2)当x取何值时,y随x的增大而减小?19.(5分)如图13,正方形ABCD的顶点A在抛物线y=x2上,点B,C在x轴的正半轴上,且点B 的坐标为(1,0).(1)求点D的坐标;(2)将抛物线y=x2适当平移,使得平移后的抛物线同时经过点B与点D,求平移后抛物线的解析式,并说明你是如何平移的.图1320.(5分)如图14所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时,水面AB宽20 m,水位上升到警戒线CD时,拱桥顶O到CD的距离仅为1 m,这时水面宽度为10 m.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.3 m的速度上升,则从正常水位开始,持续多少小时水位到达警戒线?图1421.(7分)利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时,我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标就是该方程的解.(1)请你再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法;(2)已知函数y=x3的图象(如图15),求方程x3-x-2=0的解(精确到0.1).图1522.(7分)某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查,发现年产量为x(吨)时,所需的成本y(万元)与(x2+60x+800)成正比例,投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p(单位:万元)由基础价与浮动价两部分组成,其中基础价是固定不变的,浮动价与x成正比例,比例系.在营销中发现年产量为20吨时,所需的成本是240万元,并且年销售利润W(万元)的数为-120最大值为55万元.(注:年销售利润=年销售额-成本)(1)求y(万元)与x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);(2)求年销售利润W(万元)与年产量x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);(3)当年销售利润最大时,每吨的售价是多少万元?23.(9分)已知抛物线y=x2-2bx+c.(1)若抛物线的顶点坐标为(2,-3),求b,c的值;(2)若b+c=0,是否存在实数x,使得相应的y的值为1?请说明理由;(3)若c=b+2且二次函数在-2≤x≤2上的最小值是-3,求b的值.24.(9分)已知:如图16,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴负半轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,点B的坐标为(1,0),OC=3OB.(1)求抛物线的解析式.(2)若D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图16答案1.C2.B3.C[解析] 抛物线的对称轴为直线x=-2a2a=-1.因为抛物线与x轴的两个公共点关于对称轴对称,所以它与x轴的另一个公共点的坐标是(-3,0).4.D[解析] ∵抛物线y=-3x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=-3(x-1)2-2的顶点坐标为(1,-2),∴将抛物线y=-3x2向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,可得到抛物线y=-3(x-1)2-2.5.C[解析] y=2※x={2x2(x>0),-2x2(x≤0).当x>0时,图象是函数y=2x2的图象在对称轴右侧的部分;当x≤0时,图象是函数y=-2x2的图象在对称轴左侧的部分.6.D[解析] 由图象,得方程ax2+bx+c=0的一个根在2.18与2.68之间.7.B[解析] 解法一:y=x2-6x+c=(x-3)2-9+c,其大致图象如图,对称轴为直线x=3,由图可得y1>y3>y2.解法二:把A,B,C三点的坐标分别代入解析式并化简,得y1=7+c,y2=-8+c,y3=-7+c,所以y1>y3>y2.故选B.8.A[解析] ∵y=ax2-6ax-3=a(x-3)2-3-9a,∴抛物线的对称轴为直线x=3,∴王芳选择的y轴为直线m4.∵抛物线y=ax2-6ax-3与y轴的交点为(0,-3),∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方,∴王芳选择的x 轴为直线m 1.9.C [解析] (1)∵-b 2a <0,∴ab>0,∴该结论正确; (2)∵当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∴该结论正确;(3)∵-b 2a =-13,∴2a=3b. 又∵当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,∴2a-2b+2c>0,从而3b-2b+2c>0,即b+2c>0,∴该结论错误;(4)由图象知a<0,ab>0,∴b<0,∴-2b>0.①∵图象交y 轴于正半轴,∴c>0.②又∵a-b+c>0,③b+2c>0,④∴①+②+③+④,得a-2b+4c>0,∴该结论正确.故正确结论的个数为3.10.A [解析] 当x=n 时,y=12n 2; 当x=n-1时,y=12(n-1)2,∴S n =12×1×[12n 2-12(n -1)2]=2n -14.11.①③② [解析] 当抛物线开口向下时,a 越小,抛物线的开口程度越小.12.-1[解析] 当x=0时,y=c,则点C的坐标为(0,c).∵OC=OB,∴点B的坐标为(c,0).把B(c,0)代入y=x2+bx+c,得c2+bc+c=0.∵c≠0,∴b+c=-1.13.1[解析] 因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD.因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以AC的最小值是抛物线顶点的纵坐标1,因此BD的最小值为1.14.8[解析] 阴影部分的面积相当于一边长是4,这条边上的高为2的平行四边形的面积.15.±1[解析] 当抛物线的解析式为y=x2-4x+4时,抛物线过点(2,0),(1,1),(3,1),(0,4),(4,4);当抛物线的解析式为y=-x2+4x时,抛物线过点(0,0),(4,0),(1,3),(3,3),(2,4).16.2[解析] 由题图知:当点B的横坐标为1时,B(1,0),抛物线顶点取C(-1,4),设该抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,将点B的坐标代入,得0=a(1+1)2+4,解得a=-1,则点B的横坐标取最小值时,抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4.当点A的横坐标取最大值时,抛物线顶点应取E(3,1),则此时抛物线的解析式为y=-(x-3)2+1=-x2+6x-8,其与x轴的交点为A(2,0),B(4,0),∴点A的横坐标的最大值为2.17.解:(1)画图如图所示:(2)根据图象知,当x<1或x>3时,y>0.18.解:(1)∵二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点P (-3,1),对称轴是直线x=-1,∴{1=9-3m +n ,-m 2=-1,解得{m =2,n =-2. (2)由(1)知二次函数的解析式为y=x 2+2x-2.∵a=1>0,∴抛物线的开口向上,∴当x<-1时,y 随x 的增大而减小.19.解:(1)∵B (1,0),点A 在抛物线y=x 2上,∴A (1,1).又∵在正方形ABCD 中,AD=AB=1,∴D (2,1).(2)设平移后抛物线的解析式为y=(x-h )2+k.把(1,0),(2,1)代入,得{0=(1-ℎ)2+k ,1=(2-ℎ)2+k ,解得{ℎ=1,k =0,∴平移后抛物线的解析式为y=(x-1)2,该抛物线可由原抛物线向右平移1个单位长度得到.20.解:(1)设所求抛物线的解析式为y=ax 2.∵CD=10 m,拱桥顶O 到CD 的距离仅为1 m,∴C (-5,-1).把点C 的坐标代入y=ax 2,得a=-125, 故抛物线的解析式为y=-125x 2.(2)∵AB 宽20 m,∴可设A (-10,b ).把点A 的坐标代入抛物线的解析式y=-125x 2,解得b=-4,∴点A 的坐标为(-10,-4).设CD 与y 轴交于点E ,AB 与y 轴交于点F ,则E (0,-1),F (0,-4),∴EF=3 m .3÷0.3=10(时).答:从正常水位开始,持续10小时水位到达警戒线.21.解:(1)答案不唯一,如在直角坐标系中画出抛物线y=x 2-1和直线y=2x ,其交点的横坐标就是方程的解.(2)在图中画出直线y=x+2,与函数y=x 3的图象交于点B ,得点B 的横坐标x ≈1.5,∴方程的解为x ≈1.5.(根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均为正确)22.解:(1)设y=k (x 2+60x+800).由题意,得240=k (202+60×20+800),解得k=110,∴y=110x 2+6x+80. (2)设基础价为a ,则p=a-120x ,∴W=px-y=a-120x x-110x 2+6x+80=-320x-13×10(a-6)2+13×5(a-6)2-80. ∵W 的最大值为55,∴13×5(a-6)2-80=55,解得a 1=15,a 2=-3(舍去),∴W=-320x-13×10×(15-6)2+13×5×(15-6)2-80=-320(x-30)2+55.(3)∵W=-320(x-30)2+55, ∴当x=30时,年销售利润最大,∴p=a-120x=15-120×30=13.5,∴当年销售利润最大时,每吨的售价是13.5万元.23.解:(1)∵抛物线y=x 2-2bx+c , ∴a=1.∵抛物线的顶点坐标为(2,-3),∴y=(x-2)2-3.∵y=(x-2)2-3=x 2-4x+1,∴b=2,c=1.(2)存在.理由:∵b+c=0,∴c=-b.由y=1,得x 2-2bx+c=1,∴x 2-2bx+c-1=0.∵Δ=(-2b )2-4(c-1)=4b 2+4b+4=(2b+1)2+3>0,∴存在两个实数x ,使得y=1.(3)若c=b+2,则二次函数可化为y=x 2-2bx+b+2,其图象的对称轴为直线x=b.①若b ≤-2,则二次函数在x=-2时取得最小值,此时-3=(-2)2-2×(-2)b+b+2,解得b=-95,不合题意,舍去;②若b ≥2,则二次函数在x=2时取得最小值,此时-3=22-2×2b+b+2,解得b=3;③若-2<b<2,则二次函数在x=b 时取得最小值,此时4(b+2)-4b 24=-3, 化简,得b 2-b-5=0,解得b 1=1+√212(不合题意,舍去),b 2=1-√212. 综上所述,b 的值为3或1-√212.24.解:(1)∵点B 的坐标为(1,0),OC=3OB ,点C 在y 轴的负半轴上,∴C (0,-3).∵抛物线y=ax 2+3ax+c 经过点B ,C ,∴{-3=c ,0=a +3a +c ,解得{a =34,c =-3, ∴抛物线的解析式为y=34x 2+94x-3.(2)在y=34x 2+94x-3中, 令y=0,则34x 2+94x-3=0, 解得x 1=-4,x 2=1,∴A (-4,0).设D m ,34m 2+94m-3,其中-4<m<0, 连接OD ,则S 四边形ABCD =S △AOD +S △OCD +S △BOC =12×4×-34m 2-94m+3+12×3×(-m )+12×3×1=-32m 2-6m+152=-32(m+2)2+272,∴当m=-2时,S 四边形ABCD 有最大值,最大值为272. (3)存在.如图所示, ①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1,过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1,此时四边形ACP 1E 1为平行四边形. ∵C (0,-3),∴可设P 1(x ,-3),∴34x 2+94x-3=-3,解得x 1=0,x 2=-3,∴P 1(-3,-3);②平移直线AC 交x 轴于点E ,交x 轴上方的抛物线于点P ,当AC=PE 时,四边形ACEP 为平行四边形. ∵C (0,-3),∴可设P (x',3),∴34x'2+94x'-3=3,即x'2+3x'-8=0,解得x'=-3+√412或x'=-3-√412, 此时存在点P 2-3+√412,3和P 3-3-√412,3符合题意.综上所述,点P 的坐标为(-3,-3)或(-3+√412,3)或(-3-√412,3).。
人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 综合测试卷(包含答案)
