总习题二

总 习 题 二1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0连续的____________条件. f (x )在点x 0连续是f (x )在点x 0可导的____________条件.(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等是f (x )在点x 0可导的_______条件.(3) f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0可微的____________条件.解 (1)充分, 必要.(2) 充分必要.(3) 充分必要.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件是( ).(A ))]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在; (B )h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→存在; (C )h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→存在; (D )hh a f a f h )()(lim 0--→存在. 解 正确结论是D . 提示: x a f x a f h a f h a f h h a f a f x h h ∆-∆+=---=--→∆→→)()(lim )()(lim )()(lim 000(∆x =-h ). 3. 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)?解 ∆m =m (x 0+∆x )-m (x 0).在区间[x 0, x 0+∆x ]上的平均线密度为xx m x x m x m ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ. 于是, 在点x 0处的线密度为 )()()(lim lim 00000x m x x m x x m x m x x '=∆-∆+=∆∆=→∆→∆ρ. 4. 根据导数的定义, 求xx f 1)(=的导数. 解 20001)(1lim )(lim 11lim x x x x x x x x x x x x x y x x x -=∆+-=∆+∆∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆. 5. 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)是否存在?(1)⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0 sin )(x x x x x f ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=000 1)(1x x e x x f . 解 (1)因为10sin lim 0)0()(lim )0(00=-=--='-→-→-x x x f x f f x x , 1ln )1ln(lim 0)1ln(lim 0)0()(lim )0(1000==+=-+=--='+→+→+→+e x xx x f x f f x x x x , 而且f -'(0) = f +'(0), 所以f '(0)存在, 且f '(0)=1.(2)因为111lim 001lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='-→-→-→-xx x x x e x e x x f x f f , 011lim 001lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='+→+→+→+x x x x e x e x x f x f f , 而f -'(0)≠ f +'(0), 所以f '(0)不存在.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数. 7. 求下列函数的导数:(1) y =arcsin(sin x );(2)xx y -+=11arctan ; (3)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; (4))1ln(2x x e e y ++=;(5)x x y = (x >0) .解(1)|cos |cos cos sin 11)(sin sin 1122x x x x x x y =⋅-='⋅-='. (2)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='. (3))(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x xy x x x x x x x x xtan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅. (4)x x x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='. (5)x x y ln 1ln =, x x x x y y 11ln 112⋅+-=', )ln 1()1ln 1(222x x x x x x x y x x -=+-='.8. 求下列函数的二阶导数:(1)y =cos 2x ⋅ln x ;(2)21x x y -=. 解 (1)xx x x x x x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222⋅+⋅-=⋅+⋅-=', 221cos 1sin cos 212sin ln 2cos 2x x x x x x x x x y ⋅-⋅-⋅-⋅-='' 22cos2sin 2ln 2cos 2xx x x x x --⋅-=. (2)232222)1(111--=---⋅--='x x x x x x y 52252)1(3)2()1(23x x x x y -=-⋅--=''-.9. 求下列函数的n 阶导数:(1)m x y +=1;(2)xx y +-=11. 解 (1)m m x x y 1)1(1+=+=,11)1(1-+='m x m y , 21)1)(11(1-+-=''m x m m y , 31)1)(21)(11(1-+--='''m x mm m y , ⋅ ⋅ ⋅, n m n x n mm m m y -++-⋅⋅⋅--=1)()1)(11( )21)(11(1. (2)1)1(2111-++-=+-=x xx y , y '=2(-1)(1+x )-2, y ''=2(-1)(-2)(1+x )-3, y '''=2(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, ⋅ ⋅ ⋅,1)1()()1(!)1(2)1)(( )3)(2)(1(2++-+-=+-⋅⋅⋅---=n n n n x n x n y .10. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0).解 方程两边求导得e y y '+y +xy '=0,  (1)于是 ye x y y +-='; 2)()1()()(y y y y e x y e y e x y e x y y +'+-+'-='+-=''. ——(2) 当x =0时, 由原方程得y (0)=1, 由(1)式得e y 1)0(-=', 由(2)式得21)0(e y =''. 11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dxdy 及二阶导数22dx y d : (1)⎩⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ; (2)⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2. 解 (1)θθθθθθθtan )sin (cos 3cos sin 3)cos ()sin (2233-=-=''=a a a a dx dy , θθθθcsc sec 31sin cos 3sec )cos ()tan (422322⋅=--='-=aa a dx y d . (2) tt t t t t dx dy 1111]1[ln )(arctan 222=++='+'=, 3222222111]1[ln )1(t t t t t t t dx yd +-=+-='+'=.12. 求曲线⎩⎨⎧==-t t e y e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程. 解 t t t t t ee e e e dx dy 2212)2()(-=-='=--. 当t =0时, 21-=dx dy , x =2, y =1. 所求切线的方程为)2(211--=-x y , 即x +2y -4=0; 所求法线的方程为y -1=2(x -2).13. 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶, 在中午十二点正, 乙船位于甲船之北16km 处. 问下午一点正两船相离的速率为多少?解 设从中午十二点开始, 经过t 小时, 两船之间的距离为S , 则有S 2=(16-8t )2+(6t )2,t t dtdS S 72)816(162+--=, S t t dtdS 272)816(16+--=. 当t =1时, S =10, 8.220721281-=+-==t dt dS(km/h), 即下午一点正两船相离的速度为-2.8km/h .14. 利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值.解 设3)(x x f =, 则有x x f f x f ∆=∆'≈-∆+31)1()1()1(, 或x x f ∆+≈∆+311)1(于是 007.102.031102.0102.133=⋅+=+=. 15. 已知单摆的振动周期gl T π2=, 其中g =980 cm/s 2, l 为摆长(单位为cm). 设原摆长为20cm , 为使周期T 增大0.05s , 摆长约需加长多少？解 因为L gLdT T ∆⋅=≈∆π, 所以 23.205.020=≈∆=L gLL π(cm),即摆长约需加长2.23cm .。