人教版数学九年级上册第22章二次函数综合测试卷（时间90分钟，满分120分）题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列函数中，是二次函数的有（）①y＝3(x－1)2＋1；②y＝x＋1x；③y＝8x2＋1；④y＝3x3＋2x2.A．1个B．2个C．3个D．4个2. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m3. 抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度4．若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点坐标为(0，－3)，则下列说法不正确的是( ) A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是直线x＝1C．当x＝1时，y的最大值为－45. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝6 cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1 cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是( )6. 有下列函数：①y＝－3x；②y＝x－1；③y＝x2＋2x＋1，其中当x在各自的自变量取值范围内取值时，y随着x的增大而增大的函数有（）A．①②B．①③C．②D．②③7．二次函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是（）A．图象的开口都向上B．图象的对称轴都是y轴C．图象都有最高点D．y都随x的增大而增大8.若一种服装销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋5，则盈利( ) A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最大值为6万元9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表．利用二次函数的图象可知，当函数值y<0时，x的取值范围是（）A.x＜0或x＞2 B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜310.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＜0第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 把抛物线y ＝x 2－2x ＋3沿x 轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为______________. 12．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(0，－3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b 的值是______.13．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是y=60t ﹣32t 2．在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是 m ．14．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的解析式为______________15．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是_________________16．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l 与t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为____℃17. 已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为____________18．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是s=60t ﹣32t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．三．解答题（共7小题，66分）19．(6分) 某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月(按30天计算)，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x 天(1≤x≤30且x 为整数)的销售量为y 件． (1)直接写出y 与x 的函数关系式；(2)设第x 天的利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？20．(6分) 设二次函数y=ax 2+bx ﹣（a+b ）（a ，b 是常数，a ≠0）． （1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A （﹣1，4），B （0，﹣1），C （1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．21．(6分) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴相交于点(0，－3)，并经过点(－2，5)，它的对称轴是直线x＝1，如图为函数图象的一部分．(1)求二次函数的解析式，写出函数图象的顶点坐标；(2)在原题图上，画出函数图象的其余部分；(3)利用图象写出方程ax2＋bx＋c＝0的解；(4)利用图象写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集．22．(6分) 已知直线y＝12x＋2分别交x轴、y轴于A，B两点，抛物线y＝12x2＋mx－2经过点A，和x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；23．(6分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？24．(8分) 如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．25．(8分) 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．26．(10分) 如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到点B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函数解析式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．27．(10分) 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象交x轴于点A(1，0)，B(3，0)，交y轴于点C.(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；参考答案：1-5BDDCC 6-10CBBDB11. y ＝(x －3)2＋212. －1213. 2414. y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋215. y ＝2(x －1)2＋1 16. -1 17. 1 18. 2019. 解：(1)由题意可知y ＝2x ＋40(2)根据题意可得：w ＝(145－x －80－5)(2x ＋40)＝ －2x 2＋80x ＋2400＝－2(x －20)2＋3200，∵a ＝－2＜0， ∴函数有最大值，∴当x ＝20时，w 有最大值为3200元， ∴第20天的利润最大，最大利润是3200元20. 解：（1）由题意△=b 2﹣4•a[﹣（a+b ）]=b 2+4ab+4a 2=（2a+b ）2≥0∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个 （2）当x=1时，y=a+b ﹣（a+b ）=0 ∴抛物线不经过点C把点A （﹣1，4），B （0，﹣1）分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a -b -(a+b)，-1＝-(a+b)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝-2，∴抛物线解析式为y=3x 2﹣2x ﹣121. 解：(1)设二次函数的函数式为y ＝ax 2＋bx -3，将已知条件代入得：⎩⎪⎨⎪⎧b 2a ＝-1，4a -2b -3＝5， 解得a=1,b=-2,∴二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3，函数图象的顶点坐标是(1，－4)(3)x 1＝－1，x 2＝3 (4)x ＜－1或x ＞322. 解：(1)把y ＝0代入y ＝12x ＋2得：0＝12x ＋2，解得：x ＝－4，∴A(－4，0)． 把点A 的坐标代入y ＝12x 2＋mx －2得：m ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2＋32x －2(2)过点D 作DH ∥y 轴，交AB 于点H ，设D(n ，12n 2＋32n －2)，H(n ，12n ＋2)．∴DH ＝(12n ＋2)－(12n 2＋32n －2)＝－12(n ＋1)2＋92.∴当n ＝－1时，DH 最大，最大值为92，此时△ABD 面积最大，最大值为12×92×4＝923. 解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为：y=a （x ﹣3）2+5（a ≠0）， 将（8，0）代入y=a （x ﹣3）2+5， 得：25a+5=0， 解得：a=﹣15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣15（x ﹣3）2+5（0＜x ＜8）．（2）当y=1.8时，有﹣15（x ﹣3）2+5=1.8，解得：x 1=﹣1，x 2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．24. 解：(1)抛物线y ＝(x ＋2)2＋m 经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m ，m ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3， ∴点C 的坐标为(0，3)．∵对称轴为直线x ＝－2，B ，C 关于对称轴对称， ∴点B 的坐标(－4，3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝3，－k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1(2)由图象可知，满足(x ＋2)2＋m≥kx ＋b 的x 的取值范围为x ＜－4或x ＞－1 25. 解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(10，200)，(15，150)代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝200，15k ＋b ＝150， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝300， ∴y 与x 的函数关系式为y ＝－10x ＋300(8≤x≤30)(2)设每天销售获得的利润为w ，则w ＝(x －8)y ＝(x －8)(－10x ＋300)＝－10(x －19)2＋1210，∵8≤x ≤30，∴当x ＝19时，w 取得最大值，最大值为1210(3)由(2)知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，则每天的销售量为y ＝－10×19＋300＝110千克，∵保质期为40天，∴总销售量为40×110＝4400，又∵4400＜4800，∴不能销售完这批蜜柚26. 解：(1)由题意可知∠B ＝60°，BP ＝(3－t)cm ，BQ ＝t cm.若△PBQ 是直角三角形，则∠BPQ ＝30°或∠BQP ＝30°，于是BQ ＝12BP 或BP ＝12BQ ， 即t ＝12(3－t)或3－t ＝12t ， 解得t ＝1或t ＝2，即当t 为1 s 或2 s 时，△PBQ 是直角三角形(2)过点P 作PM ⊥BC 于点M ，则易知BM ＝12BP ＝12(3－t)cm ，∴PM ＝BP 2－BM 2＝32(3－t)cm ， ∴S 四边形APQC ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×3×323－12t·32(3－t)＝ 34t 2－334t ＋934， 即y ＝34t 2－334t ＋934， 易知0<t<3.于是y ＝34(t －32)2＋27316， ∴当t ＝32时，y 最小＝27316， 即当t 为32 s 时，四边形APQC 的面积最小，最小值为27316cm 2 27. 解：(1)二次函数的表达式是y ＝x 2－4x ＋3(2)当x ＝0时，y ＝3，即点C(0，3)，设BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，将点B(3，0)，点C(0，3)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E ，设E 坐标为(t ，－t ＋3)，PE ＝－t ＋3－(t 2－4t ＋3)＝－t 2＋3t ，∴S △BCP ＝S △BPE ＋S △CPE＝12(－t 2＋3t)×3 ＝－32(t －32)2＋278， ∵－32＜0， ∴当t ＝32时，(S △BCP )最大＝278。
最新人教版九年级上册《第22章二次函数》压轴题过关测试题(含答案)
第二十二章 《二次函数》 压轴题过关测试1．如图所示，已知直线y=kx+m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、C 两点，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当x=时，抛物线上一点的纵坐标取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P 是直线AC 上一点，且S △ABP ：S △BPC =1：3，求点P 的坐标；（3）直线y=x+a 与（1）中所求的抛物线交于不同的两点M 、N ．试求：当∠MON ≤90°时，a 的取值范围．（要写出必要的过程）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则M ，N 两点之间的距离为|MN|=）2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ． （Ⅰ）求该抛物线的解析式及点C 的坐标；（Ⅱ）直线y=﹣x ﹣2与该抛物线在第四象限内交于点D ，与x 轴交于点F ，连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，求证：△AGF ≌△CGD ；（Ⅲ）直线y=m （m ＞0）与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧），点M 关于y 轴的对称点为点M′，点H 的坐标为（1，0），若四边形NHOM′的面积为，求点H 到OM′的距离d ．3．研究发现，抛物线y=上的点到点F （0，1）的距离与到直线l ：y=﹣1的距离相等．如图1所示，若点P 是抛物线y=上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PF=PH ．基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线y=的关联距离；当2≤d ≤4时，称点M 为抛物线y=的关联点．（1）在点M 1（2，0），M 2（1，2），M 3（4，5），M 4（0，﹣4）中，抛物线y=的关联点是 ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点A （t ，1），点C （t+1，3）①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y=的关联距离d的取值范围；②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y=的关联点，则t的取值范围是．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．（3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．5．定义：在平面直角坐标系中，点Q坐标为（x，y），若过点Q的直线l与x 轴夹角为45°时，则称直线l为点Q的“湘依直线”．（1）已知点A的坐标为（6，0），求点A的“湘依直线”表达式；（2）已知点D的坐标为（0，﹣4），过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于C点，动点P在反比例函数y=（x＞0）上，求△PCD 面积的最小值及此时点P的坐标；（3）已知点M的坐标为（0，2），经过点M且在第一、二、三象限的“湘依直线”与抛物线y=x2+（m﹣2）x+m+2相交与A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若0≤x1≤2，0≤x2≤2，求m的取值范围．6．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当△CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值；（3）如图2，线段AE在第一象限内垂直BD并交BD于E点，将抛物线向右水平移动，点A平移后的对应点为点G；将△ABD绕点B逆时针旋转，旋转后的三角形记为△A1BD1，若射线BD1与线段AE的交点为F，连接FG．若线段FG把△ABF分成△AFG和△BFG两个三角形，是否存在点G，使得△AFG和△BFG中一个三角形是等腰三角形、另一个是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知直线y=x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．备注：抛物线顶点坐标公式（﹣，）8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2ax与x轴相交于O、A两点，OA=4，点D为抛物线的顶点，并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点，与y轴相交于点C，B点的横坐标是﹣1．（1）求k，a，b的值；（2）若P是直线AB上方抛物线上的一点，设P点的横坐标是t，△PAB的面积是S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当PB∥CD时，点Q是直线AB上一点，若∠BPQ+∠CBO=180°，求Q点坐标．9．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+x+2与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）抛物线上有一动点P，过点P作y轴的平行线分别交x轴和直线BC于点D和E，点P 的横坐标为m，过点P作PM⊥直线BC于点M．（1）求抛物线及直线BC的函数关系式．（2）当点M是线段BC的中点时，求m的值．（3）如图2，当点P移动到抛物线的顶点位置时停止运动，点Q为抛物线上的另一动点，则在y轴的正半轴上是否存在点N，使得以点O，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q 从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．12．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B两点、与y轴负半轴交于点C，其中A在B的左侧，且点A的坐标为（﹣2，0）．（1）用含有c的式子分别表示b的值和点B的横坐标．（2）如图1，连接BC，过点A作直线AE∥BC交抛物线y=x2+bx+c于点E，点D （2，0）是x轴上一点，若当C、D、E在同一直线上时，求抛物线的解析式．（3）如图2，连接AC，在第一象限内，抛物线上是否存在点P点，使得A、B、P为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．13．抛物线y=﹣x 2﹣x+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标； （3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将△OBC 沿直线CH 翻折至△O 2B 2C 的位置，再将△O 2B 2C 绕点B 2旋转一周，在旋转过程中，点O 2，C 的对应点分别是点O 3，C 1，直线O 3C 1分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△O 2B 2C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN 是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O 2M 的长；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣2，0），B （0、﹣4）与x 轴交于另一点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO =S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=﹣2x+3经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．①求△PCD的面积的最大值；②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．参考答案1．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，当x=﹣时，y取最大值，∴抛物线的解析式是：y=﹣（x+）2+，即y=﹣x2﹣x+6；当x=0时，y=6，即C点坐标是（0，6），当y=0时，﹣x2﹣x+6=0，解得：x=2或﹣3，即A点坐标是（﹣3，0），B点坐标是（2，0）．将A（﹣3，0），C（0，6）代入直线AC的解析式y=kx+m，得，解得：，则直线的解析式是：y=2x+6；（2）如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵S△ABP ：S△BPC=1：3，∴=，∴AP：PC=1：3，由勾股定理，得AC==3．①当点P为线段AC上一点时，如图2，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．∵PH∥OC，∴==，∴PH=，∴=2x+6，∴x=﹣，∴点P（﹣，）；②当点P在CA延长线时，如图3，作PG⊥x轴，点G为垂足．∵AP：PC=1：3，∴AP：AC=1：2．∵PG ∥OC ，∴==，∴PG=3，∴﹣3=2x+6，x=﹣，∴点P （﹣，﹣3）．综上所述，点P 的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣3）．（3）如图4，设直线y=x+a 与抛物线y=﹣x 2﹣x+6的交点为M （x M ，y M ），N （x N ，y N ）（M 在N 左侧）．则，，为方程组的解，由方程组消去y 整理，得：x 2+x+a ﹣6=0，∴x M 、x N 是方程x 2+x+a ﹣6=0的两个根，∴x M +x N =﹣，x M •x N =a ﹣6，∴y M •y N =（x M +a ）（x N +a ）=x M •x N +（x M +x N ）+a 2=（a ﹣6）﹣a+a 2． ∵∠MON=90°，∴OM 2+ON 2=MN 2，即+++=（x M ﹣x N ）2+（y M ﹣y N ）2，化简得x M •x N +y M •y N =0，∴（a ﹣6）+（a ﹣6）﹣a+a 2=0， 整理，得2a 2+a ﹣15=0，解得a 1=﹣3，a 2=，当直线y=x+a 与抛物线y=﹣x 2﹣x+6相切时易得a=．∴当∠MON ≤90°时，a 的取值范围是a ≤﹣3或≤a ＜．2．解：（Ⅰ）∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （2，0）两点，∴，解得，∴该抛物线的解析式y=x 2﹣x ﹣3． 令x=0，则y=﹣3， ∴C （0，﹣3）；（Ⅱ）证明：∵直线EF 的解析式为y=﹣x ﹣2， ∴当y=0时，x=﹣2， ∴F （﹣2，0），OF=2， ∵A （﹣1，0）， ∴OA=1， ∴AF=2﹣1=1，由解得，，∵点D 在第四象限， ∴点D 的坐标为（1，﹣3）， ∵点C 的坐标为（0，﹣3）， ∴CD ∥x 轴，CD=1，∴∠AFG=∠CDG ，∠FAG=∠DCG ， 在△AGF 与△CGD 中∴△AGF ≌△CGD （ASA ）；（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，直线y=m （m ＞0）与该抛物线的交点为M ，N ，∴点M 、N 关于直线x=对称， 设N （t ，m ），则M （1﹣t ，m ），∵点 M 关于y 轴的对称点为点M'， ∴M'（t ﹣1，m ）， ∴点M'在直线y=m 上， ∴M'N ∥x 轴，∴M'N=t ﹣（t ﹣1）=1， ∵H （1，0）， ∴OH=1=M'N ，∴四边形OM'NH 是平行四边形， 设直线y=m 与y 轴交于点P ，∵四边形OM'NH 的面积为，∴OH ×OP=1×m=，即m=，∴OP=，当x 2﹣x ﹣3=时，解得x 1=﹣，x 2=，∴点M 的坐标为（﹣，），∴M'（，），即PM'=，∴Rt△OPM'中，OM'==，∵四边形OM'NH的面积为，∴OM'×d=，∴d=．3．解：（1）由题意知，当点M与F在抛物线的两侧时，点F、P、M共点时，PF+MP的值最小，且FM的取值范围为：2≤FM≤4符合题意．∵F（0，1），M1（2，0），∴FM1==，符合题意．FM4=5＞4．不符合题意；当点M与F在抛物线的同侧时，MP+PF的值等于点M到直线l：y=﹣1的距离，∵点M2到直线y=﹣1的距离为3，2＜3＜4，∴M2是抛物线y=的关联点，∵点M3到直线y=﹣1的距离为6，6＞4，不符合题意，综上所述，抛物线y=的关联点是M1，M2；故答案是：M1，M2；（2）①当t=4时，A（4，1），C（5，3）．B（5，1），D（4，3）．∵F（0，1），∴当点A与点M重合时，d==4；当点C与点M重合时，d==，当点D与点M重合时，d=2＞4，当点B与点M重合时，d=5，∴点M关于抛物线y=的关联距离d的取值范围是：4≤d≤．②∵在矩形ABCD中，点A（t，1），点C（t+1，3），∴B（t+1，1），点D（t，3）．（i）t＞0时，当点A在抛物线y=上时，把y=1代入y=，得t=2；当点C在抛物线y=上时，d取最大值，此时4=CF，即4=，故t=2﹣1．此时2≤t≤2﹣1．（ii）t＜0时，当点B在抛物线y=上时，把y=1代入y=，得t=﹣3；当点D在抛物线y=上时，d取最大值，此时4=CF，即4=，故t=﹣2．此时﹣2≤t≤﹣3．（iii）t=0时，A（0，1），C（1，3），B（1，1），D（0，3）．故矩形ABCD上的所有点都是抛物线y=的关联点，综上所述，t的取值范围是：﹣2≤t≤2﹣1．故答案是：﹣2≤t≤2﹣1．4．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵tan∠OAC=4，∴OC=4，∴C（0，﹣4）．∵OC=OB，∴OB=4，∴B（4，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°，∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1），则PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4．∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4；（3）存在点G的坐标为（，0）或（，0）．附解题过程：设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）①如图1，若=时，△AOC∽△EGN．则=，整理得：a2+a﹣8=0．得：a=（负值舍去）∴点G为（，0）②如图2，若=时，△AOC∽△NGE．则=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．得：a=（负值舍去）∴点G为（，0）．综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．5．解：由“湘依直线”的定义知，直线l与直线y=x或y=﹣x平行．（1）设点A的“湘依直线”表达式为：y=x+b或y=﹣x+b，将A（6，0）代入，得0=6+b，或0=﹣6+b解得b=﹣6或b=6．故点A的“湘依直线”表达式为：y=x﹣6或y=﹣x+6；（2）∵点D的坐标为（0，﹣4），过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限，∴过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4，∴C（﹣4，0），即△OCD是等腰直角三角形，∴CD=4．∵线段CD的长度为定值，∴当过点P的直线与直线CD垂直时，△PCD面积的最小，又∵点P在反比例函数y=（x＞0）图象上，∴点P是线段CD的垂直平分线与双曲线的交点，如图，∵直线CD与直线y=﹣x平行，∴点P在直线y=x上，故设P（a，a），∴a=，解得a=4（舍去负值）．此时P（4，4），=×4×（4+2）=24．S△PCD综上所述，△PCD面积的最小值是24，此时点P的坐标是（4，4）；（3）∵点M的坐标为（0，2），过点M的“湘依直线”经过第一、二、三象限，∴过点M的“湘依直线”为y=x+2，则由题意知，整理，得x 2+（m ﹣3）x+m=0∴．解得，≤m ＜1．故m 的取值范围是≤m ＜1．6．解：（1）令x=0，则y=2∴C （0，2）∵对称轴为x==，且C ，D 关于对称轴对称∴D （，2）令y=0，则0=﹣x 2+x+2∴x 1=﹣，x 2=2∴A （﹣，0），B （2，0）设直线AD 解析式y=kx+b解得：k=1，b=∴直线AD 解析式y=x+（2）如图1：作DH ⊥AB ，MT ⊥AB ，交AD 于T ，作NK ⊥MT设M（m，2），则T（m，m+）∵A（﹣，0），D（，2）∴AH=DH∴∠DAH=∠ADH=45°=∠CDA∵MT∥DH，KN∥CD∴∠KNT=∠KTN=45°=∠CDA∴KT=KN，MT=MD∵MN∥BD，∴∠MND=∠ADB且∠CDA=∠DAB∴△ADB∽△MND∴∴ND=MD∵DT=MD∴NT=MD∵KN∥CD∴=∴KT=MT∴KM=MT=（﹣m）∴S=CM×KM=m×（﹣m）=﹣m2+m △CMN∴当m=时，S △CMN 最大值．∴M （，2）如图2 作M 关于y 轴对称点M 1（﹣，2），作O 关于BD 的对称点O 1（，）∵MP+PQ+OQ=M 1P+PQ+O 1Q ∴M 1，P ，Q ，O 1共线时，MP+PQ+OQ 值最小∴最小值为M 1Q 1=（3）如图3：根据题意可得直线BD 解析式y=﹣2x+4，直线AE 解析式y=x+，则E （，），即tan ∠EAB=①当AG=FG ，∠GFB=90°时，设FH=a ，则AH=2a ，设AG=FG=x ，则GH=2a ﹣x ∵FH 2+GH 2=FG 2∴a 2+（2a ﹣x ）2=x 2∴x=a∴GH=a∵FH⊥AB，GF⊥FB∴∠FBG=∠GFH∴tan∠GFH=tan∠FBG∴∴BH=a∵AH+BH=AB=3∴2a+a=3∴a=∵OG=AG﹣AO∴OG=×﹣=∴G（，0）②如图4当FG=BG，∠AGF=90°时，设GF=a，则AG=2a，BG=a∴AB=AG+BG=3a=3∴a=∴G（，0）③如图5当FG=BG，∠AFG=90°时，设GF=a，则BG=a，AG=a∴AB=AG+BG=a+a=3∴a=∵OG=AG﹣AO=a﹣=∴G（，0）∴综上所述G（，0），（，0），（，07．解：（1）把y=0代入y=x+2得：0=x+2，解得：x=﹣4，∴A（﹣4，0）．把点A的坐标代入y=x2+mx﹣2得：m=，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．（2）过点D作DH∥y轴，交AB于点H，设D（n， n2+n﹣2），H（n， n+2）．∴DH=（n+2）﹣（n2+n﹣2）=﹣（n+1）2+．∴当n=﹣1时，DH最大，最大值为，此时△ABD面积最大，最大值为××4=9．（3）把y=0代入 y=x2+x﹣2，得：x2+3x﹣4=0，解得：x=1或x=﹣4，∴C（1，0）．设直线CQ的解析式为y=ax﹣a，CP的解析式为y=bx﹣b．∴，解得：x=1或x=2a﹣4．∴xQ=2a﹣4．同理：xP=2b﹣4．设直线PQ的解析式为y=kx+b，把M（﹣4，1）代入得：y=kx+4k+1．∴．∴x2+（3﹣2k）x﹣8k﹣6=0，∴xQ +xP=2a﹣4+2b﹣4=2k﹣3， xQ•xP=（2a﹣4）（2b﹣4）=﹣8k﹣6，解得：ab=﹣．又∵OE=﹣b，OF=a，∴OE•OF=﹣ab=．8．解：（1）∵OA=4∴A（﹣4，0）∴﹣16+8a=0∴a=2，∴y=﹣x2﹣4x，当x=﹣1时，y=﹣1+4=3，∴B（﹣1，3），将A（﹣4，0）B（﹣1，3）代入函数解析式，得，解得直线AB的解析式为y=x+4，∴k=1、a=2、b=4；（2）过P点作PN⊥OA于N，交AB于M，过B点作BH⊥PN，如图1，由（1）知直线AB是y=x+4，抛物线是y=﹣x2﹣4x，∴当x=t时，yP =﹣t2﹣4t，yN=t+4PN=﹣t2﹣4t﹣（t+4）=﹣t2﹣5t﹣4，BH=﹣1﹣t，AM=t﹣（﹣4）=t+4，S△PAB=PN（AM+BH）=（﹣t2﹣5t﹣4）（﹣1﹣t+t+4）=（﹣t2﹣5t﹣4）×3，化简，得s=﹣t2﹣t﹣6，自变量t的取值范围是﹣4＜t＜﹣1；∴﹣4＜t＜﹣1（3）y=﹣x2﹣4x，当x=﹣2时，y=4即D（﹣2，4），当x=0时，y=x+4=4，即C （0，4），∴CD∥OA∵B（﹣1，3）．当y=3时，x=﹣3，∴P（﹣3，3），连接OP，交AC于点R，过P点作PN⊥OA于M，交AB于N，过D点作DT⊥OA于T，如图2，可证R在DT上∴PN=ON=3∴∠PON=∠OPN=45°∴∠BPR=∠PON=45°，∵OA=OC，∠AOC=90°∴∠PBR=∠BAO=45°，∴PO⊥AC∵∠BPQ+∠CBO=180，∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC过点Q作QS⊥PN，垂足是S，∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR，可求BR=，OR=2，设Q点的横坐标是m，当x=m时y=m+4，∴SQ=m+3，PS=﹣m﹣1∴=，解得m=﹣．当x=﹣时，y=，Q（﹣，）．9．解：（1）把点A的坐标为（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+x+2中得：a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（1分）当x=0时，y=2，∴C（0，2），（2分）当y=0时，﹣x2+x+2=0，x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∵点A在点B的左侧，∴B（4，0），（3分）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2；（5分）（2）如图1，在Rt△COB中，OC=2，OB=4，由勾股定理得：BC==2，∵M是BC的中点，∴MB=BC=，（6分）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m+2），E（m，﹣m+2），∴PE=|（）﹣（﹣m+2）|=|﹣+2m|，（7分）∴BD=OB﹣OD=4﹣m，∵PD∥y轴，PM⊥BC，∴cos∠MEP=，sin∠DEB=sin∠MEP==sin∠BCO===，∴EB==（4﹣m），ME=PE•cos∠MEP=PE•cos∠DEB=|﹣+2m|•，∵BM=ME+BE，∴|﹣+2m|•+（4﹣m）=，（9分）解得：m=或（舍），∴当点m是线段BC的中点时，m的值为；（10分）（3）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点P（，）分两种情况：①当Q在y轴的右侧时，如图2，四边形ONQM是平行四边形，∴ON=QM，ON∥QM，∴延长QM交x轴于K，则QK⊥OB，当x=时，y=﹣×=，∴E（，），即DE=，PE=﹣=，cos∠MEP===，∴ME=×=，同理得：BE=，∵DE∥MK，∴，即，∴MK=，同理得BK=，∴OK=4﹣=，∴M（，），当x=时，y=﹣=，∴Q（，），根据平移规律可得N（0，），即N（0，）；②如图3，当Q在y轴的左侧时，四边形MONQ是平行四边形，由①知：M（，），∴Q的横坐标为﹣，当x=﹣时，y=﹣+2=，∴Q（﹣，），同理得：N（0，），即N（0，）；综上，点N 的坐标为（0，）或（0，）．（14分）10．解：（1）当y=0时， x ﹣=0，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=x ．∵点P 是直线1上任意一点，∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PF=3PE ，∴=．∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=， =，∴Qx +6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx =a﹣6，Qy=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=， =，∴Qx +6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx =a﹣6，Qy=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．11．解：（1）由已知，B点横坐标为3∵A、B在y=x+1上∴A（﹣1，0），B（3，4）把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）①过点P作PE⊥x轴于点E∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）∴EQ=4﹣3t，PE=t∵∠PQE+∠NQC=90°∠PQE+∠EPQ=90°∴∠EPQ=∠NQC∴△PQE∽△QNC∴∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=2（）2=20t2﹣48t+32当t=时，=20×（）2﹣48×+32=S最小②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t∴N点坐标为（3，8﹣6t）由矩形对角线互相平分∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）当M在抛物线上时8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得t=当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2当N在抛物线上时，8﹣6t=4∴t=综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．12．解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣2，0），∴0=×（﹣2）2+b×（﹣2）+c，∴b=，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0）、B（x，0）（点A位于点BB的左侧），∴﹣2与x是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，B=，∴﹣2•xB∴x=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；B（2）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．设直线BC的解析式为y=kx+c，∵B（﹣2c，0），∴﹣2kc+c=0，∵c≠0，∴k=，∴直线BC的解析式为y=x+c．∵AE∥BC，∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴×（﹣2）+m=0，解得m=1，∴直线AE得到解析式为y=x+1．由，解得，，∴点E坐标为（2﹣2c，2﹣c）．∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），∴直线CD的解析式为y=﹣x+c．∵C，D，E三点在同一直线上，∴2﹣c=﹣×（2﹣2c）+c，∴c2+c﹣2=0，∴c1=1（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，∴b=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）存在①按（2）中方法可求得直线AP解析式为为y=x+1．∴点P坐标为（2﹣2c，2﹣c）∵AP∥CB，当∠ACB=∠PBA时，△ABP∽△BCA由题意可知，△ABP与△ABC底边相同∴∵AB=2﹣2c，BC=∴由相似三角形面积之比等于相似比平方整理的c3﹣2c2﹣4c=0∵c≠0∴c2﹣2C﹣4=0解得c 1=（舍去），c 2=∴抛物线的解析式为：y=②取点C 关于x 轴对称点C′（0，﹣c ） 求直线AC′解析式为：y=﹣求AC′与抛物线交点x 2+x+c=﹣解得x 1=﹣2，x 2=﹣4c则P 点坐标为（﹣4c ，2c 2﹣c ） ∵∠CAB=∠BAP 当∠ABP=∠ACB 时 △ACB ∽△ABP由题意可知，△ABP 与△ABC 底边相同∵PB=∴1﹣2c=整理得 4c 4+6c 3=0 ∵c ≠0 ∴4c+6=0∴c=﹣，b=﹣∴抛物线的解析式为：y=故答案为y=或y=13．解：（1）如图1，过点D 作DK ⊥y 轴于K ，当x=0时，y=，∴C （0，），y=﹣x 2﹣x+=﹣（x+）2+，∴D （﹣，），∴DK=，CK=﹣=，∴CD===；（4分）（2）在y=﹣x 2﹣x+中，令y=0，则﹣x 2﹣x+=0，解得：x 1=﹣3，x 2=，∴A （﹣3，0），B （，0），∵C （0，），易得直线AC 的解析式为：y=，设E （x ，），P （x ，﹣x 2﹣x+），∴PF=﹣x 2﹣x+，EF=，Rt △ACO 中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°，∴AE=2EF=，∴PE+EC=（﹣x 2﹣x+）﹣（x+）+（AC ﹣AE ），=﹣﹣x+ [2﹣（）]，=﹣﹣x ﹣x ，=﹣（x+2）2+，（5分）∴当PE+EC 的值最大时，x=﹣2，此时P （﹣2，），（6分）∴PC=2，∵O 1B 1=OB=，∴要使四边形PO 1B 1C 周长的最小，即PO 1+B 1C 的值最小，如图2，将点P 向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P 1B 1，则PO 1=P 1B 1，再作点P 1关于x 轴的对称点P 2（﹣，﹣），则P 1B 1=P 2B 1，∴PO 1+B 1C=P 2B 1+B 1C ，∴连接P 2C 与x 轴的交点即为使PO 1+B 1C 的值最小时的点B 1，∴B 1（﹣，0），将B 1向左平移个单位长度即得点O 1，此时PO 1+B 1C=P 2C==，对应的点O 1的坐标为（﹣，0），（7分）∴四边形PO 1B 1C 周长的最小值为+3；（8分）（3）O 2M 的长度为或或2+或2．（12分）理由是：如图3，∵H 是AB 的中点，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°， ∵∠ACO=60°，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即O 2在AC 上， ∴∠B 2CA=∠CAB=30°， ∴B 2C ∥AB ，∴B 2（﹣2，），①如图4，AN=MN ，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O 2B 2O 3，由旋转得：∠CB 2C 1=∠O 2B 2O 3=30°，B 2C=B 2C 1， ∴∠B 2CC 1=∠B 2C 1C=75°， 过C 1作C 1E ⊥B 2C 于E ，∵B 2C=B 2C 1=2，∴=B 2O 2，B 2E=，∵∠O 2MB 2=∠B 2MO 3=75°=∠B 2CC 1，∠B 2O 2M=∠C 1EC=90°， ∴△C 1EC ≌△B 2O 2M ，∴O 2M=CE=B 2C ﹣B 2E=2﹣；②如图5，AM=MN ，此时M 与C 重合，O 2M=O 2C=，③如图6，AM=MN ，∵B 2C=B 2C 1=2=B 2H ，即N 和H 、C 1重合，∴∠CAO=∠AHM=∠MHO 2=30°，∴O 2M=AO 2=；④如图7，AN=MN ，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ， ∴∠NMA=∠NAM=30°， ∵∠O 3C 1B 2=30°=∠O 3MA ， ∴C 1B 2∥AC ，∴∠C 1B 2O 2=∠AO 2B 2=90°， ∵∠C 1EC=90°，∴四边形C 1EO 2B 2是矩形，∴EO 2=C 1B 2=2，，∴EM=，∴O 2M=EO 2+EM=2+，综上所述，O 2M 的长是或或2+或2．14．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时， x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO =S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x， x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x 1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC ，∠ABE ≠∠ABC ， ∴∠ABE=∠ACB=45°， ∴△ABE ∽△ACB ，∴，∴，∴AE=，OE=﹣2=∴E （，0）， ∵B （0，﹣4）， 易得BE ：y=3x ﹣4，则x 2﹣x ﹣4=3x ﹣4， x 1=0（舍），x 2=8， ∴D （8，20）；②当△ABE 与以B ，C 、E 中的三点为顶点的三角形相似，如图3， ∵∠BEA=∠BEC ，∴当∠ABE=∠BCE 时，△ABE ∽△BCE ，∴==，设BE=2m ，CE=4m ，Rt △BOE 中，由勾股定理得：BE 2=OE 2+OB 2，∴，3m 2﹣8m+8=0，（m ﹣2）（3m ﹣2）=0，m 1=2，m 2=，∴OE=4m ﹣4=12或，∵OE=＜2，∠AEB 是钝角，此时△ABE 与以B ，C 、E 中的三点为顶点的三角形不相似，如图4， ∴E （﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为（8，20）或（，﹣）．15．解：（1）直线y=﹣2x+3与x 轴、y 轴的交点坐标分别为：C （0，3），D （，0）．∵抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点， ∴设所求抛物线的函数关系式为 y=a （x+1）（x ﹣3）， 把点C （0，3）代入，得3=a （0+1）（0﹣3），解得a=﹣1．∴所求抛物线的函数关系式为：y=﹣（x+1）（x ﹣3），即y=﹣x 2+2x+3．（4分） （2）①如图1，过点P 作PE ⊥y 轴于点F ，交DC 于点E ，由题意，设点P 的坐标为（t ，﹣t 2+2t+3），则点E 的纵坐标为﹣t 2+2t+3．以y=﹣t 2+2t+3代入y=﹣2x+3，得，∴点E 的坐标为（，﹣t 2+2t+3），∴PE=．…（6分）∴S △PCD =PE•CO．===．…（8分）∵a=＜0，且0＜t ＜3，∴当t=2时，△PCD 的面积最大值为3．…（9分）【解法一】②△PCD 是以CD 为直角边的直角三角形分两种情况：…（10分） （Ⅰ）若∠PCD=90°，如图2，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ， 则△PGC ∽△COD ，∴，即．整理得 2t 2﹣3t=0，解得 t 1=，t 2=0（舍去）．∴点P 的坐标为（，）．…（12分）（Ⅱ）若∠PDC=90°，如图3，过点P作PH⊥x轴于点H，则△PHD∽△DOC，∴，即，整理得 4t2﹣6t﹣15=0，解得 t1=，t2=（舍去）．∴点P的坐标为（，）．综上所述，当△PCD是以CD为直角边的直角三角形时，点P的坐标为（，）或（，）．…（14分）【解法二】②△PCD是以CD为直角边的直角三角形分两种情况：（Ⅰ）若∠PDC=90°，如图4，延长PD交y轴于点M，则△DOM∽△COD，∴，即，∴OM=，即点M的坐标为（0，）．∴直线DM所对应的函数关系式为．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴，整理得 4t2﹣6t﹣15=0，解得 t1=，t2=（舍去）．∴点P的坐标为（，）．…（12分）（Ⅱ）若∠PCD=90°，如图5，过D作则PC∥DM，∴直线CP所对应的函数关系式为．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴，整理得 2t2﹣3t=0，解得 t1=，t2=0（舍去）．∴点P的坐标为（，）．综上所述，当△PCD是以CD为直角边的直角三角形时，。
2020年人教版九年级上册第22章《二次函数》单元检测试题 含答案
2020年人教版九年级上册第22章《二次函数》单元检测试题一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝x（x+1）B．x2y＝1 C．y＝2x2﹣2（x﹣1）2 D．y＝x﹣0.52．二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（0，2）3．将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是（）A．y＝（x+1）2B．y＝x2+4x+3C．y＝x2+4x+4D．y＝x2﹣4x+4 4．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数为（）A．无交点B．1 个C．2 个D．3 个5．二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜﹣2D．x＞﹣26．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．7．已知函数y＝，则当函数值y＝﹣6时，自变量x的值是（）A．±2B．2或﹣5C．2或5D．﹣2或58．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2 9．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（）A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣210．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①3a+b＜0；②a ﹣b+c＜0；③c＞0；④a+b＞0．其中正确的结论有（）A．仅①②③B．仅②③④C．仅①②④D．①②③④二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．若是二次函数，则m的值是．12．抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的对称轴是．13．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s＝60t ﹣1.5t2．飞机着陆后滑行米飞机才能停下来．15．据权威部门发布的消息，2019年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是．16．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y ＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为．三．解答题（共7小题，满分66分）17．（8分）画出函数y＝﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6＝0的解是什么；（2）当x取何值时，y＞0；（3）当x取何值时，y＜0．18．（8分）已知抛物线y＝x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．19．（8分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠BAC ＝45°．（1）求a的值；（2）点D为第三象限内抛物线上的一点，当△DAC的面积为3时，求D点的坐标．20．（9分）（1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的大致图象．（2）根据方程的根与函数图象之间的关系．将方程x2﹣2x﹣1＝0的根在图上近似的表示出来；（描点）（3）观察图象，直接写出方程x2﹣2x﹣1＝0的根．（精确到0.1）21．（9分）某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y（千克）与每千克售价x（元）的关系如表所示每千克售价x（元）2530 40每周销售量y（千克）240200150（1）写出每周销售量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式；（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元？（3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利1200元？说明理由．22．（12分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y 轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求AB的长度和点D的坐标；（2）求直线AC的函数表达式；（3）点P是第四象限抛物线上一点，当2S△P AC＝S△P AB时，求点P的坐标．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）写出C点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A．y＝x（x+1）＝x2+x，y是x的二次函数，符合题意；B．x2y＝1，不是二次函数，不符合题意；C．y＝2x2﹣2（x﹣1）2＝4x﹣2，y是x的一次函数，不符合题意；D．y＝x﹣0.5，y是x的一次函数，不符合题意；故选：A．2．解：二次函数y＝﹣3x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）．故选：D．3．解：将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是：y＝（x+2）2＝x2+4x+4．故选：C．4．解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），所以抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴只有一个交点．故选：B．5．解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，∴若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x＞2，故选：B．6．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C 错误；D符合题意；故选：D．7．解：由﹣x2﹣2＝﹣6，解得x＝±2，∵x≤0，∴x＝﹣2，由﹣x﹣1＝﹣6，解得：x＝5，综上：x＝﹣2或5，故选：D．8．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．9．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，∴顶点（1，b﹣a）当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最小值，∴b﹣a＝﹣2，当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最大值，∴b﹣a＝3，故选：D．10．解：抛物线开口方向向下，则a＜0，∵对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故①正确；当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故②正确；抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故③正确；∵b＝﹣2a，∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b＞0，故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：由二次函数的定义可知：m2+2m﹣1＝2，解得：m＝﹣3或1，又m﹣1≠0，m≠1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．12．解：令y＝0，则：x＝﹣1或x＝3，即：函数与x轴交点是（3，0），（﹣1，0），故：对称轴是x＝3﹣（3+1）＝1答案是x＝1．13．解：如图：y1＞y2＞y3．故答案为y1＞y2＞y3．14．解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t2﹣40t）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，∴当t＝20时，s取得最大值，此时，s＝600，即飞机着陆后滑行600米飞机才能停下来．故答案为：600．15．解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y＝0.75（1+x）2．故答案为：y＝0.75（1+x）2．16．解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．三．解答题（共7小题，满分66分）17．解：函数y＝﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：（1）方程﹣2x2+8x﹣6＝0的解x1＝1，x2＝3．（2）当1＜x＜3时，y＞0．（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．18．解：（1）∵y＝x2+x﹣＝（x+1）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x＝﹣1；（2）当y＝0时，x2+x﹣＝0，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，AB＝|x1﹣x2|＝．19．解：（1）当y＝0时，a（x﹣1）（x+3）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵∠BAC＝45°，∴△OAC为等腰直角三角形，∴OC＝OA＝3，∴C（0，﹣3），把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x+3）得﹣3＝a（0﹣1）（0+3），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3；（2）在y轴取点E使S△ACE＝3，过点E作AC的平行线交第三象限的抛物线于点D，如图，设E（0，t），∵×（﹣3﹣t）×3＝3，解得t＝﹣5，∴E（0，﹣5），易得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得或，∴D点坐标为（﹣1，﹣4），（﹣2，﹣3）．20．解：（1）如下图，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．（2）正确作出点M，N；（3）写出方程的根为﹣0.4，2.4．21．解：（1）由表格中数据可得：y＝，把（30，200）代入得：y＝；（2）当y＝300时，300＝，解得：x＝20，即该种水果每千克售价最多定为20元；（3）由题意可得：w＝y（x﹣15）＝（x﹣15）＝1200，解得：x＝经检验：x＝是原方程的根，答：超市销售该种水果能到达每周获利1200元．22．解：（1）令y＝0，得y＝x2+2x﹣3＝0，解得，x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；（2）令x＝0，得y＝x2+2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），得，解得，，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3；（3）设P（m，m2+2m﹣3）（0＜m＜1），过P作PQ⊥x轴于点Q，如下图，则PQ＝﹣m2﹣2m+3，OQ＝m，AQ＝m+3∵2S△P AC＝S△P AB，∴2（S△AOC+S梯形OQPC﹣S△APQ）＝S△P AB，即＝，解得，m＝﹣3（舍），m＝，∴．23．解：（1）由点B的坐标为（3，0），且OB＝OC，得C（0，﹣3）；（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过A、B、C点，得，解得，这个二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3；（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，G（2，﹣3），直线AG为y＝﹣x﹣1．设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），PQ＝﹣x2+x+2．S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（﹣x2+x+2）×3当x＝时，△APG的面积最大，此时P点的坐标为（，﹣），S△APG最大＝××3＝．。
人教版九年级数学上册 第22章二次函数 综合测试卷(含答案)
人教版九年级数学上册 第22章二次函数 综合测试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．下列函数中，不是二次函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝(x －1)2＋1 C ．y ＝ (x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －1)2－x 2 2．抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)3．有下列函数：①y ＝－3x ；②y ＝x －1；③y ＝x 2＋2x ＋1，其中当x 在各自的自变量取值范围内取值时，y 随着x 的增大而增大的函数有( ) A ．① B ．③ C ．② D ．都不是4．已知一个二次函数，当x ＝1时，y 有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的解析式是( ) A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋65．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )A ．y ＝(x －1)2＋4B ．y ＝(x －4)2＋4C ．y ＝(x ＋2)2＋6D ．y ＝(x －4)2＋66. 在同一坐标系中，一次函数y ＝－mx ＋n 2与二次函数y ＝x 2＋m 的图象可能是( )7．对于抛物线y ＝－12(x －2)2＋6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝2；③顶点坐标为(2，6)；④当x>2时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和正比例函数y＝23x的图象如图所示，则方程ax2＋(b－23)x＋c＝0(a≠0)的两根之和()A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定9．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b－a＞c；③4a＋2b＋c＞0；④3a＞－c；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确结论的有()A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤10．如图，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为()A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9二．填空题（共8小题，3*8=24）11．二次函数y＝x2＋2x－4的图象的开口方向是向______，对称轴是_____________.12. 已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．则a的值是___________.13．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3. 则b＝________，c＝________.14．已知二次函数y＝－x2－2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2－2x＋m＝0的解为_________.15．将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm 2.16．如图是二次函数y ＝－x 2＋2x ＋4的图象，使y≤1成立的x 的取值范围是______________.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B 和D(4，－23)，则抛物线的解析式是_______________.18．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a ，b ，c 三个字母的等式或不等式：①4ac －b 24a ＝－1；②ac ＋b ＋1＝0；③abc ＞0；④a－b ＋c ＞0.其中正确的是___________.(填序号 )三．解答题（共7小题， 66分）19．(8分) 已知二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)的图象经过原点，当x ＝1时，函数有最小值－1. 求这个二次函数的解析式，并在如图所示的坐标系中画出图象．20．(8分) 已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点(－2，－6)，求该抛物线的解析式．21．(8分) 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)22．(10分) 已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点；(1)求此二次函数的解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．23．(10分) 已知抛物线y ＝x 2－px ＋p 2－14.(1)若抛物线与y 轴交点的坐标为(0,1)，求抛物线与x 轴的交点坐标． (2)证明：无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点．24．(10分) 二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a≠0)． (1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数图象上，求证：a ＞0.25．(12分) 某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下所示：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商场每天获得的总利润为w(元)，求w与x之间的函数表达式；(3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？参考答案1-5 DACDB 6-10DDABA 11. 上，x ＝－1 12. －1 13. 2，0 14. －3，1 15.25216. x≤－1或x≥3 17. 解：y ＝16x 2－13x －218. ①②③④19. 解：∵当x ＝1时，函数有最小值－1， ∴二次函数的解析式为y ＝a(x －1)2－1. ∵二次函数的图象经过原点， ∴(0－1)2·a －1＝0.∴a ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝(x －1)2－1. 函数图象如图所示．20. 解：∵抛物线的对称轴为x ＝－1，在x 轴上截得的线段长为4， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)， 设抛物线解析式为y ＝a(x ＋3)(x －1)，把(－2，－6)代入得a·(－2＋3)·(－2－1)＝－6，解得a ＝2， 所以抛物线解析式为y ＝2(x ＋3)(x －1)，即y ＝2x 2＋4x －6 21. 解：根据题意，得y ＝20x(1802－x)．整理得y ＝－20x 2＋1 800x ＝－20(x 2－90x ＋2 025)＋40 500＝－20(x －45)2＋40 500. ∵－20＜0，∴当x ＝45时，函数有最大值，y 最大值＝40 500.即当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 3. 22. 解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)， 由于抛物线的图象经过C(0，－3)，则有－3＝a(0＋1)(0－3)，解得a ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)，即y ＝x 2－2x －3 (2)由(1)可知y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，则y 的最小值为－4＞－5， 因此无论m 取何值，点M 都不在这个二次函数的图象上 23. (1)解：将x ＝0，y ＝1代入，解得p ＝52，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－52x ＋1.令y ＝0，得x 2－52x ＋1＝0，解得x 1＝12，x 2＝2.∴抛物线与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0和(2,0)． (2)证明：∵Δ＝p 2－4⎝⎛⎭⎫p 2－14＝p 2－2p ＋1＝(p －1)2≥0， ∴无论p 为何值，抛物线与x 轴必有交点．24. 解：(1)由题意Δ＝b 2－4·a[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2≥0， ∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个 (2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴抛物线不经过点C ， 把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，∴抛物线解析式为y ＝3x 2－2x －1(3)当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0①， ∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0②， ①②相加得：2a ＞0，∴a ＞025. 解：(1)设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝80，50k ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝160，即y 与x 之间的函数解析式是y ＝－2x ＋160(2)由题意可得，w ＝(x －20)(－2x ＋160)＝－2x 2＋200x －3200， 即w 与x 之间的函数解析式是w ＝－2x 2＋200x －3200 (3)∵w ＝－2x 2＋200x －3200＝－2(x －50)2＋1800，20≤x≤60， ∴当20≤x≤50时，w 随x 的增大而增大； 当50≤x≤60时，w 随x 的增大而减小；当x ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝1800元．即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800。
综合解析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数综合测试试卷(含答案详解版)
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式h ＝﹣t 2＋24t ＋1，则下列说法中正确的是（ ）A ．点火后1s 和点火后3s 的升空高度相同B ．点火后24s 火箭落于地面C ．火箭升空的最大高度为145mD ．点火后10s 的升空高度为139m2、关于函数()2231y x =++，下列说法：①函数的最小值为1；②函数图象的对称轴为直线x ＝3；③当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；④当x ≤0时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 3、已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABP ABP ABP S S S m ===，则m 的值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．44、抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d≤1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≤2或m≥3B ．m≤3或m≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜4 5、如图，抛物线()21:12G y a x =++与抛物线()22:21H y x =---交于点()1,2B -，且它们分别与y 轴交于点D 、E ．过点B 作x 轴的平行线，分别与两抛物线交于点A 、C ，则以下结论：①无论x 取何值，2y 总是负数；②抛物线H 可由抛物线G 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当31x -<<时，随着x 的增大，12y y -的值先增大后减小；④四边形AECD 为正方形．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．③④D ．①②③6、抛物线2y x bx c =-++经过(0,3)-，对称轴直线1x =-，关于x 的方程20x bx c n -++-=在41x -<<的范围有实数根，则n 的范围（ ）A ．112n -<<-B ．63n -<<-C ．112n -<≤-D ．116n -<<-7、关于抛物线：23(1)2y x =-++，下列说法正确的是（ ）．A ．它的开口方向向上B ．它的顶点坐标是(1,2)C ．当1x <-时，y 随x 的增大而增大D ．对称轴是直线1x =8、二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9、某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式5550y x =-+，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）A ．90元，4500元B ．80元，4500元C ．90元，4000元D ．80元，4000元 10、把抛物线()2321y x =-+的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A ．()2313y x =-+B ．()2311y x =--C ．()2333y x =-+ D ．()2331y x =-- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2﹣2x ＋2上运动．过点A 作AC⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为_____．2、如果抛物线y ＝（m ﹣1）x 2有最低点，那么m 的取值范围为_____．3、抛物线()2221y x k x k =+--（k 为常数）与x 轴交点的个数是__________．4、定义：由a ，b 构造的二次函数()2y ax a b x b =+++叫做一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax ＋b 叫做二次函数()2y ax a b x b =+++的“本源函数”（a ，b 为常数，且0a ≠）．若一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”是231y ax x a =-++，那么二次函数231y ax x a =-++的“本源函数”是______．5、如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -．（1）a 的值为______，图象的顶点坐标为______；（2）若点(),Q m n 在该二次函数图象上，且点Q 到y 轴的距离小于2，则n 的取值范围为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克10元．调查发现，每天销售量y （kg ）与销售单价x （元）满足的函数关系式为640(1014)20920(1430)x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩（其中1030x <） （1）分别求出销售单价为12元、20元时每天的销售利润．（2）当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2、为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且当160x =时，840y =；当190x =时，960y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）3、2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x （元），每天的销售量为y （件）．（1）求每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？4、已知函数2(||1)(1)3y m x m x =-+++．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围．5、如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx23（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当x12+x22＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值43m，求m的值．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】分别求出t=1、3、24、10时h的值可判断A、B、D三个选项，将解析式配方成顶点式可判断C选项．【详解】解：A、当t=1时，h=24；当t=3时，h=64；所以点火后1s和点火后3s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时，h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、由h＝﹣t2＋24t＋1=﹣（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；D、当t=10时，h=141m，此选项错误；故选：C ．【考点】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．2、B【解析】【分析】根据所给函数的顶点式得出函数图象的性质从而判断选项的正确性．【详解】解：∵()2231y x =++，∴该函数图象开口向上，有最小值1，故①正确；函数图象的对称轴为直线3x =-，故②错误；当x ≥0时，y 随x 的增大而增大，故③正确；当x ≤﹣3时，y 随x 的增大而减小，当﹣3≤x ≤0时，y 随x 的增大而增大，故④错误． 故选：B ．【考点】本题考查二次函数的性质，解题的关键是能够根据函数解析式分析出函数图象的性质．3、C【解析】【分析】由题意易得点123,,P P P 的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．【详解】解：假设点A 在点B 的左侧，∵二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点，∴令0y =时，则有20286x x =-+，解得：121,3x x ==，∴()()1,0,3,0A B ，∴312AB =-=，∵图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABP ABP ABP S S S m ===， ∴点123,,P P P 的纵坐标的绝对值相等，如图所示：∵()22286222y x x x =-+=--， ∴点()12,2P -， ∴112222ABP m S ==⨯⨯=； 故选C ．【考点】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4、B【解析】【分析】把A （4，4）代入抛物线y=ax 2+bx+3得4a+b=14，根据对称轴x=-2b a ，B （2，m ），且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0<d≤1，所以0<|2-(-2b a )|≤1，解得a≥18或a≤-17，把B （2，m ）代入y=ax 2+bx+3得：4a+2b+3=m ，得到a=78-4m ，所以78-4m ≥18或78-4m ≤-18，即可解答． 【详解】把A(4,4)代入抛物线y=ax 2+bx+3得：16a+4b+3=4，∴16a+4b=1， ∴4a+b=14， ∵对称轴x=−2b a,B(2,m)，且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0<d≤1， ∴0<|2−(−2b a)|≤1 ∴0<|42a b a|≤1， ∴|18a|≤1， ∴a≥18或a≤−18， 把B(2,m)代入y=ax 2+bx+3得：4a+2b+3=m ，2(2a+b)+3=m ，2(2a+14−4a)+3=m ， 72−4a=m ， a=78-4m ， ∴78-4m ≥18或78-4m ≤-18， ∴m≤3或m≥4.故答案选：B.【考点】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.5、B【解析】【分析】①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线G 的解析式，再根据抛物线,G H 的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出31x -<<时，观察图像可知12y y >，然后计算12y y -，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出,,,A E C D 的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】①2(2)0x -≥，2(2)0x ∴--≤，∴()22211y x =---≤-， ∴无论x 取何值，2y 总是负数，故①正确； ②抛物线()21:12G y a x =++与抛物线()22:21H y x =---交于点()1,2B -， 1,2x y ∴==，即22(11)2a -=++，解得1a =-，∴抛物线()21:12G y x =-++，∴抛物线G 的顶点(1,2)-，抛物线H 的顶点为(2,1)-，将(1,2)-向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为(2,1)-，即将抛物线G 向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线H ，故②正确； ③()1,2B -，将2y =-代入抛物线()21:12G y x =-++， 解得123,1x x =-=，(3,2)A ∴--，将2y =-代入抛物线()22:21H y x =---， 解得123,1x x ==，(3,2)C ∴-，31x -<<，从图像可知抛物线G 的图像在抛物线H 图像的上方，12y y ∴>2212(1)2[(2)1]66y y x x x -=-++----=-+∴当31x -<<，随着x 的增大，12y y -的值减小，故③不正确；④设AC 与y 轴交于点F ，()1,2B -，(0,2)F ∴-，由③可知(3,2)A ∴--，(3,2)C -，AF CF ∴=，6AC =，当0x =时，121,5y y ==-，即(0,1),(0,5)D E -，6DE ∴=，3DF EF ==，∴四边形AECD 是平行四边形，,AC DE AC DE =⊥，∴四边形AECD 是正方形，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故选：B ．【考点】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．6、C【解析】【分析】由题意先得出抛物线的解析式，进而利用根的判别式以及二次函数图象的性质进行分析计算即可．【详解】解：∵抛物线2y x bx c =-++经过(0,3)-，∴将(0,3)-代入可得3c =-，∵对称轴直线1x =-， ∴122b b a -==-，解得2b =-， ∴抛物线为223y x x -=--，∴2230x x n +++=，∵关于x 的方程20x bx c n -++-=在41x -<<的范围有实数根，∴24480b ac n ∆=-=--≥，解得2n ≤-，且同时满足当4x =-，0y <以及当1,0x y =>，解得116n n <-⎧⎨>-⎩（舍去）， 或者当4x =-，0y >以及当1,0x y =<，解得116n -<<-，综上可得n 的范围为：112n -<≤-．故选：C ．【考点】本题考查二次函数与一元二次方程的结合，熟练掌握二次函数图象的性质并运用数形结合思维分析是解题的关键．7、C【解析】【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】A 选项：∵30-<，∴抛物线23(1)2y x =-++的开口向下，故A 错误；B 选项：抛物线23(1)2y x =-++的顶点坐标是(-1,2)，故B 错误；C 选项：对抛物线23(1)2y x =-++，当1x <-时，y 随x 增大而增大，故C 正确；D 选项：抛物线23(1)2y x =-++的对称轴是直线1x =-，故D 错误．故选：C ．【考点】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8、A【解析】【分析】先分析二次函数21y ax bx =++的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2b a-，即可得出正确选项． 【详解】二次函数21y ax bx =++的对称轴为2b x a =-，一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2b a-，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(,0)2b a -，只有A 选项符合题意． 故选A ．【考点】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2b a-，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 9、B【解析】【分析】 设每月所获利润为w ，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．【详解】解：设每月总利润为w ，依题意得：(50)w y x =-(5550)(50)x x =-+-2580027500x x =-+-25(80)4500x =--+50-<，此图象开口向下，又50x ≥，∴当80x =时，w 有最大值，最大值为4500元．故选：B ．【考点】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．10、A【解析】【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线()2=-+的顶点坐标为（2，1），321y x∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标是（1，3）∴所得抛物线解析式是()2313=-+．y x故选：A．【考点】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．二、填空题1、1【解析】【分析】由矩形的性质可知BD＝AC，再结合顶点到x轴的距离最近可知当点A在顶点处时满足条件，求得抛物线的顶点坐标即可求得答案．【详解】解：∵AC⊥x轴，∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，∵抛物线y＝x2﹣2x＋2＝（x−1）2＋1，∴顶点坐标为（1，1），∴AC的最小值为1，∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，∴BD的最小值为1，故答案为：1．【考点】本题主要考查了二次函数的性质及矩形的性质，确定出AC最小时的位置是解题的关键．2、m＞1【解析】【分析】直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．【详解】解：∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，∴m－1＞0，解得：m＞1．故答案为m＞1．【考点】本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．3、2【分析】求出∆的值，根据∆的值判断即可．【详解】解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k 2+4>0，∴抛物线与x 轴有2个交点．故答案为：2．【考点】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象与x 轴的交点横坐标是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根．当∆=0时，二次函数与x 轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x 轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆<0时，二次函数与x 轴没有交点，一元二次方程没有实数根．4、2-1y x =﹣【解析】【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数231y ax x a =-++的本源函数．【详解】解：由题意得3=++1=a b a b ⎧⎨⎩﹣ 解得=2=1a b ⎧⎨⎩﹣﹣∴函数231y ax x a =-++的本源函数是2-1y x =﹣． 故答案为：2-1y x =﹣．本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 5、 2a = ()1,2- 211n ≤<【解析】【分析】（1）把P （−2，3）代入23y x ax =++中，即可求解；（2）由|m |＜2，结合二次函数的图像和性质，即可求n 的范围．【详解】解：（1）把P （−2，3）代入23y x ax =++中，得：()23223a =--+，∴a ＝2，∴223y x x =++＝（x ＋1）2＋2；∴图象的顶点坐标为（−1，2）；（2）点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m |＜2，∴−2＜m ＜2，∴当m =-1时，y 的最小值= 2，当m =2时，y 的最大值= 11，∴2≤n ＜11．【考点】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，找到二次函数图像的对称轴，是解题的关键．三、解答题1、（1）销售单价为12元时，每天的利润为1280元；销售单价为20元时，每天的利润为5200元；（2）当销售单价x 为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元【解析】【分析】（1）设每天的利润为W 元，根据题意：当1014x <时，640y =，可得当12x =时的销售利润；当1430x <时，20920y x =-+，根据每件的利润乘以数量即可得出；（2）根据题意列出在两个范围内的函数解析式，然后根据一次函数及二次函数的性质，求出最大值进行比较即可得．【详解】（1）设每天的利润为W 元，当1014x <时，640y =，∴当12x =时，(1210)6401280W =-⨯=（元），当1430x <时，20920y x =-+，∴当20x 时，=(2010)(20920)5200W x -⨯-+=（元），∴销售单价为12元时，每天的利润为1280元；销售单价为20元时，每天的利润为5200元；（2）设每天的销售利润为W 元，当1014x <时，640(10)6406400W x x =⨯-=-，6400k =>，∴W 随着x 的増大而増大，当14x =时，46402560W =⨯=（元），当1430x <时，(10)(20920)W x x =--+，220(28)6480x =--+，200a =-<，开口向下，∴W 有最大值，1430x <，∴当28x =时，6480W =最大（元），64802560>，∴当28x =时，6480W =最大（元），答：当销售单价x 为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．【考点】题目主要考查一次函数与二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数解析式是解题关键．2、（1）4200y x =+；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，预计明年每亩种粮成本y （元）与种粮面积x （亩）之间的函数关系为4200y x =+，进而得出W 与x 的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式()0y kx b k =+≠，依题意得：160840190960k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：4200k b =⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为4200y x =+．（2）设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得：()21604200120W x x ⎡=-+⎤⎣⎦+⋅ 242080x x =-+()24260270400x =--+． ∵40-<，∴当260x <时，y 随x 的增大而增大．由题意知：240x ≤，∴当240x =时，W 最大，最大值为268800元．即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．【考点】此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式并根据已知得出W 与x 的函数关系式是求最值问题的关键．3、（1）2160y x -+＝；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润为1152元【解析】【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．【详解】解：（1）由题意可得：202(70)y x +-＝，整理，得：2160y x -+＝，∴每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为2160y x -+＝；（2）设销售所得利润为w ，由题意可得：2(302)(32)(2160)22245120w x y x x x x =--=--+=-+-，整理，得：22(56)1152w x =--+，20-<，∴当56x ＝时，w 取最大值为1152，∴当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．【考点】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．4、（1）1m =；（2）1m ≠±【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题；【详解】解：（1）由题意得，1010m m ⎧-=⎨+≠⎩解得1m =； （2）由题意得，||10m -≠，解得1m ≠且1m ≠-．【考点】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．5、（1）()21233y x =--+；（2）1222,,3k k ==；（3）9.4m = 【解析】【分析】（1）把50,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线的解析式，解方程求解即可； （2）联立两个函数的解析式，消去,y 得：()21223,33x kx --+=+再利用根与系数的关系与()222121212210,x x x x x x +=+-=可得关于k 的方程，解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当2,m ≤ 2＜m ＜8, 8,m ≥ 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：（1）把50,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()223y a x =-+中， 543,3a ∴+= 1,3a ∴=- ∴ 抛物线的解析式为：()212 3.3y x =--+ （2）联立一次函数与抛物线的解析式得：()2231233y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩ ()21223,33x kx ∴--+=+整理得：()24330,x k x ---=121243,3,x x k x x ∴+=-=-()222121212210,x x x x x x +=+-= ()()()22432343120,k k ∴--⨯-=-+> ∵x 1+x 2=4-3k ，x 1•x 2=-3，∴x 12+x 22=（4-3k ）2+6=10， 解得：1222,,3k k == ∴1222,,3k k ==（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m ＜2时，当x=m 时，y 有最大值，43m =-13（m-2）2+3，解得当m≥2时，当x=2时，y 有最大值， ∴43m =3， ∴m=94，综上所述，m 的值为94．【考点】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x 轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.。